Các dạng toán trong vectơ ( hình 10 )

Các d ạng toán thường gặp : Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ :Sử dạng các quy tắc 1.. Quy tắc trọng tâm: Cho ∆ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý: 0 = +  Chú ý :Sơ đồ giải bài

www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC

10

GV:Phan Nh ật Nam

CÁC DẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

CÁC D ẠNG TOÁN TRONG VECTƠ

I Các d ạng toán thường gặp :

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ :(Sử dạng các quy tắc)

1 Quy tắc 3 điểm : Cho A, B, C tùy ý

AC = AB + BC (xen điểm B)

AC = AB – CB = BC – BA(phép tr ừ 2 vectơ chung ngọn hoặc gốc)

2 Quy tắc hình bình hành : Cho ABCD là hình bình hành

AC = AB + AD

(Vectơ đ/chéo = tổng 2 vectơ của cạnh kề chung gốc đ/chéo)

3 Quy tắc trung điểm: Cho O là trung điểm của AB và M là điểm tùy ý:

OA + OB = 0 và ( )

2

1

MB MA

4 Quy tắc trọng tâm: Cho ∆ABC có trọng tâm G và M là điểm tùy ý:

0

= +

 Chú ý :Sơ đồ giải bài toán chứng minh đẳng thức vectơ:

D ạng 2: Biểu diễn vectơ qua các vectơ không cùng phương :

Hướng 1: Từ đẳng thức vectơ đề (nếu có) ,nếu không thì từ giả thiết ta

đi xây dựng một đẳng thức vectơ sau đó bằng cách xen điểm ta thiết lập đẳng thức chứa vectơ cần biểu diễn và các vectơ biểu diễn

Phân tíchcác tính ch ất hình h ọc

c ủa giả thi ết

Đẳng

th ức vectơ

Trung điểm, trọng tâm

( ` ) ( )



∈ =

 ⇒ 

 = = −

 

 

 

Đẳng thức Vectơ cần chứng minh

Sử dụng quy tắc 3 điểm

để làm xuất hiện các vectơ

có trong ycbt

D

(thường ta xen điểm chung của các vectơ có trong ycbt)

Hướng 2: Từ giả thiết ta dựng thêm hình và xác định các tính chất hình

học của nó từ đó ta đi thiết lập đẳng thức vectơ cần tìm

(thường sử dụng tính chất trọng tâm và trung điểm)

Chú ý : Đôi khi ta phải dùng nhiều đẳng thức vectơ trung gian rồi thực

hiện phép cộng hoặc trừ các đẳng thức đó với nhau vế theo vế

Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :

Phương pháp chung:Dựng điểm I thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước Bước 1: Chuyển các vectơ không chứa I về 1 vế và chứa I về vế khác

Tức là :MA 1 +MA2 + + MAn =a {với a

cố định}

(c ần sử dụng quy tắc cộng, trừ vectơ trước khi chuyển vế

VD:3MA− 2.MB +MC = ⇔ 0 MA +MC+ 2(MA MB − )= ⇔ 0 MA +MC= 2AB )

Bước 2:Chọn (dựng) điểm I sao cho: IA 1 +IA2 + + IAn = 0 khi đó ta có:

1 2 n 1 2 n

MA +MA + +MA =nMI IA+ +IA + +IA =nMI

       

(quy vế trái về 1 vectơ chứa M)

Bước 3: Dựng điểm M như sau:

 Biến đổi đẳng thức đề về dạng: IM = b

(I c ố định,b 

không đổi )

 Lấy I làm gốc dựng IM bằng b

khi đó M là ngọn của IM



Ví d ụ minh họa: Cho tam giác ABC Hãy dựng điểm M thỏa mãn đẳng thức :

3MA− 2.MB +MC= 0

Giải :

Ta có: 3MA− 2.MB +MC= ⇔ 0 MA MC + + 2(MA MB − )= 0

2

⇔ + = 

Gọi I là trung điểm của AC, khi đó ta có :IA +IC = 0 Khi đó ta có: MA MC + = 2AB⇔ 2MI+(IA +IC)= 2AB

MI =AB⇔IM =BA

   

Vậy M là đỉnh thứ tư của hình bình hành IBAM như hình vẽ

D ạng 4:Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (đường thẳng đi qua điểm cố định)

