Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông dưới đây để nắm bắt được những nội dung lí luận bổ túc kiến thức về tích phân, thực trạng thực tế khi chưa thực hiện sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp mới. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng « Đây sáng kiến kinh nghiêm sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin gửi tặng tailieu.vn” Phần 2: Nội dung SKKN Nội dung lí luận (bổ túc kiến thức tích phân): 1) Cơng thức tính đạo hàm 1) c ' (C số) 2) x ' x 1 1) u ' u 1.u / 1 3) ' ( x 0) x 7) 8) x u x 0 x sin x ' cos x cos x ' sin x tan x ' cos x cot x ' sin x x x e 'e 4) ( x )' 5) 6) u' 2) ' ( x 0) x 0 u 4) sin u ' u ' cos u 3) ( u )' 5) cos u ' sin u u ' u' cos u u' 7) cot u ' sin u u u 8) e ' e u ' 6) tan u ' 9) 10) a x ' a x ln a 11) ln x ' 9) a ' a ln a u ' u x 12) log a x ' u u' u 10) log a u ' x ln a u' u ln a u' 11) ln u ' u 2)Quy tắc tính đạo hàm (u v w)' u 'v' w' u u '.v u.v' ' v y ' x v (k.u)’ =k.u’ (u.v)’ =u’.v + u.v’ (v ) y ' u u ' x v' ' v ax b cx d (v ) v / ' a.d b.c (cx d ) 3) Cơng thức tính vi phân Cho hàm số y =f(x) xác định (a,b) có đạo hàm (a,b) Kí hiệu d(f(x)) gọi vi phân hàm số f(x) x Và d ( f ( x)) f ' ( x)d ( x) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thơng 4) Cơng thức tính ngun hàm : dx x C x x x e dx e C x 1 x dx +C ( -1) 1 1 dx= +C ( 1) ( 1) x 1 x dx=ln x +C sin xdx cos x C cos x dx = tanx+C x a dx 10 ax C ln a cos xdx sin x C sin x dx= - cotx+C 5)Định nghĩa tích phân Cho hàm số y =f(x) liên tục a, b Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) a, b Hiệu số F(b)- F(a) gọi tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định a, b hàm số f (x), kí hiệu b a f ( x)dx Ta cị n dùng kí hiệu F ( x) ba F (b) F (a) Ta cò n gọi b a dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức dấu tích phân f(x) hàm dấu tích phân 6) Phương pháp đổi biến số Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục a; b Giả sử hàm số x (t ) có đạo hàm liên tục đoạn , cho (a) a, ( ) b a (t ) b với t thuộc , b a f ( x)dx f ( (t )) ' (t )dt 7) Phương pháp vi phân: Khi gặp tích phân có dạng I = f (u )u dx ' Vì du = u’dx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng f (u)u dx f (u )du F (u ) F ( ) F ( ) ' 8)Phương pháp tích phân phần Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a; b : b b b u ( x)v ( x)dx u ( x)v( x) v( x)u ' ( x)dx a a a ' b hay b b udv uv a vdu a a Áp dụng công thức ta có qui tắc cơng thức tích phân phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dạng udv uv dx cách chọn phần thích ' hợp f(x) làm u(x) phần lại dv v ( x )dx ' Bước 2: Tính du u dx v ' b Bước 3: Tính dv v ' ( x)dx b b vdu vu ' dx uv a a a Bước 5: Áp dụng công thức Thực trạng thực tế chưa thực SKKN giải pháp Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm đề gồm câu hỏi thời gian 45 phút Đề Bài tốn 1: Tính tích phân sau d (sin x) sin x Bài tốn 2: Tính tích phân sau