chuyen de phuong trinh

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN HƢỚNG DẪN: TS PHÙNG KIM CHỨC NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM Lê Ngọc Kim Chi Nguyễn Minh Duy Nguyễn Thị Tuyết Hằng Đặng Nguyễn Xuân Hƣơng Nguyễn Quốc Khánh Nguyễn Thị Lài Nguyễn Thị Thanh Thùy Kim Thị Minh Thƣơne Trang Tiền 10 Phạm Thị Bảo Trân 11 Nguyễn Hữu Trí MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1.1 Dạng ax  b  1.2 Cách giải biện luận 1.3 Ví dụ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Dạng ax  bx  c  2.2 Cách giải biện luận 2.3 Định lí Vi-ét 2.4 Ứng dụng định lí Vi-ét 2.5 Ví dụ 10 2.6 Bài tập tự luyện 13 PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA 15 3.1 Dạng ax3  bx2  cx  d  15 3.2 Cách giải 15 3.2.1 Phƣơng trình ax3  bx2  cx  d  có nghiệm x  x0 15 3.2.2 Công thức Cardano để giải phƣơng trình x3  ax2  bx  d  15 3.3 Định lý Vi-ét 15 3.4 Ví dụ 16 PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN 19 4.1 Dạng ax  bx  cx  dx  e  19 4.2 Cách giải 19 4.2.1 Nếu phƣơng trình có nghiệm x  x0 ta biến đổi đƣa phƣơng trình cho dạng  x  x0  f ( x )  , f ( x ) biểu thức có dạng bậc ba 19 4.2.2 Dạng ax  bx  c  19 4.2.3 Dạng ax  bx  cx  bx  a  20 4.2.4 Phƣơng trình dạng ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  k với a  b  c  d , k  20 4.2.5 Phƣơng trình dạng ( x  a)4  ( x  b)4  k , k  21 c d 4.2.6 Phƣơng trình dạng ax  bx  cx  dx  e  với    21 a b 4.2.7 Dạng x  ax  bx  cx  d  22 4.2.5 Giải phƣơng pháp hệ số bất định 23 PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 25 5.1 Phƣơng trình dạng 25 5.1.1 Phƣơng trình  A  (B  0) 25 A B  A  B 5.1.2 Phƣơng trình  B  25 AB A  B   5.1.3 Phƣơng trình chứa nhiều dấu bậc hai, bậc ba 26 5.2 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ thƣờng gặp 29 5.2.1 Phƣơng pháp đặt ẩn số phụ 29 5.2.2 Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp 35 5.2.3 Phƣơng pháp hàm số 38 5.2.4 Phƣơng pháp đánh giá 42 5.2.4 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 43 5.3 Bài tập tự luyện 46 PHƢƠNG TRÌNH MŨ 49 6.1 Sử dụng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 49 6.1.1 Phƣơng pháp: 49 6.1.2 Ví dụ 49 6.1.3 Bài tập tự luyện 50 6.2 Sử dụng phƣơng pháp đƣa số 50 6.2.1 Phƣơng pháp: 50 6.2.2 Ví dụ 51 6.2.3 Bài tập tự luyện 51 6.3 Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 52 6.3.1 Phƣơng pháp: 52 6.3.2 Ví dụ 53 6.3.3 Bài tập tự luyện 55 6.4 Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 55 6.4.1 Phƣơng pháp: 55 6.4.2 Ví dụ 55 6.4.4 Bài tập áp dụng 56 6.5 Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 56 6.5.1 Phƣơng pháp: 56 6.5.2 Ví dụ 57 6.5.3 Bài tập áp dụng 58 6.6 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 58 6.6.1 Phƣơng pháp: 58 6.6.2 Ví dụ 59 6.6.4 Bài tập tự luyện 62 PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT 63 7.1 Sử dụng phƣơng pháp đƣa số 63 7.1.1 Phƣơng pháp: 63 7.1.2 Ví dụ 63 7.1.4 Bài tập tự luyện 64 7.2 Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 