Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit pptx

Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit. “Theo hướng dẫn mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2009, thì đối với dạng bài tập về PT, BPT mũ và logarit sẽ không xét các PT, BPT chứa tham số; cũng như các PT, BPT chứa ẩn đồng thời ở cơ số và số mũ, hay chứa ẩn đồng thời ở cơ số và biểu thức dưới dấu logarit.” A. Kiến thức cơ bản: 1. Hàm số y = log a x xác định khi x > 0 + Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến. + Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến. 2. Một số tính chất đối với hàm số logarit. +) yxxy aaa loglog)(log += , +) yx y x aaa logloglog −=         +) xxx a a aa log 1 log,log.log α α α α == , +) a xxbx x abaa log 1 log,log.loglog == B. Một số phương pháp cơ bản giải PT – BPT logarit. 1. Phương pháp 1: Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số. Kết quả: 1. )(log)(log xgxf aa = ⇔ f(x) = g(x) 2. bxf a =)(log ⇔ f(x) = a b 3. )(log)(log xgxf aa > , xảy ra 2 khả năng. + Nếu a > 1 thì bpt ⇔ f(x) > g(x). + Nếu 0 < a < 1 thì bpt ⇔ f(x) < g(x). 4. bxf a >)(log , xảy ra 2 khả năng. + Nếu a > 1 thì bpt ⇔ f(x) > a b . + Nếu 0 < a < 1 thì bpt ⇔ f(x) < a b . Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức log a f(x) có nghĩa là f(x) ≥ 0. Một số ví dụ minh họa 1). log 2 (x 2 – 4x – 7) = 2 2). 9logloglog2 2 1 2 2 =++ xxx 3). 6logloglog 2 1 3 3 =++ xxx 4). 012log)2(log 3 13 =−+− xx 4). log 3 (x + 2) + log 3 (x - 2) = 5 6). 0 4 loglog 2 67,0 <         + + x xx 7). ( ) )12(log12log41444log 2 555 ++<−+ −xx 8). 0 23 log 2 2 1 ≥ +− x xx Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 1 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit 9). ( ) 0 32.4 1 log2272.154log 22 =       − +++ x xx 10). 2)32(log)34(log2 3 13 ≤++− xx 2. Phương pháp 2: Dùng ẩn phụ Với các PT, BPT mà có thể biểu diễn theo biểu thức log a f(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = log a f(x). Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức log a f(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT, BPT có nghĩa. Một số ví dụ minh họa 1). xx 33 log3log4 =− 2). 2loglog3log 2 12 2 2 =++ xxx 3). 1 1log 2loglog 2 2 2 2 = + −− x xx 4). 3 log 2 1log 6 22 =+ + xx 5). 42log4log1 42 =−++ xx 6). 2 )1log(1 2 )1(log1 )1log(1 2 = −+ + −+ −+ x x x 7). x x x x 8log 4log 2log log 16 8 4 2 = 8). 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx 3. Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = a t ⇒ PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau Một số ví dụ minh họa 1). 1loglog 32 =+ xx 2). 15lgloglog 53 =+ xx 3). 