TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC VÀ THPT CHUYÊN; MÔN TOÁN; CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH; LÝ THUYẾT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO (PHẦN 1) doc

Bài toán trên là dạng toán phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2 với ẩn số phụ, tính nghiệm và sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa về phư

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LÝ THUYẾT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO (PHẦN 1) -

Trong chương trình Toán phổ thông, phương trình bậc cao (phương trình có bậc lớn hơn 2) là một nội dung quan trọng, quen thuộc nhưng cũng rất phong phú, đa dạng Thông thường, để giải phương trình bậc cao, phương pháp chung quy là đưa về phương trình bậc thấp hơn (hạ bậc phương trình) hoặc đưa về các dạng toán đặc thù

KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ

1 Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức

2 Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3 Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai

4 Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương)

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Bài toán 1 Giải phương trình x43x2  2 0

Lời giải

0

  

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S   2; 1;1; 2 

Nhận xét

Bài toán trên là dạng toán phương trình trùng phương quen thuộc, sử dụng đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2 với ẩn số phụ, tính nghiệm và sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa về phương trình về dạng tích của hai phương trình bậc nhất, giải và kết luận nghiệm trở nên dễ dàng

Bài tập tương tự

Giải các phương trình sau trên tập hợp số thực

2

_

Bài toán 2 Giải phương trình x69x3  8 0

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

3

2 8

x x

 

 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 2

Trang 2

Nhận xét

Lời giải bài toán sử dụng thuần túy phương pháp nhóm hạng tử phân tích đa thức vế trái thành nhân tử, không thông qua phép đặt ẩn phụ 3

x  tương tự bài toán 1 Tuy nhiên bản chất vẫn là quy về phương trình bậc hai với t

ẩn số phụ, tính nghiệm và đơn giản chỉ khác nhau về hình thức trình bày Tùy theo kinh nghiệm và sự sáng tạo của mình, các bạn có thể chọn lựa cho mình cách trình bày khoa học, ngắn gọn, sáng sủa và tiết kiệm thời gian nhất

Giải các phương trình sau trên tập hợp số thực

2

_

Bài toán 3 Giải phương trình x36x23x  2 0

Lời giải

2

1

2

x x

x



 



 











Nhận xét

Để ý rằng tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên đa thức   3 2

f x x  x  x có một nghiệm bằng 1 Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử x  , đưa phương trình đã cho về phương trích tích 1

Lưu ý

Phương trình bậc cao có tổng các hệ số bằng 1 thì có nghiệm bằng 1; tức là chứa nhân tử x  1

Phương trình bậc cao có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì có nghiệm bằng 1

Bài toán 4 Giải phương trình x39x226x24 0

Lời giải

2

4

x







 



Nhận xét

Phương trình ban đầu không có các nghiệm đặc biệt là 1 và 1  Sử dụng máy tính cho nghiệm bằng 2, 3 và 4 Kết

hợp phương pháp tách nhóm đưa phương trình đã cho về phương trình tích Giả dụ chọn nhân tử x  , mặc nhiên 2

nhân tử còn lại sẽ là tích của hai nhân tử x3  x4 Do đó chúng ta có lời giải phía trên

Trang 3

_

Bài toán 5 Giải phương trình 3x33x23x  1 0

Lời giải

 3

3

1

Nhận xét

Phương trình ban đầu là một phương trình bậc ba, và đặc biệt không cho nghiệm hữu tỷ Có thể nói trong trường hợp này phương pháp phân tích nhân tử thông thường và sử dụng lược đồ Horne bị vô hiệu hóa Tuy nhiên nếu để ý một chút, các bạn có thể thấy hằng đẳng thức xuất hiện, và bài toán trở nên dễ dàng

Bài toán tương tự

_

Bài toán 6 Giải phương trình x4x34x25x  3 0

Lời giải

 

2

1

1 0

x

 



 Phương trình (*) vô nghiệm do     Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 3 0 S   3;1

Nhận xét

Phương trình đã cho là một phương trình bậc bốn có tổng các hệ số bằng 0 nên tồn tại một nghiệm bằng 1 Tách nhóm đưa về phương trình tích, trong đó có một phương trình bậc ba có nghiệm hữu tỷ Bài toán được giải quyết trọn vẹn

