2 giai bai tap toan 9 tap 2 104 giai bai tap toan 9 tap 2 105 giai bai tap toan 9 tap 2 106 giai bai tap toan 9 tap 2 107 giai bai tap toan 9 tap 2 108 giai bai tap toan 9 tap 2 109 giai bai tap toan[.]
Trang 1PHAN HINH HOC
Chueng II GOC VG1DUGNG TRON
§1 GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN f Góc ở tâm: Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm Số đo cung: a) Định nghĩa: - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó: A ¬ g sđAmB = AOB =a «
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360°
và số đo của cung nhỏ
sđ AnB = 360° - sđ AmB = 360° - a
- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800
b) Chú ý:
~ Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 1800
~ Cung lớn có số đo lớn hơn 1800
— Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo là 0°
So sánh hai cung:
~ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có sổ đo bằng nhau
— Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
Trang 2II BÀI TẬP
A Bài tập mẫu
Cho tam giác đều ABC Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của
tam giác
s) Các bán kính OA, OB, OC tạo thành bao nhiêu góc ở tâm? Mỗi góc đó có
số đo bao nhiêu độ?
b) Các điểm A, B, € xác định những cung nào? Cho biết số đo của các
cung đó
địải
a) - Cac ban kính OA, OB, OC tạo thành 3 géc 6 tam AOB, BOC va COA
- Vi AABC là tam giác đều nên 3 đường trung trực của 3 cạnh cũng chính
là 3 đường phân giác của 3 góc của tam | Bide Tâm O cua đường tròn là
giao điểm 3 đường phân giác của 3 góc A, B, om
Do đó: Ai = Ao =Bi = Be = = 63
ARC 0
_ ABC _ 60" = 30° (1) 2 2
Vi AABC déu nén AB = AC = BC (2) 4z 0À
Từ (1) và (2) suy ra AAOB = AAOC = ABOC B % et Cc
Ta có: AOB = 180° - (Ai + Bi) = 180° — 60° = 120°
A
Vay AOB = BOC = COA = 120°
bì Các điểm A, B, C e (O) xác định ba cung nhỏ: AB, BC, CA Mỗi cung nhỏ
lại có một cung lớn tương ứng, đó là: ACB ý BAC, ABC
- Ta có AOB chắn cung nhé AB, ma AOB = 120°
Dod6: sd AB = 120°va sd ACB = 360° - 120° = 240°
- Tuong tu: sdCB = 120’ va sdBAC = 240°
sdCA = 120° va sd ABC = 240°
B Bai tap gido khoa can ban
1 Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao
nhiêu độ vào những thời điểm sau:
a) 3 giờ: b) 5 giờ; c) 6 gid; d) 12 gid; e) 20 gid?
2 Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc 400 Vẽ một đường tròn tâm O Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O
Trang 33 Trên các hình a, b hay dung dung cu do góc để tìm số đo cung AmB Tu 1 3 đó, tính số đo cung AnB tương ứng m A A m B Gjidi Trên mặt đồng hồ người ta chia làm 12 phần bằng nhau, mỗi phan có số đo là 360° : 12 = 30°
a) Lúc 3 giờ, kim giờ và kim phút tạo thành góc ở tâm có số đo là 30° x 3 = 907
b) Lúc 5 giờ, kim giờ và kim phút tạo thành góc ở tâm có số đo là 30 x 5 = 1501
e) Lúc 6 giờ, kim giờ và kim phút tạo thành góc ở tâm có số do là 30 x 6 = 1801,
d) Lúc 12 giờ, kim giờ và kim phút tạo thành góc ở tâm có số đo là 0°
e) Lúc 20 giờ (hay 8 giờ tối) kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành
góc ở tâm một góc 30 x 4 = 120°,
„ Hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O (0 là tâm của đường tròn) tao thành 6 góc ở tâm: xOs, sOy , yOt; tOx, xOy, sOt 8
Ta có xOs= yOt = 40 (hai góc đối đỉnh)
V xOs và sOy là hai góc kể bù, nên: x
xOs + sOy = 1800
=> sOy = 1800- xOs = 1800- 400 = 1400
Vậy sOy = tOx = 1402 (đối đỉnh) t
Ta c6: xOy = sOt = 180° (géc bet) A
Trang 4Luyén tap Xem hình bên Tính số đo của góc
ở tam AOB và số đo cung lớn AB
Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A
và B cắt nhau tại M Biết AMB = 35°,
a) Tỉnh số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB
b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ)
Cho tam giác đều ABC Gọi O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C
a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC
b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C
Cho hai đường tròn củng tâm O với bán
kính khác nhau Hai đường thẳng đi qua O
cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M,N, P, Q (hinh bén) a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ? b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau
c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay.sai? Vì.sao? a) Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau
b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau
©) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn
d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn
Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho AOB = 1009, sđ AC = 45",
Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC (Xét cả hai trường hợp: điểm € nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB)
Giidi
Theo hinh vẽ, tam giác AOT là tam giác
vuông cân tại A
Trang 5> Xét tứ giác OAMB, ta có: 0+A+M+B = 360° => 0 =360"-(A+M+B) = 360° - (90° + 35° + 90°) O = 360° - 215” = 145” B
Vậy hai bán kính OA, OB tạo thành góc ở tâm ÁOB có số đo là 145"
b) Góc AOB chắn cung AmB Do đó: sd AmB = AOB = 145°
sd AnB = 360° - sd AmB
sd AnB = 360° - 145” = 215" 6 Xem bài tập mẫu
7 a) Vì hai đường tròn đồng tâm (có bán kính khác nhau) nên các góc: AOM = BON = QOD = POC
Do đó, các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ cũng có cùng số đo
b) Trén (O; OA), tacé AQ = MD; AM = DQ
Trên (O; OB), ta có BN = CP va BP = NC
c) VisdAM = QD (do 2 góc ở tâm bằng nhau)
Ta có: sd AQM = 360° - sd AM
= 360° - sdQD = sdQAD
Suy ra AQM = QAD
8 a) ĐỨNG: Do định lí về so sánh 2 cung
b) SAI: Vì không nói rõ hai cung đó cùng nằm trên một đường tròn hay
trên hai đường tròn bằng nhau không?
