tổng hợp các dạng toán trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi (4)

Giáo án ôn hình học lớp 9 Phần II: Hình học A- Các dạng toán I/ Các bài toán chứng minh 1 - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 đoạn thẳng bằng nhau: - Hai đoạn thẳng có cùng số đo - Hai đoạn thẳng cùng bằng 1 đoạn thẳng thứ 3 - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của 2 đoạn thẳng bằng nhau đôi một. - Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, - Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. - Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác, định nghĩa trung trực của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của của 1 góc. - Tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang cân, - Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 30 0 trong tam giác vuông. - Tính chất giao điểm 3 đờng phân giác, 3 đờng trung trực trong tam giác. - Định lý đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang. - Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn. - Tính chất của các tỉ số bằng nhau. - Một số định lý nh Talet, Pytago, - Tính chất 2 đoạn thẳng song song chắn giữa 2 đờng thẳng song song. 2 Chứng minh hai góc bằng nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh đ ợc 2 góc bằng nhau: - Sử dụng 2 góc có cùng số đo. - Hai góc cùng bằng 1 góc thứ 3, Hai góc cùng phụ cùng bù với 1 góc. - Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của 2 góc tơng ứng bằng nhau. - Sử dụng đ/n tia phân giác của 1 góc. - Hai góc đối đỉnh. - Sử dụng tính chất của 2 đờng thẳng song song(2 góc đồng vị, 2góc so le, ) - Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tùcó cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc. - Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. - Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung. - Hai góc ở đáy của 1 tam giác cân, hình thang cân. - Các góc của 1 tam giác đều. - Sử dụng các tính chất về góc của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, - Sử dụng kết quả của 2 tam giác đồng dạng. - Sử dụng các tính chất của tam giác, tứ giác nội, ngoại tiếp một đờng tròn. - Sử dụng các ỉ số lợng giác sin, cos, tg và cotg của góc nhọn. 3 Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau Một số gợi ý để đi đến chứng minh 2 đ ờng thẳng song song với nhau - Sử dụng đ/n 2 đờng thẳng song song. - Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thẳng định chứng minh song song với 1 đờng thẳng thứ 3 ( ở các vị trí đồng vị, so le, ) - Sử dụng các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, - Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3. - Sử dụng tính chất đờng trung bình của 1 tam giác, hình thang. - Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng ứng song song ( Định lý Talet ). Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 1 Giáo án ôn hình học lớp 9 4 Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau: Một số gợi ý để di đến chứng minh 2 đ ờng thẳng vuông góc với nhau: - Định nghĩa 2 đờng thẳng vuông góc. - Tính chất 2 tia phân giác của 2 góc kề bù. - Dựa vào tính chất tổng các góc trong 1 tam giác, đi chứng minh cho tam giác có 2 góc phụ nhau suy ra góc thứ 3 bằng 90 0 . - Tính chất đờng thẳng vuông góc với 1 trong 2 đờng thẳng song song. - Định nghĩa 3 đờng cao của tam giác, định nghĩa đờng trung trực của đoạn thẳng. - Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn. - Tính chất của tam giác cân, tam giác đều. - Tính chất 3 đờng cao của tam giác. - Định lý Pytago. - Tính chất đờng kính của đờng tròn đI qua trung điểm 1 dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của 1 cung. - Định lý nhận biết 1 tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy. - Tính chất: Nếu 1 đờng thẳng là tiếp tuyến của 1 đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - Tính chất 2 tiếp tuyeens cùng xuất phát từ 1 điểm ở ngoài đờng tròn thì đờng thẳng đi qua điểm đó và tâm đờng tròn phải vuông góc với day nối 2 iếp điểm. 5 Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 điểm thẳng hàng: - Sử dụng 2 góc kề bù. - 3 điểm cùng thuộc 1 tia hoặc 1 đờng thẳng. - Trong 3 đoạn thẳng nối 2 trong 3 điểm có 1 đoạn thẳng bằng tổng 2 đoạn thẳng kia. - Hai đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm ấy cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ 3. - Sử dụng vị trí 2 góc đối đỉnh. - Đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm có chứa điểm thứ 3. - Sử dụng tính chất đờng phân giác của 1 góc, tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng, tính chất 3 đờng cao trong 1 tam giác. - Sử dụng tính chất góc vuông nội tiếp đờng tròn. - Sử dụng tính chất các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng. 6 Chứng minh các đờng thẳng đồng quy các đờng tròn đồng quy: Một số gợi ý để đi đến chứng minh 3 đ ờng thẳng đồng quy, các đ ờng tròn đồng quy . - Tìm giao của 2 đờng thẳng sau đó chứng minh đờng thẳng thứ 3 đI qua giao của 2 đờng thẳng trên. - Chứng minh 1 điểm thuộc 3 đờng thẳng. - Sử dụng tính chất các đờng đồng quy trong tam giác. - Sử dụng tính chất các đờng thẳng định trên 2 đờng thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ. - Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua 1 đểm. - Tìm giao điểm của 2 đờng tròn, sau đó chứng minh cho các đờng tròn còn lại đI qua giao điểm đó. 7 Chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đờng tròn Một số gợi ý đẻ đi đến chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đ ờng tròn. - Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định nào đó. - Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180 0 . - Chứng minh từ 2 đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng tạo bởi 2 đỉnh còn lại dới 2 góc bằng nhau. - Sử dụng định lý: Tổng 2 cạnh đối của 1 tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó ngoại tiếp 1 đờng tròn. - Chứng minh các cạnh của tứ giác tiếp súc với đờng tròn. 8 Chứng minh các hệ thức trong hình học: Một số gợi ý để đi đến chứng minh các hệ thức trong hình học - Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ. - Định lý Talet thuận, đảo và hệ quả. Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 2 Giáo án ôn hình học lớp 9 - Tính chất đờng phân giác trong tam giác - Tam giác đồng dạng. - Các hệ thức lợng trong tam giác vuông. - Hệ thức giữa cạnh & góc trong tam giác vuông. B - Các bài tập chọn lọc 1. đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt * Sở giáo dục và đào tạo nam đinh Năm học: 2000 - 2001 Cho tam giác nhọn PBC , PA là đờng cao . Đờng tròn đờng kính BC cắt PB , PC lần luợt ở M và N . NA cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là E . a) Chứng minh 4 điểm A , B, P ,N cùng thuộc một đờng tròn. Xác định tâm và bán kính của đờng tròn đó . b) Chứng minh : EM BC . c) Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh : AM . AF = AN . AE Năm học: 2001 - 2002 Cho tam giác ABC vuông ở đỉnh A . Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C) Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC . Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đờng tròn (O). Nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là D . Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là S . Chứng minh : 1) Tứ giác ABTM nội tiếp đợc trong một đòng tròn. 2) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi. 3) Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST. Năm học: 2002 - 2003 Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp trong một đờng tròn (O) . Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại A và tại D cắt nhau tại E . Gọi I là giao điểm của các đờng chéo AC và BD . 1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp trong một đờng tròn . 2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song với nhau. 3) Đờng thẳng EI cắt các cạnh bên AD và BC của hình thang tơng ứng ở R và S . CMR : a) I là trung điểm của đoạn RS . b) 1 1 2 AB CD RS + = Năm học: 2003 - 2004 Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn . Từ A kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm . Đờng thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ tại M . a) CMR : MO = MA . b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ tơng ứng tại B và C . 1) CMR : AB + AC BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N . 2) CMR nếu tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC. Năm học: 2004 - 2005 Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 3 Giáo án ôn hình học lớp 9 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R . Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A . Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P . Chứng minh : 1) Tích BM . BN không đổi . 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc trong đờng tròn . 3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R Năm học: 2005 - 2006 Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn tâm O , bán kính R ( 0 < BC < 2R ) .A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn . Các đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H ( , , )D BC E CA F AB . 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Từ đó suy ra AE . AC = AF . AB 2) Gọi A là trung điểm của BC . Chứng minh AH = 2 AO . 3) Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A . Đặt S là diện tích của tam giác ABC , 2p là chu vi của tam giác DEF. a) Chứng minh : d // EF. b) Chứng minh : S = p . R . Năm học: 2006 - 2007 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Điểm I nằm giữa A và O ( I khác A và O ) . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I . Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C khác M , N và B ) Nối AC cắt MN tại E . Chứng minh : 1) Tứ giác IECB nội tiếp . 2) 2 .AM AE AC= 3) AE . AC AI . IB = AI 2 . Năm học: 2007 - 2008 Cho đờng tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) sao cho đờng thẳng AB không đi qua tâm O . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME , MF với đờng tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) . Gọi H là trung điểm của dây cung AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH . 1) Chứng minh 5 điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên một đờng tròn . 2) Chứng minh : OH . OI = OK . OM 3) Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến của đờng tròn (O). Năm học: 2008 - 2009 Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O . Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N . Gọi S là giao điểm của hai đờng thẳng BM và AN . Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đ- ờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H . Hãy chứng minh : a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM . b) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R). Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 4 Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9 c) Ba ®iÓm H , N, B th¼ng hµng NguyÔn C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa 5 Gi¸o ¸n «n h×nh häc líp 9 NguyÔn C«ng Minh – Trêng THCS Nam Hoa 6 Giáo án ôn hình học lớp 9 Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90 0 . CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90 0 . Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90 0 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90 0 ;  là góc chung => AEH ADC => AC AH AD AE = => AE.AC = AH.AD. * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90 0 ; C là góc chung => BEC ADC => AC BC AD BE = => AD.BC = BE.AC. 4. Ta có C 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C 2 = A 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C 1 = C 2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C => CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn => C 1 = E 1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E 2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E 2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh ED = 2 1 BC. 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Lời giải: 1. Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 90 0 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 90 0 ( Vì AD là đờng cao) Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 7 Giáo án ôn hình học lớp 9 => CEH + CDH = 180 0 Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90 0 . AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90 0 . Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90 0 . Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 2 1 BC. 4. Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => E 1 = A 1 (1). Theo trên DE = 2 1 BC => tam giác DBE cân tại D => E 3 = B 1 (2) Mà B 1 = A 1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E 1 = E 3 => E 1 + E 2 = E 2 + E 3 Mà E 1 + E 2 = BEA = 90 0 => E 2 + E 3 = 90 0 = OED => DE OE tại E. Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E. 5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED 2 = OD 2 OE 2 ED 2 = 5 2 3 2 ED = 4cm Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 90 0 . 3. Chứng minh AC. BD = 4 2 AB . 4. Chứng minh OC // BM 5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. 6. Chứng minh MN AB. 7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: 1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90 0 . 3. Theo trên COD = 90 0 nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM 2 = CM. DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R 2 => AC. BD = 4 2 AB . 4. Theo trên COD = 90 0 nên OC OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5. Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB => IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 8 Giáo án ôn hình học lớp 9 6. Theo trên AC // BD => BD AC BN CN = , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra DM CM BN CN = => MN // BD mà BD AB => MN AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lời giải: (HD) 1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI BK hayIBK = 90 0 . Tơng tự ta cũng có ICK = 90 0 nh vậy B và C cùng nằm trên đờng tròn đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Ta có C 1 = C 2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH. C 2 + I 1 = 90 0 (2) ( vì IHC = 90 0 ). I 1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) Từ (1), (2) , (3) => C 1 + ICO = 90 0 hay AC OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH 2 = AC 2 HC 2 => AH = 22 1220 = 16 ( cm) CH 2 = AH.OH => OH = 16 12 22 = AH CH = 9 (cm) OC = 225129 2222 =+=+ HCOH = 15 (cm) Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn . 3. Chứng minh OI.OM = R 2 ; OI. IM = IA 2 . 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Và dây cung) => OKM = 90 0 . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90 0 ; OBM = 90 0 . nh vậy K, A, B cùng nhìn OM dới một góc 90 0 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM AB tại I . Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 9 Giáo án ôn hình học lớp 9 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 90 0 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đờng cao. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao => OI.OM = OA 2 hay OI.OM = R 2 ; và OI. IM = IA 2 . 4. Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH AB; cũng theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đờng thẳng vuông góc với AB). 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E. 1. Chứng minh tam giác BEC cân. 2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH). 4. Chứng minh BE = BH + DE. Lời giải: (HD) 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2). Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của BEC => BEC là tam giác cân. => B 1 = B 2 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B 1 = B 2 => AHB = AIB => AI = AH. 3. AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I. 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn. 2. Chứng minh BM // OP. 3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Lời giải: 1. (HS tự làm). 2. Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc ở tâm chắn cung AM => ABM = 2 AOM (1) OP là tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ) => AOP = 2 AOM (2) Từ (1) và (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. (4) 3. Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=90 0 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 90 0 (gt NOAB). => PAO = NOB = 90 0 ; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). 4. Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta cũng có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác POJ. (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 90 0 => K là trung điểm của PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật). (6) Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 10 [...]... cđa (O) => O lµ trung ®iĨm cđa AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iĨm cđa HF => OI lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH Theo gi¶ thi t I lµ trung ®iĨm cđa BC => OI ⊥ BC ( Quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG GI OI 1 = (v× so le trong) ; l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA => mµ OI = AH GA HA 2 GI 1 = mµ AI lµ trung tun cđa tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iĨm cđa... nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH 3 theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iĨm cđa BH => IE = IB ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kỊ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tun (do I lµ trung ®iĨm cđa BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB =... OP lµ ®êng trung tun => AP = PQ 1 4 (HD) KỴ QH ⊥ AB ta cã SAQB = AB.QH mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®ỉi nªn SAQB lín nhÊt khi QH lín 2 nhÊt QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB §Ĩ Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iĨm cđa cung AO => PI ⊥ AO mµ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lµ trung ®iĨm cđa cung AB vµ khi ®ã H trung víi... trung tun => E lµ trung ®iĨm cđa AF (3) Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c ∠HAK (5) Tõ (4) vµ (5) => HAK lµ tam gi¸c c©n t¹i A cã AE lµ ®êng cao nªn ®ång thêi lµ ®¬ng trung tun => E lµ trung ®iĨm cđa HK (6) Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng) 5 (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi... ®êng trßn t¹i M » ¼ » Lêi gi¶i: 1 Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm cđa BC => MB = MC => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia KC AC = ph©n gi¸c cđa gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ) KB AB » 2 (HD) Theo gi¶ thi t CD ⊥ AB => A lµ trung ®iĨm cđa CD => ∠CMA = ∠DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CMD » 3 (HD) Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm cđa BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC... r»ng ®êng trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH 3 Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE Lêi gi¶i: 1 ∠AEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => ∠AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); Theo gi¶ thi t ∠ABE = 450 => ∆AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB A D / 1 / B I F 1 2 _H _K E O 1 C 2 Gäi K lµ trung ®iĨm cđa HE (1) ; I lµ trung ®iĨm cđa HB => IK lµ ®êng trung b×nh... => A’ lµ trung ®iĨm cđa HK => OK lµ ®êng trung b×nh cđa ∆AHK => AH = 2OA’ 3 ¸p dơng tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tun, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng ta cã : R AA ' = ∆ AEF ∼ ∆ ABC => (1) trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ lµ b¸n kÝnh ®êng R ' AA1 trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ lµ trung tun cđa ∆ABC; AA1 lµ trung tun... ®ã I di ®éng trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OH VËy khi MN di ®éng , trung ®iĨm I cđa MN lu«n n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh 2 Theo gi¶ thi t Ax ⊥ MN; theo trªn OI ⊥ MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC mµ O lµ trung ®iĨm cđa AB => I lµ trung ®iĨm cđa BC, l¹i cã I lµ trung ®iĨm cđa MN (gt) => CMBN lµ h×nh b×nh hµnh ( V× cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ) 3 CMBN lµ h×nh b×nh hµnh => MC // BN... gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp 2 Theo gi¶ thi t M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng 3 ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD (1) 4 Theo gi¶ thi t ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Tõ (1)... 3.Theo gi¶ thi t A vµ N ®èi xøng nhau qua M nªn M lµ trung ®iĨm cđa AN; F vµ E xøng nhau qua M nªn M lµ trung ®iĨm cđa EF => AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FA // NE mµ NE ⊥ AB => FA ⊥ AB t¹i A => FA lµ tiÕp tun cđa (O) t¹i A 4 Theo trªn tø gi¸c AENF lµ h×nh b×nh hµnh => FN // AE hay FN // AC mµ AC A ⊥ BN => FN ⊥ BN t¹i N N _ / M _ C / E O H B ∆BAN cã BM lµ ®êng cao ®ång thêi lµ ®êng trung tun ( do M lµ trung . giác trong tam giác - Tam giác đồng dạng. - Các hệ thức lợng trong tam giác vuông. - Hệ thức giữa cạnh & góc trong tam giác vuông. B - Các bài tập chọn lọc 1. đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Giáo án ôn hình học lớp 9 Phần II: Hình học A- Các dạng toán I/ Các bài toán chứng minh 1 - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Một số gợi ý. đi đến chứng minh các hệ thức trong hình học - Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ. - Định lý Talet thuận, đảo và hệ quả. Nguyễn Công Minh Trờng THCS Nam Hoa 2 Giáo án ôn hình học lớp 9 - Tính chất