PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I.. Biểu thức ngoài căn.. Biểu thức trong căn... Định tham số m để phương trình có nghiệm... VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ : Ví dụ 1:
Trang 1CHUYÊN ĐỀ
P
Q
A). PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
I. DẠNG CƠ BẢN
Chú ý: Để tồn tại A thì A ³ 0 ; A ³ 0
Khi giải lưu ý ba bước sau:
1. Biểu thức ngoài căn.
2. Biểu thức trong căn.
3. Làm mất căn để giải
1). Dạng Phương trình cơ bản
3
3
2
0
)
0 (
0
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B hay
A
B
A
=
Û
=
·
î
í
ì
=
³
Û
=
·
î
í
ì
=
³
³
Û
=
·
2. Dạng Bất phương trình có bảncơ bản
2
A 0
A B B 0
A B
ì ³
ï
< Ûí >
ï
<
A 0
B 0
A B
B 0
A B
é ì ³
í
ê
<
î
ê
> Û ê ì ³
ï
ê í
ê ï >
ë
Giải phương trình
4 2+ x-x = - x 2
2 2 2
2
3
x
x
³
ì
= Ú =
î
Bài 2. x+4- 1-x = 1 2 - x
Trang 21
4
2
0
7
2
0
x
x
ì
ï
ï
î
Bài 3.Giải các bất phương trình sau đây
1) 2 ( x 2 - 1 ) £ x + 1 ( x = - 1 Ú 1 £ x £ 3 )
2) 2 x 2 - 6 x + 1 - x + 2 > 0 ( 3 1
2 2
x£ - x > ) 3) x + 3 – x - 1 < x - 2 ( 2
21
3
x > )
BÀI TẬP:
Giải các phương trình và bất phương trình sau :
Bài 1:Giải các phương trình
2
2
1
2
11
3
-
Bài 2: Giải các bất phương trình
7
2
x+ -x >x- - £x x <
2) 7x+ -1 3x-18£ 2x+ 7 (x ³ 9)
3) 5x- -1 x- >1 2x-4 (x<10Ú x ³ 2)
4)
2
51 2
1
x x
x
< < - ³ - - > £ - +
- 5)
2
x
x
< < - ³ - < £
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Các dạng đặt ẩn phụ thường gặp sau đây
ax +bx+m ax +bx+c = n
Đặt 2
ax
t= +bx c + kèm theo điều kiện
Ví Dụ 1: Giải phương trình
– 4 ( 4 - x )( 2 + x ) = 2
x – 2x – 8 (1)
HD: Đặt t = ( 4 - x )( 2 + x ) (t³0)
(1) trở thành: – 4t = – 2
t Û ê
ë
é
=
=
4
t
0
t
Ví dụ 2:Giải bất phương trình
1) (x + 5)(2 – x) ³= 3 x 2 + x
Trang 32) ( x + 1 )( x + 4 ) < 5 x + 5 x + 28 (– 9< x< 4)
Dạng a + cx + b - cx + d ( a + cx )( b - cx ) = n
Phương pháp.Đặt t= a + cx + b - cx ; ĐK: a + b £ t £ 2 ( a + b ) .
HD: Đặt t= 3+x+ 6 - x .Đưa về phương trình:t 2 – 2t – 3 = 0
Ví dụ 1. Cho phương trình: x + 1 + 3 - x - ( x + 1 )( 3 - x ) = m
a) Giải p/t khi m= 2. ĐS: x=1 hoặc x=3.
b) Tìm m để p/t có nghiệm. Đs 2 2 - 2 £ m £ 2
Ví dụ 2: Giải phương trình
1
x + + 4 - x + ( x + 1 )( 4 - x ) = 5 (1)
HD: Đặt t = x + 1 + 4 - x Þ ( x + 1 )( 4 - x ) =
2
5
t 2 -
(1) trở thành: t +
2
5
t 2 -
= 5.
Ví dụ 3 Giải bất phương trình
2
3x- 2 + x- ³ 1 4x- + 9 2 3x - 5x + 2
+
- +
-
=
- +
x
b
ax
b
x
a
b
ax
b
x
a
b
+
+ +
+ +
a
Phương pháp :Đặt t = ( ) ' ' t 2 ( ax b )( a ' x b ' )
b
ax
b
x
a
b
+
+
Phương trình đã cho trở thành: at 2 + b t - m = 0 .