2)12(log)1(log 53 =+++ xx 4). log 2 x = log 5 (x + 3) 4. Phương pháp 4: Phương pháp đánh giá (hàm số). Cơ sở của phương pháp như sau: Ta xét pt: f(x) = g(x) (1) + Nếu trên điều kiện xác định của pt ta có : f(x) ≥ m và g(x) ≤ m thì khi đó pt (1) xẩy ra khi và chỉ khi    = = mxg mxf )( )( ⇒ giải hệ thu được nghiệm của PT + Trong một số trường hợp ta có thể tìm được giá trị x = a sao cho f(a) = g(a), còn với mọi x ≠ a thì f(a) ≠ g(a) ⇒ tức là PT chỉ có duy nhất nghiệm x = a. Một số ví dụ minh họa 1). log 2 x = 3 - x 2). log 3 (x 2 + x + 1) – log 3 x = 2x - x 2 3). log(x 2 – x – 12) + x = log(x + 3) + 5 4). 23 542 3 log 2 2 2 3 ++= ++ ++ xx xx xx Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 2 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit BÀI TẬP Giải phương trình mũ 1) 2 4 3 8 6 3 .2 x x x+ + = 2) 1 3 4 9 . 4 3 16 x x −   =  ÷   3) ( ) 2 5 24 5 7 5 7 x x x + − − = + 4) 1 4 10.2 24 0 x x − − − = 5) 2 2 2 3.2 32 0 x x + − + = 6) 1 4 2 4 2 2 16 x x x + + + + = + 7) 3 1 125 50 2 x x x + + = 8) 8 18 2.27 x x x + = 9) 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34.15 x x x x x x− + − + − + = 10) 2 1 2 2 2 3 3 1 6.3 3 x x x x + + + = + − + 11) 2 2 4 16 10.2 x x − − + = 12) 2 4.3 9.2 5.6 x x x − = 13) ( ) ( ) 2 3 2 3 14 x x − + + = 14) ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x − + + = 15) ( ) ( ) 4 15 4 15 62 x x − + + = 16) ( ) ( ) 3 5 21 7 5 21 2 x x x+ − + + = 17) ( ) ( ) 3 7 3 5 12 7 3 5 2 x x x + + + − = 18) 1 2 2 .3 .5 12 x x x − − = 19) 4 4 x x x x = 20) 2 1 3 9 4 x x + + + = 21) ( ) 2 2 3.25 3 10 5 3 0 x x x x − − + − + − = 22) ( ) 2 2 2 1 1 4 2 2 1 x x x x + + − + = + 23) 64.9 84.12 27.16 0 x x x − + = 24) 2 2 sin cos 4 2 2 2 x x + = + 25) 2 3 cos x x = 26) 2 2 1 3 x x = + 27) 1 2 4 1 x x x + − = − 28) 2 3 5 x x x + = 29) ( ) ( ) 2 3 2 3 4 x x x − + + = 30) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 5 x x x − + + = Giải phương trình và bất phương trình logarit 1) ( ) ( ) 2 2 log 3 log 1 3x x − + − = 2) ( ) 2 1 8 log 2 2 6log 3 5x x − − = − 3) 2 3 lg lg 2 0x x− + = 4) ( ) 2 1 1 log 1 log 4 x x − + − = 5) ( ) ( ) 2 2 3 7 2 3 log 4 12 9 log 6 23 21 4 x x x x x x + + + + + + + = 6) ( ) ( ) 2 2 lg 6 3 lg 3 3x x x x x x+ − + + − = + + 7) ( ) log 6 3 x x + = 8) ( ) 2 3 1 log 3 1 2 2 x x x + − − + = 9) ( ) ( ) 3 2 2 log 4 1 log 2 6 x x x + + = − + 10) ( ) 2 3 lg 2 3 lg 0 1 x x x x + + − + = − Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 3 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit 11) 3 9 1 log log 9 2 2 x x x   + + =  ÷   12) ( ) ( ) 2 lg 6 lg 2 4x x x x + − − = + + 13) 9 4log log 3 3 x x + = 14) ( ) ( ) 2 2 1 2 log 1 log 1x x − = − 15) ( ) ( ) 2 3 4 2 lg 1 lg 1 25x x − + − = 16) 2 2 2 2 log 2 log 6 log 4 4 2.3 x x x− = Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit 1 2. 3. 4. 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 15) 16) ) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24. ( ) xlogxlog x 2 2 2 2 + ≤ 4 25. ( ) ( ) 114 2 5 2 5 <+−++ xlogmxxlog 26. ( ) ( ) 1 3 3 1 310310 − − + + +−− x x x x ≥ 0 27. ( ) 01641 3 2 3 =−++ xlogxxlogx 28). log x (log 3 (9 x - 72)) ≤ 1 29). 