64 7.2.1 Phƣơng pháp: 64 7.2.2 Ví dụ 64 7.2.3 Bài tập áp dụng 67 7.3 Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 67 7.3.1 Phƣơng pháp: 67 7.3.2 Ví dụ 67 7.3.3 Bài tập áp dụng 68 7.4 Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ - dạng 68 7.4.1 Phƣơng pháp: 68 7.4.2 Ví dụ 68 7.4.3 Bài tập tự luyện 69 7.5 Sử dụng tính đơn điệu hàm 69 7.5.1 Phƣơng pháp: 69 7.5.2 Ví dụ 70 7.5.3 Bài tập tự luyện 73 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 74 8.1 Phƣơng trình lƣợng giác 74 8.1.1 Dạng 74 8.1.2 Ví dụ 74 8.2 Phƣơng trình bậc hai hàm số lƣợng giác 75 8.2.1 Dạng: 75 8.2.2 Ví dụ 75 8.3 Phƣơng trình bậc sinx cosx 76 8.3.1 Dạng phƣơng trình: a sin x  b cos x  c (1) 76 8.3.2 Cách giải 76 8.3.3 Ví dụ 77 8.4 Phƣơng trình bậc hai sinx cosx 78 8.4.1 Dạng phƣơng trình: a sin x  b sin x cos x  c cos x  d (1) 78 8.4.2 Cách giải 78 8.4.3 Ví dụ 79 8.5 Phƣơng trình đối xứng sinx cosx 79 8.5.1 Dạng 1: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  79 8.5.2 Cách giải 79 8.5.3 Ví dụ 80 8.5.4 Dạng 2: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  81 8.5.5 Cách giải 81 8.5.6 Ví dụ 81 8.6 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực 82 8.6.1 Phƣơng pháp đặt ẩn số phụ 82 8.6.2 Giải phƣơng trình lƣợng giác cách đƣa phƣơng trình tích 89 8.6.3 Phƣơng pháp đƣa tổng biểu thức không âm 91 8.6.4 Phƣơng pháp nhận xét 92 8.6.5 Phƣơng pháp đƣa tích 93 8.7 Bài tập tự luyện 94 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1.1 Dạng ax  b  1.2 Cách giải biện luận b Nếu a  phƣơng trình có nghiệm x   a Nếu a  b  phƣơng trình vô nghiệm Nếu a  b  phƣơng trình có nghiệm với x thuộc  1.3 Ví dụ   Ví dụ Giải biện luận phƣơng trình m2  x  m   theo tham số m Giải m  z: phƣơng trình cho có nghiệm x  m 1 m2   m 1 m  : phƣơng trình có nghiệm với x thuộc  m  1 : phƣơng trình vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận phƣơng trình x m x 3   theo tham số m x 2 x Giải Điều kiện x  0, x  Với điều kiện trên, phƣơng trình cho đƣợc biến đổi thành (m  1) x  Với m  1 : phƣơng trình cho vô nghiệm Với m  1 : phƣơng trình (*) có nghiệm x  m 1 (*)   m   m  Kết hợp với x  0, x  ta có:  m   2  m  Kết luận: Với m  1 m  : phƣơng trình cho có nghiệm x  Với m  1 m  : phƣơng trình cho vô nghiệm m 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Dạng ax  bx  c  2.2 Cách giải biện luận a  phƣơng trình trở thành phƣơng trình dạng bx  c  a  : Tính   b2  4ac   : phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x    : phƣơng trình có nghiệm x   b   b   x  2a 2a b 2a   : phƣơng trình vô nghiệm Công thức nghiệm thu gọn: b  2b ' Tính  '  b '2  ac  '  : phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x  b '  ' b '  ' x  a a  '  : phƣơng trình có nghiệm x   b' a  '  : phƣơng trình vô nghiệm 2.3 Định lí Vi-ét Hai số x1 x2 hai nghiệm phƣơng trình bậc hai ax  bx  c  chúng thỏa mãn hệ thức x1  x2   b c x1x2  a a 2.4 Ứng dụng định lí Vi-ét Nếu phƣơng trình bậc hai ax  bx  c  có a  b  c  có hai nghiệm c x  x  a Nếu