3
1 )
3 (
4 )
1 )(
3
x
x
x
x
-
+
- + +
-
1. Giải phương trình khi m = 3.
2. Định tham số m để phương trình có nghiệm.
HD: Đặt 1 2
3
x
x
+
- nên pt (1) đưa về :t 2 +4tm=0 (2) a) Với m = 3 thì phương trình (2) trở thành 2 1
3
t
t
= -
é
ë
Đs x = - 1 5 , x = - 1 13
b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm Û D ³ ¢ 0 Û 4 +m³ 0 Ûm ³ - 4 .
Giả sử nghiệm là t0 thì ( 3) 1 0
3
x
x
+
+ Nếu t0 = 0 thì x = – 1
+ Nếu t0 > 0 thì 2
0
2
0
3
x
>
ì
í
î
+ Nếu t0 < 0 thì 2
0
2
0
3
x
<
ì
í
î
Vậy với m ³ - 4 thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.
¹
=
±
Trang 4Phương pháp : Đặt x + a = t ( ³ t 0 ). Đưa phương trình về hệ
ï
ï
í
ì
=
-
=
+
a
x
t
a
t
x
2
Trừ hai vế theo vế ta đưa về dạng (t+x)(x – t + 1) = 0.
Ví dụ: Giải phương trình : x 4 + x 2 + 2007 = 2007
HD. Đặt t 2 = 2 2007
+
x Phương trình trở thành ( )( 1 ) 0
2007
2
4
2
4
=
-
- +
Þ
ï
ï
í
ì
=
-
=
+
t
x
t
x
x
t
t
x
.
Chú ý : Có thể giải cách khác như sau:
Phương trình
4
1
2007
2007
4
2
4
+ +
- +
= + +
2
2
2
2
2
1
2007
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
- +
=
÷
ø
ö
ç
è
æ +
Dạng : x n b a n ax b ( n N )
Î
-
=
Phương pháp :Đặt t = n ax - b , ta có hệ
ï
ï
í
ì
= +
=
+
ax
b
t
at
b
x
n
n
1
2
2
2
5
5
x
HD. Đặt
ï
ï
í
ì
= +
= +
Þ
-
=
x
t
t
x
x
t
2
1
2
1
1
2
3
3
3
Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + =1 2 23 x - 1
Hướng dẫn: Đặt
3
3
3
3
ì + =
ï
+ =
ï
î
.Đáp số: x=1; 1 5
2
x = - ± ĐUA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
=
-
-
HD.TXĐ : - 10 £ x £ 10 .
Đặt 2
10 x - = b (a,b ³ 0) Việc giải phương trình,chuyển về giải hệ PT hữu tỉ sau :
î
í
ì
=
-
=
-
15
3
2
2
b
a
b
a
=
- +
HD.TXĐ : x ³ 0. Đặt 3
1 + x = a và 3
1 - x = b.
Việc giải PT (3) chuyển về giải hệ PT
î
í
ì
= +
= +
2
2
3
3
b
a
b
a
Giải hệ phương trình này được a = b = 1. Từ dó suy ra x = 0 Ûx = 0.
Ví dụ 3. Giải phương trình 3 x + 7 – x = 1 (1)
HD +Cách 1: Đặt t = x (t ³ 0)
(1) trở thành 3 2
7
t + = t + 1 Û t 2 + 7 = 3
t + 3 2
t + 3t + 1
Û (t – 1)( 2
t + 3t + 6) = 0 (Bạn đọc tự giải) (ĐS x=1)
+Cách 2: Đặt
ï
ï
í
ì
=
+
=
x
v
7
x
u 3
có hệ
î
í
ì
=
-
=
-
7
v
u
1
v
u
2
3
Ví dụ 4. Giải phương trình
3
x + – 3
x = 1 (1)
HD+ Cách 1: Đặt t = 3
x , (1) trở thành: t 3 + 1 = t + 1
+ Cách 2: Đặt
ï
ï
í
ì
=
+
=
3
x
v
3
x
u
có hệ
î
í
ì
=
-
=
-
3
v
u
1
v
u
3
Trang 5Ví dụ 5: Giải phương trình x + x + x + x + 7 = 3 + 2 (1)
Giải Đặt
ï
ï
í
ì
+ +
=
+
=
7
x
x
v
x
x
u
2
2
(1) trở thành: u + v = 3 + 2 . Ta có hệ phương trình
ï
ï
í
ì
=
-
+
= +
7
u
v
2
3
v
u
2
2
x + 4x = x + 6 (1)
HD · Ta dự kiến đặt x + 6 = at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:
Ta có hệ phương trình:
ï
ï
í
ì
- +
= +
+
= +
2
2
2
2
b
6
x abt
2
t
a
b
at
x
4
x
hệ này đối xứng nếu
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
=
=
=
=
2
2
b
6
b
1
a
4
ab
2
1
a
Û
î
í
ì
=
=
2
b
1
a
. Như vậy ta đặt t + 2 = x + 6 (t ³ – 2)
Khi đó có hệ pt đối xứng:
ï
ï
í
ì
+
= +
+
= +
2
x
t
4
t
2
t
x
x
2
2
(ĐS 3 17 5 13
x = - - - +
+ĐẶT ẲN MỚI , ẨN CŨ CÒN LẠI XEM NHƯ THAM SỐ.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2 + 2 ( 3 x - 1 ) = 3 x 2 - x + 2 .
+
= x
t PT trở thành: 2 ( 3 1 ) ( 2 1 ) 0
=
- +
-
t
Giải phương trinh bậc 2 ẩn t, ta có: ê
ë
é
-
=
=
1
2x
t
x
t
Ví dụ 2 :Giải phương trình:( 4 1 ) 2 1 2 ( 2 1 ) 2 1
- + +
= +
+
= x
Thí dụ 3:Giải phương trình :6 2 10 5 ( 4 1 ) 6 2 6 5 0
= +
-
-
- +
x
Ví dụ 4: Giải phương trình (4x – 1) x 2 + 1 = 2 2
x + 2x + 1 (1)
HD : Đặt t = x 2 + 1 (t ³ 1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2 2
t + 2x – 1
)
3
x
4
4
)
3
x ( )
1
x
4
Û
ê
ê
ê
ë
é
-
= +
= +
1
x
1
x
2
1
1
x
2
2
Ví dụ 5: Giải phương trình 2 2
x – 3x + 2 = x 3 - x 2 (1)
HD : Đặt t = 3 - x 2 (t ³ 0) (1) trở thành 2
t + xt – 2 2
x = 0
· Cách 1: D = 9 2
x (chính phương) Þ t =
2
x
x ±
-
Û
ê
ê
ë
é
-
=
-
=
-
x
2
2
x
x
2
x
· Cách 2: phương trình đẳng cấp Þ đặt x = ty:
2
t + y 2
t – 2 2
y 2
t = 0 Û t 2 (1 + y – 2 2
y ) = 0.
*ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG:
î
í
ì
=
=
Û
= +
0
0
0
2
2
B
A
B
A
Ví dụ 1. Giải phương trình x + y + z + 4 = 2 x - 2 + 4 y - 3 + 6 z - 5 .
HD: Phương trình tương đương ( x - 2 - 1 ) ( 2 + y - 3 - 2 ) ( 2 + z - 5 - 3 ) 2 = 0
Trang 6Ví dụ 2.Giải phương trình 13 x - 1 + 9 x + 1 = 16 x .
2
3
1
3
2
1
1
13
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
- + +
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
x
*PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ:
Nếu
î
í
ì
£
³
M
B
M
A
thì A = B khi và chỉ khi
î
í
ì
=
=
M
B
M
A
2
4
14
10
5
7
6
3 x + x + + x + x + = - x - x .
HD: VT = 3 ( x + 1 ) 2 + 4 + 5 ( x + 1 ) + 9 ³ 5 ; VP = 5 - x ( + 1 ) 2 £ 5 Þ pt có nghiệm x = 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình : x + 3 + 5 - x = x 2 - 2 x + 5 ; 5 - x + x - 1 = - x 2 + 2 x + 1
HD: VT = x + 3 + 5 - x £ ( 1 + 1 )( x + 3 + 5 - x ) = 4 ;VP = x 2 - 2 x + 5 = ( x - 1 ) 2 + 4 ³ 4
Thí dụ 3. Giải bất phương trình : x 2 - 3 x + 2 + x 2 - 4 x + 3 ³ 2 x 2 - 5 x + 4
HD.Đièu kiện 1 £ x ; x ³ 4 .
