Kiến thức cơ bản toán 11

Kiến thức cơ bản toán 11 toàn bộ chương trình tham khảo ôn tập

Tập xác định D = {x ∈ R/x ≠ k , k ∈ Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì , lấy mọi giá trị thuộc R.

II Công thức biến đổi

1 Tích thành tổng

2 Tổng thành tích

1 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Phương trình có dạng:

af2(x) + bf(x) + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0

f(x) là hàm số có một trong các dạng sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x)

Cách giải

Đặt ẩn phụ f(x) = t Giải phương trình theo ẩn t: at2 + bt + c = 0

Rồi giải phương trình lượng giác cơ bản đối với mỗi nghiệm của phương trình theo t

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

asinx + bcosx = c (a2 + b2 > 0)

Điều kiện có nghiệm a2 + b2 > c2

3 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Cách giải

Ta được phương trình theo t

4 Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d

Cách giải

• Xét cosx = 0

• Xét cosx ≠ 0 Chia hai vế phương trình cho cos2x, ta đưa về phương trình theo tanx

(Cũng có thể xét sinx = 0; còn khi sinx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho sin2x, ta đưa về phương trình theo cotx)

N(A ∪ B) = N(A) + N(B)

Ghi chú : Nếu kí hiệu |X| là số phân tử của tập hợp hữu hạn X.

6 Tam giác Pat-can

Sắp các hệ số của nhị thức Niutơn ứng với n = 0, 1, 2, thành bảng gọi là tam giác Pat-can

Phần 5: Xác su t c a bi n c ấ ủ ế ố

1 Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập

hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ấy Ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử

Tập hợp mọi kết quả của một phép thử được gọi là không gian mẫu kí hiệu là Ω

2 Biến cố: là một tập con của không gian mẫu, kí hiệu là A, B

A ∩ B = Ø A, B là hai biến cố xung khắc

Biến cố đối của biến cố AĐịnh nghĩa xác suất của biến cố A:

+ Nếu A ∩ B = Ø thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

+ Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

+ P( ) = 1 - P(A)

I Xác suất có điều kiện

1 Định nghĩa

Giả sử A là biến cố ngẫu nhiên có xác suất dương Xác suất của biến cố B tính trong điều kiện A đã xảy

ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A), được tính theo công thức:

2 Công thức nhân xác suất

Từ công thức (1) ta suy ra:

P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) (2)

Với A, B, V là ba biến cố bất kì sao cho P(A ∩ B) ≠ 0 thì (2) được mở rộng thành:

P(A ∩ B ∩ C) = P(A).P(B/A).P(C/A ∩ B) (3)

Các công thức (2) và (3) được gọi là các công thức nhân xác suất

3 Các biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Từ định nghĩa suy ra: Nếu 0 < P(A) < 1, A và B độc lập thì: P(B/A) = P(B/ ) = P(B)

II Phân bố xác suất của biển ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2, xn với các xác suất tương ứng p1 = P(X = x1), p2 = P(X =

x2), , pn = P(X = xn) thỏa mãn: p1 + p2 + + pn = 1 trình bày dưới dạng bảng:

Được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

III Kì vọng phương sai - Độ lệch chuẩn

X là một biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất:

• Tính chất của E(X): E(kX) = k.E(X) với k là hằng số

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

I Phương pháp qui nạp toán học

Bài toán: Gọi A(n) là một mệnh đề chứa biến n, n ∈ N* Chứng minh A(n) đúng với mọi số tự nhiên n

∈ N*

Cách giải: (Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây)

• Bước 1: Chứng minh A(n) đúng khi n = 1 (*)

• Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết A(n) đúng với n = k, chứng minh A(n) cũng là mệnh đề đúng khi n = k + 1

Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp) Bước 1 gọi là bước cơ sở (hay bước khởi đầu), bước 2 gọi là bước quy nạp (còn gọi là bước “di truyền”) Giả thiết được nói ở bước 2 gọi là giả thiết quy nạp

Chú ý: (*): trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A(n) (nói trên) đúng với

mọi số tự nhiên n ≥ p, trong đó p là số tự nhiên cho trước Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A(n) đúng khi n = 1, ta chứng minh A(n) đúng khi n = p