e) SAI: - Lí luận như câu b)
d) ĐÚNG: - Lí luận như câu a)
9 a) Vì AOB là góc ở tâm nên sd AB = AOB = 100°
Trang 6bì Khi điểm C¿ nằm trên cung lớn AB
Khi đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C; nên:
Số đo cung nhỏ BC; = sẻ AB + sẻ AC¿ = 1000 + 459 = 145° Số đo cung lớn BC; = 360” - 145°= 215” §2 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VA DAY I KIẾN THỨC CƠ BẢN
e Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường
tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bang nhau căng hai dây bằng nhau b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau Tacó: a) AB = CD = AB =CD — — B b) AB =CD = AB = CD x
Định lí 2: Với hai cúng nhỏ trong một đường D
tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: yc a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Day [én hơn căng cung lớn hơn:
Tacó: a) AB > CD = AB > CD os
b) AB > CD > AB > CD “7” *
II BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
10 a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm = Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng
600 Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?
b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình vẽ
bên
11 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B
Kẻ các đường kính AOC, AO'D Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O')
a) So sánh các cung nhỏ BC, BD
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: BE = BD)
Trang 7
12 13 14, 10 11
Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BDC Từ O lần lượt hạ
các đường vuông góc OH, OK với BC và BD ( H € BC, K € BD)
a) Chứng minh rằng OH > OK
b) So sánh: hai cung nhỏ BD và BC
Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây
song song thì bằng nhau
a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
đi qua trung điểm của dây căng cung ấy Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng
b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì
vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại
Gidi
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm Vẽ góc ở tâm có số do bằng
60° Góc này cắt đường tròn tại hai điểm A và B Cung AB là cung
phải vẽ A
Vì AOAB cân tại O và có Ô= 600, \
Vậy tam giác AOB là tam giác đều A
Suy ra AB = OA= OB=R =.2cm,
b) Để chia (O; R) ra lam sáu cung bằng nhau, ta lam nhu sau:
Lay diém A, bat ki trén đường tròn (O; R) Dùng compa với khẩu độ bằng R vẽ liên tục các điểm A; rồi A¿, ,As Cách vẽ này cho biết có
6 dây cung bằng nhau: A¡A; = A¿Á¿ = AsAy = A¿Á; = A;Á¿ = A¿Ai Vì 6
day bằng nhau nên chúng căng 6 dây bằng nhau trên (O; R): A\A, = AjAg =.= AgAy
a) So sánh BC va BD
Vì ABAC và ABAD nội tiếp trong nửa
đường tròn nên chúng là những tam
giác vuông tại B
Xét hai tam giác vuông ABAC và ABAD có:
Trang 812
13
14
Ma hai duéng tron (O) va (O') bang nhau nén hai dây bằng nhau se
căng hai cung bằng nhau
Vậy BC = BD
b Chứng minh BD = BE
Vì điểm E nằm trên đường tròn đường kính AD nên AED = 909
Do BC = BD (câu a) nên EB là đường trung tuyến của tam giác vuông
ECD (E = 90’) Suy ra BE = BD
Trong (O') ta có BE = BD, suy ra BE = BD hay B là điểm chính giữa
của cung BBD (đpem)
a Chứng minh OH > OE: Trong tam giác ABC, ta có: BC < BA + AC mà AC = AD
Suy ra BC < BA + AD hay BC < BD
Theo định lí về dây cung và khoảng cách đều
tâm đường tròn thì ta có OH > OK (đpem) b So sánh BD và BC:
Trong (O), ta có BC < BD => BC < BD A HN M
Ti chia làm hai trường hợp: e / kL NN Ð
a Tâm O nằm ngoài hai dây Ká đường kính MN 1 CD va cắt CD tại I, cắt AB tại K Vì AB //CD nên MN L AB N Giả sử K nằm giữa M và I M Ta duge MC = MD va MA = MB A B BD € D — N
Suy ra MÔ - MA = MD - MB hay AC =
b Tâm O nằm trong hai dây
Chứng minh tương tự câu a) Học sinh tự làm a Vì I là trung điểm của cung AB, suy ra IA = IB >IA=IB Ta có: OA = OB = bán kính Suy ra đường I kính IK là đường trung trực của dây AB W ⁄“ hìN a Vay HA = HB (dpem)
Mệnh để đảo: Đường kính đi qua trung
điểm của một dây thì đi qua điểm chính
giữa của cung căng dây đó
* Chứng minh: Vì AAOB cân tại O và HA = HB X
Trang 9nên OH là đường phân giác của góc AOBH Suy ra O¡= O2 : Từ đó suy ra IA = IB
Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây AB di qua tam © của
đường tròn Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đẻ đảo đúng là:
Đường kính di qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi
qua điểm chính giữa của cung căng dây đó
b) * Ta có: MA = MB (gt) > MA = MB
Điều này chứng tỏ rằng điểm M nằm trên
đường trung trực của AB (1) Ta có OA = OB = bán kính
Điều này chứng tỏ rằng điểm O nằm trên
đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng OM hay NM là đường trung trực của day AB Suy ra MN | AB
* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi đi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó
Kẻ đường kính NOM vuông góc với AB
Ta có: OA = OB = AOAB cân tại O
Mà OI L AB nên OM là đường phân giác của AOB > 0, = 02
Ta có AOAM = AOBM (c:g:e): Do đó AM = MB Suy ra AM = MB
Vậy M là điểm chính giữa của cung AB
§3 GÓC NỘI TIẾP
I KIẾN THỨC CĂN BẢN
1 Định nghĩa: Góc nội tiếp là
góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây
cung của đường tròn đó
Cung nằm bên trong góc gọi
là cung bị chắn
BAC là góc nội tiếp ; B€ là cung bị chắn
Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa nae đo của
cung bị chắn
Trang 10
3 aT Ee góc nội tiếp KL | BAC = 38d BC |
Hệ quá: Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông II 15 16 17 18 1ã 16
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau
thì cùng chắn một cung
Xem hình bên (hai đường tròn có
tâm là B, C và điểm B nằm trên
đường tròn tâm C)
a) Biết MAN = 30°, tinh PCQ,
b) Biết PCO = 136) thì MAN có số đo là bao nhiêu?
Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ
dùng êke thì phải làm như thế nào? B €
Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào
cầu môn PQ Bóng được đặt ở vị trí A, B, C trên A một cung tròn như hình bên
Hãy so sánh các góc PAQ, PBQ, pca
Gjidi
a) Dung (Do hé qua b)
b) Sai Vì trong một đường tròn các góc nội tiếp bằng nhau không nhất
thiết cùng chắn một cung
a) Góc MAN nội tiếp (B) chắn cung nhỏ MN của (B)
> MAN = > MBN = 30? MBN = 60" = PBQ
Trang 1117 18 19 20 21 22 23 Góc PBQ là góc nội tiếp của (C) và PCQ là là góc ở tâm ctia (© => PB =; PCQ = PCQ = 2.PBQ = 2.60" = 120° Vậy PCQ = 120° b) Tacó PCQ =2PBQ = 2(2MAN) =4MAN —+ PCQ 1360 > =—— = ——= 34, Vậy MAN =34°,
Đặt đỉnh góc vuông của êke trùng với điểm M
bất kì trên đường tròn, giả sử đường tròn cắt hai
cạnh góc vuông của êke tại A và B Vẽ đường
thẳng AB
Thực hiện tương tự, đặt đỉnh góc vuông của êke trùng với điểm N trên đường tròn (N # M) hai
cạnh êke cắt đường tròn tại C và D Nối CD
Giao điểm của AB và CD là tâm của đường tròn Các góc PAQ, PBQ, PCQ đều là các góc nội
tiếp trong đường tròn cùng chắn cung PQ
Vay PAQ = PBQ = PCQ
Luyén tap
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bêr ngoài đường tròn SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N Gọi H là gia điểm
của BM và AN Chứng minh rằng SH vuông góc với AB
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Vẽ các đường knh AC
và AD của hai đường tròn Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng¬àng
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B Vẽ đường
thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N) Hú MBN là tam giác gì? Tại sao?
Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B) 'ế tiếp tuyến của (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C Chứng minh rằng ta luôn có: MA? = MB.MC
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đườig ttròn
Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại Avia B Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D Chứng minh MA.MB = MG.ND
Trang 1224 25 26 19 20 21
Hướng dẫn: Xét cả hai trưởng hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn Trong mỗi trường hợp,
xét hai tam giác đồng dạng
Mội chiếc cầu được thiết kế như hình
bén có độ dài AB = 40m, chiều cao
MK = 3m Hay tinh ban kính của dudng tron chua cung AMB
Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4em và một cạnh góc
vuông dài 2,5cm
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O) Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC Gọi giao điểm của MN và AC la S Chung minh SM = SC va SN = SA
Giidi
Ta có AMB = 90° (vi la géc nội tiếp chắn N
nửa đường tròn) = BM 1 SA Ni
Tương tự, ta có: AN L 5B B
Như vậy AN và BM là hai đường cao của eZ
tam giác SAB và H là trực tâm Vì trong ©
một tam giác thì ba đường cao đồng quy
Suy ra SH L AB
Nối A, B; nối B với C và D H
Ta có ABC và ABD là các góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn (O) và (O') nên:
ABC = 90°
ABD = 90°
Vay ABC + ABD = 180°
Suy ra ba diém C, B, D thang hang
Vì hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau nên È ai cung nhỏ bằng nhau vì
cùng căng dây AB
Ta có BMA và BNA là hai góc nội tiếp
troag bai đường tròn bằng nhau cùng
căng dây AB nên BMA = BNA
X¿t AMBN có: BMA = BNA
Vậy AMBN là tam giác cân tại B
Trang 1322 Vi AC là tiếp tuyến của (O) tại A nên: AC L AB
M
Vậy AABC vuông tại A XS
Góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường Yi
tròn nên: AM 1 BC A B
Vậy AM là đường cao của tam giác vuông ABC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ABC, ta có: MA” = MB.MC
28 a) Trường hợp M ở bàn trong đường tròn: Xét hai tam giác MAD và MCB,
ta có Mi = Me (déi đỉnh)
D = B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) 5
Vay AMAD AMCB
Suy ra: MA MP => MA.MB = MC.MD (dpem)
MC MB
b) Trường hợp M ở bên ngoài đường tron:
Chứng minh tương tự, ta có: AMAD œ AMCB
= MA.MB = MC.MD (dpem)
24 Vẽ MN 1 AB Ta goi MN = 2R là đường kính
của đường tròn chứa cung tròn AMB
Xét hai tam giác AKAM và AKNB, ta có:
AKM = BKN =90°
MAK = MNB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Trang 1426 a) Chung minh SM = SC:
Nối A với B; A với C Ta co AABC thoa mãn các yêu cầu của dé bai b) Chứng mình:
Ta có BAC là góc nội tiếp chấn nửa đường tròn Do đó: BAC = 90°
Theo cách dựng ta có: BC = 4em; BA = 2,5em Vậy tam giác vuông
ABC là tam giác phải dựng
Theo giả thiết ta có: MA = MB 01) Ma MN // BC nen MB = NC (2) Từ (1) và (2) suy ra: MA = NC Do đó: ACM = CMN Vậy ASMC là tam gidc can tai S Suy ra SM = SC
b) Chứng minh SN = SA: Theo chứng minh ở câu a) ta có: MA = MC (3)
Ta có ANM là góc nội tiếp chắn cung MA va NAC la góc nội tiếp
chắn cung NC (4)
Từ (3) va (4), suy ra: ANM = NAC;
Vậy ASAN cân tai S Suy ra: SN = SA
§4 GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Khái niệm: Góc BAx có đỉnh A nằm trên đường
tròn, cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia {“ >v
Ag B
chứa dây cung AB 6
Ta gọi một góc như vậy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
xAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AB = xAB = asd AB
Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và
góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
Trang 15
II 27 28 29 30 27 28 11
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn
Chứng minh: APO = PBT
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến tại A của
đường tròn (O') cắt dường tròn (O) tại điểm thứ hai P Tia PB cắt đường
tròn (O') tại Q Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại
P của đường tròn (O)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến kẻ từ A đối
với đường tròn (O') cắt (O) tại € và đối với đường tròn (O) cắt (O') tại D
Chứng minh CBA = DBA
Chứng minh định Ii đảo của định lí về góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là: Nếu
góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một V°° 8
cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa '
số đo của cung AB căng dây đó va cung nay ' nằm bên trong góc dó thì cạnh Ax là một tia ;
tiếp tuyến của đường tròn (hình bên) A x
Gợi ý: Có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phần chứng Gidi Ta có: PBT la góc tạo bởi tia tiếp tuyến BT và dây cung BP a 1 PBT = — 2 Ta có PAO là góc nội tiếp chắn cung PmB nên: sdPmB (1) PAO = 5 sdi'mB (2) Vì AAOP cân tại O (CA = OP = bán kính) nên: PAO = APO (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: APO = PBT (dpem) Nối AB
Ta có: PAR là góc tạo bởi một tiếp
tuyến và dây cung của (O') chắn cung
AmB AQB là góc rội tiếp của đường
tròn (O') chắn cung AmB
Vay AQP = PAB (1)
Trang 1629 30 31 33 34 35
T; có: PAB là góc nội tiếp của (O) chấn cung nhỏ PB
Gie BPx là góc tạo bởi tiếp tuyến Bx và dây PB, chắn cung nhỏ PB Viy PAB = BPx (2) Tr (1) va (2) suy ra: AQB = BPx va AQB, BPx 1a hai góc so le trong Viy AQ // Px (dpem) Xem bai tap mau _ Vi OH 1 AB Ta có AOH = `sđAB.(1) sd AB (2) wie t9
Tieo giả thiết ta có: BAx =
Tr (1) và (2) suy ra: BAx = AOH
Tong tam giác vuông AOH (H = 90°), ta có: A, + 0, = 90° hay Ay + BAx = 90° Déu nay chứng tỏ rằng OH | Ax hay Ax 1a tiếp tuyến của đường tròn O tạ A Luyện tập
Cìo đường tròn (O; R) và dây cùng BC = R Hai tiếp tuyến của đường tròn (C) tại B, C cắt nhau ở A Tính ABC, 'BAC:
Cio đường tròn tâm O đường kính AB Một tiếp tuyến của đường tròn tại P
c¿t đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T)
Chứng minh BTP +2.TPB = 900
Cio A, B, € là ba điểm trên một đường tròn At là tiếp tuyến của đường tran tại A Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N
Chứng minh AB.AM = AC.AN
Cìo đường tròn (O\ và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó Qua điểm M
kc tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB Chứng minh MT? = MA.MB
Tiên bở biển cớ một ngọn hải đăng cao 40m
Vii khoảng cách bao nhiêu kilômét thì người qian sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn
ny, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao
11m so với mực nước biển và bán kính Trái
Đĩt gần bằng 6400km (hình bên)
Hiớng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tap 34
Trang 17Gjidi
31 a) Tacé ABC 1a góc tạo bởi tiếp tuyến BA va day cung BC cilia (Q)
Mà AOBC là tam giác đều (OB = OC = BC = R) nén BOC = 60° => BOC =sdBC = 60"
Tacó ABC = 2 54BC = 560" = 30° Vay ABC = 30° b) Chứng minh tương tu, ta c6: ACB = 30°
Trong AABC, ta cé:
ABC + BCA + BAC = 180° = BAC = 180°-(ABC +BCA) = 180° — (30° + 80°) = 120° Vậy BAO = 120°, 32 Ta có góc TPB la góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB của (O) > TPB = 254PB = sđPB = 2TPB(1)
Ta có POB là góc ở tâm của (O) nên: POB = sd PB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: POB = 2TPB
Vì TP là tiếp tuyến của (O) với P là
tiếp điểm nên OP L TP Ta x
Trong tam giác vuông PTO, ta có:
PTO + TOP =90” hay BTP + BOP = 900, hay BTP +2TPB = 90°
33 Vi At // MN (gt) nén AMN = BAt (1)
Ta có BAt là góc tạo bởi tiếp tuyến At và dây AB chắn cung AB của (O)
và ACB là góc nội tiếp của (O) chắn cung AB nên: BAt = ACB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AMN = ACB
Xét hai tam giác AMN và ACB ta có:
A : chung va AMN = ACB
Trang 1834 35 Xót hai tam giác BMT và TMA, ta có: M chung B= T (cùng chắn cung nhỏ AT)
Vay ABMT © ATMA
Suy ra Mt - ME hay MT” = MA.MB MA MT Áp dụng kết quả bài 34, ta có: MT? = MA.MB = MA(MA + AB) = MA(MA + 2R) MT? = 0,04(0,04 + 12800) = 0,04.12800,04 = 512,0016 Suy ra MT = 22,6 (km) Tương tu ta tinh duge TM’ = 11,3 (km) Taco MM’ = MT + TM = 23,6 + 11,3 = 34,9 (km)
Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34,9km thì người quan sát trên tàu
bắt đầu thấy ngọn hải đăng
§5 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: SN n B Định lí: Số đo của góc có đỉnh (>
bên trong đường tròn bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn D
AEC = sđAnC ch
Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Số đo của góc có đỉnh ở
bên ngoài đường tròn bằng nửa
hiệu số đo hai cung bị chắn
BED = sđBD - sđAC
2
Trang 1936 37 38 36 37
BAI TAP SACH GIAO KHOA
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC Gọi M và N lần lượt là điểm chính
giữa của cung AB và AC Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây
AC tại H Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân :
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau Trên cung nhỏ AC lấy
một điểm M Gọi S là giao điểm của AM và BC
Chứng minh ASC = MCA
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho
sdAC =sdCD = sdDB = 600 Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E
Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T Chứng minh rằng:
a) AEB = BTC; b) CD là tia phân giác của BCT
Gjidi
Vì AHM và AEN là các góc ở bên trong a! SS N
đường tròn (O) nên ta có: LL NX
M
Cc
AHM = 5 sd AM + sdNC) (1)
AEN = ; (sdMB + sd AN) (2)
Theo gia thiết ta có: MA = MB và NA = NC
Thế vào (2) ta được: AEN = 5 (sđAM + sd NC) (3)
So sánh (1) và (3), ta có: AHM = AEN
Vậy AAEH cân tại A