A

I

M

Cơ sở của phương pháp :A, B, C thẳng hàng ⇔ AB= k AC(*) (k ∈R)

Phương pháp chung:

Trường hợp 1: A, M, N thẳng hàng { cóA là một đỉnh của đa giác}

Đặt:a =AB và b=AC (với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)

gt⇒đẳng thức vectơ (ĐTVT) →xen diem Aˆ AM =m AB1+n AC1⇔AM =m a1+n b1

gt⇒ (ĐTVT) →xen diem Aˆ AN =m AB2+n AC2⇔AN =m a2+n b2

⇔AN =m a2+n b2=k m a( 1+n b1) ⇔ AN =k AM (với 2 2

1 1

k

= = ) ⇔ ANvàAM

cùng phương ⇔ A, M, N thẳng hàng (đpcm)

Trường hợp 2: I, M, N thẳng hàng { không có điểm nào là đỉnh của đa giác}

Đặt:a =AB và b=AC (với A, B, C là ba đỉnh của đa giác mà gt cho)

gt⇒ (ĐTVT) →xen diem Aˆ AI =m AB1+n AC1⇔AI =m a1+n b1 (1)

gt⇒ (ĐTVT) →xen diem Aˆ AM =m AB2+n AC2⇔AM =m a2+n b2 (2)

gt⇒ (ĐTVT) →xen diem Aˆ AN =m AB3+n AC3⇔AN =m a3+n b3 (3)

Khi đó:

Từ (1),(2) ta có: IM= AM −AI =(m a2+n b2) (− m a1+n b1)= (m2 −m a1 )+ (n2 −n b1 )

Từ (1),(3) ta có: IN= AN−AI =(m a3+n b3) (− m a1+n b1)= (m3 −m a1 )+ (n3 −n b1 )

⇔IN=(m2−m a1)+(n2−n b1)=k(m2−m a1)+(n2−n b1)=k IN (với 3 1 3 1

2 1 2 1

k

− − )

Ví d ụ minh họa :

Ví d ụ 1:Cho ∆ABC Gọi I,J là 2 điểm định bởi:

IB

IA= 2 và3JA+2.JC =0

a Tính IJ theo AB, AC

b Chứng minh rằng IJ luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Giải :

a Ta có: IA= 2IB⇔IA= 2(IA +AB)⇔AI= 2AB

5

JA+ JC= ⇔ JA+ JA+AC = ⇔ AJ = AC

        

Do đó: 2

2 5

IJ =AJ−AI= AC− AB

    

Vậy ta có phân tích là 2 2

5

IJ = − AB+ AC

  

b Đặt: a=AB và b=AC

Khi đó ta có: AI = 2a (1)

2 5

AJ = b

 

(2)

G là trọng tâm của 0 1 1

3 3

ABC GA GB GC AG AB AC

∆ ⇔  + + = ⇔ = + 

1 1

3 3

AG a b

⇔= +  (3)

Từ (1) và (2) ta có: 2

2 5

IJ =AJ−AI= − +a b

    

Từ (1) và (3) ta có: 1 1 ( ) 5 1

2

IG=AG−AI = a+ b− a = − a+ b

       

2

⇔ = − + = − + = ⇔ =

       

Do đó 2 vectơ IG

và IJ

cùng phương nhau ⇔I G J, , thẳng hàng ⇔ ∈G IJ(đpcm)

Ví d ụ 2: Cho ∆ABC Gọi E, F là các điểm định bởi:

AB k

k

AF

1

1 +

= ( k ≠ 0 và k ≠ − 1 )

Chứng minh rằng EF luôn đi qua điểm cố định khi k thay đổi

Giải:

Gọi I là điểm được xác định như sau:AI =m AB+n AC (với m, n ∈R)

1

k

 

= − = −  −

 

    

1 1

1

FE AE AF AB AC

k k

= − = −

+

    

EF đi qua điểm I ∀ ∈k R\ {-1;0} I

⇔ IEcùng phương FE

,∀ ∈k R\ {-1;0}

⇔

1

, \ {-1;0}

1

m

n

− +

1 , \ {-1;0} ( ) 1 0 , \ {-1;0}

1 0 1

m n m

km nk n k R m n k n k R

+ = = −

⇔ − = + ∀ ∈ ⇔ + + − = ∀ ∈ ⇔ ⇔

− = =

Khi đó ta có :