2 Cách xác định một dãy số

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:

Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un

Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:

• Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

• Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

3 Dãy số đơn điệu

Dãy số (un) được xác định bởi:

(u, d là hai số thực cho trước) được gọi là cấp số cộng

• un, un + 1, un + 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng (un) thì:

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Ví dụ: Dãy số (un); với un = 2n, là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2

III Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:

Gọi Sn = u1 + u2 + + un là tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với q ≠ 1, ta có:

I Dãy số có giới hạn

1 Dãy số có giới hạn 0

Dãy số (un) có giới hạn là 0, kí hiệu (hoặc limun = 0 hoặc un → 0 khi n →+∞), nếu tất cả các

số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương

tùy ý cho trước

Định lí: Cho hai dãy số (un) và (vn)

Nếu l un l ≤ vn, ∀n và limvn = 0 thì limun = 0

2 Dãy số có giới hạn

3 Các định lí về dãy số có giới hạn hữu hạn

Định lí 1.

Định lí 2: Nếu limun = L, limvn =M và c là hằng số thì:

• lim(un ± vn) = L ± M, lim(un.vn) = L.M, limcun = cL

a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

II Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

u1, u1q1, , u1qn-1, với công bội q mà l q l < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

S gọi là tổng của cấp số nhân đã cho Khi đó ta viết:

hoặc limun = +∞ hoặc un = +∞

Áp dụng định nghĩa trên có thể chứng minh rằng:

II Dãy số có giới hạn -∞

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là -∞ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

Là các bài toán tìm giới hạn , trong đó limf(x) = limg(x) = 0 hoặc limf(x) = ∞, limg(x) = ∞ khi x →

x0 hoặc x → x0 hoặc x → x0hoặc x → ±∞

Khi giải các bài toán loại này ta phải biến đổi để khử dạng vô định nhằm áp dụng các định lí giới hạn

2 Dạng 0, ∞.

Dạng toán tìm giới hạn lim[flx).g(x)] trong đó limf(x) = 0, limg(x) = ∞ khi x → x0 hoặc x → x0 hoặc x →

x0hoặc x → ∞

3 Dạng ∞ - ∞

Dạng toán tìm giới hạn lim[f(x) - g(x)], trong đó limf(x) = limg(x) = +∞ hoặc limf(x) = limg(x) = -∞ khi x →

x0 hoặc x → x0 hoặc x → x0hoặc x → ∞

I Giới hạn của hàm số tại một điểm

1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K, có thể trừ ở điểm x0 ∈ K

Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0, nếu với mọi dãy số (xn) (xn ∈ K, xn ≠ x0, ∀xn ∈ N*) sao cho: nếu limxn = x0 thì limf(xn) = L

2 Một số định lí về giới hạn của hàm số

Định lí 1: Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới x0 thì giới hạn đó là duy nhất

Định lí 2: Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x dần tới x0 thì:

Định lí 3: (Giới hạn của một hàm số bị kẹp)

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm x0 (có thể trừ điểm x0)

II Sự mở rộng về giới hạn

1 Giới hạn vô cực

Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) (xn ≠ x0) sao cho: nếu lim

xn = x0 thì lim f(xn) = ∞

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, nếu với mọi dãy số (xn) sao cho limxn = ∞ thì limf(x) = L

3 Giới hạn một bên

a) Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới x0, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > x0 (hoặc xn < x0) Sao cho: limxn = x0 thì limf(x) = L

Phần 13 Hàm s liên t c ố ụ

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) xác định trên (a; b) liên tục tại x0 ∈ (a; b) nếu

Hàm số f(x) không liên tục tại x0 gọi là gián đoạn tại x0

2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.