322 22 2 =− −+− xxxx 30). 163322 −>+ xxx 31).      = + + −= + y yy x xx x 22 24 452 1 23 32). ( ) 01 2 1 2 >+−− + xxln x ln :33) 16 x – 3 x ≤ 4 x + 9 x . 34). ( ) yyxxlog y 3732 2 8 2 2 2 +−≤++ + 35). 8 x + 4.12 x - 18 x - 2.27 x = 0 36). ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 x x− + − < + + 37) 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x+ − − − + = 38). ( ) ( ) ( ) xxx 4log1log 4 1 3log 2 1 2 8 4 2 =−++ Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 4 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit 39). 11252 5 <− x logxlog 40). 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx 41). ( ) ( ) 06140252 1 <+− + ,,, xx 42. ( ) xlogxlog x 2 2 2 2 + ≤ 4 43). 12822324 222 212 ++>++ + x.x xx xxx 44). ( ) 3 8 2 4 1−+ xlogxlog ≤ 1 45). 093283 22 122 =+− +++ xxxx . 46). ( ) ( ) 11 1 1 2 +>+ − − xlogxlog x x 47). ( )    =+ = − 5 115223 22 logyxlog yx 48)      =+ ++=+ 1 2 22 2 yx axyx x 49) 12 3 1 3 3 1 1 12 >       +       + xx 50). ( ) 2 2 2 22 2 22 2 22 =       +++ xl og x log x logxlogxlogxlog xx 51). ( ) 2 1 122 2 −=− −− x xxx 52) 1444 7325623 222 +=+ +++++− xxxxxx 53)      +=++ =+ +−+ 113 2322 2 3213 xxyx . xyyx 54) ( ) ( ) ( ) ( )      =+++ =− 111 239 22 3 2 2 yx xy log xylog 55) .)1(log 2 1 7 1 log1 2 66 −= + − + x x x 56) ( ) 32log2loglog 12 3 1 3 3 3 1 ++     −       x x ≥ 1. 57) )3x(log xlog 2 6 + = xlog 6 58) ( ) ( )      +−=− = + yxlogyxlog x y y x 33 1 324 59 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      −=+−+−+ +=+−+ 142241 312 4 2 44 44 22 4 y x logxyylogxylog yxlogxlogyxlog 60)x n + (a - x) n ≥ 2 n a       2 61) 3x- log 6 8 x = log 6 (3 3x + x 2 – 9). Sau khi làm các bài trên làm các bài sau Bài 1 ( ) 2 2sin 3 4 1 1 os2 log cos 2 os6 1 2 2 c x x c x+ = + − − Bài 2 ( ) 2 3 34 93 2 2 2 2 2 34 376 34 376 3log ( 34 376) 35 x x x x x x x − +   − + − + + − + =   Bài 3 : 2 2 1 2 log 11 log ax 2 3 log ( ax 2 1 1) 0 a a x x   + − + − + + ≤     Bài 4 : 2 2 2 2 2 2 2cos 2cos 2cos 2sinx 2sinx 2sinx 21 4 (21 4) (21 4) 21 4 x x x + − + = + − − Bài 5 : 1 1 64 3.343 8 12.4 .7 x x x x − − − = + Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 5 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit Bài 6 giải và biện luận PT 2 2 2 3 2 log 3 2 x x x m x x x m − + = − − − + − Bài 7 ( ) ( ) 2 2 sinx sinx sinx cos 2sinx 2cos 3x x+ + − = Bài 8 : 20.11 .1999 11 1 x x x + = Bài9 : 3 3 1 log (1 2 ) x x x = + + + Bài 10 : ( ) 1 3sinx 2 2 1 3sinx log 1 9sinx − + + = − Bài 11 ( ) 2 2cos 6 4 2 5 8sinx 12sinx 10sinx 2 x e e− + = + 12 : 1 t anx sinx 2cos 3 t anx 1. 