AI = −AB+AC⇔CI =BA⇔

    

I là đỉnh của hình bình hànhACBI (như hình vẽ)

⇒I cố định

Với điểm I vừa xác định ở trên ta có:

1

k

IE AE AI AB AC AB AC k AB AC

+

= − = +  − = − = +  − 

+

        

( 1)

IE k FE

⇔= +  ⇔ IE , FE

cùng phương ⇔I E F, , thẳng hàng

⇔đường thẳng EF đi qua điểm cố định I (đpcm)

Chú ý: Để chứng minh đường thẳng d đi qua A cố định ta chỉ cần chứng minh trên

đường thẳng d có 2 điểm phân biệt thay đổi luôn thẳng hàng với A

 Bổ đề liên quan :

 A,B,C thẳng hàng ⇔ MC= αMA+ ( 1 − α )MB (M_tùy ý; α ∈R)

ĐB : Nếu 0 ≤α ≤ 1 thì C thuộc đoạn AB

 Cho 2 điểm A, B và α ,β ∈ R thỏa α + β ≠0

Nếu: MN =αMA+βMB thì MN cắt AB tại I thỏa α IA + IB β = 0

ĐB : Nếu α =β ≠ 0 thì I là trung điểm của AB

 Cho 3 điểm A, B, Cvà α ,β ,γ ∈ R thỏa α + β + γ ≠0

Nếu: MN =αMA+βMB+γMC thì MN đi qua I thỏa α IA + β IB + γ IC = 0

ĐB : Nếu α =β =γ ≠ 0 thì I là trọng tâm của tam giác ABC

D ạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun

Phương pháp chung:Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức:

1 2 n 1 2 n

MA +MA + +MA = MB +MB + +MB

     

Bước 1:Rút gọn đẳng thức để mỗi vế chỉ chứa đúng một vectơ

TH1 : Nếu MA 1 +MA2 + + MAn có thể khử được hết M(tức là số vectơ có

d ạng +M b ằng số vectơ có dạng−M VD: MA+ 2MB− 3MC)

thì ta phải dựng được vec tơ tổng của chúng

TH2 : Nếu ta không khử được M trong MA 1 +MA2 + + MAn thì ta cần đi

dựng điểm I thỏa mãn IA 1 +IA2 + + IAn = 0 khi đó

1 2 n 1 2 n

MA +MA + +MA =nMI+IA +IA + +IA =nMI

       

Bước 2:Sử dụng các mệnh đề sau để suy ra quỹ tích của điểm cần tìm

 AM =k.u với k∈R và A cố định, u không đổi

⇒ {M} là đường thẳng qua A và cùng phương với u

ĐB : + Nếu k > 0 thì {M} là tia Ax cùng hướng u

+ Nếu k < 0 thì {M} là tia Ax ngược hướng u

+ NếuAM = k AB ( k ∈ R ) thì {M} là đường thẳng AB

 MA = MB với A, B cố định cho trước thì {M} là trung trực AB

 MA = k BC Với A, B, C cho trước thì {M} là đường tròn (A, k.AB)

Ví d ụ minh họa : Cho ∆ABC Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện:

MC MB MA MC

MB

4

Gi ải:

Gọi E là trung điểm của BC ⇒EB +EC= 0 Khi đó: 2MA  −MB−MC=(MA −MB) (+ MA −MC)

= −  + = −   + + = 

Gọi G là trọng tâm của ∆ ABC và I là trung điểm của GA 0

0

GA GB GC

IA IG

 + + =



⇒ 

+ =



   

  

A

G

I

M

E

1 3

Khi đó: 4MA+MB+MC= 6MI+ 3IA+IA+IB+IC

6MI 3 IA IG GA GB GC 6MI

= +  + +   + + = 

3

MA+MB+MC = MA−MB−MC ⇔ MI = BA ⇔ IM = AB

       

