Toán bồi dưỡng HS lớp 5; các bài toán về chia hết

Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Dấu hiệu chia hết : - Chia hết cho 2: Chữ số tận chữ số: 0;2;4;6;8 - Chia hết cho 3: Tổng chữ số chia hết cho - Chia hết cho 4: chữ số tận tạo thành số chia hết cho - Chia hết cho 5: Chữ số tận chữ số: 0; - Chia hết cho 6: Vừa chia hết cho đồng thời vừa chia hết cho - Chia hết cho 7: Hiệu số tạo chữ số đứng trước số tận với lần chữ số tận chia hết cho ( làm nhiều lần chắn chia hêt cho 7) - Chia hết cho 8: chữ số tận tạo thành số chia hết cho - Chia hết cho 9: Tổng chữ số chia hết cho - Chia hết cho 11: Hiệu tổng chữ số hàng chẵn với tổng chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 - Chia hết cho 13: Tổng số tạo chữ số đứng trước số tận với lần chữ số tận chia hết cho 13 ( làm nhiều lần chắn chia hêt cho 13) - Chia hết cho 14: Kết hợp dấu hiệu chia hết cho dấu hiệu chia hết cho - Chia hết cho 15: Kết hợp dấu hiệu chia hết cho dấu hiệu chia hết cho Phép chia có dư - Nếu A chia cho dư chữ số tận A phải 1, 3, 5, - Nếu A chia cho dư chữ số tận A phải Tương tự trường hợp dư chữ số tận phải 7; dư tận 8; dư tận phải - Nếu A B có số dư chia cho hiệu chúng chia hết cho Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, - Nếu A chia cho B dư B – A + chia hết cho B - Nếu A chia cho B dư r (r < B ) A + ( B – r ) chia hết cho B - Nếu A chia cho B dư r (r < B) A – r chia hết cho B - Nếu A B chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, ) tổng A + B chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, 9) Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp - Nếu A B chia hết cho ( 3, 4, 5, 9) hiệu A - B chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, 9) - Nếu số hạng chia cho (hoặc 3, 4, 5, 9) dư r số hạng lại chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, 9) tổng chúng chia cho (hoặc 3, 4, 5, 9) dư r - Hiệu số chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, 9) số không chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, 9) số không chia hết cho (hoặc 3, 4, 5, ) Tính chất chia hết tổng hiệu - Nếu số hạng tổng chia hết cho tổng chúng chia hết cho - Nếu SBT ST chia hết cho hiệu chúng chia hết cho - Một số hạng không chia hết cho 2, số hạng lại chia hết cho tổng khơng chia hết cho - Hiệu số chia hết cho số không chia hết cho số khơng chia hết cho (Tính chất tương tự trường hợp chia hết khác) II BÀI TẬP THỰC HÀNH Dạng Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Bài : Cho chữ số 0, 4, 5, Viết tất số có chữ số khác : a Chia hết cho b Chia hết cho c Chia hết cho Giải : a Các số chia hết cho có tận Mặt khác số có chữ số khác nhau, nên số thiết lập 540; 504 940; 904 450; 954 950; 594 490 590 b Ta có số có chữ số chia hết cho viết từ chữ số cho : 540; 504; 940; 904 c Số chia hết cho phải có tận Vậy số cần tìm 540; 450;490; 940; 950; 590 Bài 2: Với chữ số 1, 2, 3, 4, ta lập số có chữ số chia hết cho 5? Giải: Một số chia hết cho tận Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Với số 1, 2, 3, 4, ta viết x x = 64 số có chữ số Vậy với số 1, 2, 3, 4, ta viết 64 số có chữ số (Có tận 5) Dạng2 Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết Bài : Thay a, b số 2007ab chữ số thích hợp để số đồng thời chia hết cho 2; Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho nên b = Thay b = vào số 2007ab ta 2007a0 