sin xdx cos x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bài tốn : Tính tích phân sau x cos xdx Kết học sinh chưa triển khai SKKN Điểm Số lượng 5 10 Phần trăm 12,5 7,5 12,5 25 12,5 17,5 12,5 - Các em hầu hết làm câu Tuy nhiên câu 2,3 có số học sinh giải chưa thực trọn vẹn Một số học sinh thực việc đổi biến câu qn khơng đổi cận Một số học sinh cịn chưa nắm vững cơng thức tích phân phần Các em muốn có lời khuyên để tiếp cận các tập * Giải pháp mới: Tôi đưa tốn Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập tổng qt, cụ thể hóa tốn - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết quả, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Bài tốn 1: Tính tích phân sau: d (1 2e x ) 0 2e x ex b) 0 dx 2e x 1.1 a) Giải a) 2e d (1 2e x ) x 0 2e x ln 2e ln b) Cách 1: Nhận xét: Ta có 1 2e x 2e x 2e x dx d (1 2e x ) e x dx d (1 2e x ) ' Từ đó: 1 d (1 2e x ) 1 2e ex x dx = 0 2e x 0 2e x ln 2e ln du Cách 2: Đặt (1+2e x ) = u, du =2e x dx e x dx x u x u 2e ex 1 2e du 0 2e x dx = 3 u ln u 1 e 1 2e ln Bì nh luận: - Cách thực chất phép đổi biến giống cách Đây phương pháp dựa vào vi phân để tính tích phân - Tuy nhiên sử dụng cách số tập có nhiều ưu điểm + Không cần thực phép đổi cận không cần thiết + Cách làm ngắn gọn, đơn giản, không nhiều thời gian Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng - Ở cách biến đổi dài số tập tích phân phức tạp cồng kềnh phương pháp đổi biến lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn - Trong giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm tập nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, củng cố kiến thức, qua em chọn cho cách giải thích hợp, tối ưu cho dạng tập đồng thời phát triển tư sáng tạo cho em - Trong trì nh học, phương án gọi phát triển tư tập giải xong để tạo nên tập khác Giáo viên làm mẫu trước sau hướng dẫn em làm theo Cách tạo tập từ 1.1 1 ex ex = + ) dx x dx 0 0 2e x dx 2e x x3 1 2e 1 2e = 10 ln = + ln 3 3 *)Từ 0 ( x Vậy ta có tốn mới: x e x x 2e x 1)Tính tích phân: 0 dx (A-2010) 2e x Khi giải tập ta làm sau: x e x x 2e x 0 2e x dx = 1 x (1 2e x ) e x ex dx = ( x )dx 0 2e x 0 2e x Sau tiếp tục làm x e x x 2e x 1 2e 0 2e x dx = + ln ex ex 2 2 *) 0 (sin x cos x )dx = sin xdx + cos xdx + dx 0 2e x 2e x = cos x 02 sin x 02 ln 2e x = (cos cos 0) sin sin (ln 2e ln = (ln 2e ln Hay ex (sin x cos x)(1 2e x ) e x (sin x cos x ) dx = dx 0 2e x 2e x sin x cos x 2e x sin x 2e x cos x e x = 02 dx 2e x sin x cos x e x (2 sin x cos x 1) = 02 dx 2e x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Vậy ta có tập 2)Tính tích phân sin x cos x e x (2 sin x cos x 1) dx ( Đáp số: (ln 2e ln 3) x 2e *) 0 (1 ex )dx 2e x ex 1 2e 1 2e ln dx x 10 ln =1x 01 2e 3 dx - Hay ex 1 2e dx ( Đáp số 1- ln ) x 2e 3)Tính tích phân: 0 Tương tự ta sáng tạo loạt tập sau: 1.2) Tính tích phân d (1 sin x) sin x cos xdx b) 04 sin x sin x c ) 04 dx ( B-2003) sin x sin x cos x sin x sin x dx d) 04 sin x a) Giải: d (1 sin x) ln sin x sin x a) 04 b) c) cos xdx d (1 sin x) = 04 ln sin x sin x sin x sin x dx sin x = 04 ln cos x d (1 sin x) dx = ln sin x sin x sin x d) ln sin x cos x sin x.sin x dx sin x = cos x (sin x )dx sin x cos x 1 ln 2 sin x sin x.sin x cos x dx sin x sin xdx cos x dx cos x 04 ln sin x 1 1) ln ln = (cos cos 0) ln ( 2 2 ln 2 1.3) Tính tích phân Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông d ( x sin x cos x) x sin x cos x x cos xdx b) 04 x sin x cos x x sin x cos x x cos x c) 04 dx( A 2011) x sin x cos x x sin x sin x cos x x cos x d) 0 dx x sin x cos x a) Giải a) b) d ( x sin x cos x) ln x sin x cos x x sin x cos x x cos xdx d ( x sin x cos x) = 04 ln x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x ln 2 1 4 ln 2 1 4 Theo khảo sát phần trước, theo phương pháp truyền thống thông thường học sinh làm xong toán x cos xdx x sin x cos x giáo viên dừng lại Sẽ khơng có định hướng để em tiếp tục phát triển tư duy, khơng có nhiều em giải xác tốn thi đại học A2011, người thầy sử dụng theo phương pháp đưa toán tương tự liên hệ chúng với nhờ học sinh dễ dàng giải tốn tưởng chừng phức tạp.Từ giúp tư em linh hoạt hơn.Các em giải nhanh tập c) x sin x cos x x cos x dx x sin x cos x = 04 dx 04 (1 x cos x )dx x sin x cos x x cos xdx 2 2 x 04 ln 1 = ln 1 x sin x cos x 4 4 x sin x sin x cos x x cos x sin x( x sin x cos x) x cos x d) dx = dx x sin x cos x x sin x cos x x cos x x cos x = 04 (sin x )dx = sin xdx + dx 0 x sin x cos x x sin x cos x = cos x + ln = ( 2 2 1 (cos cos 0) + ln 1 4 4 2 2 1) + ln + ln 1 1 = 2 4 4 1.4)Tính tích phân a) esin x d sin x Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng b) esin x cos xdx c) (esin x cos x) cos xdx ( ĐH- D-2005) d) (esin x 2) cos xdx e) (esin x sin x) cos xdx Giải a) c) e esin x cos xdx = esin x d sin x esin x 04 e (esin x cos x) cos xdx = esin x cos xdx + cos x dx b) sin x sin x d sin x e 1 sin x 1 4 cos x dx + dx 2 0 1 2 1 d) 04 (esin x 2) cos xdx = 2 1 1 sin x 04 x 04 = e =e - 0 cos x dx = e 2 1 2 2 e) 2 =e e 1 =e 2 e 2 e 2 esin x cos xdx + 2 cos xdx sin =e 2 1 (esin x sin x) cos xdx = esin x cos xdx + sin x cos xdx =e 2 1 sin xdx 2 = e cos x 04 = e = e 1.5) Tính tích phân a) 1 3sin x d 1 3sin x b) c) 1 sin x sin x sin x dx cos x sin x dx (ĐH-A-2006) Giải Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông 1 3sin x d 1 3sin x = 2(1 3sin a) b) 1 2 sin x sin x dx = sin x 2 = (1 sin x) 1 2 x) sin xdx = 2 sin x 0 d 1 3sin x 1 2 c) Cách 1: sin x cos x sin x 2 2 (1 sin x) = dx = sin x sin x sin x 2 dx = sin x sin x dx Cách 2: sin x cos x sin x dx = Đặt t = 1+3sin2x sin x sin x dx dt sin xdx Đổi cận t 4, x t sin x Khi 02 dx = 2 cos x sin x x dt t t Tổng quát: Để tính I = sin x cos xdx a cos x b sin x dx(a, b 0) Ta đặt t = a2cos2x+ b2sin2x Bài tốn 2: Xét tốn đơn giản Tính tích phân: 3sin x cos x dx Bài làm: 3sin x cos x dx = cos x sin x 02 437 Nhận xét: 1) Muốn đưa tích phân trở thành tốn phức