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm I và bán hình 1

3

R= AB

Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác}

Cho các vectơ a , b ,c khi đó ta luôn có

 a + b ≥ a + b từ đó nếu :a + b = c thì a + b ≥ c

 a − b ≤ a − b từ đó nếu : a – b = c thì a − b ≤ c

II Bài t ập áp dụng:

D ạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH và FG bằngAD,

Chứng minh rằng CDEF là hình bình hành

Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý Tính các vectơ sau :

a v= AB+DC+BD+CA

b u= AB+CD+BC+DA

Bài 3: Cho hai vectơ a và b ( ≠ 0 )

Hãy tìm mối quan hệ giữa a và b nếu thỏa điều kiện

a a+b = a + b

b a+b = a−b

Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh :AD+BE+CF = AE+BF+CD

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O,

I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là một điểm tùy ý

chứng minh rằng :

a GA + GB + GC = 0

b MA+MB + MC = 3 MG

c OA+OB+OC =3.OG =OH

d HA+ HB+HC =3.HG = 2.HO

e OH = 2 OI

Bài 6: Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý chứng minh rằng :

CB AD

CD

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng :

0

= +

+

OA

Bài 8: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường

chéo AC và BD Chứng minh rằng : AB+CD =2.MN

Bài 9: Cho tứ giác ABCD tùy ý và M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

Chứng minh rằng : AB+ DC = 2.MN

Bài 10: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm G và G’

a AA ' + BB ' + CC ' = 3 GG ' suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác

có cùng trọng tâm là AA ' + BB ' + CC ' = 0

b Gọi G1, G2 , G3 là trọng tâm của các tam giác ∆BCA' , ∆CAB' , ∆ABC'

Chứng minh rằng G là trọng tâm ∆G1G2G3 Biết G ≡G'

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD

a Cho AB= ,a AD=b, I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD Chứng

minh rằng : BI b a

2

1

−

= , tính AG theo a, b

b G’ là trọng tâm của tam giác BCI Chứng minh rằng : AG a b

3

2 6

5 '= +

c Trên ∆ABC,gọi A1, B1, C1là các điểm xác định bởi 2A1B+ 3A1C= 0,

0 3

2B1C+ B1A= , 2C1A+ 3C1B= 0 Chứng minh rằng hai tam giác ∆ABC, ∆A1B1C1

có cùng trọng tâm

d Gọi B’, C’ là hai trung điểm của AC, AB Đặt BB' =u,CC' =v Tính

v u theo AB CA

BC, , ,

Bài 12: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng:

a AB−CD = AC+DB

b AD+BE+CF = AE+BF +CD

Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB Chứng minh rằng : AM +BN +CP = 0

Bài 14: Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ∆ABC và ∆A’B’C’

Chứng minh rằng :AA' + BB' +CC' = 3 GG'

Bài 15: Cho ∆ABC Gọi M là một điểm trên đoạn BC, sao cho MB = 2.MC

Chứng minh rằng :

AC AB

AM

3

2 3

=

Bài 16: Cho ∆ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh

AC, sao cho NC = 2.NA Gọi K là trunh điểm của MN

a Chứng minh rằng : AK AB AC

6

1 4

1

+

=

b Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng :

AC AB

KD

3

1 4

=

Bài 17: Cho ∆ABC đều cạnh a

Xác định vectơ AB+AC và tính môđun của vectơ này

Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh a

Xác định vectơ (AB+ AC+AD)

2

1

và tính môđun

Bài 19: Cho đoạn thẳng AB và hai số m, n không đồng thời bằng 0

Chứng minh rằng :

a Nếu m + n≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho m MA + MB n = 0

b Nếu m + n= 0 thì không tồn tại duy nhất điểm M sao cho m MA + MB n = 0

c Nếu m + n= 0 thì v=m MA+n MB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M)

d Nếu m + n≠ 0 thì với mọi điểm M ta có m MA+n MB= (m+n)MI , trong đó I là điểm xác định bởi m IA + IB n = 0

e Nếu m + n≠ 0 thì với mọi điểm M và N được xác định MN =m MA+n MBChứng minh rằng đường thẳng MN đi qua điểm cố định

Bài 20: Cho hai vectơ a,b( ≠ 0 )không cùng phương Gọi u, v là hai vectơ được xác

định :u =α1a+β1b , v=α2a+β2b Chứng minh rằng :

a







=

=

⇔

=

2 1

2 1

β β

α

α

v u

b u, v cùng phương ⇔ α1β2 − α2β1 = 0

Bài 21: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD và AB = 2CD Từ C kẻ CI =DA

