ÔN THI THPT QUỐC GIA HÌNH HỌC PHẲNG ĐẦY ĐỦ

Giải: Do tam giác ABD cân tại A và H là trung điểm của BD, ta có ·KDC BDA ABD=· =· a Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp.. d Chứng minh tứ giác AKFH là hình thang cân.e Xác

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Bài 1.1.1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H,

tâm đường tròn nội tiếp I và J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB; D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C; A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng với A, B, C qua O;

d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

e) Chứng minh O là trực tâm tam giác MNP

f) Chứng minh các điểm M, N, P, D, E, F và trung điểm của các đoạn HA,

HB, HC cùng thuộc một đường tròn

g) Chứng minh K là trung điểm

cung BC, các tam giác KBI và KCI cân

h) K là trung điểm của IJ

M là trung điểm BC, suy ra M là trung

điểm của HA’

và OH 3OGuuur= uuur⇒OH 3OG=

b) ·HBC HAC= · (cùng phụ với góc ·ACB )

1

DBA =HAC(cùng chắn cung A C ), suy ra ·1 HBC DBA= · 1⇒tam giác HBA 1cân tại H, suy ra H, A đối xứng với nhau qua BC.1

Tương tự, B đối xứng với H qua AC và 1 C đối xứng với H qua AB.1

Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB lần lượt đối xứng với đường tròn (O) qua BC, CA, AB

c) Cách 1: Dựng tiếp tuyến At của đường tròn (O)

Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ·FBC FEA= · ⇒FEA EAt· =· ⇒EF AtP ⇒EF OA⊥

EF là đường trung bình của tam giác B HC1 1⇒B C1 1⊥OA

Cách 2: Tứ giác BHCA’ là hình bình hành suy ra M là trung điểm HA’

Gọi Q là trung điểm AH, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm Q Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M, suy ra QM⊥EF⇒OA⊥EF

1 1

OA B C

d) ·ABE ACF= · (cùng phụ với góc ·BAC )

Hai tứ giác BDHF và CDHE nội tiếp, suy

ra ·FDH FBH;EDH ECH=· · =·

FDH EDH

⇒ = hay DH là phân giác

trong góc ·EDF , tương tự suy ra H là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác DEF

e) OM⊥BC,OP AB⊥ suy ra O là trực

tâm của tam giác MNP

f) Giả sử D nằm giữa B và M DM PN, DP MN 1AB,

g) Do AK là phân giác trong góc ·BAC , suy

ra K là trung điểm cung BC

Gọi S là giao điểm thứ hai của đường thẳng

BI với đường tròn (O)

Do S là trung điểm cung AC và K là trung

điểm cung BC, suy ra ·BIK KBI= · hay tam

giác BKI cân tại K Tương tự ta có tam giác

KIC cân tại K

h) Do IB JB,IC JC⊥ ⊥ suy ra tứ giác BICJ

nội tiếp đường tròn đường kính IJ, K là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC, suy ra K

là trung điểm IJ

Bài 1.1.2 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm trên cạnh AB (khác A và

B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DM Chứng minh

AH CH⊥

Giải:

Do ·BHD 90= o ⇒H thuộc đường tròn đường

kính DB Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp

hình chữ nhật ABCD Suy ra H thuộc đường tròn

đường kính AC hay ·AHC 90= o ⇒AH CH⊥

Bài 1.1.3 Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của BC Gọi H là hình

chiếu vuông góc của D trên AC, N là trung điểm đoạn AH Chứng minh

E là trực tâm của tam giác NDC, ta có CE⊥DN suy ra MN DN⊥

Cách 2: Ta có: 2MN BA CH,2DN DA DHuuuur uuur uuur uuur uuur uuur= + = +

Suy ra 4MN.DNuuuur uuur=(BA CH DA DHuuur uuur uuur uuur+ )( + ) =CH.DA CD.DHuuur uuur uuur uuur+

