TÀI LIỆU WORD KIẾN THỨC cơ bản TOÁN 10 THAM KHẢO
KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 10 Mệnh đề Khái niệm mệnh đề • Một mệnh đề câu khẳng định hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai • Định lí mệnh đề Phủ định mệnh đề Với mệnh đề P, có mệnh đề có ý nghĩa trái ngược với P gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu , ta có: P sai sai P Mệnh đề chứa biến Mỗi phát biểu có dạng P(x) mà với giá trị biến x ta mệnh đề, gọi mệnh đề chứa biến Chẳng hạn: P(x) : "x + = 0" mệnh đề chứa biến số thực x Với x0 = -1 , P (-1) mệnh đề Với x0 ≠ -1, P(x0) mệnh đề sai Mệnh đề kéo theo • Cho hai mệnh đề P Q Nếu từ mệnh đề P ta suy mệnh đề Q ta có mệnh đề kéo theo: P kéo theo Q kí hiệu P ⇒ Q Mệnh đề sai P Q sai • Mệnh đề kéo theo có phát biểu dạng khác, tuỳ thuộc vào tình cụ thể như: P nên Q P Q Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q Khi ta nói : P giả thiết, Q kết luận định lí, P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương • Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Ta gọi P ⇒ Q mệnh đề thuận • Với hai mệnh đề P Q cho, mệnh đề tương đương P ⇔ Q hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P đúng, hay hai mệnh đề P Q sai Khi mệnh đề P ⇔ Q ta nói P tương đương với Q nói P điều kiện cần đủ để có Q P Q Kí hiệu ∀ ∃ Mệnh đề "Với số thực x, x2 lớn 0" viết là: ∀x ∈ R : x2 ≥ Kí hiệu ∀ đọc "với mọi" Mệnh đề "Có số nguyên nhỏ 0", viết là: ∃n ∈ Z : n < Kí hiệu ∃ đọc "có một" (tồn một) hay "có một" (tồn một) Một mệnh đề chứa biến gắn kí hiệu ∀ kí hiệu ∃ mệnh đề Tập hợp Tập hợp phần tử • Tập hợp khái niệm toán học Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc a thuộc A) Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc a không thuộc A) • Tập hợp rỗng, kí hiệu ∅, tập hợp không chứa phần tử Cách xác định tập hợp Ta xác định tập hợp hai cách sau: - Liệt kê phần tử nó; - Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử Tập hợp • Nếu phần tử A phần tử B, ta nói A tập hợp B viết A ⊂ B, A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B) • Tính chất a) A ⊂ A với tập hợp A; b) Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C; c) ∅ ⊂ A với tập hợp A Tập hợp Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói tập hợp A tập hợp B viết A = B A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B) Các phép toán tập hợp Giao hai tập hợp Tập hợp gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A B, kí hiệu A ∩ ß, Hợp hai tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B, kí hiệu A ∪ B A ∪ B = {x| x ∈ A x ∈ B} x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A x ∈ B Hiệu phần bù hai tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí hiệu A \ B Khi B ⊂ A A\ B gọi phần bù B A, kí hiệu CAB Các t ập h ợp s ố - S ố g ần I- Các tập hợp số Tập hợp số tự nhiên N N = {0, 1, 2, 3, } N∗ = {1, 2, 3, } Tập hợp số nguyên Z Z = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Các số -1, -2, -3, gọi số nguyên âm Vậy Z gồm số tự nhiên số nguyên âm Tập hợp số hữu tỉ Q Số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn Tập hợp số thực R Tập hợp số thực gồm số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn vô hạn không tuần hoàn Số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi số vô tỉ Tập hợp số thực R gồm số hữu tỉ số vô tỉ Khoảng: (a ; b) = {x ∈ R | a < x < b} (a ; +∞) = {x ∈ R | a < x} (-∞ ; b)= {x ∈ R | x < b} Đoạn: [a ; b]= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} Nửa khoảng: [a ; b) = {x ∈ R | a ≤ x < b} (a ; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} [a ; +∞) = {x ∈ R | a ≤ x} (-∞ ; b] = {x ∈ R | x ≤ b} II- Số gần Sai số tuyệt đối Độ xác số gần • Giả sử số giá trị đại lượng số a giá trị gần Số Δa = | - a| gọi sai số tuyệt đối số gần a • Trong thực tế, thường chưa biết xác chưa biết Δa Mỗi ước lượng d, Δa ≤ d, gọi độ xác số gần a Quy ước viết : = a ± d Cách viết có nghĩa | - a| ≤ d hay a - d ≤ ≤ a + d Sai số tuyệt đối số gần nhận phép đo đạc không phản ánh đầy đủ tính xác phép đo Sai số tương đối Tỉ số nhỏ phép đo xác Cách viết chuẩn số gần • Số dân tỉnh H số gần a = 2841 675, xác tới hàng nghìn Điều có nghĩa chữ số hàng đơn vị, chục, trăm không đáng tin, chữ số từ hàng nghìn trở lên đáng tin Viết a dạng chuẩn là: 2841.103 Nếu số gần a số nguyên dạng chuẩn là: A.10n n chữ số sau (hàng đơn vị, chục, ) không đáng tin, chữ số A đáng tin • Chiều dài cầu đo số gần a = 1745,256 mét, xác tới hàng phần chục Điều có nghĩa hàng phần trăm, phần nghìn không đáng tin Biểu diễn dạng chuẩn a là: a = 1745,2m Nếu số gần số thập phân không nguyên dạng chuẩn dạng chữ số chữ số đáng tin Kí hiệu khoa học số thập phân hữu hạn Mỗi số thập phân hữu hạn viết dạng α.10n, với ≤ |α| < 10, n ∈ Z Đó dạng khoa học số thập phân cho Nó sử dụng trường hợp số thập phân lớn bé Ví dụ: Khối lượng Trái Đất viết dạng kí hiệu khoa học 5,98.10 24kg Khối lượng nguyên tử Hiđrô viết dạng kí hiệu khoa học 1,66.10 -24g Hàm số Cho D tập hợp tập số thực Hàm số f xác định D quy tắc cho tương ứng x ∈ D số thực y nhất, kí hiệu y = f(x), x gọi biến số hàm số f Số f(x) gọi giá trị hàm số f x Ta thường nói y = f(x) hàm số xác định D Nếu y = f(x) hàm số f(x) biểu thức, tập xác định hàm số tập số thực x để biểu thức f(x) có nghĩa Đồ thị hàm số y = f(x) xác định tập D tập hợp tất điểm M(x ; f(x)) mặt phẳng tọa độ với x ∈ D Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng (a ; b) nếu: ∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng (a ; b ) nếu: ∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) • y = f(x) đồng biến (a ; b) ⇔ ∀x1, x2 ∈ (a ; b) x1 ≠ x2 • y = f(x) nghịch biến (a ; b) ⇔ ∀x1, x2 ∈ (a ; b) x1 ≠ x2 Xét chiều biến thiên hàm số f tìm khoảng đồng biến khoảng nghịch biến tập xác định Kết khảo sát viết bảng biến thiên Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D -x ∈ D f(-x ) = f(x) Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D -x ∈ D f(-x ) = -f(x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Hàm s ố y = ax + b Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) (1) Tập xác định: D = R Chiều biến thiên : + Với a > hàm số (1) đồng biến R + Với a < hàm số (1) nghịch biến R Bảng biến thiên: a>0 Đồ thị: a0 a( f(x))2=(g(x))2 Phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x2+4xy-y2=-x+2y+3 Nếu phương trình hai ẩn x y trở thành mệnh đề x=x y=y0, x0, y0 số cặp số (x0;y0) nghiệm pt Tương tự khái niệm tập xác định, tập nghiệm, phương trình tương đương, phương trình hệ với pt nhiều ẩn pt ẩn Phương trình chứa tham số Ví dụ: m(x+2)=3mx-1 với ẩn x phương trình chứa tham số m Nghiệm tập nghiệm pt chứa tham số phụ thuộc vào tham số Khi giải pt chứa tham số, tập nghiệm phương trình tùy theo giá trị tham số (giải biện luận phương trình) Ph ương trình b ậc nh ất, b ậc hai I Định nghĩa Vectơ đoạn thẳng có định hướng • Một vectơ có điểm đầu (điểm gốc) A điểm cuối (điểm ngọn) B kí hiệu AB−→− • Độ dài vectơ AB−→− độ đài đoạn AB, kí hiệu ∣∣AB−→−∣∣ • Hai vectơ phương chúng nằm đường thẳng hai đường thẳng song song Hai vectơ phương hướng ngược hướng Vectơ - không, kí hiệu 0⃗ vectơ có độ dài 0, gốc trùng với ngọn, vectơ - phương tuỳ ý Vectơ - không phương với vectơ khác Vectơ đơn vị có độ dài Hai vectơ gọi chúng có hướng độ dài a⃗ = b⃗ b⃗ = c⃗ ⇒ a⃗ = c⃗ Cho a⃗ điểm O có điểm A mà OA−→− = a⃗ Hai vectơ gọi đối chúng ngược hướng có độ dài Vectơ đối a⃗ , kí hiệu −a⃗ II Phép cộng vectơ Định nghĩa: Cho hai vectơ a⃗ b⃗ Từ điểm O tùy ý, ta vẽ OA−→− = a⃗ , AB−→− = b⃗ OB−→− tổng a⃗ b⃗ Kí hiệu a⃗ + b⃗ Ta có: OB−→− = a⃗ + b⃗ Tính chất: Cho ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ bất kì, ta có: • a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ (tính chất giao hoán) • (a⃗ + b⃗ ) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗ ) (tính kết hợp) • a⃗ + 0⃗ = 0⃗ + a⃗ • a⃗ + (−a⃗ ) = (−a⃗ ) + a⃗ = 0⃗ Phép trừ vectơ: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗ ) Vài kết quan trọng • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B , C bất kì, ta có: AB−→− + BC−→ = AC−→− hay: BC−→ = AC−→− − AB−→− • Quy tắc đường chéo hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD Ta có: AB−→− + AD−→− = AC−→− • Bất đẳng thức vectơ: ∣∣a⃗ ∣∣ − ∣∣b⃗ ∣∣ ≤ ∣∣a⃗ ± b⃗ ∣∣ ≤ ∣∣a⃗ ∣∣ + ∣∣b⃗ ∣∣ III Phép nhân số thực vói vectơ Định nghĩa: Cho số thực k ≠ vectơ a⃗ • Cùng hướng với a⃗ ≠ 0⃗ Tích k với vectơ a⃗ , kí hiệu ka⃗ , vectơ: k > 0, ngược hướng với a⃗ k < • ∣∣ka⃗ ∣∣ = |k|.∣∣a⃗ ∣∣ Đặc biệt: 0.a⃗ = 0⃗ ; k.0⃗ = 0⃗ Tính chất Với vectơ a⃗ , b⃗ với số thực m, n ta có: • m(a⃗ + b⃗ ) = ma⃗ • (m + n)a⃗ = ma⃗ + mb⃗ + na⃗ • m(n.a⃗ ) = (m.n)a⃗ • 1.a⃗ = a⃗ • (-1)a⃗ = -a⃗ Kết a) M trung điểm AB ; O điểm bất kì, ta có: MA−→− = −MB−→− ⇔ MA−→− + MB−→− = 0⃗ ⇔ OM−→− = 12(OA−→− + OB −→−) b) G trọng tâm tam giác ABC M điểm tuỳ ý, ta có: GA−→− + GB−→− + GC−→− = 0⃗ ⇔ MA−→− + MB−→− + MC−→− = 3MG−→ − c) Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ MA−→− = kMB−→− Với O điểm bất kì, ta có: MA−→− = kMB−→− ⇔ OM−→− = OA−→− − kOB−→−1 − k T ọa độ đườ ng th ẳng, m ặt ph ẳng (k ≠ 1) I Toạ độ đường thẳng Trục đường thẳng mà chọn điểm gốc O vectơ đơn vị i⃗ Toạ độ vectơ trục toạ độ • Cho u⃗ trục (O ; i⃗ ) Số a toạ độ vectơ u⃗ u⃗ = a.i⃗ • Toạ độ vectơ AB−→− trục toạ độ, kí hiệu AB (đọc AB đại số hay số đo đại số vectơ AB−→−) AB−→− = AB.i⃗ Toạ độ điểm trục toạ độ • Toạ độ vectơ OM−→− toạ độ điểm M • A(a) B(b) ⇒ AB = b - a • Cho điểm A, B, C trục x'Ox, ta có: AB + BC = AC (hệ thức Sác-lơ) • Cho A(a), B(b) toạ độ trung điểm M AB là: m= a + b2 II Toạ độ mặt phẳng Hệ trục toạ độ • x'Ox : trục hoành, vectơ đơn vị i⃗ • y'Oy : trục tung, vectơ đơn vị j⃗ • Ký hiệu hệ trục (Oxy ) hay (O ; i⃗ , j⃗ ) Toạ độ vectơ • u⃗ = (x ; y) ⇔ u⃗ = xi⃗ + yj⃗ Toạ độ điểm Trong mặt phẳng (Oxy) • M(x ; y) ⇔ OM−→− = (x ; y) x : hoành độ điểm M y : tung độ điểm M • Cho A(xA ; yA), B(xB ; yB) : AB−→− = (x - x ; y - y ) B A B A • M(x ; y) chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ khi: M ⎧⎩⎨⎪⎪x = xA − kxB1 − ky = yA − kyB1 − k • M(x ; y) trung điểm AB khi: M ⎧⎩⎨⎪⎪x = xA + xB2y = yA + yB2 • G(x ; y) trọng tâm tam giác ABC khi: G⎧⎩⎨⎪⎪x = xA + xB + xC3y = yA + yB + yC3 Tích vô h ướ ng c hai vect - Ph ần I I Giá trị lượng giác góc (từ 00 đến 1800) Định nghĩa Với góc α (00 ≤ α ≤ 