phƣơng trình bậc hai ax  bx  c  có a  b  c  có hai nghiệm c x  1 x   a Nếu đa thức f ( x )  ax  bx  c có hai nghiệm x1 x2 phân tích thành nhân tử f ( x )  a  x  x1  x  x2  Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phƣơng trình x  Sx  P  Cho phƣơng trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm x1 x2  x1  x2  Đặt S b c P  Khi đó: a a Nếu P  x1   x2 (hai nghiệm trái dấu) Nếu P  S   x1  x2 (hai nghiệm dƣơng) Nếu P  S  x1  x2  (hai nghiệm âm) 2.5 Ví dụ Ví dụ Giải biện luận phƣơng trình mx  2(m  2) x  m   theo tham số m Giải Với m  , phƣơng trình cho trở thành x   , có nghiệm x  Với m  ,  '  (m  2)2  m(m  3)   m Do đó: Nếu m   '  nên phƣơng trình cho vô nghiệm Nếu m   '  nên phƣơng trình cho có nghiệm x  10 m2  m     x  k 2  x    k 2   ,k       x   k  x    k 2   4 Vậy nghiệm (1) x  k 2 , x    k 2  k   8.5.4 Dạng 2: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  8.5.5 Cách giải   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   4  Điều kiện: t  (*)  t2 Suy sin x cos x  Khi phƣơng trình trở thành: bt  2at  2c  b  Giải phƣơng trình theo t kết hợp với điều kiện (*) suy t Giải phƣơng trình lƣợng giác   sin  x    t , suy x 4  8.5.6 Ví dụ Ví dụ Giải phƣơng trình sau: 6(sin x  cos x)  sin x cos x   (1) Giải   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   Điều kiện: t  4   t2 Suy sin x cos x  81 (*)  t2 Khi (1) trở thành : 6t  60 t  1  t  12t  13     t  13     + Với t  1  sin  x    1  sin  x     4 4       x     k 2  x  k    ,k   3    x   k  x   k 2   4 Vậy nghiệm (1) x  k 2 , x  3  k 2  k   8.6 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực 8.6.1 Phƣơng pháp đặt ẩn số phụ 8.6.1.1 Một số dạng phương trình thường gặp x f(sinx, cosx) = 0, đặt t  tan t   2 f(sin2x, sinxcosx) = 0, đặt t  tan x f(sinx, cos2x) = 0, đặt t  sin x , f(cosx, cos2x) = 0, đặt t  cos x , t   t 1 t 1 f ( 1 ,tan2 x )  , đặt t  , cos x cos x f ( 1 ,cot x )  , đặt t  , t 1 sin x sin x t 1 82  f (sin x  cos x,sin x cos x)  , đặt t  sin x  cos x  sin( x  ) , t  f (tan x  cot x,tan2 x  cot x,tan3 x  cot x)  , đặt t  tan x  cot x , t    Khi tan2 x  cot x  t  , tan3 x  cot3 x  t t  f (tan2 x  cot x,tan4 x  cot x,tan6 x  cot x)  ,đặt t  tan2 x  cot x , t    Khi tan4x  cot 4x  t  , tan6 x  cot6 x  t t2  10 Dạng: a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  , đặt t  tan x t   11 Dạng: a sin3 x  b sin x  c cos3 x  a sin3 x  b cos x  c cos3 x  Đặt t  tan x  t    12 f (cos x  t  cos x  1 t  cos x  , đặt , ,cos2 x  )  cos x cos x cos x cos x 13 f (sin x  t  t   1 , t 2 ,sin2 x  )  , đặt t  sin x  sin x sin x sin x t  sin x  sin x t   8.6.1.2 Ví dụ Ví dụ Giải phƣơng trình sin2 x  2tan x  (1) Giải Điều kiện: cos x  (*) 83 Đặt t  tan x Khi sin2 x  Phƣơng trình trở thành: 2t 1 t 2t  t2  2t   t 1  2t  3t  4t     2t  t   + Với t   tan x   x    k, k   So sánh với (*), suy nghiệm (1) x    k   k   Ví dụ Giải phƣơng trình cos4 x  6sin x cos x  (2) Giải (2)   2sin2 x  3sin2 x   2sin2 x  3sin2 x  Đặt t  sin2 x ; t  t  Khi phƣơng