2

Bài 1.1.4 Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC Gọi H là hình

chiếu vuông góc của D trên cạnh AC, M là trung điểm của HD Chứng minh

Bài 1.1.5 Cho hình vuông ABCD có M, N

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD

AM BN

Bài 1.1.6 Cho hình vuông ABCD tâm I, M là điểm đối xứng với D qua C Gọi

H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D trên AM Chứng minh IK / /BH

và D, K đối xứng qua đường

thẳng HI

Giải:

Do ·AHC 90= o suy ra năm

điểm A, B, H, C, D cùng

thuộc một đường tròn tâm I

nên ·AHB ADB 45=· = o và

Bài 1.1.7 Cho tam giác ABC nhọn, dựng

ra bên ngoài tam giác ABC các tam giác

MAB và NAC vuông cân tại A Gọi I là

trung điểm của BC Chứng minh AI MN⊥

suy ra ∆ΑCD= ∆NAM⇒MNA DAC· = ·

Gọi H là giao điểm của AI và MN

Do

HAN DAC 90+ = ⇒MNA HAN 90+ = ⇒AI MN⊥

Cách 2: Ta có: ·MAC NAB,2AI AB AC,MN AN AM= · uur uuur uuur uuuur uuur uuuur= + = −

2AI.MNuur uuuur= AB AC AN AMuuur uuur uuur uuuur+ − =AB.AN AC.AMuuur uuur uuur uuuur−

· ·AB.AN.cos NAB AC.AM.cos MAC 0 AI MN

Bài 1.1.8 Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm bên ngoài (O) Dựng các

tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm), C là điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến của (O) tại C cắt đường thẳng AB tại E Chứng minh

Bài 1.1.9 Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu vuông góc của B trên AC

Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho

BE AC= Chứng minh ·ADE 45= o

Giải:

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của E

lên các đường thẳng AB, DC

Ta có: ·EBK ABH ACB= · =· ⇒BEK ABC· =· và

BE AC= ,

suy ra ABC∆ = ∆EKB

⇒ = = = ⇒ là hình vuông Suy ra tam giác DIE

vuông cân tại I

· o · o

Bài 1.1.10 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh

BC) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh HM⊥AK

Giải:

Do tam giác ABD cân tại A và H là trung điểm

của BD, ta có ·KDC BDA ABD=· =·

a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp

Bài 1.2.2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa

đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K

a) Chứng minh rằng từ giá EFMK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng AI2 =IM.IB

c) Chứng minh BAF là tam giác cân

d) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thang cân.

e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn

Bài 1.2.3 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB AC> ) , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại

E Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F

a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp được

b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh rằng AE.AB=AF.AC

d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

Bài 1.2.4 Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng

đường tròn tâm O có hán kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn O tại D Đường thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại S

a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp được

b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc ·SCB

c) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn tâm O Chứng minh ằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng qui

d) Chưng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE

Bài 1.2.5 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B

Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE lân lượt cắt đường tròn đường kính BD tại F, G Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC đồng dạng tam giác EBD

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp

c) AC FGP .

d) Các đường thẳng AC, DE, FB đồng qui

Bài 1.2.6 Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M

bất kì (M không trùng với B, C) Từ M kẻ MP, MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB, AC

a) Chứng minh tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) Chứng minh rằng MP MQ AH+ =

c) Chứng minh OH⊥PQ

Bài 1.2.7 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H

bất kì (H không trùng O); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn Đường thẳng MA và MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D Gọi I là giao điểm của AD và BC

a) Chứng minh tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I

c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH

là tứ giác nội tiếp

Bài 1.2.8 Cho đường tròn ( )O đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tùy ý (B khác O và C) Gọi M là trung điểm của đoạn AB Qua M kẻ dây cung

DE vuông góc với AB Nối CD, kẻ BI vuông góc với CD

a) Chứng minh rằng tứ giác BMDI là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ADBE là hình thoi

c) Chứng minh BI ADP .