tạp ta làm sau: Bước 1: Phân tích sinx+4cosx = A( sinx- cosx) + B( sinx+cosx) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 10 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng t5 t3 = ( t ) 10 15 -Tích phân I2 có dạng b sin 2n x cos k xdx ( k =1, n=0) a 1 12 cos xdx = (cos x ) dx = cos xdx + dx 0 0 0 0 = sin x 02 x 02 (cos3 x 1) cos xdx = 15 2) Tính tích phân( ĐHQGHCM-2000) sin xdx Giải: Nhận xét: Tích phân sin xdx b sin 2n x cos k xdx ( k =0, n=2) a Hạ bậc sin = cos x xdx = dx = cos x cos x dx 40 0 1 dx - cos xdx + cos 2 x dx 20 40 40 14 14 14 = dx - cos xdx + cos x 1dx 20 80 40 = x 04 - sin x 04 + = 1 sin x 04 x 04 32 8 16 32 32 3) Tính tích phân( ĐHSPHCM-2000) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 20 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng cos xdx Giải Nhận xét Tích phân cos xdx b sin 2n x cos k xdx ( k =2, n=0) a Hạ bậc cos x 0 cos xdx = 0 dx = 0 cos x cos x dx 1 = dx + cos xdx + cos 2 x dx 20 40 40 = 1 dx + cos xdx + cos x 1dx 20 80 40 1 4 3 = 8 = x 0 + sin x 0 + 1 sin x 0 x 0 32 4) Tính tích phân( ĐHQGHCM-1998) sin x cos3 xdx Giải: Nhận xét Tích phân sin x cos3 xdx tích phân có dạng b sin 2n x cos k 1 xdx ( Trong n=1, k =1) a Đặt t = sinx dt cos dx Đổi cận: x t 0, x t 1 1 sin x cos3 xdx = sin x cos x cos xdx = t (1 t ) dt 0 1 0 = (t t )dt t dt t dt t t 5 = ( ) 10 15 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 21 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bì nh luận: Thơng qua toán thấy sau giải xong tập , việc hệ thống lại dạng tổng quát tập việc vơ cần thiết điều làm học sinh khắc sâu kiến thức giải loạt tập tương tự, giúp em hứng thú say mê việc sáng tạo tập mới, góp phần phát triển tư cho em Bài tốn 5: Tính tích phân 5.1 dx sin x cos x Nhận xét: Đây tích phân biểu thức có đồng thời xuất hàm sinx cosx, ta cần biểu diễn sinx cosx theo ẩn phụ đó, tan x x 2dt 1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2 Đổi cận: x t 0, x t 2dt dt dx 1 t2 2 ln t 10 ln ln ln 0t 2 0 sin x cos x 2t 1 t 2 2 2 1 t 1 t dx 5.2) 02 sin x cos x x 2dt Đặt t = tan dx 1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2 Đổi cận: x t 0, x t 2dt 1 dx 2dt dt 1 t2 2 6t sin x cos x 5t 6t 1 t (t 1)(t ) 2 3 2 1 t 1 t 1 1 1 1 1 dt = = 0 dt - dt t t 1 t 1 0t 5 1 1 1 1 1 ln t 10 ln t 10 ln ln ln = ln ln = ln 2 2 2 5 Đặt t = tan dx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 22 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Tổng quát: dx a sin x b cos x c x 2dt - Đặt t = tan dx 1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2 d c - Đổi cận tính tích phân theo t Các tập tương tự Tính tích phân sau: dx sin x dx b) 02 cos x dx c) 02 sin x cos x a) 5.3) Tính tích phân: sin x 16 cos x dx sin x cos x Giải: sin x 16 cos x sin x 16 cos x sin x cos x dx = 04 sin x cos x dx 2(2 cos x sin x) 4(2 sin x cos x) = 04 dx sin x cos x cos x sin x = 204 dx + dx sin x cos x = 2 d (2 sin x cos x) + 404 dx sin x cos x = 2ln sin x cos x 04 +4 =2 ln + Nhận xét: Trong tập ta tách sin x 16 cos x 2(2 cos x sin x) 4(2 sin x cos x) sin x cos x sin x cos x Vậy làm để tách vậy, hệ số tìm nào? Ta có (2cosx-3sinx)= (2sinx+3cosx)’ Phương pháp: Tách 2sinx+16cosx =A(2cosx – 3sinx) + B(2sinx + 3cosx) Hay 2sinx + 16 cosx =(2B – 3A)sinx + (2A + 3B)cosx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 23 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông Đồng hệ số ta 2 B A A 2 A 3B 16 B Vậy sin x 16 cos x 2(2 cos x sin x) 4(2 sin x cos x) sin x cos x sin x cos x Tổng quát:Tính tích phân b a m sin x n cos x dx a sin x b cos x Bước 1: Đưa msinx + ncosx = A(asinx + bcosx)’ +B(asinx + bcosx) Bước 2: Đồng hệ số để tìm A B Bước 3: Tách b a m sin x n cos x dx thành tổng tích phân a sin x b cos x Các bước sáng tạo tập để có hệ số A, B đẹp: -Lấy mẫu số Ví dụ: 5sinx + 3cosx -Tính đạo hàm mẫu số ( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx - Lấy A, B số , ví dụ A=1, B =5 Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx ) = 22 sinx+20cosx Vậy ta có tập tích phân 22 sin x 20 cos x dx sin x cos x Với cách làm ta tạo vơ số tập tích phân với kết số đẹp Giáo viên định hướng cho em học sinh thực em hứng thú say mê tìm tịi hơn, giúp em phát triển tư duy, kết học tập tốt nhiều Ta có tốn tương tự sau:Tính tích phân 1) 2) 3) 4) 5) 11sin x 10 cos x dx sin x cos x sin x cos x 04 3sin x cos x dx 19 sin x cos x 04 sin x cos x dx sin x cos x 04 sin x cos x dx 13 sin x 14 cos x 02 sin x cos x dx Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 24 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 5.4) Tính tích phân: 02 sin x cos x dx sin x cos x sin x cos x cos x sin x 4(sin x cos x 1) dx = dx sin x cos x 02 sin x cos x cos x sin x = 02 dx +4 dx -2 dx 0 sin x cos x sin x cos x d (sin x cos x 1) 2 = 0 +4 0 dx - 02 dx sin x cos x sin x cos x =ln sin x cos x 02 +4x 02 - 02 dx sin x cos x dx = ln2 ( Áp dụng phương pháp giải tập 5.1 5.2) sin x cos x sin x cos x 2 dx -2ln2 sin x cos x Với Tương tự cách làm tập 5.3 ta có phương pháp tổng quát để làm dạng toán sau: Tổng quát:Tính tích phân m sin x n cos x k dx a a sin x b cos x c b Bước 1: Đưa msinx + ncosx + k = A(asinx + bcosx + c )’ +B(asinx + bcosx +c) + C Bước 2: Đồng hệ số để tìm A B, C Bước 3: Tách b a m sin x n cos x k dx thành tổng tích phân a sin x b cos x c Các bước sáng tạo tập để có hệ số A, B đẹp: -Lấy mẫu số Ví dụ: 5sinx + 3cosx+2 -Tính đạo hàm mẫu số ( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx - Lấy A, B, C số bất kì, ví dụ A=1, B =5, C=5 Tử số = (5cos x -3 sinx) + 5(5sinx + 3cosx+2 )+5 = 22 sinx+20cosx+5 Vậy ta có tập tích phân 22 sin x 20 cos x dx sin x cos x Ta có tốn tương tự sau:Tính tích phân 1) sin x cos x dx sin x cos x Bài tốn Tính tích phân: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 25 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 6.1)I= ( 2 6.3) K= t )dt t 1 6.2)J = ( 1 )dt t t 1 1 ( )dt t2 t2 t t 6.4) M = ( )dt 1 6.6) F = t t dt 6.5) E= 1 t2 0 dt t 1 Bài làm 6.1) I =ln t 2 - ln t = (ln ln 1 1 ) (ln ln ) =ln 2 6.2) J = ln t - ln t = (ln ln1) (ln ln 2) =ln 1 4 ( ln t - ln t )= ((ln ln1) (ln ln 5) ) = ln 4 3 3 dt dt 6.4)M = = ln t 32 -2 t dt =ln t t 2 6.3) K = 6.5) Đặt t =tan u dt = 1 tan u du t= u , t u M= 1 (1 tan u )du 0 tan u = dt 0 t = t t 2 du = u 04 = 11 6.6) F = 2t ln t 10 ln 3 Nhận xét bình luận 1)Trên tập tích phân đơn giản nhiên dạy đến tập ta không nên dừng lại đó, giáo viên nên hướng dẫn em xây dựng hệ thống tập hệ thống tập bản, sau nâng thành dạng tổng quát, xây dựng hệ thống tập tương tự tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo Cách sáng tạo tập mới: Bước 1: Biến đổi toán ban đầu Bước 2: Thay t hàm số biến x để tạo tập Ví dụ: t= 2x+1,t =sinx, Bước 3:Tạo tập 2) Bài tốn biến đổi thành: toán 6.1) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 26 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông I= 2 1 (t )(t 1) dt (2t 1)(t 1) = dt 2t 2 dt =ln 3t *) Đặt t = cos x từ suy dt = dcosx = -sinx dx x , cos x x Đổi cận cos x Vậy I = cos sin xdx sin xdx sin xdx x cos x cos x cos x cos x cos x 2 Vậy ta có tập sin xdx cos x cos x 1)Tính tích phân: (Đề thi thử trung học phổ thông quốc gia chuyên Hưng Yên 2015) *) Đặt t = cosx dt = -sinxdx x sin xdx dt = 2t 3t cos x cos x Đổi cận t x 0, t Vậy ta có tập mới: 2) Tính tính phân: sin xdx cos x cos x x ta có dt = dx 2 Đổi cận t x 2, t x 2 2 dx dx 22 x x x 3x 2 22 1 *) Đặt t = Vậy ta có tập 3)Tính tính phân: x 2 dx 3x Bài toán 6.2 1 1 t t t t 1 t 3t *)Nếu đặt t =e x dt de x e x dx Đổi cận e x x ln 3, e x x ln Biến đổi Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 27 Bồi dưỡng tư sáng tạo thơng qua giải tập tích phân trường phổ thông 1 2x t t e 3e x ln ln e x dx dx Vậy J = x x x e 3e ln e 2e x ln Vậy ta có tập ln dx (ĐH- khối B -2006) x e e ln 1)Tính tích phân: x *) Nếu đặt t = x3 dt =3x2dx Đổi cận x x 3 , x x 3 x dx x 3x3 J= Ta có toán mới: 3 x dx x 3x3 2) Tính tích phân: 1 1 t t t t 1 t 3t Nếu đặt t = 1+x dt d (1 x) dx Đổi cận x x 2, x x 1 1 2 t t ( x 1) 3( x 1) x x *) Vậy J = ln e x dx dx ln e2 x 3e x 2 x x Vậy ta có tập x 3)Tính tích phân: Bài tập 6.3: ( dx x 1 )dt = dt t2 t2 t 4 đặt t = x dt x x 4 dx t =3 x =3 lấy x = t =4 x =4 lấy x = 2 Từ ta có K = 4 3 t 4dt = 2 xdx x x 2 = 2 dx x x2 Ta có tập mới: Tính tích phân: 2 dx x x2 (đại học khối A _2003) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 28 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng *) Bằng cách làm hồn tồn tương tự ta có tốn: 2) Tính tích phân dx x x (đại học An Ninh -1999) *) Xét tốn ( ĐH – B 2012) Tính tích phân x3 0 x 3x 2dx Giải: Đặt t = x2 suy dt = 2xdx Với x =0 t = 0, x =1 t = 1 x3 Khi dx x 3x = 1 x 2 x 0 ( x 1)( x 2)dx tdt 0 (t 1)(t 2) 0 ( t t 1)dt t2 dt t2 = (ln t ln t ) 10 ln ln t t Bài toán 6.4) M = ( )dt = Đặt t =2 + lnx dt =d lnx = dx x 2 t = ln x =0 từ x =1 t = 3thì ln x =1 từ x = e ln x = t-2 ; 2 ( t t )dt = e dx dt x dx ln x x dt = 2 ln x 2 e ln xdx x(2 ln x) Ta có tập 1) Tính tích phân: e ln xdx ( Đại học khối B -2010) x(2 ln x) * ) Đại học khối B -2010 ngồi cách làm ta cị n có cách làm khác sau: +) Phương pháp đưa vào vi phân: e ln xdx = x(2 ln x) e = d (2 ln x) (2 ln x) = ln3- ln2 - e e ln xd (2 ln x) = (2 ln x) 2d (2 ln x) = ln ln x 1e 2 (2 ln x) e 2 ln x 1 1 e = ln (2 ln x 2)d (2 ln x) (2 ln x) e d (2 ln x) (2 ln x) + ) Phương pháp tích phân phần: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 29 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Đặt u ln x dv dx x ( 2ln x )2 Từ suy e ln xdx e 1 x(2 ln x)2 =- lnx ln x + 1 1 = ln ln x 1e ln 3 e du 1x v 1 2ln x 1 dx = x(2 ln x) e d (2 ln x) (2 ln x) Nhận xét bình luận: Ở tập có sử dụng phương pháp tích phân phần, phương pháp sử dụng ?, cách đặt u, dv cho nhanh hiệu quả? Dấu hiệu: Thường sử dụng có loại hàm khác trở lên Cách đặt u, dv : Ta thường ưu tiên u theo thứ tự sau: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ Giải thích: log( hàm loga) Nhì đa( hàm đa thức) Tam lượng( hàm lượng giác) Tứ mũ ( hàm số mũ) Ví dụ: D-2006 Tính tích phân: e ( x 2)e 2x dx Ta có dấu tích phân có hàm đa thức hàm số mũ, đặt u = x-2, dv=e2xdx *) Nếu ta đặt t =sinx +2 : Sinx + = x=0 dt = dsinx = cosx dx dt =cosx dx Sinx + = x= t2 sin x t t t sin x 22 (t t 2 sin x cos xdx = (sin x 2) )dt = sin x cos xdx (sin x 2) Vậy ta có tốn 2)Tính tích phân: sin x cos xdx (sin x 2) Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 30 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Bài tốn 6.5 E= dt 1 t 1 Vậy dt = 1 dx x x 1 1+ t2 =1+ (x- ) = x2 + -1 x x t =0 x- x lấy x=1 x 1 t =1 x- x x lấy x= x 1 1 1 dx 2 dt x dx x = 0 t = 1 x x 1 x 1 x *) ta đặt t = x - Vậy ta có tốn 1) Tính tích phân 1 dt 1 t Ta có 1 x dx x4 x2 ( Đại học Ngoại Thương 2001) 12 x2 t xdx tdt *) Đặt x t t = x lấy x =2 t = x lấy x = dt 1 t xdx x 2t 2 dx x 1x Có tốn sau 2) Tính tích phân: dx x 1x ( Đại học Bách Khoa Hà Nội 1995) * ) Đề đại học BÁCH KHOA HÀ NỘI cịn có cách làm khác sau: sin tdt dx cos t cos t 1 x cos t cos t t x cos t t cos t Đặt x = Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 31 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng x x2 sin tdt dt sin tdt dx cos t = = = 1 sin t x 1x sin t cos t cos t 1 1 1 cos t = sin t cos t cos t cos t cos t cos t cos t dt = dt Vì 4 3 t , sin t 12 Bài toán 6.6 t2 1 tdt Biến đổi t t dt =2 t 1 t 0 0 Đặt t = x t2 =x-1 hay x = t2 +1 từ dx=2tdt Đổi cận t x 1, t x Vậy t2 1 xdx tdt = t 1 x 1 1 0 1 Ta có tốn sau xdx ( ĐH _ A _2004) x 1 1 1 Tính tích phân : * Bài tốn A-2004 cị n có cách làm khác sau dx 2(t 1)dt Đặt t = + x x t 1 Đổi cận x t 2, x t t 1t 12 dt xdx 2 =2 1 x 1 t t 3t 4t dt 1 t t3 t2 11 =2 t 3t dt = 4t ln t 12 ln t 3 1 Tổng quát b a p( x) dx với p(x) đa thức chứa x, m, n, c số ta đặt ax b c t = ax b +c t = ax b Bằng phương pháp ta giải tập sau: 1) Đại học ĐN -1997 Tính tích phân dx x 1 2 I = Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 32 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 2) Dự bị DDH1 A -2007 Tính tích phân x 1dx J = 2x 3) ĐHSPQN-1999 Tính tích phân ( x 1)dx x T= 4) CĐXD -2005 Tính tích phân ( x 3)dx x 1 x 3 1 T= 5) ĐH D-2009 Tính tích phân dx M= x e 1 6) Với toán I = x 3x 1 x x dx ( ĐH_ Khối B-2014) Ta làm sau : lấy tử chia mẫu ta x 3x 1 x x dx = 2 2x d ( x x) 1 dx + 1 x xdx = x + 1 x x = 1+ln x x 12 ln 7) ĐH D -2013 Tính tích phân 1 ( x 1) 2x 0 x = 0 dx + 0 x dx 1 d ( x 1) = x 10 ln x 10 ln 2 x = dx + 8) ĐH D -2011 Tính tích phân 4x dx 2x Đặt t = x x 2(t 1), dx tdt Đổi cận x = t 1; x t 3 10 2t 3t 4x dx = dt (2t 4t )dt t t 2 2x 1 Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 33 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 2t 34 2t 5t 10 ln t 13 10 ln = Bì nh luận : Bài tập hàm đa thức biến đổi thành 4 dt t 4 dt a) 2t 3t b) 2 t2 dt t2 d) t2 1 tdt t 0 f) c) dt 1 t2 t 3t 4t dt t 1 e) *Vậy câu a,b gặp tích phân hàm đa thức f(x) mà mẫu số có bậc lớn bậc tử số mà mẫu phương trì nh bậc : ax2 +bx +c có nghiệm x1, x2 ta làm ? Phương pháp: Phân tích mẫu số thành nhân tử đưa f(x) dạng f(x) = cx d a ( x x1 )( x x2 ) Sử dụng phương pháp hệ số bất định Phân tích f(x) = A B x x1 x x2 Từ tách tích phân phức tạp trở thành tổng hai tích phân đơn giản *) câu c ta tách thành tổng tích phân f(x) = ax b A B cx d cx d 2 (cx d ) *) Ở câu d mẫu khơng phân tích thành nhân tử hay nói cách khác phương trì nh ax2 +bx +c =0 có phân tích ax2 +bx +c = a ( x-x1)2 + m2 Đặt x- x1 = mtant sau sử dụng phương pháp đổi biến số *) Ở câu e f f(x) đa thức có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải sử dụng phương pháp chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số để từ tích phân phức tạp chia thành tích phân đơn giản Cách sáng tạo tập tích phân phức tạp thực tổng tích phân đơn giản, giáo viên tự tạo tập nhằm tạo nên cho thân tài liêu phong phú Vậy việc dạy học tốn khơng nên dừng lại việc giải tập sau gấp sách lại ta nên xem xét lật lật lại tốn xem có cịn cách để giải tập khác không , tập có liên hệ với tập khác không? Nếu giáo viên giúp cho học sinh thường xuyên luyện tập kĩ em học sinh cảm nhận mơn tốn khơng cịn khó khô khan nữa, em thấy hứng thú học mơn tốn nhiều Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 34 ... sin x 2 t 12 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng 2 t 2 t =5 + (1 )dt =5 + dt - dt = 0 - 2ln t =6 - 2ln3+2ln2 3.3) Xét tích phân: (sin... Đức A 22 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng Tổng quát: dx a sin x b cos x c x 2dt - Đặt t = tan dx 1 t2 2t 1 t2 Sinx= , cosx = 1 t2 1 t2 d c - Đổi... ln x 2) d (2 ln x) (2 ln x) e d (2 ln x) (2 ln x) + ) Phương pháp tích phân phần: Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 29 Bồi dưỡng tư sáng tạo thông qua giải tập tích phân trường phổ thơng