Số chia hết tổng chữ số chia hết cho Vậy (2 + + + + a + 0) chia hết cho hay + a chia hết cho 9, suy a = a = Vậy ta tìm số thoả mãn toán 200700; 200790 Bài 4: Cho A = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để A chia cho ; dư Giải : - Vì A chia cho ; dư nên A - chia hết cho ; - Vậy chữ số tận A - phải 0, suy y = - Vì A - chia hết (x + + + + 0) chia hết cho hay x + 18 chia hết cho Do 18 chia hết x chia hết cho 9, x chữ số hàng cao nên x khác Từ x - Thay x = ; y = vào A ta số 94591 Dạng Các tốn vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu Bài 5: Không làm phép tính xét xem tổng hiệu có chia hết cho hay không a) 459 + 690 + 236 b) 454 - 374 Giải : a) 459, 690, 236 số chia hết 459 + 690 + 236 chia hết cho b) 454 chia hết cho 374 không chia hết 454 - 374 không chia hết cho Bài 6: Tổng kết năm học 2001- 2002 trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến 195 học sinh xuất sắc Nhà trường dự định thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều học sinh tiên tiến em Cơ văn thư tính phải mua 1996 vừa đủ phát thưởng Hỏi văn thư tính hay sai ? sao? Giải : Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Ta thấy số HS tiên tiến số HS xuất sắc số chia hết cho số thưởng cho loại HS phải số chia hết cho Suy tổng số phát thưởng số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho > Vậy cô văn thư tính sai Dạng Tìm số phép chia có dư Bài : Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1, chia cho dư ; chia cho dư chia cho dư Giải : - Gọi số cần tìm A Vì A chia cho dư A chia cho dư nên A + đồng thời chia hết cho 2, 3, - Vì A + chia hết cho nên chữ số tận A + Hiển nhiên A +1 khơng thể có chữ số Nếu A + có chữ số có dạng x0 - Vì x0 chia hết x ; ; ta có số 30 ; 60 ; 90 Trong số có 60 chia hết cho Vậy A +1 = 60 A = 60 - A = 59 Do số cần tìm 59 Dạng Chứng tỏ số biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) số Bài : Cho số tự nhiên A Người ta đổi chỗ chữ số A để số B gấp lần số A Chứng tỏ số B chia hết cho 27 Giải: Theo ta có: B = x A (1), suy B chia hết cho 3, tổng chữ số số A số B (vì người ta đổi chỗ chữ số) nên ta có A chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy B chia hết cho Nếu A chia hết cho (vì tổng chữ số chúng nhau) (3) Từ (1) và(3), suy B chia hết cho 27 Dạng Các toán thay chữ số Bài : Điền chữ số thích hợp (các chữ khác thay chữ số khác nhau) HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006 Giải: Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = x HALONG Như vế trái số chia hết cho Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + + + + 6) = x T + + = x (T + 2) + không chia hết cho 3, suy TTT2006 không chia hết cho Điều chứng tỏ tìm chữ số thoả mãn tốn Bài 10: Chứng minh thay chữ chữ số để có phép tính : Giải: Ta thấy số = 2004 có tổng chữ số nên số có số dư chia cho 9, hiệu hai số chắn chia hết cho Mà 2004 khơng chia hết cho 9, hiệu hai số khơng thể 2004 Nói cách khác ta thay chữ chữ số để có phép tính Dạng Vận dụng tính chất chia hết chia cịn dư để giải tốn có lời văn Bài 11: Tổng số HS khối trường tiểu học số có chữ số chữ số hàng trăm Nếu xếp hàng 10 hàng 12 dư 8, mà xếp hàng khơng cịn dư Tính số HS khối cuỉa trường Giải : Theo đề số HS khối có dạng 3ab Các em xếp hàng 10 dư b = Thay vào ta số 3a8 Mặt khác, em xếp hàng 12 dư nên 3a8 - = 3a0 phải chia hết cho 12 Suy 3a0 