1800), ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho MOxˆ = α Gọi (x ; y) toạ độ M Khi đó, ta định nghĩa: • sinα = y • cosα = x • tanα = yx (với x ≠ 0) • cotα = xy (với y ≠ 0) Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi giá trị lượng giác góc α Suy ra: • tanα = sinαcosα • cotα = cosαsinα Hai góc bù tổng số đo chúng 180° Góc bù góc α góc 180° - α Ta có: sin(180° - α) = sinα cos(180° - α) = -cosα tan(180° - α) = -tanα cot(180° - α) = -cotα Hai góc phụ chúng có số đo α 90° - α sin(900 - α) = cosα cos(90° - α) = sinα tan(90° - α) = cotα cot(90° - α) = tanα Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Góc 0 30 45 60 90 120 135 150 180 sin 12 2√2 3√2 3√2 2√2 12 cos 3√2 2√2 12 -12 -2√2 -3√2 -1 tan 3√3 3√ || -3√ -1 -3√3 cot || 3√ 3√3 -3√3 -1 -3√ || 0 0 0 0 Góc hai vectơ • Cho hai vectơ a⃗ b⃗ khác vectơ 0⃗ , từ điểm O vẽ vectơ OA−→− = a⃗ , OB−→− = b⃗ thi số đo góc AOBˆ gọi số đo góc hai vectơ a⃗ b⃗ đơn giản góc hai vectơ a⃗ b⃗ • (a⃗ , b⃗ ) = 900 ⇔ a⃗ ⊥ b⃗ • Nếu a⃗ = 0⃗ (hoặc b⃗ = 0⃗ ) (a⃗ , b⃗ ) góc tuỳ ý II Tích vô hướng hai vectơ Định nghĩa tích vô hướng hai vectơ a⃗ b⃗ = ∣∣a⃗ ∣∣.∣∣b⃗ ∣∣cos(a⃗ ,b⃗ ) Bình phương vô hướng • a⃗ a⃗ kí hiệu: a2→ gọi bình phương vô hướng a⃗ • a⃗ = ∣∣a⃗ ∣∣.∣∣a⃗ ∣∣cos00 ⇒ a⃗ = ∣∣a⃗ ∣∣2 Tính chất tích vô hướng Với ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ tuỳ ý số thực k bất kì, ta có : • a⃗ b⃗ = b⃗ a⃗ (tính giao hoán) • (ka⃗ ).b⃗ = k(a⃗ b⃗ ) = ã (k ĩ ) = k { a ï ) • a⃗ (b⃗ + c⃗ ) = a⃗ b⃗ + a⃗ c⃗ (tính phân phối phép cộng) • a⃗ b⃗ = ⇔ a⃗ ⊥ b⃗ Kết quả: a) (a⃗ + b⃗ )2 = a⃗ − b⃗ 2 + 2a⃗ b⃗ + b⃗ 2(a⃗ − b⃗ )2 = a⃗ − 2a⃗ b⃗ + b⃗ 2(a⃗ + b⃗ )(a⃗ − b⃗ ) = a⃗ = ∣∣a⃗ ∣∣2 − ∣∣b⃗ ∣∣2 b) Độ dài vectơ góc hai vectơ : Cho a⃗ = (a1 ; a2) b⃗ = (b1 ; b2) Ta có : • a⃗ b⃗ = a1b1 + a2b2 (biểu thức toạ độ tích vô hướng) • ∣∣a⃗ ∣∣ = a21 + a22−−−−−−−√ • {A(xA ; yA)B(xB ; yB)⇒ AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−√ • cos(a⃗ , b⃗ ) = a⃗ b⃗ ∣∣a⃗ ∣∣.∣∣b⃗ ∣∣ = a1b1 + a2b2a21 + a22√.b21 + b22√ • a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a1b1 + a2b2 = Công thức hình chiếu Cho hai vectơ OA−→−, OB−→− Gọi B' hình chiếu B đường thẳng OA Ta có: OA−→−.OB−→− = OA−→−.OB'−→− (công thức hình chiếu) Tích vô h ướng c hai vect - Ph ần II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG I Tính biểu thức lượng giác góc từ 00 đến 1800 Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, công thức học, góc bù nhau, phụ Ví dụ: Tính A = sin900 - tan1200 + tan1350 + cot21500 Giải A = sin900 - cos600 - tan450 + (-cot300)2 = - 12 - + (−3√)2 = 52 DẠNG II Tính tích vô hướng hai vectơ Phương pháp giải: Tuỳ theo đề bài, dùng: • Định nghĩa, dùng biểu thức toạ độ tích vô hướng • Công thức hình chiếu • Có thể sử dụng tính chất tích vô hướng để đưa tổng, hiệu nhữngtích vô hướng đơn giản Cần lưu ý vài trường hợp đặc biệt: • a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ b⃗ = • Trường hợp A, B , C thẳng hàng : + Nếu A đoạn BC AB−→−.AC−→− = AB.AC + Nếu A B C AB−→−.AC−→− = -AB.AC Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, Aˆ = 120° Tính AB−→−.AC−→−, AB−→−.BC−→ Giải • AB−→−.AC−→− = AB.AC.cosA = 5.8.cos120° = -20 • AB−→−.BC−→ = AB−→−.