Trang 2038 39 40 41 42 43 +) Chứng mình AEB = BTC Ta co AEB la goc cé dinh 6 bén ngoai dudng tròn (O) nén: AEB = > (sd AB ~ sd CD ) = 5180" ~ 60”) = 60” (1) Ta cũng có BTC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (O), nên: BTC = 5 (sd BÁC ~ sử BDC ) = 5 ((180° + 60°) - (60 + 60°)] = 60" (2)
Tir (1) va (2) suy ra: AEB = BTC (dpem)
L Chứng minh CD là tia phân giác của BCT:
Vì DCT là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên: — — 6 per = 2 sacp = 82 =30°(q) 2 9 Và DCB là góc nội tiếp trong (O) chắn cung BD nên: 60° DCB = 2 sdBD = = 30° (2) Từ (1) va (2) suy ra: DCT /=DCB Vay CD là tia phan gide cua BCT: Luyén tap
cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O) Trên
cung nhỏ BD lấy một điểm M Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S Chung minh ES = EM
Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến $BC của đường tròn Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D Chứng ninh SA = SD
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN va CM cắt nhau tạ tại một điểm S nằm bên
tong đường tròn Chứng minh: A + BSM = 2.CMN
cho tam giác ABC nội tiếp dudng tron P, Q, R theo thu ty 1a diém chinh
cữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C
¿) Chứng minh AP L QR
t) AP c&t CR tai | Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân
Cho đường tròn-(Q}và hai dây cung song song AB, CD (A va C nam trong cùng một nửa mắt phẳng bờ BD); AD cắt BC tai | Chung minh AOC = AIC
Trang 21đái 39 Taco MSE la góc có đỉnh bên trong dudng tron (O) néu: MSE = ; (sđCA + sđBM) (1) Ta có CME = ; sdCM = 2 (sdBC + sdBM) (2) Theo giả thiết ta có: CA = CB (do AB | CD) s Thay vào (2), ta được: N/⁄ ` EM D M
CME = 5 (sđCA + sđBM) = MSE
Vậy tam giác ESM can tai E Suy ra: ES =
40 Xem bai tap mau
41 Ta có CAN là góc ở bên ngoài đường tròn (O) nên: A = 2 (s4CN - sđBM) (1) Góc BSM là góc có đỉnh trong đường tròn (O) nên: BSM = 2 (s4ÊN + sdBM) (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta có: A< A + BSM =sdCN (3) Ta co CMN 1a góc nội tiếp của (O) chắn ON , nên: CMN = 5 sdCN @ sdGN = 2.CMN (4) Thé (4) vao (3) ta duge: A + BSM =2.CMN
42.a) Gọi K là giao điểm của AP va QR Ta cé
Trang 22Vi AKR = 90° Suy ra AP | QR (dpem)
b) Ta có CIP là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:
CIP = 2 (sdCP + sđ AR.) (1
Ta có PCI là góc nội tiếp trong (O) chắn cung PR nên:
PCI = 2 sả PBR = 5 (sd BP + sd BR) (2)
Theo giả thiết ta có: AR = RB và PC = PB
Thay vào (2), ta được: PCI = 2 (sdCP + sd AR j= CIP
Điều này chứng tỏ rằng tam giác CPI cân tại P B 43 Vì AB //CD nên:AC = BD = sđAC =sdBD (1) A <<“ > „Jun = Y D Ta có AIC = ged ac + sd BD ) (2) Thế (1) vào (2), ta có: Cc AIC = 1 2
Ta có AOC là góc ở tâm của (O) nên: AOC = sử AO (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AOC = AIC
(sđAC + sd AC) = sd AC (3)
§6 CUNG CHUA GOC
I KIEN THUG CO BAN
1 Cách giải bài toán quỹ tích: Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các
điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình (H) nào đó, ta chứng minh cặp
mệnh đề sau:
« _ Thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình (H) M
& iS a
« Đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất T
Từ đó rút ra kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm
M có tính chất T là hình (H)
A B
2 Quỹ tích cung chứa góc: Quỹ tích các điểm M tạo
thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một
góc AmB có số đo không đổi bằng œ (với 0 < ơ <
180°) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB gọi m'
là cung chứa góc œ dựng trên đoạn thẳng AB
Trang 23
3 Chu y:
~ Hai cung chứa góc ơœ nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB,
~_ Hai điểm A và B được coi là thuộc quỹ tích
- Khia = 90° thi hai cung AmB va Am'B là hai nửa đường tròn bán kính
AB Như vậy, ta có:
Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuô'g
là đường tròn đường kính AB II 44 45 46 47 45
BAI TAP SACH GIAO KHOA
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cé dinh Goi | la giac diém của ba đường phân giác trong Tìm quỹ tích điểm | khi A thay déi
Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Tìm quỹ tích giao điểm O
của hai đường chéo của các hình thoi đó
Dựng một cung chứa góc 58° trên đoạn thẳng AB = 3cm
Gọi cung chứa góc 58? ở bài tập 46 là AmB Lấy điểm M¡ nằm bên trong
và điểm Mạ nằm bên ngoài đưởng tròn chứa cung này sao cho M¡, Mạ và
cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB Chứng minh rằng: a) AMB > 58°; : b) AM,B < 55° Gidi Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có: i, = A + Bi (1) f= dee & Cong (1) vail2) vế theo vế ta có: - A lj + l = Ai +A¿ +Bị+ Ci b Ai + Ao = A = 90° Ma; _ ae 0 Seth ete SC hy"? <> 2 2 B — € Suy ra BIC = 90° + 45° = 135°
Như vậy, điểm I nhìn đoạn BC cố định góc 135°
không đổi Vậy quỹ tích của I là cung chứa góc
135° dựng trên đoạn thẳng BC (một cung)
Vì ABCD là hình thoi, do đó:
D
Như vậy, điểm O nhìn đoạn AB cố định
Trang 2447 a) Chứng minh AM,B > 55 khi M; ở bên
46 Ta dựng theo trình tự như sau
Dùng thước đo độ dài, ta dựng đoạn AB = 3em
-_ Dùng thước đo góc ta dựng góc xAB = 55", ~_ Dựng tỉa Ay vuông góc với Ax (dùng êke)
- Dựng đường trung trực (d) của đoạn thẳng AB Gọi O là giao điểm của Ay và (d)
Dựng đường tròn tâm ©, bán kính ÓOA
AX
Taco AmB là cung chứa góc 55” dựng trên đoạn thẳng AB
trong đường tròn
Theo để bài M; là điểm bất kì nằm
trong đường tròn chứa cung chứa góc
55° Goi A’, B' theo thứ tự là giao điểm
của AM; và BM; với cung tròn AmB Vì AM,B là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn, nên: + AM,B = 5 (6d AB +sdAB’)-= 5 = 55° + SIA uy soggtqwpEdA ai Vay AM,B > 55°