trình trở thành: 2t  3t    t   2 + Với t   sin2 x   x  Vậy nghiệm (2) x  k ,k  k  k   Ví dụ Giải phƣơn trình sin8 x  cos8 x  17 cos2 x (3) 16 Giải 84 4   cos2 x    cos2 x  17 (3)       cos x 2     16 Đặt t  cos2 x , t  4   t    t  17 Khi phƣơng trình trở thành:      t     16  1  t   1  t  + Với t   t  (l)  17t  2t  5t      t  ( n)  1  cos2 x   2cos22 x 1  2  cos4 x   x  Vậy nghiệm (3) x    k  k   x   , k   k   k   Ví dụ Giải phƣơng trình sin2 x  sin2 x  sin x  sin4 x  27 Giải Điều kiện: sin x   x  k, k  Đặt t  sin2 x  sin x ; t  Khi sin x  sin x  t2   t  27 35  t2  t  0 Phƣơng trình trở thành: t  t   4 t    85 + Với t  5  sin x   sin x  sin x    2sin x  5sin x      sin x   sin2 x   2x   2sin2 x    cos2 x    k  k   x   , k  Vậy nghiệm (4) x   k   k    x x Ví dụ Giải phƣơng trình   tan  1  sin x    tan 2  (5) Giải Điều kiện cos x x      k   x    k2  (*) 2 x 2t Đặt t  tan Khi sin x   t2  2t  Phƣơng trình (5) trở thành: 1  t    1 t 2  1 t      1  t   t  2t  1  t   t   1  t 1  t   1  t   t   1  t  1  t  1  t 1  t      t   2t 1  t     t  1 86  + Với t   tan x x    k  x  k2 , k  2 + Với t  1  tan x x    1     k  x    k2 , k  2  So sánh với điều kiện (*), suy nghiệm (5) x  k 2 , x    k 2  k   Ví dụ Giải phƣơng trình 5sin2 x  12(sin x  cos x)  12  (6) Giải (6)  10sin x cos x  12(sin x  cos x)  12   Đặt t  sin x  cos x  sin( x  ) Điều kiện   t   t2 Khi sin x cos x    t2   12t  12  Phƣơng trình trở thành: 10       5t  12t  17  t   t   17    + Với t   sin( x  ) 1  sin( x  )  4 87       x    k 2 x   k 2    ,k      x    k 2  x    k 2  4 Vậy nghiệm (1) x  Ví dụ Giải phƣơng trình 2 sin x   k 2 , x    k 2  k    2tan2 x  5tan x  5cot x   (7) Giải   (7)   cot x  2tan2 x   tan x  cot x       tan2 x  cot x   tan x  cot x      tan x  cot x      tan x  cot x      Đặt t  tan x  cot x  ,t 2 sin2 x  t  Phƣơng trình (7') trở thành: 2t  5t     t  2 + Với t  2   2  sin2 x  1 sin2 x    x    k 2  x    k, k    Vậy nghiệm (7) x    k   k   88 (7') Ví dụ Giải phƣơng trình cos2 x     cos x    1 cos x  cos2 x  Giải Điều kiện: cos x   x  Đặt t  cos x    k , k  1 Khi cos2 x   t2  2 cos x cos x Phƣơng trình trở thành: t   2t   t  2t    t   1  cos x    cos2 x  cos x     + Với t   cos x  cos x  1  cos x   Với cos x  1  cos   x    k 2, k  Vậy nghiệm (8) x    k 2 (với cos   1 )  k   8.6.2 Giải phƣơng trình lƣợng giác cách đƣa phƣơng trình tích Ví dụ Giải phƣơng trình sin2 3x  cos2 x  sin2 5x  cos2 x (1) Giải (1)   cos6 x  cos8 x  cos10 x  cos12 x    2 2  cos6 x  cos8x  cos10 x  cos12 x  2cos7x cos x  2cos11x cos x  cos x  cos11x  cos7 x    2cos x sin9 x sin2 x  89   x   k   k  cos x   x   k  ,k    sin9 x    x     x  k sin2 x      x  k  Vậy nghiệm (1) x  k k , x  k   Ví dụ Giải phƣơng trình 2sin3 x  cos2 x  cos x  (2) Giải   (2)  2sin3 x   2sin2 x  cos x   2sin2 x 1  sin x   1  cos x    1  cos x  1  2sin x cos x   sin x  cos x     1  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x       1  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x      cos