Khi x ³ 4 ,bất phương Û x - 1 ( ( x - 2 - x - 4 ) + ( x - 3 - x - 4 ) ) ³ 0 .Đúng.
Khi x £ 1 ,bất phương Û 1 - x ( ( 2 - x - 4 - x ) + ( 3 - x - 4 - x ) ) ³ 0 Û x = 1
Ví dụ 4: Giải phương trình 3 x +
x
1
= 4 8
x (1)
Giải. MXĐ: x > 0
Có
4
x
1
x
=
8
x
1
x
1
x
x
x
x
x
³ 8
x (2) "x > 0 (BĐT Côsi)
Vậy (1) Û dấu “=” ở (2) xảy ra Û x =
x
1
Û x = 1.
VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :
Ví dụ 1:Giải các phương trình và bất phương trình sau :
.
23
1
3
6
HD:phương trình tương đương 2 x - 6 + 3 x - 1 + x = 23
Vế trái là hàm số f ( x ) = 2 x - 6 + 3 x - 1 + x đồng biến trong [ +¥ 6 ; ) .
Mặt khác vế phải 23 = f(10).
Phương trình tương đương f(x) = f(10) Þ x = 10 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Giải phương trình ( 2 1 )( 2 4 2 4 4 ) 3 ( 2 9 2 3 ) 0
= + +
+ + + +
HD.Phương trình tương đương
)
3 ( )
1
2 ( )
3 )
3 (
2 (
3 )
3 )
1
2 (
2
)(
1
2
x
f
x
f
x
x
x
Trong đó ( ) ( 2 2 3 )
+ +
t
f ,là hàm đồng biến và liên tục trong R,phương trình trở thành f(2x+1) = f(3x)
5
1
3
1
Û x x x là nghiệm duy nhất.
= +
- +
-
=
=
Þ +
-
-
x
13 )
3 ( ) ( max
4
4
8
)
*PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP.
2
=
-
-
x
x
; ( 1 1 3 ) 3 12 .
9
2
2
+
<
+
-
x
x
x
2
2
2
4
1
1
4
1 )
4
1
1 (
4
1
4
1
1
x
x
x
x
x
x
x
- +
=
Û
=
- +
Û
=
-
-
Trang 72
12x 8
-
+
(1) Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương
2
2
Lại thực hiện phép nhân liên hợp
2 2
2 2
Ví dụ 3 .Giải phương trình :
5
3
2
3
1
4 x + - x - = x + .
5
3
2
3
1
4
3
=
-
- + + +
Û
+
=
- + +
+
x
x
x
x
x
x
x
.
=
-
-
x
HD: Nhận thấy pt có nghiệm x = 4
3
7
16
5
9
16
2
2
2
2
= +
-
-
- + +
-
Û
x
x
x
x
.
+ +
³ + + + +
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA:
1+ 1-x =x 1 2 1 + - x
Giải: Điều kiện: - £ 1 x £ 1 . Đặt sin , ;
2 2
ë û . Ta có phương trình:
3
Vì ; cos 0
t
t é p pù
ë û ,ta được:
1
1
2
t
x
t
x t
p p
é
ê
ê
ë
ê
1-x + x £ 1
Giải: Điều kiện:0 £x £ 1 . Đặt x=cost với 0
2
£ £ Ta có
5
5 2
sin t+cos t £ 1 .
Do
5
5 2 2 2
sin t£ sin ;cost t£ cos t nên
5
5 2 2 2
2
ë û nên bất phương trình
có nghiệm là mọi x Î [ ] 0;1
Ví dụ 3: Giải phương trình : 4 [ ( 1 - x 2 ) 3 - x 3 ] [ + 3 x - 1 - x 2 ] = 2 .
