phương trình và bất phương trình logarit

phương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logaritphương trình và bất phương trình logarit

Phương trình bất phương trình Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA: 0 < a ≠ log a f ( x ) = m ⇔   f ( x ) = a m Bài mẫu GPT: log x + ( − x − x + ) = (1) 0 < x + ≠ (1) ⇔ log x +3 ( − x − ) = log x +3 x + Điều kiện:  ⇔ −2 < x < 3 − x − > (1) ⇔ ( − x − ) = x + ⇔ x − 3x + − x − = Xét hai khả năng: Nếu −2 < x ≤ (1) ⇔ x + x + = ⇔ x = −3 + ∈ ( −2;1] Nếu < x < (1) ⇔ x − x + 13 = ⇔ x = − 29 ∈ (1; ) Bài tập log ( x − x + ) = ; log x ( x − x − ) = ; log x ( x − x + 3) = ; ( ) log x + x +8 log x + x +3 ( x − x ) = ; log 3−4 x ( − 16 x ) = + PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: log ( − x ) 0 < a ≠ log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) > Bài mẫu GPT: log ( x + 1) = x + log ( x +3 − ) (1) Điều kiện: x +3 − > ⇔ x > ⇔ x > log 4 (1) ⇔ log ( x + 1) = log 2 x + log ( x + − ) = log 2 x ( x + − ) ⇔ x + = x ( x+3 − 6) ⇔ ⋅ 2 x − ⋅ x − = ⇔ ( x − 1) ( ⋅ x + 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Bài tập log ( x + x + 1) + log ( x − x + 1) = log ( x + x + 1) + log ( x − x + 1) ; log ( x − 54 ) + log ( x + 3) = log ( x − ) ; log x + log x + log x = ; log 2 x + 3log x + log x = ; log 52 x + log x = ; log x + log x = log x 2 ; 191 Chương VI Phương trình bất phương trình – Trần Phương x log x + = x + log x ; 3x log x + = x + log 27 x ; log x +5 = log −1 x +1 ; lg x lg x − 36 + lg ( x + x + x + 1) = lg ( x + ) + lg + lg ; =1 ; lg ( x − ) log x + log x + log x = ; log ( x + − x ) = log ( x − + − x ); x log x − x − − x log ( x − x − 3) = x + x ; − lg x = lg x ; x ( lg − 1) = lg ( x + 1) − lg ; ( lg x + lg ) + lg (1 + x ) = lg ; log ( 4.3 x − ) − log ( x − ) = ; log ( x − ) + log 2x − = ; log x + log x + log x = 11 ; log ( x − ) = + log x − ; log x3 + x ( x − ) = log x −6 ( x − ) ; log ( x − 3) = log ( x − 3) ; x +x x −6 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ: Công thức đổi số: log a b.log b c = log a c ; log a b = log m b ; a log m b = b log m a log m a Bài mẫu GPT: log ( x − x − ) log ( x + x − ) = log ( x − x − ) (*) Giải  x − x − > ĐK: Tập giá trị x thỏa mãn  ⇔ x ≥1  x − ≥ −1 Với x ≥ (*) ⇔ log ( x + x − ) log ( x + x − ) = log ( x + x − ) ⇔ log ( x + x − ) log ( x + x − ) = log ( x + x − ) ⇔ log ⋅ log ( x + x − ) ⋅ log ( x + x − ) = log ( x + x − ) 1 − x ≥ Xét log ( x + x − ) = ⇔ x + x − = ⇔  ⇔ x =1  x − = (1 − x ) 192 −1 Phương trình bất phương trình Lôgarit Xét log 6.log ( x + x − ) = ⇔ log ( x + x − ) = log ⇔ x + x − = log Để ý x − x − = log − log = log1 = − log nên x = ( + ) ≥ 2 x + x −1 Bài tập log x + log x = ; log x + log x = lg15 ; log x − log x + = ; 2 x log x − = log x.log + log ; log x x − 14 log 16 x x + 40 log x x = ; x log x2 ⋅ log x + log x = 2 x log x x + log x + log x log ( x + 20 ) log x = 9x log ( − x − x − 14 ) log ; x2 = ; x +4 x+4 =1 ⋅ log − log x = + log 3 log x x ; x ; log 1− x ( x − x + 1) − log 1−3 x ( x − x + 1) = ; log x + ( x + 12 x + ) + log x + ( x + 23x + 21) = ; log x2 ; 16 + log x 64 = ; log x 2.log ( x + ) = ; log log x = log log x ; log log x = log log x ; log ( log x ) + log ( log x ) = ; log log log x = log log log x ; log x + log x + log x = log x.log x.log x ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN ĐIỆU: Bài mẫu GPT: log ( x − 1) = log x (1) u  log x = u  x = Đặt  ⇔ ⇒ u = ( u + 1) ⇔ u + 2.2 u + 1u = u log ( x − 1) = u  x − = u u u () () () u ⇔ f ( u ) = + 2 + = Ta có: 5 f ( u ) = ⇔ f ( u ) = f ( ) ⇔ u = ⇔ x = 25 Bài tập log 8+ f (u ) giảm f ( 2) = nên ( x − x − ) = log 2+ ( x − x − ) log ( x − x − ) = log 3 x ; log ( x − 3x − 13) = log x ; log ( + x ) = log ( x − ) ; log (1 + x ) = log x ; log cot x = log cos x ; 3log (1 + x + x ) = log x ; ( x − 2) log ( x − 3) + log ( x − 2)  = x + 193 Chương VI Phương trình bất phương trình – Trần Phương PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài Giải phương trình: ( x − ) log ( x − 3) + log ( x − )  = x + Giải Điều kiện: x > Biến đổi phương trình ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) = x + x−2 Đặt f ( x ) = log ( x − 3) + log ( x − ) ⇒ f ′ ( x ) = 1 + > ∀x > ( x − 3) ln ( x − ) ln 3 < Như f ( x ) đồng biến g ( x ) nghịch g ( x) = x + ⇒ g ′ ( x) = − x−2 ( x − 2) biến nên phương trình f ( x ) = g ( x ) có không nghiệm Mặt khác f ( ) = 2; g ( ) = nên f ( x ) = g ( x ) có nghiệm x = Bài Giải phương trình: log (1 + x − x + ) + log ( x − x + ) = Giải Đặt u = x − x + ≥ ⇒ u + = x − x + Khi phương trình ⇔ f ( u ) = log (1 + u ) + log ( + u ) = Ta có f ′ ( u ) = 2u + > ⇒ f ( u ) đồng biến Khi (1 + u ) ln ( + u ) ln x =1 f ( u ) = ⇔ f ( u ) = f (1) ⇔ u = ⇔ x − x + = ⇔ x − x + = ⇔  x = ( ) Bài Tìm m để phương trình (1 − x ) ln 2m + − 2mx − = có nghiệm 2mx − 2m + Giải Nếu m = hiển nhiên phương trình vô nghiệm Xét m ≠ Đặt u = 2m (1 − x ) ⇔ − x = u Khi phương trình trở thành 2m u ln + u − = ⇔ u ln + u = 2m Xét hàm số f ( u ) = u ln + u ; − < u < 2m 1− u 1− u 1− u ( ) ( ) ( ) (1 + u ) ⋅1− u + = >0 Ta có f ′ ( u ) = ln + u + 2u ; f ′′ ( u ) = 2 1− u 1− u + u (1 − u ) (1 − u ) (1 − u ) ⇒ f ′ ( u ) tăng mà f ′ ( ) = nên phương trình f ′ ( u ) = có nghiệm ( ) u = hàm y = f ( u ) đạt cực tiểu x = Lập bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm ⇔ m > 194 Phương trình bất phương trình Lôgarit II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Bài mẫu GBPT: > 2 x − 3x + log 1 (1) log ( x + 1) 3 log x − 3x + > > log ( x + 1)   x − x + < < x + 0 < x <  13      (1) ⇔ 0 < log x − 3x + < log ( x + 1) ⇔ 1 > x − 3x + > x + ⇔ 1 < x <  3     x − 3x + > x + >  x >    log x − 3x + < log ( x + 1) <  Bài tập log x 64 + log x2 16 ≥ ; log ( x − x + 1) log (1 + x ) ≤ log ( − x ) ; log x ( − x ) > ; log x log x ( +1> log ( x + 3) log ( x − x + 1) ; > −2 ; log 2x ≤ ; x2 x − − 2x − x − x − 1) ≥ ; log 22 ( − x ) − log ( − x ) ≥ ; log x − log x > ; log x − log x > ; 3log x − log x > ; + − log 14 > log x x ; log ( x − 1) 1 ; > < ( ) ( ) + log x − + log x − log − log x − x log x − x + + log x − > log ( x + 3) SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài mẫu Giải BPT: log x.log x + log x.log 3x ≥ (1) Nếu x ≥ log x ≥ 0, log x > 0; log x ≥ 0; log x > nên (1) thỏa mãn Nếu < x < ⇒ log x < 0, log x < ⇒ log x