d) Chứng minh I, E, B thẳng hàng

Bài 1.2.9 Cho tam giác ABC vuông ở A Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các

hình vuông ABHK, ACDE

Bài 1.2.10 Cho tam giác ABC nhọn có ·ABC 45= o Vẽ đường tròn đường kính

AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E

a) Chứng minh AE EB=

b) Gọi H là giao điểm của CD và AE Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH.

c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE

Bài 1.2.11 Trong hình chữ nhật ABCD điểm M là trung điểm của cạnh AD, N

là trung điểm của đoạn thẳng BC Trên phần kéo dài của đoạn thẳng CD về phía

D lấy điểm P Giao điểm của các đường thẳng PM và AC là Q Chứng minh rằng ·QNM MNP=·

Bài 1.2.12 Trên các cạnh BC và CD của hình bình hành ABCD dựng về phía

ngoài các tam giác đều BCK và DCL Chứng minh rằng tam giác AKL đều

Bài 1.2.13 Trên các cạnh góc vuông CA và CB của tam giác vuông cân ABC

lấy các điểm D và E sao cho CD CE= Phần kéo dài của các đường thẳng vuông góc hạ từ các điểm D và C xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyền AB tương ứng tại các điểm K và L Chứng minh rằng KL LB=

Bài 1.2.14 Bên trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho ·PAC PBC= · Từ điểm

P xuống các BC và CA hạ các đường vuông góc PM và PK tương ứng Giả sử D

là trung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng DK AM.BN=

Bài 1.2.15 Cho hình bình hành ABCD với góc ở đỉnh A nhọn Trên các tia AB

và CB lấy các điểm H và K tương ứng sao cho CH BC= và AK AB= Chứng minh rằng:

a) DH DK=

b) ∆DKH∽ ∆ABK.

Bài 1.2.16 Qua một điểm P bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC kẻ các

đường thẳng song song với các trung tuyến AK và CL, cắt các cạnh BC và AB tại E và F tương ứng Chứng minh rằng các trung tuyến AK và CL chia đoạn thẳng EF thành ba đoạn bằng nhau

Bài 1.2.17 Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm M và K Qua M và K kẻ các

đường thẳng AB và CD tương ứng, cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm A và C, cắt đường tròn thứ hai tại các điểm B và D Chứng minh rằng AC BDP .

Bài 1.2.18 Từ Một điểm M bất kì nằm trong góc đỉnh A cho trước hạ các đường

vuông góc MP và MQ xuống các cạnh của góc Từ điểm A hạ đường vuông góc

AK xuống đoạn thẳng PQ Chứng minh rằng ·PAK MAQ= ·

Bài 1.2.19 Đường tròn nội tiếp xúc với các cạnh AB và AC của tam giác ABC

tại các điểm M và N Giả sử P là giao điểm của đường thẳng MN và đường phân giác góc B (hay kéo dài của nó) Chứng minh rằng ·BPC vuông

Bài 1.2.20 Cho tam giác cân ABC tại B và góc ở đỉnh B là góc nhọn CD là

đường phân giác của góc C Qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc với CD Đường thẳng này cắt phân kéo dài của cạnh đáy AC tại điểm E Chứng minh

1

2

Bài 1.2.21 Cho tam giác vuông ABC kẻ đường cao Ck từ đỉnh của góc vuông C

và trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE Chứng minh rằng CB BE=

Bài 1.2.22 Trong tam giác vuông ABC kẻ đường cao CK từ đỉnh của góc vuông

C, còn trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE, D là trung điểm của đoạn thẳng AC, F là giao điểm của các đường thẳng DE và CK Chứng minh rằng

BF CEP .

Bài 1.2.23 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Lấy điểm D thuộc

cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của HA sao cho AD HE 1

AC =HA =3 Chứng minh rằng ·BED 90= o

Bài 1.2.24 Cho D thuộc trung tuyến AM của tamm giác ABC BD cắt AC tại H,

CD cắt AB tại K Chứng minh rằng HK BCP .