b) Chứng minh AM,B < 58” khi M; ở ngoài đường tròn:
Theo dé bài, M; là điểm bất kì nằm ngoài đường
tròn chứa cung chứa góc 55° Gọi A’, B' theo thứ tự
là giao điểm của AM; và BM; với cung AmB
Trang 2548 49 50 51 52 48 49 Luyén tap
Cho hai điểm A, B cố định Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đưởng tròn tâm
B có bán kính không lớn hơn AB Tìm quỹ tích các tiếp điểm
Dựng tam giác ABC, biết BC = 6em, A_= 400 và đường cao AH = 4cm
Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường
tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm l sao cho MI = 2MB
a) Chứng minh AIB không đổi
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên
Cho I, Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A =609, Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ va CC’
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I củng thuộc một đường tròn
“Góc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng “góc sút”
như quả phạt đền 11 mét
Gidi
Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA
Giả sử AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B Với T là tiếp điểm
Khi đó AT | BT = ATB = 900
Điểm T nhìn đoạn AB cố định dưới một
góc vuông nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB
Trường hợp đường tròn tâm B, có bán kính
bằng BA Khi đó quỹ tích chỉ là điểm A
Các bước dựng bài toán như sau - Dựng đoạn thang BC = 6em
- Dựng cung chứa góc 402 trên đoạn thẳng BC - Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một khoảng bằng 4cm, như sau:
Dựng đường trung trực (A) của BC; gọi
I là giao điểm của (A) với BC, trên (A)
lấy điểm K sao cho IK = 4em
Dựng đường thẳng d vuông góc với (A) tại K
Gọi giao điểm của (d) và cung chứa góc là A và A' Khi đó ta có hai
tam giác ABC và A'BC đều thỏa man yêu cầu của để bài
Trang 26
50 a) Ching minh AIB khong déi
Vì AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn), nên trong tam giác vuông ee MB _1 BMI,ta aco: có: tgMIB tg = —— = — uD 3 Suy ra tgMIB = 26°34’ Vay AIB 1a một góc không đổi b) Tìm quỹ tích của I:
* Phần thuận: Khi điểm M chuyển động
trên đường tròn đường kính AB thì điểm I
cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định đưới một
góc không đổi là 26°34’
Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26234' dựng trên đoạn AB
Tuy nhiên, khi M trùng với A thì cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến I, va I Khi d6, diém I tring véi I, hodc I) Vay diém I chi thuéc hai cung I,mB va I,m’B * Phdn ddo: Lay diém I’ bat ky thuée I,mB hoặc I,mB, I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M': Trong tam giác vuông BM'T' ta có: tgŸ = Tạp = tg26°34' = > Do dé M'I’' = 2BM’
* Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung ImB và I,m'B chứa góc 26°34' dựng trên đoạn thắng cố định AB
Trang 2752
rpc + cp = Be 2
Trong ABIC: BIC = 180° - (IBC + ICB) = 180° - 60” = 120°
Vay BIC = 120° (3)
Từ (1), (2) và (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên cung ckứa góc
120? dựng trên đoạn thẳng BC Vay năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc
một đường tròn
= 60"
7,32m
Goi A là vị trí đặt quả bóng sút phạt đến và bể p Cc rộng cầu môn là BC thì điểm A nằm trên H
đường trung trực của BC Gọi H là trung điểm
của BC và HAB= œ Theo để bài cho thì trong phi
tam giác vuông AHB, ta có
fana.= 2 = a -358 = 0,333
Suy ra a = 18°36’
Vay "g6c stit” qua phat dén 1a 2a = 37°12" A
Dựng cung chứa góc 3712' trên đoạn BC thì bất cứ điểm nao tréa cung
chứa góc 3712' cũng có “góc sút” như quả phạt đền 11 mét
§7 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I KIẾN THÚC CƠ BẢN
1 Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp
đường tròn
Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°
Nếu tứ giác ABCD nội tiếp (O) thì A + C = 180°,
suy ra tứ giác nội tiếp được đường tròn
Tứ giác ABCD có: Â + © = 180° (hoặc 8 + D = 180°)
= Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn
II BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
s3 Biết ABCD là tứ giác nội tiếp Hãy điển vào ô trống trong bang sau (nếu
có thể):
Trang 2854 55 53 54 55 >> ae = ghee hap 2) | 3) o | 5) | 6) L ị 60° | 95° ! wo |e | ô li 65° ee | 6 [ [vs
Tứ giác ABCD có ABC + ADC = 180° Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm
Cho ABCD là m một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết DAB = = 80°,
DAM = 30°, BMC = 700 Hãy tính số đo các góc:
MAB, BCM, AMB, DMC, AMD, MCD va BCD Gjidi oar ar fe
Ví dụ: Trường hop 1: Vi ABCD ndi tigp (0) nén A + C = 180° - 80° = 100°
Tứ giác ABCD có ABC + ADC = 180° B—— ¢
(hai góc đối diện) nên nội tiếp được trong NY đường tròn Gọi O là tâm đường tròn đó GỌ - ~ $
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD nên:
AO = OB = OC = OD a
Ta có OA = OC nên đường trung trực của AC đi qua O
Ta có OB = OD nên đường trung trực của BD đi qua O Ta có OA = OB nên đường trung trực của AB đi qua O
Tóm lại các đường trung trực của AC, BD và AB cùng đi qua O
Tacé: MAB = DAB - DAM = 80°- 30° = 50°
Ta có AMBC cân tại M (MB = MC)
Trang 2956 57 58 59 = °_ pwc Nên BCM - 180 -BMC 180° - 70° BCM = = 55° Ta có AMAB cân (MA = MB) nén AMB = 180° - 2MAB = 180° - 2.50° = 80°
Ta có AMAD cân (MA = MD)
nên AMD = 180° - 2MAD = 180° - 2.30° = 120° Ta có DMC =360°-(AMD + AMB + BMC) = 360° - (120° + 80° + 70°) = 90° Suy ra: MDG = MCD = 45°, Taco BCD + BAD = 180° (do ABCD nội tiếp) = BCD =180°- BAD = 180° - 80° = 100° Luyén tap Xem hình bên dưới Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn: Hình
bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?
