Bài tập Math1 cho hệ Việt Nhật

MathI Excercises BÀI TẬP TOÁN I Chương I Viết mệnh đề tương đương logic vớicác mệnh đề sau cách sử dụng NOT, AND OR 2) ( p  q )  p 1) ( p  q ) Biểu thị toán tử IFF, XOR, NOR, NAND qua qua toán tử NOT, OR Chứng minh mệnh đề sau a)  A   A  C    C   b)  A  B    B  C     A  C  Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mâu thuẫn 1) ( p  q)  ( p  q) 2) ( p  q )  ( p  q ) 3) p  (q  p) 4) (q  (q  p ) 5) (p  q)  q 6) (p  q)  r 7) p  (q  r) 8) ( p  q)  (q  p) Chứng minh rằng:   a) A  B  A  B   A  B tương đương logic b)  A  B   C A   B  C  không tương đương logic Cho mệnh đề A, B, C , X với bảng giá trị chân lí A B C 0 0 1 0 1 0 1 1 1 Hãy biểu thị X qua A, B, C phép toán X 1 1 0 hội tuyển, phủ định Chương II Cho A, B, C tập hợp Chứng minh 1) A  ( B \ C )  ( A  B) \ ( A  C ) 2) A  ( B \ A)  ( A  B) 3)Nếu ( A  C )  ( A  B) ( A  C )  ( A  B) C  B 4) A \ ( A \ B)  ( A  B) 5) ( A \ B )  ( B \ A )  ( A  B) \ ( A  B)  A  x  R | x  x    , B  x  R | | x - |  2.Cho tập hợp   C  x  R | x  x    Xác định tập hợp ( A  B )  C ( A  B)  C Cho  A  (x, y)  R | x  y    B  (x, y)  R | x  y   Xác định tập (A C ) hợp Chứng minh 1) ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C ) 2) ( A  B)  C  ( A  C )  ( B  C ) 5.Xét xem tập hợp ( A  B)  (C  D ) ( A  C )  ( B  D) có hay không Cho A tập hợp có n phần tử Tính số tập A 7.Trong số 1500 số tự nhiên từ đến 1500 có số bội số số 3, 4, Một lớp học có 63 sinh viên thành lập câu lạc Mỗi sinh viên tham gia câu lạc Số lượng sinh viên tham gia câu lậc sau Văn nghệ 31, Thể thao 28, Tin học 36 Có 15 sinh viên vừa tham gia Văn nghệ vừa Thể thao Có 16 người vừa Thể thao vừa Tin học Có người tham gia câu lạc Hỏi có người tham gia câu lạc Tin học ? Chương III 1,Cho ánh xạ f trường hợp sau Trưòng hợp f song ánh 1) f: R  R, f(x) = - 2x 2) f : ( -  , 0]  [ 4,  ) , f(x) = x  3) f : ( , +  )  [ -1,  ) , f(x) = x  x 4) f : R\{ 1}  R\{ 3}, f(x) = 3x  x 1 5) f : [4 , ]  [ 21, 96] , f(x) = x  x  6) f : R  R , f(x) = x  | x | 7) f : ( -1 , 1)  R , f(x) = ln 1 x 1 x Xác định ánh xạ ngược trường hợp tồn Cho ánh xạ f: R\ {0|  R, f(x) = 2x , ánh xạ g : R  R, g (x) = x 1 x2 a) Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh Tìm g(R) b) Xác định ánh xạ h = g o f Cho f(x) = - x  x  a) Xác định a để f: R  ( -  , a] toàn ánh b) Xác đinh b để f : [b,  )  (-  , 3] đơn ánh Cho ánh xạ f : R  R ; f(x, y) = (2x, 2y)  2 A = (x,y)  R | (x  4)  y   Tìm f(A) f 1 (A) Chứng minh tính chất ảnh nghịch ảnhcủa ánh xạ f : X  Y a) f ( A  B)  f ( A)  f ( B) , b) f ( A  B)  f ( A)  f ( B) , ví dụ f ( A  B)  f ( A)  f ( B) c) f 1 ( A  B )  f 1 ( A)  f 1 ( B ) d) f 1 ( A  B)  f 1 ( A)  f e) ) f 1 ( A \ B)  f 1 ( A) \ f 1 1 ( B) ( B) f) f đơn ánh với A, B  X , f ( A  B)  f ( A)  f ( B) g) A  f 1 ( f ( A)) , với A  X, 1 B  f ( f ( B )) , với B  Y h) Cho ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z a) Chứng minh f toàn ánh, gof đơn ánh g đơn ánh b) Cho ví dụ gof đơn ánh g không đơn ánh c) Chứng tỏ g đơn ánh, gof toàn ánh f toàn ánh d) Cho ví dụ gof toàn ánh f không toàn ánh Cho ánh xạ f : X  Y a) Chứng minh f toàn ánh tồn ánh xạ g : Y  X cho f og = Id Y b) Chứng minh f đơn ánh tồn ánh xạ g : Y  X cho gof = Id X Cho tập hợp X có n phần tử Tính số song ánh từ X lên Cho tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử Tính số ánh xạ từ X vào Y 10 Cho tập X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử, m < n , tính số đơn ánh từ X vào Y 11 Cho phép 10 phần tử  10  1 10  ,  =     `0   10  = a) Tính  1  o  b) Phân tích  thành tích chu trình độc lập 12 Cho tập hợp X có n phần tử, f song ánh từ X vào X Chứng minh tồn số nguyên dương k để f k  Id X với f k = fo f o … f ( k lần ) 13 Cho hàm ( ánh xạ) f: R\{0}  R xác định f(x) = sin x Tìm hàm g liên tục g: R x  R mở rộng f lên toàn R Chương IV 1.Cho X tập hợp, P(X) tập tất tập X Trên P(X) xác định quan hệ R sau ARB A  B a) Chứng minh R quan hệ thứ tự R có phải thứ tự toàn phần không? b) Tìm phần tử tối tiểu phần tử tối đại P(X) Cho X = N  N với N tập hợp số tự nhiên Quan hệ R X xác định sau (a,b) R (c,d) a+d = b+c Chứng minh R quan hệ tương đương 3.Gọi Z tập số nguyên Đặt Z* = Z \{0}, X= Z  Z* Tên X xác định quan hệ R sau (a, b)R(c, d ) ad = bc Chứng minh R quan hệ tương đương Giả sử A, B tập hợp  quan hệ thứ tự toàn phần B Giả sử f : A  B ánh xạ Ta xác định quan hệ R A sau a1R a2 f(a1)  f(a2) a) Chứng minh f đơn ánh R quan hệ thứ tự b) Cho ví dụ f không đơn ánh R xác định quan hệ thứ tự 5.Cho R  Z  Z xác định bởi: x R y x + y số nguyên lẻ Xét xem R có phải quan hệ thứ tự hay quan hệ tương đương hay không 6.Cho R  Z  Z xác định bởi: x R y x + y số nguyên chẵn Xét xem R có phải quan hệ thứ tự hay quan hệ tương đương hay không? Cho S quan hệ hai X  X, quan hệ ngược S ký hiệu S 1 xác định (x,y) S 1  (y,x)  S Chứng minh a) S quan hệ thứ tự S 1 quan hệ thứ tự b) S quan hệ tương đương S 1 quan hệ tương đương Chứng minh tập thứ tự tốt tập thứ tự toàn phần Trên R2 xét quan hệ R1 R2 xác định sau Với x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), x R1 y  x12 + x22 = y12 + y22; x R2 y  x12 + x22  y12 + y22; Xét xem quan hệ có phải quan hệ thứ tự, quan hệ tương đương hay không 10 Trên tập số nguyên Z, xác định quan hệ đồng dư (mod 6)  sau: a  b  ( a  b) Xác định tập thương Z /  Trên Z /  , ta định nghĩa quan hệ “R” sau xR y  x  y Chứng minh định nghĩa không tốt (không thể xác định được) 11 Quan hệ R tập hợp X gọi quan hệ tiền thứ tự có tính phản xạ bắc cầu Ta xét quan hệ tương đương  X sau x  y xR y yRx Chứng minh quan hệ R cảm sinh quan hệ thứ tự tập thương X/  Bài tập NHÓM –VÀNH TRƯỜNG: Cho B = {a + b | a, b  Q} Xét xem B có khép kín với phép cộng, phép nhân thông thường R không? Trong trường hợp với phép toán hai  R, xét tính chất nó: giao hoán, kết hợp, phần tử trung hoà, phần tử đối xứng (a) x  y : = xy + (b) x  y:= (c) x  y:= xy xy Xét phép toán hai R2  x  y1 x2  y  (x1, x2)  (y1, y2) : =  ,    Xác định tính kết hợp, giao hoán, phần tử trung hoà, phần tử đối xứng 4.Giả sử Ғ họ khoảng mở R Xem tập rỗng  khoảng mở Với P(R) tập tập R, chứng minh (a) Ғ đóng kín với phép   (R) (b) Ғ không đóng kín với phép   (R) 5 Cho X, Y tập hợp,  : Y  Y  Y phép toán giao hoán, kết hợp, khả nghịch (mọi phần tử có phần tử đối xứng), f : X  Y song ánh Trên X xác định phép toán x1 □ x2 = f -1(f(x1)  f(x2)) Chứng minh □ có tính chất kết hợp, giao hoán khả nghịch Giả sử X, Y tập hợp,  : Y  Y  Y phép toán hai Ғ(X,Y) tập ánh xạ từ X vào Y Chứng tỏ  cảm sinh phép toán hai Ғ(X,Y) mà ta ký hiệu  Giả sử X tập hợp, có phép toán hai (  ) kết hợp, khả nghịch Chứng tỏ (  ) cảm sinh phép toán hai  (X) ký hiệu (  ) Xét tính kết hợp, đơn vị, khả nghịch Giả sử X tập tuỳ ý Xét ánh xạ  :X  X  X  (x, y) = x  y = x Chứng minh X nửa nhóm, phép toán có giao hoán, có đơn vị không? X nửa nhóm với phép nhân (.) a) Chứng minh ab= ba,  a, b  X (ab)n = an bn n>1 b) Nếu a,b hai phần tử (ab)2 = a2 b có suy ab=ba hay không? 