Trang 4

4 3 2

_

Bài toán 7 Giải phương trình x33x53 8

Lời giải 1

 

2

5

x





 Phương trình (*) vô nghiệm do   Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 0 S  5

Lời giải 2

Đặt x  ; phương trình đã cho trở thành 4 t

 

2

1

t





 Phương trình (*) vô nghiệm do   0

Với t 1 x  4 1 x Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 5 S  5

Nhận xét

Hai lời giải trên thuần túy chỉ sử dụng các hằng đẳng thức thông thường, kết hợp với phương pháp nhóm hạng tử đưa về phương trình tích Tuy nhiên lời giải 2 sáng tạo hơn lời giải 1 đồng thời cũng gọn gàng hơn về mặt hình thức Trong việc giải phương trình, chúng ta thường chọn những cách giải hợp lí, ngắn gọn, giảm bớt những tính toán cồng kềnh, cũng là một cách hạn chế những sai sót không đáng có

Bài toán 8 Giải phương trình x34x54 16

Lời giải

Đặt x  ; phương trình đã cho trở thành 4 t

2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 3; 5

Nhận xét

Phương trình ban đầu có thể giải được bằng phương pháp khai triển hằng đẳng thức trực tiếp, không thông qua phép đặt ẩn phụ Cách đặt ẩn phụ trung bình và sử dụng khéo léo hằng đẳng thức giúp đưa phương trình về dạng trùng phương quen thuộc Bài toán tổng quát có dạng x a 4x b 4  trong đó , , c a b c thỏa mãn phương trình

có nghiệm

Trang 5

Bài toán 9 Giải phương trình x332x133x23

Lời giải

Đặt x 3 a; 2x    1 b a b 3x Phương trình đã cho trở thành 2

3

1

2

2 3

x x

x



  

 





  



3 2

Nhận xét

Các bạn có thể thấy lời giải bài toán 9 khá nhẹ nhàng và ngắn gọn, thông qua một phép đặt hai ẩn phụ và kết hợp hằng đẳng thức cơ bản Vì sao lại thế ? Dễ thấy 3x2x3  2x1nên chúng ta có phép đặt như trên Mặc nhiên, bài toán vẫn giải trọn vẹn theo cách khai triển hằng đẳng thức trực tiếp không thông qua ẩn phụ

Lưu ý các hằng đẳng thức sau để thuận tiện sử dụng

_

Bài toán 10 Giải phương trình

2



Lời giải

Điều kiện x  0

Đặt

2

1

x

t

x



2

t

t t









2t 1 2x    Phương trình này vô nghiệm vì x 2 0   0

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S  1

Nhận xét

Bài toán được giải bằng phép đặt ẩn phụ cơ bản đưa về phương trình bậc hai 1 ẩn Đối với các phương trình chứa

ẩn ở mẫu, đặt ẩn phụ thường được ưu tiên vì làm giảm đi sự cồng kềnh về mặt hình thức

Trang 6

Bài toán 11 Giải phương trình x2 12 3 x 1 4

Lời giải

2

t







x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  1

Nhận xét

Phương trình đã cho được giải bằng phép đặt ẩn phụ một biến thông thường Nội dung trong dấu "" có thể có hoặc không, nhằm mục đích loại nghiệm ngoại lai nhanh chóng Ngoài cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy các bạn có thể sử dụng phương trình bậc hai để tìm ra kết quả tương tự Trong các bài toán biện luận phương trình chứa tham

số, tìm điều kiện phía trên cho ẩn phụ là bắt buộc và quyết định kết quả bài toán Tùy theo khả năng riêng của mình, các bạn có thể lựa chọn cho mình cách làm phù hợp

Bài toán 12 Giải phương trình x3 13 78 x 1

Lời giải

t  t tt t t   t t t 

2

x











2

x









 Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Nhận xét

Về phương cách giải tương tự bài toán 8 và 9 Các bạn lưu ý các hằng đẳng thức sau thêm một lần

Trang 7

Bài toán 13 Giải phương trình 2x 1 5 4x2 12 1 36

Lời giải

 