Cho tam giác đều ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A,
lấy điểm D sao cho BD = DC và DCB = 3 ACB
a) Chứng minh ABCD [a tứ giác nội tiếp
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D
Cho hình bình hành ABCD Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường
thẳng CD tại P khác C Chứng minh AP = AD
Trang 3060 Xem hình bên Chứng minh QR // ST Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong PST, SRQ đái 56 Ta có BCE = DCF (đối đỉnh) Dat x = BCE = DCF Áp dụng tính chất góc ngoài của ABCE và ADCF, ta có: ABC =x+400(1) ADC =x+ 200 (2) Vì tứ giác ABCD nội tiếp trong (O) nên: ABC + ADC = 1802 © x + 40? + x + 20° = 180° © 2x = 120° > x = 60°
Thé vao (1), ta duge ABC = 60° + 40° = 100°
Thế vào (2), ta duge ADC = 60° + 20° = 80°
Ta có: BCD + DCF = 180° (géc ké bu)
© BCD = 180°- DCF = 180° — 60° = 120°
Tacé BAD + BCD = 180° (tt gidc ndi tiếp)
= _ BAD =1800- BCD = 1800 - 120° = 60°
57 Téng quát: Hình bình hành không nội tiếp được trong đường tròn vi
tổng hai góc đối diện không bằng 180”
Hình chữ nhật, hình vuông nội tiếp được trong đường tròn, vì tổng hai
góc đối diện bằng 1802
Hình thang vuông không nội tiếp được trong đường tròn
Tổng quát, hình thang không nội tiếp được trong đường tròn Riêng hình
thang cân nội tiếp được trong đường tròn vì có tổng hai góc đối bằng 1801
Trang 3159
60
Vay ABD = 60° + 30°= 90°(2)
Xét tứ giác ABDC, ta co: ACD + ABD = 90° + 90° = 180°
Vậy tứ giác ABDC nội tiếp được
b) Xác định tâm đường tròn đi qua A, B, D, C:
Vi ABD = 90° nên ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường
kính AD, tâm O là trung điểm của AD
Tương tự, ACD = 90°, nén ACD la góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD
Vậy tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn đường kính AD với tâm O là trung điểm của AD
Theo đề bài, tứ giác ABCP nội tiếp, nên ta có: ABC + APC = 180° = ABC = 180°- APC (1) Taco: APD + APC = 180° (hai géc ké bu) = APD = 180°- APC (2) So sánh (1) và (2), ta có: ABC = APD Mặt khác ABC = ADP (hai góc đối đỉnh của hình bình hành ABCD) Suy ra APD = ADP
Vậy APAD cân tai A Suy ra AP = AD
Tứ giác SIMT nội tiếp trong (Os) nên:
Ss + IMT = 180°
Ma Mi + IMT = 180° ( ké bu)
nén Si = Mì (1)
Tương tự, tứ giác PMIN nội tiếp trong (O¡), nên:
My + PNI = 180° ca en = Mì =Ñ¡ (2)
mà PNI+N¡ = 1809
Tương tự, trong tứ giác NGRỊ, ta có: Nì = Rà (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: Si = Ri (hai góc Si va Rì ở vị trí so le trong)
Vậy QR // ST
Trang 32§8 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
I KIẾN THUG CƠ BẢN
1 Định nghĩa:
a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác gọi là đường tròn
ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là
đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn
Đường tròn (O) ngoại tiếp Đường tròn (O) nội tiếp
đa giác ABCDE hình vuông ABCD
2 Định lí: Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại
tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp nó
3 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều Giả sử cho đa giác đều n cạnh, có độ dài mỗi cạnh là a; R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính của đường tròn nội tiếp đa giác Tae6: Re ———- 6 2.sin 80 n Va CÔ a eS 2.tan 189 4 n ` =<», Chủ ý: Kí hiệu tg hoặc tan đều đúng Se II BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 61 a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a)
c) Tỉnh bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ
đường tròn (O; r)
Trang 3362 63 64 61 62
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC Tính R
©) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC Tính r
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R)
Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn
(O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R
Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo củng một chiều, kể từ điểm
A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđ AB = 600, sđöBC = 900, và sđCD = 120°,
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R
Gjidi
a) Vé dudng tron (O; 2cm)
b) Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau Nối A, B, C, D lại với nhau, ta được tứ giác
ABCD là hình vuông cần vẽ Hình vuông ABCD đã nội tiếp trong đường tròn (O; 2cm)
e) Vẽ OH I BC Khi đó OH là bán kính
đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
Vì AOBC lả tam giác vuông cân nên: OH = BH = HC Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông HOB, ta có: OB? = OH? + HB? Tỉ số 92 = rẺ + r2 c» 2r? = 4œ» r? =2 >r = V2 (em)
Vẽ đường tròn (O; V2 em) Đường tròn này nội tiếp hình vuéng ABCD, tiếp xúc với bốn cạnh của hình vuông tại trung điểm của mỗi cạnh
a) Vẽ đoạn BC = a = 3cm Lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính
bằng 3em và lấy C làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính bằng 3cm
Chúng cắt nhau tại A
Tam giác ABC là tam giác đều cần vẽ
b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của
ba đường trung trực (đồng thời là 3 trung tuyến, 3 đường cao, 3 đường
phân giác của tam giác đều ABC)
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
R= OA = 2AA'
Trang 3463 A > J K Trong đó AA' = aa \ , mm 4 Vay R= : Ane : > = V3 (cm) A3 SÀ
ex: joo a LOA
c) Đường tròn nội tiếp (O; r) tiếp xúc B YA
với 3 cạnh của tam giác đều ABC
tại các trung điểm A’, B’, C’ Ta có: r = OA'= a I _ 1 ABV3 _ 1 3V3 _ V8 |.) 3 2 3 2 A ——.B v3 Vay r= — yr= “> em VA \
d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) F §
tại A, B, C Ba tiếp tuyến này cắt nhau
tại l, J, E Ta có tam giác IJK là tam
giác đều ngoại tiếp (O; R) E— —o
a) Vẽ hình lục giác đều nội tiếp trong (O; R)
Vì cạnh của hình lục giác đều có độ đài bằng bán kính đường tròn
ngoại tiếp Do đó, cách vẽ nhữ sau:
Vẽ đường tròn (O; R) Trên đường tròn ta vẽ liên tiếp các cung AB, BC, CD, DE, EF, FA ma dây căng cung đó có độ dài bằng R
Nối các điểm liên tiếp A, B, C, D, E, F ta được lục giác đều ABCDEF
nội tiếp trong đường tròn (O; R)
b) Vẽ hình vuông nội tiếp trong (O; R) Vẽ như câu b) bài tập 61
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam
giác vuông OAB, ta có:
AB? = OA’ + OB”= R” + RẺ = 2R”
Suy ra AB = R42
c) Vẽ tam giác đều nội tiếp trong (O; R):
Cách vẽ: Vẽ (O; R)
Trên đường tròn ta chia làm ba cung bằng nhau, mỗi cung có số đo bang 120° Vé ba dây căng ba cung đó Ta có tam giác đều nội tiếp
trong (O; R)
(Hoặc vẽ như bài 63.a) nhưng nối các đỉnh không liên tiếp lại với
nhau, ta cũng được tam giác đều)
Trang 35Tinh AB theo R: Vi trong tam giác đều, đường cao cũng là đường
phân giác và tâm đường tròn cũng là trọng tâm của tam giác Do đó: OA = 2 AH = AH = 5 0A hay AH = SR Ta có: BH= a Ap dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông HAB, ta có: 2 2 A B? = AH? + BH? = | 2R + BB 2 2 2 Ầ ast (4B) Re Sạn = oR L] 4 4 © AB?=3R? = AB=RY3 a Vậy AB=RV3 64 a) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) nên: sd AD = 360° - (sd AB + sdBC + sdCD) = 360° — (60° + 90° + 120°) sd AD = 90° 60° RAC BAC = 2sđBC L aan = -.90=45 1 sáo 0 N⁄ ACD = — sdAD = —.90° "nh = 45” S mi Yin
Suy ra ACD = BAC Cc D
Mặt khác ACD và BAC là hai góc so le trong NY
120°
Suy ra AB// CD °
Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song nên ABCD là hình thang,
hơn nữa hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên nó là hình
thang cân Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân
Trang 36§9 DO DAI DUONG TRON, CUNG TRON
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 2ông thức tính độ dài đường tròn: Cho đường tròn (O; R) Gọi d là
shiều dài đường kính và C là độ
đài đường tròn
C = 2nR = nd
(4= 2)
2 Công thức tính độ dài cung tròn:
| Cho đường tròn (O; R) Độ dài
của một cung n° được tính theo <J công thức: nRn 180
II BÀI TẬP SACH GIAO KHOA
65 Lấy giá trị gần đúng của z là 3,14, hãy điển vào các ô trống trong bang
sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): Bán kính R đường tròn Đường kính d đường tròn Độ dài C đường tròn 25,12 66 a) Tính độ dài cung 600 của một đường tròn có bán kính 2dm b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm 67 Lấy giá trị gần đúng của x là 3,14 hãy điền vào ô trống trong bảng sau (lànr tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất và đến độ): [ Bán kính R của đường tròn | 10cm 21cm | 6,2cm |
| $6do° cia cung trén 90° 50° 41° 25°
Độ dài ? của cung tròn 35,6cm | 20,8cm | 9,2cm
68 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của
hai nửa đường tròn đường kính AB và BC
69 Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước Khi bơm
căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672cm và bánh xe trước có đường
Trang 37
kính là 88cm Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lần được mấy vòng? Gidi 65 Quy ước: x = 3,14; đơn vị độ dài: em, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) Bán kính đường tròn (R) 10 5 Đường kính đường tròn (đ) | 20 10 Độ dài đường tròn (C) 18,84 | 9,42 | 20,10 | 25,12 HD: Sử dụng công thức C = 2mR hoặc C = xd để tìm các số chưa biết 66 Học sinh tự làm 67 Quy ước: r = 3,14; đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất và đến độ) Bán kính R Số do của cung tròn (n0) Độ dài của cung tròn (£) HD: Áp dụng công thức £ = An để tinh R, n° va ¢
68 Goi Ci, Co, C3 lan lượt là độ dài của các nửa
Trang 3871 72 73 74 75 76 70 Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn (hình bên), với tâm lần lượt la B, C, D, A theo đúng kích thước đã cho (cạnh hình vuông ABCD dài 1cm) Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH Tính độ dài đường xoắn đó Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm Dây cua-roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200mm Tính góc AOB (hình bên)
Đường tròn lớn của Trái Đất dài khoảng 40000km Tính bán kính Trái Đất
Vĩ độ của Hà Nội là 20901” Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40000km Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo
Cho đường tròn (O), bán kính OM Vẽ đường tròn tâm O' đường kính OM
Một bán kính OA của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') ở B B
Chứng minh MA và MB có độ dài bằng nhau
Xem hình bên và so sánh độ dài của cung AmB với m
Trang 39* Hinh b: 5 > SESS 3 Bì c8 XS OSSD Chu vi phần gạch chéo = Chu vi nửa LEBER, 1 S50 : =—
đường tròn + 2 chu vi a đường tròn F BESS esses Š
Vậy chu vi của hình gạch chéo ở hình b là:
€ =rd = 3,14 x 4 = 12,56 (cm) *- Hình c:
Chu vi hình gạch chéo = 4 lần chu vi
của : đường tròn = chu vi hình tròn
Vậy c = nd = 3,14.4 = 12,56 (cm)
71 * Cách vẽ đường xodn AEFGH nhu sau:
— Trước hết vẽ hình vuông ABCD cạnh dai 1em
pee
40M
ny
— Tiếp tục vẽ — đường tròn tâm B, bán kính lem ta có cung AE
— Tiếp tục vẽ — đường tròn tâm C, bán kính 2cm ta có cung IF — Tiếp tục vẽ — đường tròn tam D, ban kính 3cm ta có cung iG
— Tiếp tục vẽ — đường tròn tâm A, bán kính 4cm ta có cung GH
ale
mịm
mị—m
Ble
Như vậy, ta vẽ được đường xoắn AERFGH
* Tính độ đài đường xoắn:
Gọi C là độ dài đường xoắn:
Trang 4073 74 75 76 Tacé: Dé dai cung AmB là: ( — Ta có công thức: ( = es = 2n Ôn 180” 360 — 360 360./ 360° Suy ran’ = —— = 360".200 = 133920“ C 540 Vì góc AOB là góc ở tâm chắn cung AB nên: AOB = sđAB = 133990” Vậy AOB = 13320” Gọi R là bán kính của Trái Đất thì độ dài đường tròn lớn của Trái Đất là C = 2nR Theo dé bai, ta có: 2nR = 40000 (km) => R = 42000 _ ar = 6369 (km) Vay R = 6369 (km)
Vĩ độ của Ha Ndi 1a 20°01' c6 nghia 1a sé do (d6) cung kinh tuyén tit Ha Nội đến xích đạo có số đo là 20”01' 0 Ta có 2001 = [235] 60 Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo là: 1 1201 mRa 2mRa Ca 4000020240000 2 - 180 360 360 360 360 Vậy ¢ = 2224 (km) = 2224 (km)
Ta có BOM là góc nội tiếp của (O') và