• Hàm số f(x) xác định trên (a; b) và liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a; b) gọi là liên tục trên khoảng (a; b)

• Hàm số f(x) xác định trên [a; b], liên tục trên (a; b) và được gọi là liên tục trên [a; b]

Định lí 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b], f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số M nằm giữa f(a) và f(b) có ít nhất 1

số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M

Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0 Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và điểm x0 ∈ (a, b) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn sau đây:

thì giới hạn trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0, kí hiệu là f(x0) hay y'x0

2 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

• Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên K nếu f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm bất kì

3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)) Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị tại M0(x0; f(x0)) là:

y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)

4 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động với phương trình S = s(t) thì vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là:

II Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x

Tích f'(x)Δx, kí hiệu df(x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx đã cho: df(x) = f'(x)Δx

Vì dx = (x)’Δx = Δx nên ta có:

df(x) = f'(x)dx hay dy = y’dx

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) Hàm số f(x) còn được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f(x) và

kí hiệu là f(1)(x) nếu hàm số f(1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm

số f(x) và kí hiệu là f''(x) hay f(2)(x) nếu hàm số f(2)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) và kí hiệu f'''(x) hay f(3)(x)

Một cách tổng quát:

Đạo hàm cấp n (n ∈ N, n ≥ 2) của hàm số y = (x), kí hiệu là f(n)(x) hay y(n), là đạo hàm cấp một của hàm số

f(n-1)(x) tức là: f(n)(x) = [f(n-1)x]’

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: s = s(t)

Ta đã biết, vận tốc tại thời điểm t0 của chất điểm đó là:

Vd1: Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M xác định điểm M' là hình chiếu của M trên d Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d

Vd2: Cho vecto u⃗ với mỗi điểm M ta xác định điểm M' theo quy tắc MM'−→−−=u⃗ Phép biến hình này là phép tịnh tiến theo vecto u⃗

Vd3: Với mỗi điểm M xác định điểm M' trùng với M Phép biến hình này là phép đồng nhất

3 Kí hiệu và thuật ngữ

Phép biến hình F và điểm M' là ảnh của M qua phép biến hình F

Kí hiệu: M'=F(M); F(M)=M'

Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M'

Với mỗi hình H, ảnh của H qua phép biến hình F là hình H' gồm các điểm M'=F(M)

a) Biến một đường thẳng thành đường thẳng

b) Biến một tia thành tia

c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó

d) Biến một góc thành góc có số đo bằng nó

e) Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tron bằng nó

2 Phép quay

Cho điểm O và góc α Phép đặt tương ứng mỗi điểm M, một điểm M’ sao cho:

OM’ = OM và = α gọi là phép quay tâm O, góc α Kí hiệu:

3 Phép vị tự

∗ Định nghĩa: Cho điểm O cố định và số k không đổi, k ≠ 0

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M, một điểm M’ sao cho = k

gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu

∗ Tính chất:

• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì = k

• Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì hai đường thẳng MN và M’N’ song song hoặc trùng nhau và M’N' = |k|MN

• Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

• Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn

4 Phép đồng dạng

∗ Định nghĩa: Phép đồng dạng là quy tắc để với mỗi điểm M xác định được điểm M’ (gọi là tương ứng với điểm M) sao cho nếu M’ và N’ là các điểm tương ứng với M và N thì M’N’ = kMN, trong đó k là một số dương không đổi Số dương k gọi là tỉ số của phép đồng dạng

Định nghĩa hai tam giác bằng nhau:

c1: Hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau

c2: Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia

2 Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

⇒Nếu hình H1=hình H2 và hình H2=hình H3 thì hình H1=hình H3

1 Các tính chất thừa nhận:

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

- Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một điểm chung khác

- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

2 Ba cách xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng; qua một đường thẳng và một điểm

không thuộc đường thẳng đó; qua hai đường thẳng cắt nhau

3 Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng; hai đường thẳng gọi là song song

nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

- Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

- Nếu một đường thẳng không nằm trên một mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó trên mặt phẳng thì đường thẳng song song với mặt phẳng

6.

- Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

- Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau

- Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi mặt phẳng (γ) cắt (α) đều phải cắt (β) và các giao tuyến của chúng song song

- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tỉ lệ

- Ba đường thẳng p, q, r cùng song song với một mặt phẳng và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A, B,

C và A', B', C' thì ABBC = A'B'B'C'.

1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt

-Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng

-Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng

-Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung

2 Hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường

thẳng song song với đường thẳng đó

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với

nhau

Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

Hệ quả

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Nếu đường thẳng a không nằm trên mp (P) và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P)

3 Tính chất

Nếu đường thẳng a song song với mp (P) thì mọi mặt phẳng (P) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a