chi hết cho suy a = 0, 3, Ta có số 330; 390 khơng chia hết cho 12 số HS khối 308 368 em số 308 không chia hết cho số HS khối trường 368 em Bài 12 : Hai bạn An Khang mua 18 gói bánh 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan An đưa cho cô bán hàng tờ tờ 50 000 đồng trả lại 72 000đồng Khang nói: "Cơ tính sai rồi" Bạn cho biết Khang nói hay sai ? Giải thích ? Giải: Vì số 18 số 12 chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo phải số chia hết cho Vì An đưa cho bán hàng tờ 50 000đồng trả lại 72 000đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh 12 gói kẹo là: x 50 000 - 72 000 = 128 000 (đồng) Vì số 128 000 khơng chia hết cho 3, nên bạn Khang nói "Cơ tính sai rồi" Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Dạng Các tốn hình học Bài 13 : Có 10 mẩu que dài: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, , 8cm, 9cm, 10cm Hỏi dùng 10 mẩu que để xếp thành hình tam giác khơng? Giải: Một hình tam giác có cạnh (a) số tự nhiên chu vi (P) hình phải số chia hết cho P = a x Tổng độ dài 10 mẩu que là: + + + + + + + + + 10 = 55 (cm) Vì 55 số khơng chia hết khơng thể xếp 10 mẩu que thành hình tam giác Dạng 10 Trị chơi - Tốn vui Bài 14 : Khi hỏi: "Số có bốn chữ số mà ta đọc theo thứ tự từ phải sang trái tăng lên lần ? " Một học sinh giỏi toán trả lời tức khắc Bạn đoán xem bạn trả lời ? Giải: Bạn trả lời là: "Khơng có số vậy" Ta giải thích điều sau: Giả sử số phải tìm x, theo ta có: x : = a Suy a a trở lên x cho số có chữ số Mặt khác, tích a x số chẵn, tức a phải chẵn Mâu thuẫn chứng tỏ khơng tồn số thoả mãn tốn (Kết luận khơng với số có chữ số mà với số có chữ số tuỳ ý) III BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài Cho chữ số: ; 2; 3; Hãy lập tất số có chữ số khác nhau: a Chia hết cho b Chia hết cho c Chia hết cho Giải : a/ Các số chia hết cho có tận số chẵn, Vậy với chữ số cho ta chọn chữ số chữ số làm hàng đơn vị - Nếu chọn chữ số làm hàng đơn vị ta chữ số chọn làm hàng trăm (2,3,5) Với chữ số hàng trăm chọn ta chữ số chọn làm hàng chục Vậy với chữ số làm hàng trăm ta lập được: x x = (số có chữ số khác chia hết cho 2) Các số là: 230 ; 250; 320; 350; 520; 530 - Nếu chọn chữ số làm hàng đơn vị ta chữ số chọn làm hàng trăm (3 5) Với chữ số chọn làm hàng trăm ta hai chữ số chọn làm hàng chục Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Ta lập : x = (số có chữ số khác chia hết cho 2) Các số là: 302, 502, 352, 532 Vậy ta lập tất 10 số có chữ số khác chia hết cho từ chữ số 0,2,3,5 b/ Các số chia hết cho có tận Với chữ số cho, nếu: - Ta chọn chữ số làm hàng đơn vị Còn lại chữ số chọn làm hàng trăm (2 3) Với chữ số hàng trăm chọn ta chữ số chọn làm hàng chục Vậy ta lập được: x x = (số có ba chữ số khác chia hết cho 5) Các số là: 205, 305, 235, 325 - Ta chọn chữ số làm hàng đơn vị Còn lại chữ số chọn làm hàng trăm (2, 3và 5) Với chữ số hàng trăm chọn ta chữ số chọn làm hàng chục Vậy ta lập được: x x = (số có ba chữ số khác chia hết cho 5) Các số là: 230, 250, 320, 350, 520, 530 Vậy ta lập tất : + = 10 (số có ba chữ số khác chia hết cho 5) c/ Các số chia hết cho phải có tận Vậy với chữ số cho ta có cách chọn chữ số làm hàng đơn vị Cịn lại chữ số ta có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục Vậy ta lập được: x x = (số có ba chữ số khác chia hết cho 5) Các số là: : 230, 250, 320, 350, 520, 530 Bài : Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1, cho dư 2, cho dư 3, cho dư 4, cho dư 5, cho dư Giải : Gọi số phải tìm a a + chia hết cho 2, 3, 4, 5, a + có tận chữ số a + khơng số có chữ số Nếu a + có chữ số a + tận chữ số lại chia hết a + = 70 (loại 70 không chia hết cho 3) Trường hợp a + có chữ số có dạng xy0 Số xy0 chia hết y phải 0, 2, 4, Số xy0 chia hết xy 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 98 Số xy0 chia hết cho x + y + chia hết cho Kết hợp điều kiện a + = 420 a = 419 Đáp số : 419 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Bài : Cho số gồm bốn chữ số có chữ số hàng trăm chữ số hàng chục Tìm số cho biết số chia hết cho 27 Giải: Gọi số phải tìm (a khác ; a ; b 0) chia số a cho dư 1, cho dư 2, cho dư 3, cho dư 4, cho dư 5, cho dư Vậy a + chia hết cho 2, 3, 4, 5, - Vì a + chia hét cho nên a + có tận chữ số - a + số có chữ số + Nếu a + có chữ số a + có dạng a0 - Vì a0 chia hết a + = 70 mà 70 không chia hết loại + Nếu a + có chữ số có dạng xy0 - Số xy0 chia hết y phải 0, 2, 4, - Số xy0 chia hết xy 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 98 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp - Số xy0 chia hết cho x + y + chia hết cho Kết hợp điều kiện a + = 420 a = 419 Đáp số : 419 Bài 6: Một cửa hàng có rổ đựng cam quýt (trong rổ đựng loại quả) Số rổ 104, 115, 132, 136, 148 Sau bán rổ cam, người bán hàng thấy số quýt lại gấp lần số cam Hỏi cửa hàng có loại ? Giải: Tổng số Cam quýt cửa hàng là: 104 + 115 + 132 + 136 + 148 = 635 ( quả) Số quýt lại gấp lần số cam số cam quýt lại phải chia hết cho Tổng số 635 cam quýt cửa hàng số chia hết cho 5, số cam bán phải chia hết cho Trong số rổ cam quýt cửa hàng có rổ đựng 115 chia hết cho 5, hàng bán rổ đựng 115 cam Số cam lại phần (1/5) số chưa bán Mặt khác: ( 104 + 132 + 136 + 148 ) : = 104 (quả) Trong rổ cịn lại có rổ đựng 104 có số phần (1/5) số lại Vậy theo đề rổ đựng 104 rổ cam rổ đựng 132, 136, 148 rổ quýt Số cam của hàng là: 104 + 115 = 219 (quả) Số quýt cửa hàng là: 132 + 136 + 148 = 416 (quả) Đáp số: cam: 219 quả; quýt: 416 Bài 7: Một cửa hàng có túi xà phòng gồm : túi 15kg, túi 16kg, túi 18kg, túi 19kg, túi 20kg túi 31kg, bán ngày túi Biết khối lượng xà phịng buổi sáng bán: gấp đơi buổi chiều Hỏi cửa hàng lại túi xà phòng ? Giải Khối lượng túi xà phòng cửa hàng là: 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 31 = 119 (kg) Vì khối lượng xà phịng bán buổi sáng gấp đôi khối lượng bán buổi chiều nên khối lượng xà phòng bán số chia hết cho Tổng 119 số chia cho dư 2, số xà phòng bán số chia hết số xà phòng lại số chia dư Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Trong số túi có 20 số chia dư Vậy túi xà phòng lại 20kg Đáp số: 20kg Bài 8: Có số sách, xếp gói 10 thiếu quyển, xếp gói tá thừa Tính số sách đó, biết số sách lớn 360 nhỏ 400 Giải: Khi xếp gói 10 thiếu có nghĩa số sách chia cho 10 dư Khi xếp gói tá (12 quyển) thừa quyển, nghĩa số sách chia cho 12 dư Vậy số sách số chia cho 10 12 dư Nếu bớt số sách cịn lại chia hết cho 10 12 Số sách lại khoảng từ (360 - 8) đến (400 - 8) Trong khoảng (từ 352 đến 392) có số chục 360, 370, 380, 390 mà có 360 chia hết cho 12 Vậy số sách : 360 + = 368 (quyển) Đáp số: 368 sách Bài 9: Có tờ giấy Lan xé mảnh làm 5, lại lấy số mảnh, xé tiếp mảnh làm 5, vậy…khi ngừng xé theo quy luật Lan đếm 49 mảnh thảy Hỏi Lan đếm hay sai? Giải