Chứng tỏ I là trung điểm AB và DI =CB

Bài 22: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD tại O Qua O vẽ đường thẳng MN song

song 2 đáy AD và BC Đặt a= AB, b= CD

Chứng minh rằng :

b a

DC a AB b MN

+

+

=

Bài 23: Cho hình bình hành ABCD M, N là các điểm thỏa mãn AM AB

3

1

= ,

DC DN

2

1

= .G là trọng tâm tam giác MNB, AG cắt BC tại I Tính tỷ số

IC

BI GI

AG

,

Bài 24: Cho đoạn thẳng AB Người ta xét 2n điểm sao cho chúng là n cặp

điểm đối xứng nhau qua trung điểm O của AB Tiếp đó người ta đánh dấu

đỏ n điểm bất kỳ và xanh cho n điểm còn lại Chứng minh rằng tổng khoảng

cách từ các điểm đỏ đến A bằng tổng khoảng cách từ các điểm xanh đến B

D ạng 2: Biểu diễn một vectơ thông qua các vectơ cho trước :

Bài 1: Cho ∆ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB Đặt AA'=u , CC' =v Tính BC,CA,CB theou, v

( ĐS : BC ( )u v AB ( u v) CA (u 2.v)

3

2 ,

2 3

2 ,

3

Bài 2: Cho ∆ABC Gọi I ∈ BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo

dài sao cho 5JB = 2JC

a Tính AI , AJ theo AB, AC

b Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Tính AG theo AI , AJ

(ĐS :AI AB AC AJ AB AC AG AI AJ

16

1 48

35 ,

3

2 3

5 ,

5

2 5

Bài 3: Cho ∆ABC Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G

a Chứng minh rằng : ( )

3

1 3

1 3

2

AC AB CH

và AB AC

b Gọi M là trung điểm BC chứng minh rằng :

AB AC

MH

6

5 6

=

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Đặt AB= ,u AD=v

Tính các vectơ sau theou, v

a BI với I là trung điểm của CD

b AGvới G là trọng tâm của ∆BCI

3

1 6

5 ,

2

1

v u AG v u

BI = − = + )

Bài 5: Cho ∆ABC Gọi G là trọng tâm và H đối xứng với B qua G

a Chứng minh rằng : HA − 5 HB + HC = 0

b Đặt AG = , u AH = v, tính AB, AC theo u, v

2

1 2

5 ),

( 2

1

v u AC v

u

Bài 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và α , β , γ ∈ R Chứng minh rằng

a Nếu α + β+ γ = 0 thì v=α.MA+β.MB+γ.MC không phụ thuộc vào vị trí của M

b Nếu α + β + γ ≠ 0 thì tồn tại duy nhất điểm I thỏa : 0 =α.IA+ β.IB+γ.IC

c v = α MA + β MB + γ MC = ( α + β + γ ) MI (Với α + β + γ ≠ 0)

d Điểm N xác định bởi MN = α MA + β MB + γ MC

(Với α + β + γ ≠ 0) Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho

,

.AB

k

AM = DN = k DC (k≠ 1)

a Hãy phân tích MN theo AD, BC

b Gọi P, Q, I là các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho AP = l AD , BQ = m BC

,MI = m BC Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng

Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I

Chứng minh rằng :

a 0 = a IA + b IB + c IC (a, b, c là số đo cạnh của tam giác)

b 0 = tan( A ) HA + tan( B ) HB + tan( C ) HC

c 0 = Sa MA + Sb MB + Sc MC với M là điểm bất kỳ trong tam giác

Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác: MBC, MCA, MAB

D ạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước :

Bài 1: Cho ∆ABC Hãy dựng các điểm I, J, K, L, M biết rằng :

a 2 IA − IB = 0

b 3 JA + 2 JB = 0

c 2 KA + KB − KC = AB

d LA + LB + LC = BC

e 3 MA − 2 MB + MC = 0

Bài 2: Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K sao cho

a OA+ 2.OB +3.OC =0

b IA+ IB+IC+ ID= 0