log x > Khi biến đổi (1) ta có 195 Chương VI Phương trình bất phương trình – Trần Phương (1) ⇔ log x log x log x log x + ≥ ⇔ log x x + log x x ≥ ⇔ log x log x log x log x + log x + + log x ≥ ⇔ log x ≥ −2 ⇔ < x ≤ ⇔ < x ≤ (do < x < ) 6  6 Vậy nghiệm (1) ( x ≥ 1) ∨  < x ≤    Bài tập 3log x + log x + 3log 16 x ≤ ; log ( log x ) < log ( log x ) ; log x ⋅ log x > log x ; log x + log x ≥ ; log log ( x + 1) − log ( x + 1) 16 + log x 64 ≤ ; x − 3x − x2 >0 ; log ( x − x − 11) − log 11 ( x − x − 11) log ( x − x − ) − log ( x − x − ) x − 13x + − x − 3x ≥0 ≤ ; log x 3.log − 5x ≤ 6x − BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỢP: Bài mẫu Giải BPT: log x  log ( x − )  ≤ (1) x log ( x − ) >  − > ⇔ x Từ điều kiện x − > ⇒ x > nên (1) ⇔  x x  − ≤ log ( − ) ≤ x  x > 2 x > ⇔ ⇔ ⇔ < x ≤ ⇔ log < x ≤ log x x x −2 ≤ ≤ ( ) − − ≤     Bài tập log x log ( x − ) ≥ ; log  log  x + log x −1  + 3 ≤ ;    2  log log 3x − ≤ log log x + ; log log x − ≥ ; log log x + ≥ ; x −1 x +1 3x − log log ( x − x + 3) ≤ ; log log ( x − x − ) ≥ ; log x +1 log 2 x − < ; x+3 16 log log x ( x − 10 x + 22 ) > ; log log x ( x − x + ) > ; log x + log 2 x − < ; ( ) log log 11 11 − 13 x − x < ; log log ( x + + x ) > log log 16 32 196 x+3 ( x + − x) Phương trình bất phương trình Lôgarit SỬ DỤNG PHÉP LOGARIT HÓA Bài mẫu Giải bất phương trình log x + log ( x + 3)    x−4 ≥ (1) Điều kiện x > Khi (1) ⇔ ( x − ) log log x − log x +  ≥ log ⇔ ( x − ) log log x ≥ ( 2) x+3 Nếu x = (2) nghiệm nên x = nghiệm (1) x > x > x >    ⇔ ⇔ ⇔x≥6 Nếu x > (1) ⇔  log log x ≥ log x ≥  x ≥    x+3 x+3   x+3 Nếu x < , (1) ⇔ x <  log log  x <  x ≤ ⇔ 0 < log  x+3 Vậy nghiệm (1) x <  + 13 ⇔ f ( u ) > f ( ) ⇔ u < ⇔ log x < ⇔ < x < 49 Bài tập log (1 + x ) > log 16 x ; log ( + x ) > log ( x − 3) CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP (1 + x − x + ) log x + 1 + x − x −  ≤ ; log x ( x ) ≤ log x ( x ) ; x x − x + + x + 10 x − x − 12 + 3log ≥ ; log x − 3log x − ≤ ; x 197 Chương VI Phương trình bất phương trình – Trần Phương x − x + 10 + 9.log x ≥ x + 14 x − 20 − x − 13 ; 12 x + 3x + x − x log x > 3 + x − x + x log x x + x + x − x log x > ( x − x ) log x + + + x − x ; log x + log x x log x ( − log x ) < log x ; log 32 x − log x + ≥ log x − ; ( x − 16 x + ) log ( x − 3) > ; log (1 + x − x + ) + log ( x − x + ) ≤ ; log x + 2.log ( x − x − ) ≥ ; log x + log x ≤ − log ( x − 1) − log x ; 2 ( x − 1) 27 log 2 9x − x + − x + log ( x − x + 3) > log 25 +2 ; 2 + x − x + 1− x + x − 3x + + + 1) < log 4 (4x ; +1 x − 4x + x + + log ( + + x − x ) > log ( − < log ( + x − x ) 2 log log ( x − x + ) + > log ( x − x + ) ; 16 x − 3x + + x − + − 12 ⋅ x − 32 ) log ( x − 1) ≤ ; −2 ; log 22 x + log x − > ( log x − 3) ; 2 x + log ( x − x + ) > − ( x + 1) log ( − x ) ; log ( x + 1) + log ( x + ) ≤ ; 2 log ( x + x + ) + > log ( x + x + ) ; log ( x + 1) − log ( x + 1) x − 3x − >0 log ( x + 3x + ) + > ( x + 3x + ) ; log 42 x − log 21 x + log 322 < log 21 x ; x Tìm m để BPT sau ∀x: x log ( m + 1) ( m + 1) + x.log 2m + log >0 m m +1 4m Chứng minh rằng: log n ( n + 1) > log n +1 ( n + ) ; log (1 + x ) > log (1 + x ) 198 Phương trình bất phương trình Lôgarit 199