TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu ĐỀ ĐỀ XUẤT 4 x3 − y3 + x − y = xy ( x − y ) Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 3x − y + + 3 x + y + = Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không qua tâm Gọi A là · điểm chính giữa cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt M và N Lấy điểm D cho tứ giác MNED là hình bình hành Gọi I · là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A thì I chuyển động một đường thẳng cố định Câu (4,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + ( a + b + c ) ≤ Chứng minh bất đẳng thức ab + ( a + b) + bc + ( b + c) + ca + ( c + a) ≥ Câu (4,0 điểm) Cho 2013 điểm phân biệt mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng Hỏi vẽ 671 tam giác phân biệt từ 2013 điểm cho hay không? Câu (4,0 điểm) Chứng minh tồn 16 số tự nhiên liên tiếp cho số 2 16 số biểu diễn dạng x + xy − y , x, y ∈ ¢ - HẾT GIÁO VIÊN RA ĐỀ Đào Mạnh Thắng-0919686359 HƯỚNG DẪN CHẤM 4 x3 − y3 + x − y = xy ( x − y ) Câu (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 3x − y + + 3 x + y + = Phương trình thứ hệ biến đổi thành ( x − y ) + ( x − y ) = y3 + y ⇔ ( 2x − y − y) ( ( 2x − y) 1, ) + y ( x − y ) + y + ⇔ x = y Thay x = y vào phương trình thứ hai hệ, ta Ta thấy x = thỏa mãn phương trình Nếu x > VT > = VP x + + x + = 1, 1, 1, Nếu −1 ≤ x < VT > = VP Câu ( 4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không qua tâm Gọi A là điểm chính · giữa cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng α không đổi cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt M và N Lấy điểm D cho tứ giác MNED là hình bình hành Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng · minh rằng góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A thì I chuyển động một đường thẳng cố định Gọi P giao điểm khác A AO với đường tròn (O; R) Lấy G đối xứng với E qua AP ⇒ D ∈ EG, G ∈ ( O ) 2, · · Ta có ·MDG = ·NEG , ·AEG + ·AFG = 180o ⇒ MDG + MFG = 180 o Suy tứ giác MDGF nội tiếp (1) Gọi giao điểm của AG và BC là H Dễ chứng minh tứ giác MHGF nội tiếp (2) Từ (1) và (2) suy các điểm M, H, D, G, F nằm một đường tròn » =sđ JG » Trung trực của đoạn thẳng FG qua O và cắt đường tròn (O) tại J; I ∈ OJ , sđ JF · ¼ =sđ PE » nên JOP sđ PG = α hay I nằm đường thẳng cố định-Đó đường thẳng qua O tạo với AO góc α không đổi Câu (4,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + ( a + b + c ) ≤ Chứng minh bất đẳng thức ab + + bc + ( a + b) ( b + c ) + ( a + b + c) ≤ ⇔ a + b 2 + ca + ( c + a) 2, ≥ 2 + c2 + ab + bc + ca ≤ Ta có a2 + b2 + c2 2ab + 2bc + 2 ca + + + ≥ 2 Ta chứng minh ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) Thật vậy, ≥ a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca nên ta có 1, 2ab + ( a + b) ≥ 2ab + a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ( a + b) = + ( c + a) ( c + b) =1+ ( c + a) ( c + b) Suy ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( c + a ) ( c + b) (1) 2ab + ≥1+ ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( c + a) ( 2), 2ca + ≥ + ( a + b) ( b + c ) (3) 2bc + ≥ + Tương tự ta có ( b + c) ( b + c) ( c + a) ( c + a) 2 2 2 2 2, Cộng BĐT (1), (2) (3) theo vế với vế ta có ( c + a ) ( b + c ) + ( a + b) ( c + a ) + ( b + c ) ( a + b ) 2ab + 2bc + 2 ca + + + ≥ 3+ 2 2 2 ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b) ( b + c) ( c + a) Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có ( c + a) ( b + c ) + ( a + b) ( c + a ) + ( b + c ) ( a + b) ≥ Suy điều phải chứng minh 2 ( a + b) ( b + c) ( c + a) Câu (4,0 điểm) Cho 2013 điểm phân biệt mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng Hỏi vẽ 671 tam giác phân biệt từ 2013 điểm cho hay không? Vẽ hệ trục tọa độ Oxy cho điểm 2013 điểm cho tạo thành đường thẳng vuông góc với trục Ox Oy Xét tọa độ 2013 điểm cho, không tính tổng quát, ta giả sử 2013 điểm cho điểm A1 ( x1; y1 ) , A2 ( x2 ; y2 ) ,K , A2013 ( x2013 ; y2013 ) với x1 < x2 < L < x2013 1, Dấu “=” xảy a = b = c = Như vậy, ta có 671 tam giác phân biệt tam giác A3 k+1 A3 k+ A3 k+3 với k ∈ { 0,1,K , 670} 1, 1, 2, Câu (4,0 điểm) Chứng minh tồn 15 số tự nhiên liên tiếp cho số 2 15 số biểu diễn dạng x + xy − y , x, y ∈ ¢ 2 Đặt x + xy − y = A Ta có 28 A = ( 14 x + xy ) − 13.17 y , xét số dư chia A cho 9, 13, 17, ta thu * A chia cho số dư 3, * A chia cho 13 số dư 1, 3, 4, 9, 10, 12 * A chia cho 17 số dư 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 Theo định lý thặng dư Trung Hoa, tồn số nguyên dương n thỏa mãn n ≡ −4(mod ) n ≡ −2(mod 13) n ≡ 0(mod 17 ) 1, 1, 1, Rõ ràng : 2 * n + 7, n + 10 dạng x + xy − y 2 * n + 3, n + 5, n + 6, n + 11, n + 12, n + 14 dạng x + xy − y * n + 1, n + 2, n + 4, n + 8, n + 9, n + 13, n + 15, n + 16 2 dạng x + xy − y Từ suy tồn 16 số n + 1, n + 2,K , n + 16 thỏa mãn toán 1,