(AC−→− − AB−→−) = AB−→−.AC−→− − AB2−→− = -20 - 25 = -45 DẠNG III Chứng minh đẳng thức tích vô hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp giải: • Dùng định nghĩa, tính chất tích vô hướng dạng II • Đưa bình phương độ dài bình phương vectơ : AB2 = AB−→−2 = (CB−→ − CA−→−)2 = Ví dụ: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh: AM−→−.BC−→ + BN−→−.CA−→− + CP−→.AB−→− = Giải Ta có: AM−→−.BC−→ = 12(AC−→− + AB−→−) (AC−→− − AB−→−) = 12(AC2 − AB2) (1) Tương tự: BN−→−.CA−→− = 12(BA2 − BC2) CP−→.AB−→− = 12(CB2 − CA2) (2) (3) Cộng (1), (2), (3) thu gọn ta có: AM−→−.BC−→ + BN−→−.CA−→− + CP−→.AB−→− = DẠNG IV Chứng minh hai đường thẳng hay hai vectơ vuông góc Phương pháp giải: • Sử dụng: a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ b⃗ = Ví dụ: Cho hình thang vuông ABCD Đường cao AB hai cạnh đáyAD, BC có độ dài h, a, b Tìm điều kiện a, b, h để AC BD vuông góc với Giải AC ⊥ BD ⇔ AC−→−.BD−→− = ⇔ (AB−→− + BC−→)(AD−→− − AB−→−) = ⇔ AB−→−.AD−→− + BC−→.AD−→− − AB2 − AB−→−.BC−→ = Mà AB ⊥ AD AB ⊥ BC nên: AB−→−.AD−→− = AB−→−.BC−→ = Vậy AC ⊥ BD ⇔ BC−→.AD−→− − AB2 = ⇔ ab - h2 = ⇔ h2 = ab DẠNG V Tìm tập hợp điểm Phương pháp giải: Các dạng bản: MA−→−.MB−→− = k • k = : Tập hợp điểm đường tròn đường kính AB • k ≠ 0: Gọi I trung điểm AB MA−→−.MB−→− = k ⇔ MI = k + AB24 Tập hợp điểm đường tròn tâm I, bán kính R = k + AB24−−−−−−−−√nếu k + AB24 > Chú ý: Khi k + AB24 < : Tập hợp điểm M tâp Ø AM−→−.BC−→ = k • k = : Tập hợp điểm M đường thẳng qua A vuông góc BC • k ≠ 0: Gọi A' ; H hình chiếu A, M lên đường thẳng BC.Tập hợp phải tìm đường thẳng vuông góc với BC H cho hệ thức: A'H−→−.BC−→ = k Hệ thức lượng tam giác I Định lí côsin a = b + c - 2bc cos A b = c + a - 2ca cos B c = a + b - 2ab cos C 2 2 2 2 (I) II Định lí sin asinA = bsinB = csinC = 2R (II) R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC III Công thức độ dài đường trung tuyến m2a = b2 + c22 − a24m2b = c2 + a22 − b24m2c (ma, mb, mc độ dài trung tuyến vẽ từ A, B, C) V Công thức tính diện tích Kí hiệu : S : Diện tích tam giác ABC p = a + b + c2: Nửa chu vi tam giác ABC R : Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r : Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A ha, hb, hc: Các đường cao vẽ từ A, B, C = a2 + b22 − c24 (III) S = 12a.ha = S= b.hb = absinC = c.hc bcsinA = casinB (IV) S = abc4R S = pr S = p(p − a)(p − b)(p − c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ (Công thức Hê-rông) VI Các dạng toán DẠNG I Tính yếu tố tam giác Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp công thức (I), (II), (III), (IV) Ví dụ: Cho tam giác ABC có A = 60°, b = 5cm, c = 8cm Tính a, R, S, p, r Giải • a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = 25 + 64 - 2.5.8 cos 60° = 49 ⇒ a = 7cm • asinA = 2R ⇒ R = a2sinA = 72.sin600 = 73√3 (cm) • S = 12bc sinA = 12.5.8.3√2 = 103√ (cm2) • p = 12(a + b + c) = 12(7 + + 8) = 10 (cm) • r = Sp = 103√10 = 3√ (cm) DẠNG II Chứng minh hệ thức liên quan đến yếu tố tam giác Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp công thức (I), (II), (III), (IV) Ví dụ: Trong tam giác ABC, chứng minh: b2 - c2 = a(b cosC - c cosB) Giải Sử dụng định lí côsin : b = c2 + a2 - 2ca cosB (1) c2 = a2 + b2 - 2ab cosC (2) (1) - (2) ta có: b - c = c - b - 2a(c cosB - b cosC) 2 2 = a (b cosC - c cosB) DẠNG III Nhận dạng tam giác Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp công thức (I), (II), (III), (IV) Ví dụ: Tam giác ABC có tính chất đặc biệt ta có: 2a cosA = b cosC + c cosB (1) Giải (1) ⇔ 2(2RsinA)cosA = 2RsinB.cosC + 2RsinC.cosB ⇔ 2sinAcosA = sinBcosC + cosBsinC ⇔ 2sinAcosA = sin(B + C) ⇔ 2sinAcosA = sinA ⇔ cosA = 12 (vì sinA ≠ 0) ⇔ A = 600 Vậy