x    cos x      sin x  cos x    tan x  1  sin x  cos x    sin  x    (loại)     4 + Với cos x   x  k2, k    + Với tan x  1  x    k2, k    Vậy nghiệm (2) x  k 2 , x    k 2  k   90 x 3x x 3x  Ví dụ Giải phƣơng trình cos cos x cos  sin sin x sin (3) 2 2 Giải (3)  1 cos2 x  cos x  cos x   cos2 x  cos x  sin x   2  cos2 x cos x  cos2 x  cos2 x sin x  cos x sin x   cos2 x cos x   sin2 x  cos2 x sin x  cos x sin x    cos x  sin x  cos2 x   cos x  sin x  sin x    cos x  sin x  cos2 x  sin x    tan x  1  cos x  sin x       cos2 x  cos   x   cos2 x  sin x   2      x    k  x    k  4     k 2    x   x  k 2  x  ,k       x      x   k 2  x     k 2     2      k 2 Vậy nghiệm (3) x    k  , x   , x    k 2  k   8.6.3 Phƣơng pháp đƣa tổng biểu thức không âm Ví dụ 4cos2 x  3tan2 x  cos x  tan x   (1) Giải Điều kiện: cos x   x    k  (*) 91     (1)  4cos2 x  cos x   3tan2 x  tan x     cos x      tan x    2 cos x    cos x     tan x   tan x        x   k 2       x    k 2 , k , l        x    l   Kết hợp với (*), suy nghiệm (1) là: x    k 2  k   8.6.4 Phƣơng pháp nhận xét A  A  Ta có   A  B  Do A  B    B  B  Ví dụ Giải phƣơng trình sin x  cos2 x  Giải  sin x  Ta có   sin x  cos2 x  cos2 x     sin x   sin x   sin x    Do sin x  cos2 x    (vô nghiệm)  sin x  cos2 x  1  2sin x      Vậy phƣơng trình cho vô nghiệm 92 8.6.5 Phƣơng pháp đƣa tích   A.B    A   B  8.6.5.1 Đưa tích 1:  A      A  1    B    B  1   A.B  1   A    B  1 8.6.5.1 Đưa tích -1:  A      A  1    B    B  8.6.5.3 Ví dụ Ví dụ Giải phƣơng trình cos2 3x cos2 x  cos2 x  (1) Giải (1)  1  cos6 x  cos2 x  1  cos2 x    2 cos6 x   cos6 x cos2 x    cos2 x   cos6 x  1  cos2 x  1 cos6 x  cos6 x  1   2 x  k  2 x    k  cos6 x  1 cos6 x      x   k  x  k    x  k x   k  k   x  , k  2 Vậy nghiệm (1) x  k  k   93 8.7 Bài tập tự luyện Giải phƣơng trình sau: 1) sin x  cos4 x   sin2 x cos2 x  cos2 x  4 sin10 x  cos10 x sin6 x  cos6 x 2)  4sin2 x  cos2 x 3) 2sin2 x  2 sin x  3tan2 x  tan2 x   4) 3sin2 x  cos2 x  4cot x   5) sin2 x  sin x  1   2cot x 2sin x sin2 x 6) sin3x  cos3x  2cos x    cos6 x  sin6 x  sin x cos x 7)  2sin x 0 8) cos2 x   sin2 x  sin x  cos x 9) sin4 x  cos4 x  sin x  cos x 10)  x  x sin2    tan2 x  cos2  2 4 11) 5(sin x  cos x )  sin3x  cos3x  2(2  sin2 x) 12) tan2 x  cot x  13) sin x  x  x  14) 3 sin2 x    8sin2 x cos2 x  2sin  x   4  15) cos4 x  sin4 x  2(1  sin2 x cos2 x)sin x cos x  sin x  cos x  16)     cos2   x   cos2 x  3cos   x    2  2  94 17) 8sin2 x cos2 x  3sin2 x  cos2 x 18) sin10 x  cos10 x  19) 29 cos4 x 16 sin x  cos4 x  cos4 x     tan   x  tan   x  4  4  20) 4sin3 x   3sin x  cos3x 21) 2sin x cos2 x  sin2 x cos2 x  sin4 x cos x 22) 23) tan x  1(sin x  2cos x)  5(sin x  3cos x) sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  3sin2 x cos x 24) Định m để phƣơng trình 3sin4 x  2(m  2)sin2 x cos2 x  (1  m2 )cos4 x  có hai nghiệm    x   ;   2 25) Cho phƣơng trình cos2 x  (2m  1)cos x  m   tìm m để phƣơng trình có nghiệm thỏa mãn:    x 2 ================================== 95