10 Xét tích Đề Nn (n  1) với N vị nhóm cộng số tự nhiên Trên Nn xác định phép toán cộng “+“ sau (a1, ,an) + (b 1, ,bn):= (a1 + b1, , an + b n) Chứng minh Nn vị nhóm giao hoán 11 Chứng minh tập hợp sau lập thành nhóm a) Tập số nguyên bội m cho trước với phép cộng b) Tập hợp số thực dương với phép nhân c) Tập hợp số thực khác với phép nhân d) Tập hợp số hữu tỷ 2n, n   với phép nhân e) Tập M = {1,-1} với phép nhân f) Tập hợp số thực dạng a + b ; a, b   với phép cộng g) Tập hợp a + b , a2 + b2 ≠ 0; a, b  Q với phép nhân h) Tập hợp đa thức bậc không n với phép cộng 12 Cho X nửa nhóm khác rỗng, a   aX = { ax | x  X} Xa = { xa | x  X} Chứng minh X nhóm Xa = aX = X,  a   *VÀNH SỐ NGUYÊN – THUẬT TOÁN EUCLIDE 13 Dùng thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn bội chung nhỏ cặp số sau: a 3195 630 b 1243 3124 14 Tìm sô nguyên a b cho 1243a + 3124b = 11 15 Biểu diễn sôsau theo số a) 2011 b) 3125 16 Thực phép toán sau hệ số a 3145(7)  5436 (7) b 6145(7)  5451(7) c 3142 (7)  5463(7) d 3142 (7)  54 (7) 18 Xây dựng phép chia hệ số 5? SỐ PHỨC 19 Viết số phức sau dạng tắc: b)  i a) (1  i 3) c) (1  i) 21 (1  i)13 d) (2  i 12)5 (  i)11 20 Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z  z   b) z  2iz   c) z  3iz   d) z  7z3   (z  i) 1 (z  i) f) z8 (  i)   i e) 1  2cos z n  n  2cosn, n   z z 22.Tính tổng bậc n 21 Chứng minh z  a) Tính tổng bậc n số phức z b) Cho  k  cos n 1 S   km 2k 2k  i sin ; k  0,1, , (n  1) Tính tổng n n m   k 0 (x  1)9   x a) Tìm nghiệm phương trình b) Tính môđun nghiệm 23 Cho phương trình  sin c) Tính tích nghiệm từ tính k 1 k 24 Tìm nghiệm phức phương trình sau: b) z  z  z z3 25 Cho x, y, z số phức có môđun So sánh môđun số phức x + y + z xy + yz + zx a) z  CHƯƠNG : HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ I Khái niệm hàm số Tìm tập xác định hàm số a) y  lg(tanx ) b) y  arccos 2x 1 x c) y  x sin x d) y  arcsin  2cos x  Tìm miền giá trị hàm số  x   10  b) y  arcsin  lg a) y  lg(1  2cos x ) Tìm f ( x ) biết   a) f  x  1 x  x x  x  x  x 1 b) f  Tìm hàm ngược hàm số b) y  a) y  x  1 x 1 x c) y  x x e e   ( x  0) Xét tính chẵn lẻ hàm số x x a) f ( x )  a  a (a  0) b) f ( x)  ln( x   x ) c) f ( x )  sin x  cos x 6) Chứng minh hàm số xác định khoảng đối xứng (  a, a) với a  biểu diễn dạng tổng hàm chẵn hàm lẻ Xét tính tuần hoàn tìm chu kì hàm số sau: a) f ( x )  A cos x  B sin x c) f ( x )  sin x 2 b) f ( x )  sin x d) f ( x )  sin x  1 sin x  sin 3x II Giới hạn hàm số Tìm giới hạn x100  x  a) lim 50 x1 x  x  ( x n  a n )  na n1 ( x  a ) b) lim x a ( x  a)2 (n   ) Tìm giới hạn a) lim x x x x x 1 b) lim x  x3  x   x  m c) lim x 0  ax  n  bx x m d) lim x 0  ax n  bx  x 10 Tìm giới hạn e a) lim x 0 arcsin x   ln(2 x  1) b) lim 1  cos x  sin x x a cos x  cos x sin x c) lim x 0  x1 x x   1 e) lim  x   x 1 d) lim x 0 f) lim x cos x x 0 sin x  sin a xa  cos x cos x cos3 x  cos x g) lim n ( n x  n 1 x ), n x0 11 Tìm giới hạn 1  b) lim sin x   sin x  x x 0  x c) lim  sin(ln( x  1))  sin(ln x )   a) lim  x sin  x   12 Khi x  cặp VCB sau có tương đương không? ( x)  x  x ( x)  esin x  cos x III Hàm số liên tục 13 Tìm a để hàm số sau liên tục x  ? 1  cos x ax +bx  x  x   a) f ( x )   x b) g ( x)   a cos x  b sin x x  a x  14 Điểm x  điểm gián đoạn loại hàm số sin eax  ebx x a) y  b) y  x c) y  (a  b) x  2cot gx e 1