2

1

t





 Phương trình (*) vô nghiệm do   0

1

2

x







  



(Thoả mãn điều kiện x  ) 0

2

S   

2

3

2

3

2

1,



_

Bài toán 14 Giải phương trình 4 3 2

Lời giải

Xét x  không thỏa mãn phương trình đã cho 0

x

   

  



Phương trình ban đầu có tập nghiệm S    2 3; 2  3;1

Trang 8

Nhận xét

Phương trình trong bài toán 14 mang tên phương trình hồi quy cơ bản (phương trình đối xứng)

Về hình thức tổng quát 4 3 2

0

ax bx cx bx a 

Trước tiên xét x  có thỏa mãn phương trình hay không, kết luận 0

Tiếp tục xét x  , chia cả hai vế của phương trình cho 0 x ta thu được 2 a x2 12 b x 1 c 0

Đặt ẩn phụ x 1 t x2 12 t2 2

Lưu ý có thể tìm miền giá trị cho ẩn phụ t bằng bất đẳng thức Cauchy hoặc phương trình bậc hai

Đưa về phương trình at2bt c 2a  và giải nghiệm 0

Bài toán 15 Giải phương trình 2x43x34x3x  2 0

Lời giải

t







1

x





 



2

x

 





 



2

Nhận xét

Phương trình trong bài toán 15 mang tên phương trình phản hồi quy Về cơ bản cách giải tương tự phương trình hồi quy Dạng tổng quát ax4bx3cx2bxa  Đặt ẩn phụ0 x 1 t x2 12 t2 2

Lưu ý trong trường hợp này ẩn phụ mới t không cần điều kiện

Bài toán 16 Giải phương trình 9x46x325x28x16 0

Lời giải

2

Với t 1 3x2   Phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm x 4 0

Nhận xét

Phương trình ban đầu được gọi là phương trình hồi quy mở rộng, cách giải hoàn toàn tương tự

Dạng tổng quát 4 3 2

0

ax bx cx dx e  trong đó các hệ số thỏa mãn điều kiện

2

e

Trang 9

_

Bài toán 17 Giải phương trình x1x1x3x5 9

Lời giải

x  x  ; phương trình (1) trở thành t

2

x

   





Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S    2 8; 2  8; 2 

Bài toán 18 Giải phương trình x1x2x4x5112

Lời giải

Đặt x23x  thì (1) trở thành 4 t

 

2



3

x





 Kết luận tập nghiệm của phương trình là S   6;3

Nhận xét

Hai bài toán 17 và 18 đều được giải bằng phương pháp đặt một ẩn phụ Hai lời giải tương ứng tuy có khác nhau về câu chữ cũng như cách đặt ẩn, nhưng đơn thuần chỉ là nét linh hoạt và sáng tạo khi làm toán Các bạn có thể nhận thấy trong lời giải bài toán 17, cách đặt ẩn trung bình x24x   giúp chúng ta đưa ngay phương trình về dạng 1 t hằng đẳng thức rất đẹp, không qua bước tính nghiệm phương trình bậc hai như bài toán 18 Tùy theo kinh nghiệm

và gu trình bày của bản thân, các bạn tự lựa chọn cho mình phương cách phù hợp nhất

Trở lại hai bài toán, chúng ta có dạng tổng quát: xax b x c xdm trong đó các hệ số , , , a b c d thỏa mãn điều kiện a b  c d hoặc a  c b d a; d   nếu đảo vị trí Tất yếu là b c m 0

Cách giải:

Chẳng hạn a b  c d k , ta nhận thấy nếu nhóm

x a x b x c x d m x  a b x ab   x  c d x cd  m

thì sẽ xuất hiện hạng tử chung 2

x kx , đây chính là điểm mấu chốt trong phép đặt ẩn phụ của hai lời giải trên Các bạn có thể đặt ẩn phụ theo nhiều cách, thường là cách đặt ẩn phụ trung bình sẽ tạo nhiều thuận lợi