thích sao? Giải: Khi xé mảnh làm số mảnh tăng thêm Khi xé số mảnh làm số mảnh tăng lên số chia hết cho Số mảnh ban đầu nên số mảnh thu sau lần xé số chia cho dư 3, mà 49 chia cho dư nên không xé số mảnh Nên Lan đếm sai Bài 10: Tổng số học sinh khối Bốn trường tiểu học số bé Nếu xếp hàng ba số hàng thừa em, xếp hàng bốn số hàng thừa em, xếp hàng năm số hàng thừa em, xếp hàng sáu số hàng thừa em Tính số học sinh khối Bốn trường Giải: Gọi số học sinh khối Bốn trường A Theo ta có: A : dư (A + 2) chia hết cho A : dư (A + 2) chia hết cho 10 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp A : dư (A + 2) chia hết cho A : dư ( A + 2) chia hết cho Vậy ( A+ 2) chia hết cho 3, 4, 5, Số bé chia hết cho 3, 4, 5, 60 Số học sinh khối Bốn trường 60 – = 58 (em) Đáp số: 58 em Bài 11: Lớp 4A xếp hàng hai số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba hay hàng bốn số hàng không thừa bạn Nếu cộng tổng hàng xếp 39 hàng Hỏi lớp 4A có bạn? Giải: Theo số học sinh lớp 4A phải số chia hết cho 2, 3, Số nhỏ chia hết cho 2, 3, 12 12 chia cho 6, chia cho 4, chia cho Mà: + + = 13 39 so với 13 gấp 39 : 13 = (lần) Vậy số học sinh lớp 4A là: 12 x = 36 ( học sinh) Đáp số: 36 học sinh Bài 12 : Một người mang chợ giỏ táo gồm hai loại Số táo giỏ : 20 ; 25 ; 30 ; 35 40 Mỗi giỏ đựng loại táo Sau bán hết giỏ táo đó, người thấy : Số táo loại lại nửa số táo loại Hỏi số táo loại lại ? Giải : Số táo người mang chợ : 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150 (quả) Vì số táo loại lại nửa số táo loại nên sau bán, số táo lại phải chia hết cho Vì tổng số táo mang chợ 150 chia hết số táo bán phải chia hết cho Trong số 20, 25, 30, 35, 40 có 30 chia hết cho Do người bán giỏ táo đựng 30 Tổng số táo lại : 150 - 30 = 120 (quả) Ta có sơ đồ biểu diễn số táo loại loại lại : Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân 11 Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Số táo loại lại : 120 : (2 + 1) = 40 (quả) Vậy người lại giỏ đựng 40 số táo loại lại Đáp số : 40 Bài 3:Thay x y vào 1996 xy để số chia hết cho 2, 5, Giải : Số phải tìm chia hết cho y phải Số phải tìm chia hết y phải số chẵn Từ suy y = Số phải tìm có dạng 1996 ì Số phải tìm chia hết cho (1 +9 + 9+ + x )chia hết cho hay (25 + x) chia hết cho Suy x = Số phải tìm : 199620 Bài 4: Cho n = a 378 b số tự nhiên có chữ số khác Tìm tất chữ số a b để thay vào ta dược số n chia hết cho Giải : - n chia hết cho 8b phải chia hết cho Vậy b = 0, - n có chữ số khác nên b = - Thay b = n = a3780 12 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp + Số a3780 chia hết cho a = 3, + Số n có chữ số khác nên a = Ta số 63 780 930780 thoả mãn điều kiện đề - Thay b = n = a3784 + Số a3784 chia hết cho a = 2, + Số n có chữ số khác nên a = Ta số 23784 53 784 thoả mãn điều kiện đề Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784 Dạng Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Ví dụ : Một số nhân với kết 180 648 07a Hãy tìm số Giải: Một số nhân với kết 180 648 07a nên số 180 648 07a chia hết cho Vì số 180 648 07a chia hết (1 + + + + + + + + a) chia hết cho 9, hay 34 + a chia hết cho 9, suy a = Thay a = vào số 180 648 07a ta 180 648 072 Số cần tìm là: 180 648 072 : = 20072008 Bài 139 : Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư 1, chia cho dư 1, chia cho dư chia hết cho Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân 13 Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Bài giải : Vì a chia cho dư nên a số lẻ Vì a chia cho dư nên a có tận Do a phải có tận - Nếu a số có hai chữ số a chia hết a = 81, loại 81 : = 11 dư (trái với điều kiện đề bài) - Nếu a số có ba chữ số để a nhỏ chữ số hàng trăm phải Khi để a chia hết cho theo dấu hiệu chia hết cho ta có chữ số hàng chục phi (để + + = 9) Vì 171 : = 24 dư nên a = 171 Vậy số phải tìm nhỏ thỏa mãn điều kiện đề 171 - Xác định x, y để phân số x 23y số tự nhiên 45 Bài 2: Tìm số tự nhiên có dạng 25b Hớng dẫn HS: + Những số nh chia hÕt cho 6? ( võa chia hÕt cho võa chia hÕt cho2) + Nh÷ng sè nh thÕ chia hết cho 2? ( có tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; 8) + VËy b số nào? ( 0; 2; 4; 6; 8) + Nh÷ng sè nh thÕ chia hết cho 3? ( có tổng chữ số chia hết cho 3) Bài giải Vì 25b nên 25b * 25b 2 => b=0; 2; 4; 6; * 25b 3 => (2+5+b) = (7+b) 3 => b= hc b=8 14 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Toán bi dng hc sinh Gii lp Vậy ta đợc số cần tìm thoả mÃn điều kiện toán : 252 258 Các toán chia hết chia có d Bài 4: Tìm số tự nhiên từ đến 20 cho lấy số chia cho th× d 2, chia cho th× d Hớng dẫn HS Cách 1: Yêu cầu học sinh nhẩm tìm kết ( Các số thoả mÃn điều kiện toán là: 5; 11; 17) Cách 2:+ Gọi số tự nhiên cần tìm a a thoả mÃn điều kiện nào? ( < a < 20; a chia cho d 2, chia cho d 1) + a chia cho d a cộng thêm chia hÕt cho 3? ( .1) + a chia cho d a cộng thêm chia hÕt cho 2? ( .1) + Nh vËy (a + 1) chia hết cho hay (a + 1) chia hÕt cho mÊy? ( 6) Bài giải Gọi STN cần tìm a ( < a < 20) Theo đề ta cã: a : d => ( a + 1) 3 (a+1) 6 a : d => ( a + 1)(a2+ 1) 6 hay a + = Ta cã b¶ng sau: k a+ 12 18 24 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân 15 Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp a 11 17 23(lo¹i ) Vậy số cần tìm : 5; 11; 17 thoả mÃn điều kiện toán Bài 5: Tìm số tự nhiên từ đến 50 cho chia số cho d 2, chia cho th× d Híng dÉn HS + Gäi sè tù nhiên cần tìm a a thoả mÃn ®iỊu kiƯn nµo? ( < a < 50; a chia cho d 2, chia cho d 1) + a chia cho d th× a céng thªm bao nhiªu sÏ chia hÕt cho 5? ( .3) + a chia cho d a cộng thêm chia hết cho 3? ( .2) + Nh vËy a céng thªm chia hết cho 5? • Híng dÉn HS t×m ( a + ?) 3 vµ Ta cã ( a + 3) 5 => (a + + x n ) (35+ x n ) = (2 + x m) (a + 2) 3 => (a + + x m ) Từ HS tìm đợc n = vµ m = 2.=> (a + 8) 3 vµ Bài giải Gọi STN cần tìm a ( < a < 50) Theo đề ta cã: a : d => (a + 3) 5 => (a + + 5)(a+5 8) 15 hay (a + 8)= 15 a : d => (a + 2) 3 => (a + + 6) x 3q Ta cã b¶ng sau q a+ 15 30 45 60 VËy c¸c sè cần tìm là: 7; 22; 37 thoả mÃn điều kiện toán 16 Nguyn Th Thu Hng Tiu hc Ngha Dân Tốn bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Bµi 6: Tìm STN lớn có chữ số cho đem số chia cho d 3, chia cho th× d Híng dÉn HS + Gọi số tự nhiên cần tìm a a thoả mÃn điều kiện nào? ( 100 < a < 999; a chia cho d 3, chia cho d 8) + a chia cho d a cộng thêm chia hÕt cho 5? ( .2) + a chia cho d a cộng thêm chia hÕt cho 9? ( .1) + Nh vËy a cộng thêm chia hết cho 5? * Hớng dẫn HS tìm ( a + ?) 9 vµ Ta cã ( a + 2) 5 => (a + + x n )  ( + x n) = ( + x (a + 1) 9 => (a + + x m )  9m) Từ HS tìm đợc n = m = 4.