tam giác ABC có góc A = 600 Đườn g th ẳng I Phương trình tổng quát đường thẳng • n⃗ ≠ 0⃗ vectơ pháp tuyến đường thẳng d giá n⃗ vuông góc với d • Phương trình tổng quát đường thẳng d: Ax + By + C = 0, (A2 + B2 ≠ 0) (1) n⃗ = (A ; B) vecto pháp tuyến d • Đặc biệt Phương trình d: Qua điểm M0(x0 ; y0) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (A ; B) là: A(x - x0) + B(y - y0) = Qua gốc toạ độ O: Song song hay trùng với x'Ox : By + C = Song song hay trùng với y'Oy : Ax + C = Có hệ số góc k qua M0(x0 ; y0) : y = k(x - x0) + y0 Có hệ số góc k qua B(0 ; b) : y = kx + b Qua A(a ; 0) B(0 ; b): xa + yb = a,b khác dạng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Trường hợp đường thẳng d có phương trình tổng quát ax+by+c=0 Nếu b khác phương trình đưa dạng: y=kx+m với k=-a/b, m=-c/b, k hệ số góc đường thẳng d phương trình d theo hệ số góc II Phương trình tham số đường thẳng • a⃗ ≠ 0⃗ vectơ phương đường thẳng d giá a⃗ phương với d • Phương trình tham số : Cho đường thẳng d có vectơ phương a⃗ = (a1; a2) qua M0(x0 ; y0) Phương trình tham số d: Chú ý: d có vectơ pháp tuyến n⃗ = (A ; B) d có vectơ chì phương a⃗ = (B ; -A) hay a'→ = (-B ; A) d có vectơ phương a⃗ = (a1 ; a2) d có: * Hệ số góc k = a2a1 (với a1 ≠ 0) * Vectơ pháp tuyến : n⃗ = (a2 ; -a1) hay n'→= (-a2 ; a1) III Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : Ạ1x + B1y + C1 = 0, d2 : A2x + B2y + C2 = Đặt: D = ∣∣∣A1 A2B1B2∣∣∣ ; Dx = ∣∣∣B1 B2C1C2∣∣∣ ; Dy = ∣∣∣C1 C2A1A2∣∣∣ IV Khoảng cách góc • Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng d: Ax + By + C = Cho hai đường thẳng d1 : A1x + B1y + C1 = 0, d2 : A2x + B2y + C2 = • Phương trình hai phân giác góc tạo d1 d2 : • Góc d1 d2 cho công thức : • d1 ⊥ d2 ⇔ A1A2 + B1B2 = Ghi chú: d1 , d2 có vectơ phương a⃗ = (a1 ; a2), b⃗ = (b1 ; b2) • d1 , d2 có hệ số góc k1, k2 góc định hướng d1 , d2 cho công thức: Đường tròn I Phương trình đường tròn Phương trinh đường tròn (C) có tâm I(a ; b), bán kính R: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) Dạng khai triển : Phương trình: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (2) với điều kiện: a2 + b2 - c > (3) phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = a2 + b2 − c−−−−−−−−−−−√ II Phương trình tiếp tuyến đường tròn Tiếp tuyến điểm M0(x0 ; y0) ∈ (C) : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 đường thẳng qua M0(x0 ; y0) có vectơ pháp tuyến n⃗ = (a - x0 ; b - y0) nên có phương trình: (a - x0)(x - x0) + (b - y0)(y - y0) = Dùng điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng Δ tiếp xúc với (C) d(I, Δ) = R III Các dạng toán Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm tâm bán kính Phương pháp giải: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = phương trình đường tròn a2 + b2 - c > Với a2 + b2 - c > đường tròn (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = có tâm I(a ; b), bán kính R = a2 + b2 − c−−−−−−−−−−−√ Dạng 2: Viết phương trình đường tròn Phương pháp giải: Cách 1: Tìm tâm I(a ; b) bán kính R Cách 2: Tìm hệ số a, b, c phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải: Tiếp tuyến với đường tròn C(I ; R) (với I(a ; b)) điểm M 0(x0 ; y0) đường thẳng: • qua M0(x0 ; y0) • có vectơ pháp tuyến n⃗ = (a - x0 ; b - y0) Điều kiện để đường thẳng Δ tiếp xúc C(I ; R) d(I , Δ) = R Elip Định nghĩa Cho điểm F1, F2 với F1F2 = 2c Elip tập hợp điểm M mà MF1 + MF2 = 2a (với a > c) M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (với 2a > F1F2) Phương trình tắc elip Hình dạng elip (1) a) x'Ox, y'Oy O trục tâm đối xứng elip b) Elip cắt x'Ox A (-a ; 0) A (a ; 0) ; cắt y'Oy B (0 ; -b), B2(0 ; b) c) x'Ox : trục lớn ; A A = 2a : độ dài trục lớn y'Oy : trục nhỏ ; B B = 2b : độ dài trục nhỏ (vì 2b < 2a) d) F (-c ; 0), F (c ; 0) : tiêu điểm, nằm x'Ox ; F F = 2c : tiêu cự 1 2 2 e) Hình chữ nhật sở tiếp xúc với elip đỉnh A1, A2 ; B1, B2 đưòng thẳng chứa cạnh có phương trình : x = ±a ; y = ±b f) Tâm sai e = ca < g) Độ dài bán kính qua tiêu điểm: h) Đường chuẩn ứng với F1(-c ; 0): Δ1: x = −ae = −a2c Đường chuẩn ứng với F2(c ; 0): Δ2: x = ae = a2c Sự liên hệ đường tròn eỉip Phép co • Phép co trục x'Ox, hệ số co k phép biến hình, biến điểm M(x ; y)thành điểm N(x' ; y') thoả {x' = xy' = ky • Phép co trục x'Ox, hệ số co k = ba < biến đưòng tròn (C) : x2 + y2 = a2 thành elip: • Ngược lại phép co trục x'Ox, hệ số co k = ba > biến elip thành đường tròn x2 + y2 = a2 Hypebol Định nghĩa Cho hai điểm F1, F2 với F1F2 = 2c Hypebol tập hợp điểm M mà |MF1 - MF2| = 2a (với 2a < 2c ) M ∈ (H) ⇔ |MF1 - MF2| = 2a , với 2a < F1F2 (1) Phương trình tắc hypebol với b2 = c2 - a2 ⇔ c2 = a2 + b2 (2) Hình dạng hypebol a) x'Ox, y'Oy O trục tâm đối xứng hypebol b) Hypebol cắt x'Ox A1(-a ; 0) A2(a ; 0) ; A1, A2 gọi đỉnh hypebol c) x'Ox : trục thực ; y'Oy : trục ảo hypebol Độ dài trục thực : 2a ; độdài trục ảo : 2b d) Tiêu điểm: F1(-c ; 0), F2(c ; 0) ∈ x'Ox ; tiêu cự F1F2 = 2c e) Hình chữ nhật tâm O, kích thước 2a, 2b gọi hình chữ nhật sở hypebol Độ dài đường chéo hình chữ nhật 2c Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hai đường tiệm cận hypebol có phương trình y = ±bax Các đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật sở có phương trình: x = ±a ; y = ±b f) Tâm sai : e = ca > g) Độ dài bán kính qua tiêu điểm: Suy M(x ; y) thuộc nhánh phải thì: Nếu M(x ; y) thuộc nhánh trái thì: Parabol Định nghĩa Cho đường thẳng cố địnhΔ điểm cố định F ∉ Δ Parabol tiêu điểm F, đường chuẩn Δ tập hợp điểm M mà MF = d(M, Δ) p = d(F, Δ) : tham số tiêu Phương trình tắc parabol y2 = 2px Hình dáng parabol a) x'Ox : trục đối xứng Parabol tâm đối xứng b) Parabol tiếp xúc với y'Oy tạiO; O đỉnh parabol c) Tiêu điểm F(p2 ; 0) ∈ x'Ox, đường chuẩn Δ: x = −p2 d) Tâm sai e = MFd(M, Δ) = e, Bán kính qua tiêu điểm: r = MF = x + p2 Ba đường cônic Định nghĩa Cho đường thẳng d; điểm F∈ d số dương e Cônic (C) tập hợp điểm M mặt phẳng cho MFd(M , d) = e F : gọi tiêu điểm ; d : đường chuẩn ; e : tâm sai Đoán nhận loại cônic (C) parabol ⇔ e = (C) elip ⇔ < e < (C) hypebol ⇔ e > [...]... 0; P(x)Q(x) < 0; P(x)Q(x) ≤ 0 với P(x) và Q(x) có thể viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất đối với x • Khử dấu giá trị tuyệt đối của những nhị thức bậc nhất 2 Dấu của tam thức bậc hai • Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức dạng ax2 + bx + c, trong đó a , b, c là ba số đã cho, với a ≠ 0 • Dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Dấu của f(x) Δ Cùng dấu với a (kí hiệu là (+))... DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG I Tính các biểu thức lượng giác của góc từ 00 đến 1800 Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, các công thức đã học, góc bù nhau, phụ nhau Ví dụ: Tính A = sin900 - tan1200 + tan1350 + cot21500 Giải A = sin900 - cos600 - tan450 + (-cot300)2 = 1 - 12 - 1 + (−3√)2 = 52 DẠNG II Tính tích vô