2 sinx 3cos x x − + + ≤ + Bài13 2 2 1 2 os os 3sinx 1 7 7 7 2 os 7 x c c c π π π π    ÷   − − − ≤  ÷  ÷    ÷   Bài 14 cho 0; 2 x π   ∈  ÷   chứng minh rằng os2 1 cotx sin2 c x x ≥ Bài15 cho 0; 2 n N x π ∈      ∈  ÷     Chứng minh rằng 2 2 t anx cotx 2 os 2 n n n c x + ≥ + Bài 16 cho ( ) 0 1 2 n x π < + < CMR ( ) ( ) 1 cos 1 cos nx.sinx n n x x tg − + < Bài 17 cho ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 x x + = − + CMR ( ) 2 1 2 os 9 x c π + = Bài 18 cho pt lg sinxx = Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng 3 5 ; 2 2 π π       Bài 19 ( ) 2sinx 2 sinx cos cos 5 2007 2007 log 2007 4 4 200 4 1 x x − + − = + − Bài 20 trong các nghiệm của bất phương trình sau ( ) 2 2 log 1 x y x y + + ≥ Tìm nghiệm sao cho x+2y lớn nhất Bài 23 . 2 2 3 3 2 4 x x x x + = + Bài 21 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 12 1 14 2 24 2 log x x x x x x x   + − + − ≤ − − +  ÷   Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 6 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit Bài 22 giải hệ phương trình 4 cos 4 1 5 os 3 log 2 2 1 sinx sin 2 c x m x π  − ≤    +  ≤   24. sinx cos 5 5 cos sinx 2 2 x x     =  ÷  ÷     25.a) 2 2 1 2 3 3 2 1 x x x x x + + = + + + 25b) . ( ) ( ) 1 2 4 3.4 x x x + + = 26.cho , , 0a b c > CMR 1 b c a c a b a b c + + + + + ≥ 27.tìm a để pt sau có 3 nghiệm ( ) ( ) 2 4 2 sin 1 2 1 3 log 4 6 3 log 2 sin 1 1 x x x a x x x a π π − − − − + + + + − + + 28. tìm a để phương trình có it nhất 1 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 1 4 2 2 2 4 log 5 10 34 2 a x x a x a x a x a π π π π π π π + + − − − − + − − + − − − + + 29. 3 2 log 6 1 2 1 x x x + < − − 30.cho 2 0 π <≤ x a.CMR 1 2 3 tansin.2 222 + >+ x xx b.CMR xx tansin 22 + ≥ 1 2 + x 31. .CMR a ab a b b ab − << − ln với 0<a<b 32. b ab TanaTanb a ab 22 coscos − <−< − với 0<a<b< 2 π 33. xx xx       + +>       + + + 1 1 1 1 1 1 1 với x>0 34. ( ) nn babna <− −1 - ( ) abnba nn −< −1 với 0<a<b ,n>1 35. 2 2 2 3 9 4 cos sinx 3 2 2 2 x x x π π   − −  ÷   + = + 36. 37. 38. Biện luận theo m số nghiệm của PT 39. 40. 41. 42. 43. Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 7 Hướng dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit 44. Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 y y y 12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin 2 2 2 3 3 2 1 2 4 x y c c c x y a x y a π π π π  − −  − − − + + = −      + − − = + − −     45. ):Cho bất phương trình: 222 2222 xxaaxxxxx xx −+−<− 1.Giải bpt khi a=-1.2.Tìm a để bpt có nghiệm x>1. - Hết - Nguyễn Thế Cường Email: nccuong8@gmail.com Trang 8 . dẫn ôn thi Tốt nghiệp – Đại học môn Toán Mũ và lôgarit Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit. “Theo hướng dẫn mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm. 2 lg 1 lg 1 25x x − + − = 16) 2 2 2 2 log 2 log 6 log 4 4 2.3 x x x− = Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit 1 2. 3. 4. 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 15) 16) ) 17) 18). a xxbx x abaa log 1 log,log.loglog == B. Một số phương pháp cơ bản giải PT – BPT logarit. 1. Phương pháp 1: Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số. Kết quả: 1. )(log)(log xgxf aa = ⇔