=> (a + 37) Bài giải Gọi STN cần tìm a ( 110 < a < 999) Theo đề ta có: a : d => (a + 2) 5 => (a + + 35) (a + 37) 45 hay (a + 37)= 45 a : d => (a + 1) 9 => (a + + 36) x9 q V× 100 < a < 999 => ( 100 + 37) ≤ 45 x q ≤ ( 999 + 37) Hay 137 ≤ 45 x q ≤ 137 ≤ 45 x q ≤ ≤ q 1036 1036 ≤ 23 => q lín nhÊt lµ 23 a + 37 = 45 x 23 = 1035 => a = 1035 - 37 = 998 Vậy số cần tìm là: 998 thoả mÃn điều kiện toán Nguyn Th Thu Hng Tiểu học Nghĩa Dân 17 Toán bồi dưỡng học sinh Gii lp Bài 7:Tìm số tự nhiên nhỏ biÕt r»ng chia nã cho 4; 5; 6®Ịu d chia cho không d Cách 1: Hớng dẫn HS + Gọi a số cần tìm a thoả mÃn điều kiện nào? ( a chia cho 4; 5; ®Ịu d vµ chia hÕt cho 7) + a chia cho 4; 5; d nghĩa a bớt ®i mÊy th× chia hÕt cho 4; 5; ? ( 2) +Nh vËy ta cã (a – 2) 4; 5; VËy a sè tù nhiªn nhá 4; 5; Đó số nào? ( .60) + VËy a - = 60 x k, hay a = 60 x k + Theo ®Ị a nên 60 x k + Từ tìm k nhỏ Bài giải Gọi a số cần tìm ( a > 0, a nhá nhÊt) *V× a chia cho 4; 5; d => (a – 2) 4; 5; => (a – 2) 60 => (a – 2) = 60 x k Hay a = 60 x k + * Vì a nên (60 x k + 2) => ( 56 x k + x k + 2) 7 Mµ 56 x k 7 Suy ( x k + 2) 7 => k nhá nhÊt ®Ĩ ( x k + 2) 7 lµ k = Víi k = 3, ta cã a = 60 x + = 182 Sè nhá nhÊt thoả mÃn điều kiện toán 182 Cách2: Hớng dẫn HS + Gọi a số cần tìm a thoả mÃn điều kiện nào? ( a chia cho 4; 5; ®Ịu d vµ chia hÕt cho 7) + a chia cho d nghĩa a cộng với chia hÕt cho 4? ( céng víi 2) + a chia cho d nghÜa lµ a céng víi mÊy th× chia hÕt cho 5? ( céng víi 3) + a chia cho d nghĩa a cộng với chia hết cho 6? ( cộng với 4) Sau làm tơng tự nh 18 Nguyn Th Thu Hng Tiểu học Nghĩa Dân Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lp Bài giải Gọi a số cần tìm ( a > vµ a nhá nhÊt) =>(a + 18) 20 => (a+18) 10 Ta cã: * a : d => (a + 2) 4 => (a + + 16) 4 * a : d => (a + 3) 5 => (a + + 15) 5 * a : d => (a + 4) 6 => (a + + 24) 6 => (a + 28) 42 => (a + 28) * a 7=> (a+28) 7 21 Tõ (1) vµ (2) ta cã: (a + 28)  210 => a + 28 = 210 x k => a = 210 x k 28 a nhỏ nên k nhỏ nhÊt VËy k = 1.Suy a = 210 x 28 =182 Số cần tìm thoả mÃn điều kiện toán 182 Kiểu 2: Dùng dấu hiệu chia hết để điền chữ số cha biết Bài 1: Thay x y số a = 1996xyđể đợc số chia hết cho 2; Hớng dẫn HS + Những số nh chia hết cho 5? ( có tận 0) + Những số nh chia hết cho 9/ ( có tổng chữ số chia hết cho 9) Bài giải Vì a nên a có tận a nên y phải số chẵn Vậy y = Thay y = ta đợc số a = 1996x0 Vì a nªn (1+9+9+6+x+0) 9 hay (25 + x) 9 => x = VËy víi x = 2; y = ta đợc số a = 199620chia hết cho 2; 5và Bài 2: Tìm a, b, c để 579abc chia hết cho 5; Hớng dẫn HS + Số 579abc chia hết cho 5; 7và th× nã chia hÕt cho tÝch cđa 5; Đó số nào? Nguyn Th Thu Hng Tiểu học Nghĩa Dân 19 Toán bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp ( x x = 315) + Tách 579abc thành tổng số ®ã cã mét sè chia hÕt cho 315 Sau đa dạng Bài giải ã Vì 579abc 5; 7; =>579abc 315 => (579000 + abc) 315 => (1838 x 315 + 30 + abc) 315 => (30 + abc) 315 Hay 30 +abc = 315 x q =>abc = 315 x q - 30 Ta cã b¶ng sau; q 30+ 315 630 945 1230 285 600 915 1200(lo¹i abc abc ) Vậy số thoả mÃn điều kiện toán 285; 600; 915 Bài 3: Tìm x, y để N=x459y chia cho 2, đợc số d Cách 1: Hớng dẫn HS + Những số nh chia cho d 1? ( cã tËn cïng lµ 1; 3; 5; 7; 9) + Những số nh chia cho d 1? ( cã tËn cïng 1; 6) + Những số chia cho d có tận mấy? ( 1) + VËy y b»ng mÊy? (y = 1) + Những số nh chia hết cho 9? ( có tổng chữ số chia hết cho 9) + Để x4591 x4591 phải thay đổi nh nào? ( .trừ ®i 1) 20 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân Tốn bồi dưỡng học sinh Giỏi lớp Bµi giải Vì N chia cho d nên y số lẻ y=1 N chia cho d nên y=1 y=6 Ta có: N=x4591 => N-1= x4590 9 => (x+4+5+9+0) = (x+18) 9 => x=9 VËy víi x=9; y=1 x459y chia cho 2; d Cách 2: Hớng dẫn HS + Để x459y + Để N-1 2 và x459y phải thay đổi nh nào? ( .trừ 1) N-1 có tận mÊy? ( ) + §Ĩ N-1 9 (x+4+5+9+0) phải Bài giải Vì N chia cho 2; d Nên ( N-1) 2; =>(N-1)=x4590 Để x4590 (x+4+5+9+0)=(x+18) => x=0 x=9 Vì x459y số có chữ số nên x=9.