hướng của hai vectơ Phương pháp giải: Tuỳ theo đề bài, có thể dùng: • Định nghĩa, dùng biểu thức. .. c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ (Công thức Hê-rông) VI Các dạng toán cơ bản DẠNG I Tính các yếu tố trong tam giác Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các công thức (I), (II), (III), (IV) Ví dụ: Cho tam giác ABC có A = 60°, b = 5cm, c = 8cm Tính a, R, S, p, r Giải • a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = 25 + 64 - 2.5.8 cos 60° = 49 ⇒ a = 7cm • asinA = 2R ⇒ R = a2sinA = 72.sin600 = 73√3 (cm) • S = 12bc sinA = 12.5.8.3√2 = 103 √ (cm2) •... 2 Biểu đồ hình quạt • Dùng biểu thị cơ cấu sản phẩm, số liệu Thích hợp cho việc biểu thị bảng phânbố tần suất ghép lớp • Nếu tần suất được viết dưới dạng phân số ab thì, trên hình tròn số này đươc biểu diễn bằng hình quat có sô đo độ là 3600 x ab Ví dụ: Nếu tần suất là 28% thì trên hình tròn, tần suất này tương ứng với hình quạt có góc ở tâm là 3600 x 2 8100 ≈ 101 0 S ố trung bình S ố trung v ị M ốt... tanα Công thức lượ ng giác 1 Công thức cộng cos(a - b ) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb sin(a - b ) = sina.cos b - cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2 Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a tan2a = 2tana1 − tan2a 3 Công thức hạ bậc cos2a = 1 + cos2a2 ; sin2a = 1 − cos2a2 ; tan2a = 1 − cos2a1 + cos2a 4 Công thức biến... hai 1 Dấu của nhị thức bậc nhất a Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai sốthực đã cho, a ≠ 0 b Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b x -∞ f(x) +∞ −ba Trái dấu với a Minh hoạ bằng đồ thị: Cùng dấu với a a>0 a 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0, với P(x) có thể viết dưới dạng tích của những nhị thức bậc nhất đối... thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của hệ B ất đẳ ng th ức và ch ứng minh b ất đẳng th ức 1 Bất đẳng thức • Các mệnh đề dạng "a > b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤ b", với a và b là hai số thực, được gọi là những bất đẳng thức • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 2 Tính chất của bất đẳng thức (1) Bắc cầu a > b và b > c ⇒ a> c (2) Cộng hai vế với cùng một số a>b⇔a+c>b+c (3) Nhân hai... asinA = 2R ⇒ R = a2sinA = 72.sin600 = 73√3 (cm) • S = 12bc sinA = 12.5.8.3√2 = 103 √ (cm2) • p = 12(a + b + c) = 12(7 + 5 + 8) = 10 (cm) • r = Sp = 103 10 = 3√ (cm) DẠNG II Chứng minh các hệ thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các công thức (I), (II), (III), (IV) Ví dụ: Trong tam giác ABC, chứng minh: b2 - c2 = a(b cosC - c cosB) Giải Sử dụng định lí côsin :... trung bình và Để thuận tiện hơn trong tính toán có thể sử dụng công thức s2=1N∑Ni=1x2i−1N2(∑Ni=1xI)2 2 Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: 3 Phương sai và độ lệch chuẩn là hai số đặc trưng cho mức độ biến động, chênhlệch giữa các số liệu của mẫu 4 Chú ý: Nếu mẫu số liệu được cho bởi bảng phân bố tần số thì phương sai được tính theo công thức (1) trong đó n1, n2, nk là tần số... (1) trong đó n1, n2, nk là tần số tương ứng của các giá trị x1, , xk là tập các số liệu đôi một phân biệt của mẫu Thuận tiện trong tính toán có thể dùng công thức s2=1N∑mi=0nix2i−1N2(∑nixii=0m)2 Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp, phương sai được tính bằng công thức (1) trong đó ci là giá trị đại diện của lớp thứ i 5 Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân