tổng hợp các dạng toán trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi (2)

Đề số 1 Bài 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện a 2 + b 2 =3. Chứng minh: 3 3 3 3 2 1 1 3 ( )a b b a b a a b = + Bài 2. a) Giải phơng trình (x+1)(x 2 +2) + (x+2)(x 2 +1) = 2 b) Cho phơng trình x 2 2m(x-1) -1 = 0. Tìm tập hợp các giá trị m để phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Bài 3. Chứng minh rằng số P=n 3 + 5n chia hết cho 3 với mọi số nguyên n. Bài 4. Cho ABC vuông tại A. Trên AB và AC ta lấy các điểm tơng ứng M và N. Gọi P và Q lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ M và N xuống BC, biết AP = AQ. a) CMR: B, C N, M cùng nằm trên một đờng tròn. b) Giả sử MN bằng bán kính đờng tròn đi qua B, C, M, N. Tính PAQ. Đề số 2 Bài 1. Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 6 1 ( ) ( ) x x y y y x y x + = = Bài 2. a) Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng của lập phơng chữ số hàng chục với bình phơng chữ số hàng đơn vị bằng chính số đó. b) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện 0 x 1; 0 y 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y y x . Bài 3. Cho ABC có BAC không vuông. Gọi (O 1 )là đờng tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A. Gọi (O 2 ) là đờng tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại B. Hai đờng tròn trên cắt nhau tại M. a) CMR: B, C, M không thẳng hàng. Ta kí hiệu (O) là đờng tròn đi qua B, M, C. b) Gọi D là giao điểm thứ hai của phân giác BAC với đờng tròn ngoại tiếp ABC và E là giao điểm thứ hai của AM với (O). CMR: đờng thẳng DE đi qua tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC và các đờng thẳng EB, EC tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp ABC. c) Giả sử BAC = 60 0 . Gọi N là giao điểm của AM với BC. CMR: 1 1 1 MN MB MC = + 1 Đề số 3 Bài 1. Cho các số thực a, b, c, x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1 0 x y z a b c a b c x y z + + = + + = Tính tổng 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + . Bài 2. a) Cho hai phơng trình : x 2 + 2x + a = 0 (1) và (1+a)(x 2 + 2x +a) 2(a 1)(x 2 + 1) = 0 (2). Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (2) vô nghiệm. b) Giải phơng trình 2 2 40 16 16 x x x + + = + . Bài 3. Cho một hình lục giác lồi ABCDEF có AB // CF, BC // AD, CD // BE. Chứng minh rằng hai tam giác ACE và BDF có diện tích bằng nhau. Bài 4. Cho hai đờng tròn (O) và (O) cùng tiếp xúc với đờng thẳng d lần lợt tại các điểm A và B và cắt nhau tại hai điểm C và D ( D gần AB hơn ). Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp ABC, M là giao điểm của CD với O. a) Chứng minh rằng : AMBD là hình bình hành. b) ký hiệu R và R lần lợt là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng : R=R. Đề số 4 Bài 1. a) Chứng minh rằng : nếu các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện 1 a b+c < a+1, b c thì a > b. b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2xy + 3y 2 = 24. Bài 2. Chứng minh rằng nếu phơng trình x 2 + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt thì các phơng trình x 2 + (p +2a)x + (q + ap) = 0 và 3 x 2 + 2(p+a)x + (q+ap) = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a. Bài 3. Giải phơng trình 6 2 3 3 1 1 1x x x+ + = . Bài 4. a) Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O) và điểm M trên cạnh BC (khác B và C). Đ- ờng thẳng đi qua M vuông góc với BC và cắt đờng tròn (O) tại hai điểm P và Q, trong Q nằm trên cung BC chứa A. Đờng thẳng đi qua M song song với QA và cắt AB tại và AC tại E và F. Chứng minh rằng : tứ giác AEPF nội tiếp. 2 b) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Ta xét đờng tròn (O) tiếp xúc với đờng kính AB tại M và tiếp xúc với nửa đờng tròn tại N. Chứng minh rằng : khi đờng tròn (O) thay đổi thì đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định. Đề số 5 Bài 1. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện { 2 2 2 2 2 x y z x y z + + = + + = Tính tổng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )y z z x x y S x y z + + + + + + = + + + + + . Bài 2. Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 17 2 3 x y x xy + = = Bài 3. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + 5 y 2 + 8 z 2 biết rằng xy + yz + zx =1. b) Chứng minh rằng : nếu x, y là các số nguyên thì : P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là một số chính phơng. Bài 4. a) Trên đờng kính AB=2R của nửa đờng tròn ta dựng hình vuông MNPQ sao cho M, N nằm trên AB. Các đỉnh còn lại thuộc nửa đờng tròn . Tính diện tích hình vuông đó. b) Cho xOy và điểm A cố định trên cạnh Ox. Với mỗi điểm B thuộc Oy ta dựng đờng tròn nội tiếp OAB. Gọi M, N là tiếp điểm của đờng tròn với các cạnh AB và OB. Chứng minh rằng : khi điểm B thay đổi thì đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định. Đề số 6 Bài 1. Chứng minh rằng nếu 2 2 2 x yz y xz z xy a b c = = thì 2 2 2 x y z a bc b ca c ba = = với abc 0, a 2 bc 0, c 2 ab 0, xyz 0. Bài 2. Cho ABC. Trên cạnhAB và AC ta lấy lần lợt các điểm M, N. Gọi P là giao điểm của CM và BN. Tính diện tích ABC biết rằng diện tích các tam giác PMB, PNC, PBC tơng ứng bằng 1, 2, 3. Bài 3. a) Chứng minh rằng nếu phơng trình x 2 + px + q = 0 có nghiệm thì phơng trình 2 2 1 1 0( ) ( )x a px a q a a + + + = có nghiệm với mọi a. b) Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 2 3 3 2 2 6 x xy y x yz y + = + = 3 Bài 4. Tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng tròn (O). a) Chứng minh rằng nếu hai đờng chéo của tứ giác vuông góc với nhau thì độ dài các đaọn thẳng nối các tiếp điểm nằm trên hai cạnh đối của tứ giác bằng nhau. b) Chứng minh rằng nếu hai đoạn thẳng nối các cặp tiếp điểm trên hai cạnh đối có đọ dài bằng nhau thì tứ giác ABCD có hai đờng chéo vuông góc với nhau. c) Tứ giác ABCD có hình dạng gì đặc biệt nếu hai hai đoạn thẳng nối các cặp tiếp điểm là đờng kính của đờng tròn (O). Đề số 7 Bài 1. a)Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x P x x + = + + + với 3 2 x = b) Tìm các giá trị nguyên x thỏa mãn hệ bất phơng trình : 2 4 5 3 1 x x x + Bài 2. Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x 3 + y 3 = x y. Chứng minh rằng : x 2 + y 2 = < 1. Bài 3. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 8 2 4 x y xy x y + + = + = 4 . và R lần lợt là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng : R=R. Đề số 4 Bài 1. a) Chứng minh rằng : nếu các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện 1 a b+c. tiếp ABC và các đờng thẳng EB, EC tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp ABC. c) Giả sử BAC = 60 0 . Gọi N là giao điểm của AM với BC. CMR: 1 1 1 MN MB MC = + 1 Đề số 3 Bài 1. Cho các số thực. Đề số 1 Bài 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn các điều kiện a 2 + b 2 =3. Chứng minh: 3 3 3 3 2 1 1 3 ( )a b b a b a