=> N-1 = 94590 =>N = 94591 VËy víi x=9; y=1 th× N=x459y chia cho 2; d Bài 4: Cho N=a378b số tự nhiên có chữ số khác Tìm tất chữ số a; b để thay vào ta đợc số N chia hết cho Hớng dẫn HS + Những số nh chia hết cho 4? ( có ch÷ sè tËn cïng chia hÕt cho 4) + Vậy b số nào? ( .0; 4; 8) + Những số nh cha hÕt cho 3/ ( cã tỉng c¸c chữ số chia hết cho 3) Bài giải N =>8b Vậy b = 0; hoặc8 Vì N có chữ số khác nên b=0 b=4 • Víi b = th× N = a3780 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân 21 Toán bồi dng hc sinh Gii lp Để a3780 (a+3+7+8+0) 3 hay (a+18) 3 =>a= 0; 3; hc Vì N số có chữ số nên loại trờng hợp a=0 a=3 Vậy a=6, a=9 Ta đợc số 63780 93780 thoả mÃn điều kiện toán ã Với b=4 N =a3789 Để a3784 3 th× (a+3+7+8+4) 3 hay (a+22) 3 => a=2; Vì chữ số N khác nên loại trờng hợp a=8 Vậy a=2 a=5 Ta đợc số 23784 53784 thoả mÃn điều kiện toán Vậy số cần tìm là: 63780; 93780; 23784 và53784 Bài 5: Tìm chữ số a; b; c để N= a7b8c9 1001 Bài giải Cách 1: Ta cã: a7b8c9 = 1001 x k = 1000 x k + k => a7b8c9 - k = 1000 x k  a7b x 1000 + 8c9 - k = 1000 x k ( *) V× a7b x 1000 1000; 1000 x k 1000 => (8c9 - k) 1000 => (8c9 - k) = => k = 8c9 Thay k = 8c9 vào ( * ) ta đợc: a7b x 1000 + (8c9 - 8c9) = 1000 x 8c9  a7b x 1000 = 1000 x 8c9  a7b = 8c9  a = 8; c = 7; b = Cách 2: Vì a7b8c9 :1001 = k ( * ) víi 100 m=8 => k = 879 p=9 Thay k = 879 vµo ( * ) ta đợc: a7b8c9 : 1001 = 879 a7b8c9 = 879 x 1001 = 879879 a=8 => b=9 c=7 VËy víi a = 8; b = 9; c = a7b8c9 1001 Bài 6: Tìm a cho N = 20a20a20a Bài giải Ta có N = 20a20a20a = 20a x 1000000 + 20a x 1000 + 20a x = 20a x ( 1000000 + 1000 + 1) = 20a x 1001001 Vì N Mà 1001001 7 => 20a 7 C¸ch 1: Ta cã: 20a = ( 200 + a) = (196 + + a ) V× 196 7 => (4+a) 7 => a = VËy víi a = ta cã N = 203203203 Cách 2: Đặt tính 20a 6a Để 6a a=3 Vậy với a = ta cã N = 203203203 7 Bµi 7: Trong phép chia có d có số bị chia số tự nhiên có chữ số giống nhau; số chia số tự nhiên có chữ số giống thơng 13 số d khác Nếu xoá chữ số số bị chia số chia đợc thơng 13 nhng số d giảm 100 đơn vị Tìm số bị chia số chia phép chia Nguyn Th Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân 23 Toán bồi dưỡng hc sinh Gii lp Bài giải Gọi số bị chia lµ aaaa; sè chia lµ bbb vµ sè d r theo đề ta có: aaaa = 13 x bbb + r1 aaa = 13 x bb + r2 a000 = 13 x b00 + ( r1 - r2) Mµ r1 - r2 = 100  a000 = 13 x b00 + 100  a0 = 13 x b +  a0 - = 13 x b Vì a0 - có tận nên 13 x b phải có tận VËy b = Víi b = => a0 - = 13 x = 39  a0 = 39 + = 40  a = Thö: 4444 : 333 = 13 d 115 444 : 33 = 13 d 15 115 - 15 = 100 (Đúng) Vậy số bị chia 4444 số chia lµ 333 Dạng Các tốn khác Ví dụ : Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho số tự nhiên khơng có số chia hết cho ta có tổng ba số tổng hai số ba số cho phải chia hết cho Giải: Một số tự nhiên khơng chia hết cho chia cho có số dư - Nếu ba số chia cho có số dư tổng ba số chia hết cho - Nếu ba số chia cho không số dư tổng hai số có số dư khác chia hết cho 24 Nguyễn Thị Thu Hương Tiểu học Nghĩa Dân