HD: Đặt x = cosa (0 £ x £ p ).Phương trình trở thành
12
5 cos
;
12 cos
2
3
cos
3
a
+
=
HD.Đk x ³ - 2 .Khi x < 2 ta có x 3 3x = x+x(x 2 4) > x 2 x > x + 2
Trang 8Vậy để phương trình có nghiệm ta chỉ xét - 2 £ x £ 2 .
Đặt x = cos a, 0 £ a £ p Khi đó phương trình viết lại
2 cos
3 cos
2 cos
2 ) cos
3
cos
4
(
a
a
a
Giải phương trình có nghiệm
5
4 cos
2 ,
7
4 cos
x
CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
1) 2 - x m ³ x
2) 2 x 2 + 3 < x – m
3) x - m – x - 2 m > x - 3 m
x + x-m= x - có nghiệm
2
16
m
x
x
-
có nghiệm thực.
B). PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1). Dạng Phương Trìnhcó bản
2
0
B
A B
³
ì
=
î 2). Dạng Bất Phương Trình cơ bản
2 2
A B
· < Û - < <
< -
é
>
ë
Ví dụ 1: Giải phương trình: và bất phương trình sau:
1
1
2
=
-
+ x
x
x
=
-
-
2
1
2 1 3
2
x = ±
2
3
2
2
3
=
-
+
+
-
-
x
x
x
x
, 2
x - x- < x , 1 4 - x ³ 2x + 1
x- + -x > -x x< Úx > ,
2
2
3 1
3
1
x x
x x
<
+ +
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau
0
2
2
4 ).
2
1
3
).
1
2
=
- +
-
- +
-
=
+
m
m
x
x
x
x
m
x
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x 2 – 2x + m| = x 2 + 3x – m – 1
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
x - x-m x- +m = có nghiệm.
Giải:Đặt t= x - ³ 1 0 ta có t 2 1=x 2 2x nên pt (1) trở thành:t 2 mt+m 2 1=0 (2)
Trang 9Phương trình (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi (2) cĩ ít nhất một nghiệm t ³ 0
· Trường hợp 1: phương trình (2) cĩ nghiệm t=0 2
· Trường hợp 2: phương trình (2) cĩ nghiệm 2
1 0 2 0 1 0 1 1
t < <t Û P< Û m - < Û - <m <
· Trường hợp 3: phương trình (2) cĩ nghiệm
2
2
1 2
0
0
m
m
m
m
m
ì -
ï
ï
D ³
ì
ï >
ï
ë
ï
ỵ
Đáp số: 1 2 3
3
m
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 -2x+m =x - 1
a) Giải phương trình với m=0.
b) Tìm m để phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt.
Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành 2
t +m- = t
a) Với m = 0 ta cĩ 2 2
0
2
2
2
t
x
³
ê
ê
=
ë
b) Phương trình đã cho cĩ bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ 4 nghiệm phân biệt. (*) 2 0 2 0
.Phương trình (*) cĩ 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi phương trình t 2 – t + m – 1 = 0 và t 2 + t + m – 1 = 0 cĩ hai nghiệm khơng âm phân biệt. Nhưng phương trình t 2 + t + m – 1 = 0 khơng thể cĩ hai nghiệm khơng âm (vì S= –1<0).
Vậy phương trình đã cho khơng thể cĩ 4 nghiệm phân biệt.
Phương pháp đặt x 2 = t ( t >=0)
ví dụ : Giải các phương trình
a x x
b x x
c) 4 2
x - x + £
D) PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ( x+a)( x+b)( x+c)( x+d) = k Với a + b = c + d
Đặt t = ( x+ a)( x+ b )
Ví dụ 1: Giải phương trình ( x-1)( x-2)( x+4)( x+5 ) = m
a) Giải phương trình khi m = 112
b) Định m để phương trình cĩ nghiệm
x - x+ x - x + ³ , ( 2 )( 2 )
x - x + x + £
x +ax+c x +bx+c = mx
Chia cả hai vế cho x 2 rồi đặt t x c
x
+
=
Trang 10Ví dụ: Giải các phương trình và bất phương trình
2
2
10
9
a x x x x x
0;( 0)
ax +bx +cx ±bx+a= a ¹ Đưa về dạng 2
2
0
a x b x c
Đặt t x 1
x
= ±
Ví dụ : Giải các phương trình và bất phương trình
3
3
a x x x x
b x x x x
c x x