Trang 10

Bài toán 19 Giải phương trình  2  2 

Lời giải

0

5

x





 Vậy tập nghiệm của phương trình: S   5; 0

Nhận xét

Đề bài của bài toán 19 mang tính chất "Giấu mặt", bắt buộc chúng ta phân tích nhân tử thành 4 nhân tử, tiếp tục

sử dụng nhóm nhân tử để xuất hiện phần chung Nhưng có vẻ có sự khác biệt ? Đó chính là không sử dụng ẩn phụ nữa, mà sử dụng trực tiếp hằng đẳng thức Lời giải rất gọn gàng và đẹp mắt Phải chăng " Lạm dụng một thứ thường khiến chúng ta ngày càng thêm máy móc và cứng nhắc"

_

Bài toán 20 Giải phương trình  2 2  2

Lời giải

3

t

 







2

x





 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   2;1

Bài toán 21 Giải phương trình 2 2  2

Lời giải

7 4

2 1

x x

 





 



  







Trang 11

Nhận xét

Lời giải hai bài toán 20 và 21 về phương pháp không có gì mới lạ, xoay quanh hằng đẳng thức và đặt ẩn phụ Bài toán 21 được giải trực tiếp, đưa về phương trích tích 4 nhân tử, không thông qua phép đặt ẩn, tuy nhiên cũng chỉ là

sự linh hoạt trong phép nhóm hạng tử mà thôi

2

_

Bài toán 22 Giải phương trình  2  2  2

x  x x  x  x

Lời giải 1

Xét x  ; phương trình đã cho tương đương với 0

x

5

t







x

   

  



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S    4 15;1; 4  15

Lời giải 2

Đặt x2  thì (1) trở thành 1 t

1

x







  

 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S    4 15;1; 4  15

Nhận xét

Vẫn là đặt ẩn phụ, tuy có tinh tế hơn một chút ! Mấu chốt bài toán là nhận ra phần chung x  2 1

Đối với lời giải 1, khi chia đồng đều hai thừa số cho 2

0

x  , lập tức xuất hiện nhân tử chung, và phép đặt ẩn trung bình cho chúng ta lời giải ngắn gọn, nhẹ nhàng

Đối với lời giải 2, thực chất chúng ta đã đưa bài toán về dạng đồng bậc, với hai ẩn x và x2  , sử dụng biệt 1 t thức của phương trình bậc hai để phân tích nhân tử Về phương pháp sử dụng tính chất này, tác giả sẽ trình bày sâu hơn trong các ví dụ tiếp theo

Trang 12

Bài toán 23 Giải phương trình  2  2  2

2x 7x3 2x 25x75  224x

Lời giải

Xét x  ; phương trình (1) tương đương với 0

2

4



Nhận xét

Bài toán 23 mang tính chất "Giấu mặt", sử dụng kỹ thuật tách nhóm tạo phần chung, tiếp tục xuất hiện ẩn phụ sau khi chia hai vế phương trình hệ quả cho 2

0

x  Mặc dù không đặt ẩn phụ công khai mà đưa về nhân tử trực tiếp, bản chất vẫn là đặt ẩn và tính nghiệm của phương trình bậc hai Kinh nghiệm và sự linh hoạt của các bạn sẽ gia tăng theo từng ngày, vì vậy lựa chọn cách giải ngắn gọn luôn là điều tất yếu

2

_

 2

2

Lời giải

(2)

x

t t



9x 13x27 vô nghiệm 0 2

Trang 13

2x1 x6  x2 2x3 21x

Lời giải

2

x

2

Các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có tập nghiệm S 1;3; 7  46; 7  46

Nhận xét

Hai bài toán 24 và 25 có dạng tổng quát 2 mx 2 nx p

ax bx c ax dx c 

Cách giải về cơ bản vẫn là đặt ẩn phụ, sau khi chia cả tử số và mẫu số của mỗi phân thức cho x (x khác 0)

Bài toán vẫn thường mang đặc tính "Giấu mặt", cần có cách nhìn tinh tế và khéo léo để nhận dạng Trình bày sao cho vừa logic vừa tiết kiệm thời gian và giảm thiểu sai sót trong tính toán

 

  

2 2

2

0

x

Lời giải

Điều kiện x1;x7 Xét x  không thỏa mãn phương trình đã cho 0

x

2

2 7 2

106

x x









 



 



 



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	416,52 KB