Bài 1.2.25 Cho tam giác đều ABC Trên các cạnh AB, BC lần lượt láy các điểm

D, E sao cho BD BE= Gọi E là trọng tâm của tam giác DBE, K là trung điểm của đoạn thẳng AE Tính MG

MC.

Bài 1.2.26 Cho hình vuông ABCD tâm E Gọi M là trung điểm của AB Trên

các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm G, H sao cho MG và AH song song với nhau Tính góc ·GEH

Bài 1.2.27 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK Gọi D

và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên các đường thẳng HK Chứng minh rằng DK EH=

Bài 1.2.28 Cho hình thang ABCD Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh A

và D cắt nhau tại H Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở

K Chứng minh rằng HK DCP .

Bài 1.2.29 Cho hình thang ABCD ( AB CDP , AD khác BC) Gọi E, F lần lượt

là trung điểm của các đường chéo nhau BD, AC và G là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC Chứng minh rằng GD GC=

Bài 1.2.30 Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhỏ Độ dài dường cao BH

bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD Chứng minh rằng

BD AC⊥

Bài 1.2.31 Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB, AH là đường cao (H thuộc

DC), E là trung điểm của cạnh bên BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và DE, gọi I là giao điểm của Dm và AN Chứng minh rằng

2

3

Bài 1.2.32 Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối

của tia CA lấy điểm E sao cho DB CE= , BC cắt DE tại F Chứng minh rằng F

là trung điểm của đoạn thẳng DE

Bài 1.2.33 Cho hình bình hành ABCD, các phân giác góc µ µA,D cắt nhau tại M, các phân giác góc µ µB,C cắt nhau tại N Chứng minh rằng MN ABP .

Bài 1.2.34 Cho tam giác ABC cân đỉnh A Từ một điểm D trên cạnh đáy BC vẽ

đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và

F Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn GH

Bài 1.2.35 Cho hình chữ nhật ABCD (AB BC> ) Các phân giác trong của các góc A, D cắt nhau tại M, các phân giác trong của góc B, C cắt nhau tại N Chứng minh tứ giác DMNC là hình thang cân

Bài 1.2.36 Cho hình chữ nhật BACD (AB BC> ) Lấy điểm E trên cạnh AD, lấy các điểm F, K trên cạnh CD, sao cho DF CK= (F nằm giữa D và H) Vẽ đường thẳng vuông góc với EK tại K, cắt BC tại M Chứng minh rằng ·EFM 90= o

Bài 1.2.37 Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vuông góc với AC (H thuộc AC)

Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE AC= Chứng minh rằng

ADE 45=

Bài 1.2.38 Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD, M là điểm bất

kì trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, ID cắt EF tại K Chứng minh rằng ba điểm M,

H, K thẳng hàng

Bài 1.2.39 Cho tam giác ABC Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông

ABDE, ACFG Chứng minh rằng đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm M cảu đoạn thẳng EG

Bài 1.2.40 Cho tam giác ABC có gó A nhọn Về phía ngoài của tam giác ABC

dưng các hình vuông ABDE, ACFG Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DF Chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân đỉnh M

CHƯƠNG 2 VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG.

2.1 MỘT SỐ VÍ DỤ

Để giải được các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, trước tiên học sinh cần phải nắm được các tính chất hình học phẳng, biết cách chứng minh các tính chất hình học phẳng như chứng minh vuông góc, song song, tam giác đồng dạng, tính số đo góc… Trong phần này tôi xin đưa ra một số ví dụ để thấy thấy rõ được tầm quan trọng của việc cần phải nắm chắc các tính chất hình học phẳng để giải các bài toán hình giải tích trong mặt phẳng

Bài 2.1.1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E, H lần

lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD Biết điểm D 1; 1(− − ) , đường thẳng IG có phương trình 6x 3y 7 0− − = và điểm E có hoành độ bằng 1

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc

năm học 2015-2016).

Trong ví dụ này, để giải được thì điều quan trọng nhất là học sinh cần phải chứng minh được DE CE, DE IG⊥ P Chính vì vậy tôi xin đưa ra một số cách để chứng minh như sau: