chuyên đề hàm số
Chủ đề hàm số A- Bài toán tính đồng biến nghịch biến hàm số Tìm m để hàm số y = x + x + (m + 1) x + 4m đồng biến [-1;1] m −1 x + mx + (3m − 2) đồng biến R Tìm m để hàm số y = m+2 x + x + (m + 2) nghịch biến R Tìm m để hàm số y = Tìm m để hàm số y = − x + x + 3mx − nghịch biến (0; +∞) [A-13] Tìm m để hàm số y = − x + 2mx − m nghịch biến (1; +∞) Tìm m để hàm số y = − x + 2mx − m nghịch biến (−1;0), (2;3) B-Bài toán cực trị 11 Tìm m để hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 có ba cực trị.[B-02] 12 Tìm m để hàm số y = mx − 3x + 3m + có hai cực trị 13 Tìm m để hàm số y = ( x − m)3 − x đạt cực tiểu điểm x = 2 14.Tìm m để hàm số y = x + (m − m + 2) x + (3m + 1) x đạt điểm cực tiểu x = −2 15 Tìm m để đổ thị hàm số y = − x + 3mx − 3m − có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x + y − 74 = 16 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x + 3mx − 3m − có hai điểm cự trị A,B cho tam giác OAB có diện tích 17 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x + 3mx − 3m − có hai điểm cực trị nằm phía so với đường thẳng x + y + = 18 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3m3 có hai điểm cự trị A, B cho tam giác OAB có diện tích 48.[B-12] 19 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3(m + 1) x + 6mx có hai điểm cự trị A, B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thảng y = x + [B-13] 20 Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + có hai điểm cự trị B, C cho tam giác ABC cân tai A [B-14] 21 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2(m + 1) x + m có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC với A điểm thuộc trục tung O gốc tọa độ.[B11] 22 Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1) x − 2(9 − m ) x + m a) Có cực đại mà cực tiêu b) có cực tiểu mà cực đại m 23 Tìm để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m có ba điểm cực trị lập thành: a) tam giác vuông b) tam giác c) tam giác có diện tích 16 2 24 Tìm m để hàm số y = x − mx − 2(3m − 1) x + có hai điểm cực trị x1 x2 cho 3 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = [D-12] 25 Tìm m để hàm số y = x + 2(m − 1) x + ( m − 4m + 1) x + m + có hai điểm cực trị x1 x2 cho 1 + = ( x1 + x2 ) x1 x2 26 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 27 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm C Bài toán tiếp tuyến 28 Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) đồ thị hàm số y = x − x + trường hợp sau: a) Tiếp tuyến tiếp điểm có hoành độ -1 b) Tiếp tuyến tiếp điểm có tung độ c) tiếp tuyến có hệ số góc 24 d) tiếp tuyến song song với đường thẳng x − y + 2015 = e) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 45 y + 215 = f) tiếp tuyến qua điểm A(−1; 2) g) tiếp tuyến tạo với đường thẳng x − y + 100 = góc ϕ , biết cos ϕ = x −3 29 Viết pttt đồ thị hàm số y = trường hợp sau: 2x −1 a) Tiếp tuyến tiếp điểm có hoành độ -1 b) Tiếp tuyến tiếp điểm có tung độ -2 c) Tiếp tuyến tiếp điểm tọa độ nguyên đồ thị hàm số d) Tiếp tuyến có hệ số góc e) Tiếp tuyến song song với đường thẳng x − y + 67 = f) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 20 x + y + 15 = 30 Viết pttt đồ thị hàm số y = − x − x + biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − [D-10] 31 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số: y = x − x − cho tiếp tuyến M (C) có hệ số góc [D-14] 2x 32 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số : y = biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy x−2 A, B cho : a) AB = 2OA b) OA = 4OB x+3 33 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số : y = biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy 2x + A, B cho đường trung trực đoạn AB qua gốc tọa O x+2 34 Viết pttt đồ thị hàm số (C) y = biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B cho tam 2x + giác OAB cân O [A-09] 2x 35 Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số : y = biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy x +1 A,B cho tam giác OAB có diện tích [D-07] 36 Tìm tọa độ điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y = −x −1 cho tiếp tuyến (C) A song x+2 song tiếp tuyến (C) B AB = 2 2x −1 37 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Gọi M thuộc (C) I giao điểm hai đường tiêm x −1 cận.Tiếp tuyến M cắt đường tiệm cận A, B a) Chứng minh M trung điểm AB b) Diện tích tam giác IAB không đổi c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ d) Viết pttt cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn −x +1 38 Chứng minh đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hàm số y = hai điểm phân biệt A, B 2x −1 Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B Tìm m để k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.[A11] D Bài toán tương giao 39 Cho hàm số y = x − x + (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) 3 b) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số sau:, y =| x | −3 | x | +2 (C1 ) , y = x − 3x + (C2 ) −x +1 2x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho − x +1 b) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số sau: y = x −1 40 Cho hàm số y = (C1 ) , y = −x +1 (C ) 2x −1 41 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 12 x − b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt | x |3 −9 x + 12 | x |= m [A-06] 42 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt x | x − |= m [B-09] 43 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 4 b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt | x − x + |= 2m2 − 4m 44 Tìm m để đường thẳng y = − x + cắt đồ thị hàm số y = x − 3mx + (m − 1) x + ba điểm phân biệt[D13] 45 Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1; 2) với hệ số góc k (k > −3) cắt đồ thị hàm số y = x − x + ba điểm phân biệt I , A, B đồng thời I trung điểm đoạn AB [D-08] x +1 46 Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt x −1 47 Tìm m để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = x − (3m + 2) x + 3m điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 2.[D-09] 48 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + (m − 2) x + cắt trục Ox taị điểm phân biệt 49 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − mx + (m − 2) x + cắt trục Ox taị điểm phân biệt có hoành độ dương 50 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − x + (1 − m) x + m cắt trục Ox taị điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < [A-10] 51 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − x + (1 − m) x + m cắt trục Ox taị điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 lớn 52 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x + 3mx − 3m − cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ âm −x +1 53 Cho hàm số y = (C) 2x −1 a) Chứng minh với m đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B b) Chứng minh với m đường thẳng d cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh phân biệt (C) c) Tìm giá trị k để đường thẳng y = −2 x + k cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B cho AB= 54 Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị m để: a) ( Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt b) ( Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt mà hoành độ nhỏ c) ( Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt mà hoành độ bé d) ( Cm ) cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng 55 Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị hàm số (C) : y = x3 − x + điểm phân biệt M , N , P cho xM = NP = 2 x+2 56 Gọi d đường thẳng qua A(1;0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt dồ thị hàm số (C): y = hai x −1 điểm phân biệt M , N thuộc hai nhánh khác đồ thị AM = AN 2x −1 57 Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị hàm số (C): y = hai điểm phân biệt A, B cho x +1 AB = 2 2x +1 58 Tìm m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B cho tam x +1 giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) x+3 59 Tìm m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt đồ thị hàm số (C): y = hai điểm phân biệt A, B cho x+2 uuur uuur OA.OB = (với O gốc tọa độ) 60 Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + cắt đồ thị hàm số (C): y = x+3 hai điểm phân biệt A, B x+2 cho khoảng cách từ A B đến trục hoành nhau.[D-11] 61 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2m cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ lớn 62 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x + 3mx − m cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ -1 63 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − (m − 1) cắt Ox ba điểm phân biệt có hoành độ dương E Các toán tổng hợp 64 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) a) khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b)Gọi (d) đường thẳng qua A(2;0) có hệ số góc k tìm k để (d) cắt (C) điểm phân biệt A,M,N cho tiếp tuyến (C) M,N vuông góc với 2x +1 65 Cho hàm số y = (C) x −1 a) Chứng minh giao điểm hai đường tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C) b) Tìm trục đối xứng đồ thị (C) c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách chúng nhỏ d) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ x2 − x + 66 Cho đồ thị hàm số y = (C) x −1 a) Chứng minh giao điểm hai đường tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C) b) Tìm trục đối xứng đồ thị (C) c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách chúng nhỏ d) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ x+2 67 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = − x x −1 [A-14] 68 Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m + m (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị m= b) Chứng minh hàm số (1) có cự đại,cực tiểu với m.Tìm m để điểm cự trị hàm số (1) với điểm I(1;1), tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp 69 Cho hàm số y = mx − x + 9mx − (1) (m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = b) Xác định m để đường thẳng d: y = x − cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt A(0,– 3), B, C thỏa điều kiện B nằm A C đồng thời AC = 3AB 2x 70 Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) 3 71 Cho hàm số y = x − (m − 2) x − 3(m − 1) x + (1), m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −2 b) Tìm m > để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu yCĐ , yCT thỏa mãn yCĐ + yCT = x +1 x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Gọi (d) đường thẳng qua M ( 2;0 ) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho M nằm A, B MA = 2MB x −1 73 Cho hàm số y = (C) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận (C) A B cho tam giác ABI có bán kính đường tròn nội tiếp − , với I giao điểm hai đường tiệm cận 2x −1 ( C) 74 Cho hàm số y = x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y = − x + m cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A, B 72 Cho hàm số y = cho tam giác ABM tam giác đều, biết M = (2; 5) 2x −1 x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I (0;1) cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) 75 Cho hàm số y = 76 Cho hàm số y = x3 + mx + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -3 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm 77 Cho hàm số y = x − x + 2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Tìm trục tung điểm M mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số hai tiếp tuyến đối xứng qua trục tung vuông góc với CHƯƠNG I HÀM SỐ BÀI PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ∀x1 < x ∈ ( a, b ) ta có f ( x1 ) < f ( x ) y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ∀x1 < x ∈ ( a, b ) ta có f ( x1 ) > f ( x ) y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = số hữu hạn điểm ∈ (a, b) y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = số hữu hạn điểm ∈ (a, b) Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị điểm x = x k ⇔ f ′ ( x ) đổi dấu điểm x k xi − ε xi xi + ε a xj − ε xj xj + ε b x Giá trị lớn nhỏ hàm số • Giả sử y = ƒ(x) liên tục [a, b] đồng thời đạt cực trị x1 , , x n ∈ ( a, b ) f ( x ) = Max { f ( x1 ) , , f ( x n ) , f ( a ) , f ( b ) } ; Khi đó: xMax ∈[ a ,b ] M in f ( x ) = M in { f ( x1 ) , , f ( x n ) , f ( a ) , f ( b ) } x∈[ a ,b ] f ( x ) = f ( a ) ; Max f ( x ) = f ( b ) • Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] xMin ∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] f ( x ) = f ( b ) ; Max f ( x ) = f ( a ) • Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] xMin ∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] • Hàm bậc f ( x ) = αx + β đoạn [ a; b ] đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đầu mút a; b II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Nghiệm phương trình u(x) = v(x) hoành độ giao điểm đồ thị y = u ( x ) với đồ thị y = v ( x ) Nghiệm bất phương trình u(x) ≥ v(x) u(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y = u ( x ) nằm phía so với phần đồ thị y = v ( x ) v(x) Nghiệm bất phương trình u(x) ≤ v(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị x b y = u ( x ) nằm phía so với phần đồ thị y = va( x ) Nghiệm phương trình u(x) = m hoành độ giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị y = u ( x ) u ( x) ≥ m BPT u(x) ≥ m ∀x∈I ⇔ Min x∈I y=m u ( x) ≤ m BPT u(x) ≤ m ∀x∈I ⇔ Max x∈I BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ Max u ( x ) ≥ m α x∈I u ( x) ≤ m BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ Min x∈I a III Các toán minh họa phương pháp hàm số x b Bài Cho hàm số f ( x ) = mx + 2mx − a Tìm m để phương trình ƒ(x) = có nghiệm x∈[1; 2] b Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ nghiệm ∀x∈[1; 4] c Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ có nghiệm x∈ [ −1;3] Giải: a Biến đổi phương trình ƒ(x) = ta có: f ( x ) = mx + 2mx − = ⇔ m ( x + x ) = ⇔ g ( x ) = = =m x + x ( x + 1) − Để ƒ(x) = có nghiệm x∈[1; 2] Min g ( x ) ≤ m ≤ Max g ( x ) ⇔ ≤ m ≤ x∈[ 1;2] x∈[ 1;2] b Ta có ∀x∈[1; 4] f ( x ) = mx + 2mx − ≤ ⇔ m ( x + x ) ≤ ⇔ g ( x ) = ⇔ M in g ( x ) ≥ m x∈[ 1;4] Do g ( x ) = ( x + 1) − g ( x ) = g ( 4) = ≥ m giảm [1; 4] nên ycbt ⇔ xMin ∈[ 1;4] c Ta có với x∈ [ −1;3] f ( x ) = mx + 2mx − ≥ ⇔ m ( x + x ) ≥ , x ∈ [ −1;3] Xét khả sau đây: x + 2x + Nếu x = bất phương trình trở thành m.0 = ≥ nên vô nghiệm Đặt g ( x ) = g ( x) ≤ m + Nếu x ∈ ( 0;3] BPT ⇔ g ( x ) ≤ m có nghiệm x ∈ ( 0;3] ⇔ xMin ∈( 0;3] Do g ( x ) = g ( x ) = g ( 3) = ≤ m giảm / ( 0; 3] nên ycbt ⇔ xMin ∈( 0;3] ( x + 1) − ≥ m , ∀x ∈ [ 1; 4] x + 2x g ( x ) ≥ m Ta có + Nếu x ∈ [ −1; ) x + x < nên BPT ⇔ g ( x ) ≥ m có nghiệm x ∈ [ −1; ) ⇔ Max [ −1;0 ) −3 ( x + ) g′( x) = ≤ 0, ∀x ∈ [ −1; 0] 2 ( x + 2x) g ( x ) = g ( −1) = −3 ≥ m Do g ( x ) nghịch biến nên ta có Max [ −1;0 ) Kết luận: ƒ(x) ≥ có nghiệm x∈ [ −1;3] ⇔ m ∈ ( −∞; −3] U ; +∞ ) −1 Bài Tìm m để bất phương trình: − x + 3mx − < nghiệm ∀x ≥ x 1 Giải: BPT ⇔ 3mx < x − + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − + x = f ( x ) , ∀x ≥ x x 4 −2 >0 Ta có f ′ ( x ) = x + − ≥ 2 x ÷ − = suy f ( x ) tăng x x x x x f ( x ) = f ( 1) = > 3m ⇔ > m YCBT ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ x ≥1 Bài Tìm m để bất phương trình m.4 + ( m − 1) x x+2 + m − > ∀x ∈ ¡ Giải: Đặt t = x > m.4 x + ( m − 1) x + + m − > ∀x ∈ ¡ ⇔ m.t + ( m − 1) t + ( m − 1) > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > −4t − 2t < 4t + < m, ∀t > Ta có g ′ ( t ) = nên g ( t ) nghịch biến [ 0; +∞ ) suy t + 4t + ( t + 4t + 1) ycbt ⇔ Max g ( t ) = g ( ) = ≤ m ⇔ g ( t) = t ≥0 Bài Tìm m để phương trình: x x + x + 12 = m ( − x + − x ) có nghiệm x x + x + 12 =m Giải: Điều kiện ≤ x ≤ Biến đổi PT ⇔ f ( x ) = 5− x + 4− x ( ) ′ f x Chú ý: Nếu tính xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn >0 Thủ thuật: Đặt g ( x ) = x x + x + 12 > ⇒ g ′ ( x ) = x + x + 12 h ( x ) = − x + − x > ⇒ h ′ ( x ) = −1 − tăng; h ( x ) > giảm hay ( ) > tăng h x g ( x ) tăng Suy ⇒ f ( x) = f ( x ) = m có nghiệm h ( x) ⇔ m ∈ f ( x ) ; max f ( x ) = [ f ( ) ; f ( ) ] = ( 15 − 12 ) ;12 [ 0;4] [ 0;4] Bài Tìm m để bất phương trình: x + 3x − ≤ m ( x − x − ) có nghiệm Giải: Điều kiện x ≥ Nhân hai vế BPT với ( x + x − ) > ta nhận bất phương trình f ( x ) = ( x + 3x − 1) ( x + x − ) ≤ m Đặt g ( x ) = x + 3x − ; h ( x ) = ( x + x − ) 2 + Ta có g ′ ( x ) = 3x + x > 0, ∀x ≥ 1; h ′ ( x ) = ( x + x − ) >0 ÷ x x −1 Do g ( x ) > tăng ∀x ≥ ; h ( x ) > tăng nên f ( x ) = g ( x ) h ( x ) tăng ∀x ≥ Khi bất phương trình f ( x ) ≤ m có nghiệm ⇔ f ( x ) = f ( 1) = ≤ m x ≥1 Bài Tìm m để ( + x ) ( − x ) ≤ x − x + m nghiệm ∀x ∈ [ −4, 6] Cách BPT ⇔ f ( x ) = − x + x + ( + x ) ( − x ) ≤ m ∀x ∈ [ −4, 6] f ′ ( x ) = −2 x + + −2 x + = (1 − x) + ( ) ( ) ( 4+ x 6−x + x) ( − x) = ⇔ x =1 ÷ f ( x ) = f ( 1) = ≤ m Lập bảng biến thiên suy Max Max [ −4,6] ( + x) + ( − x) =5 Cách Đặt t = ( + x ) ( − x ) ≤ Ta có t = − x + x + 24 Khi bất phương trình trở thành t ≤ −t + m + 24, ∀t ∈ [ 0;5] ⇔ f ( t ) = t + t − 24 ≤ m; ∀t ∈ [ 0; 5] Ta có: f ′ ( t ) = 2t + > ⇒ f ( t ) tăng nên f ( t ) ≤ m; ∀t ∈ [ 0; 5] ⇔ max f ( t ) = f ( ) = ≤ m 2 [ 0;5] Bài Tìm m để + x + − x − 18 + x − x ≤ m − m + ∀x ∈ [ −3, 6] Giải: Đặt t = + x + − x > ⇒ t = ( + x + − x ) = + ( + x ) ( − x ) ⇒ ≤ t = + ( + x ) ( − x ) ≤ + ( + x ) + ( − x ) = 18 ⇒ 18 + 3x − x = ( + x ) ( − x ) = ( t − ) ; t ∈ 3; f ( t ) = f ( 3) = Xét f ( t ) = − t + t + ; f ′ ( t ) = − t < 0; ∀t ∈ 3;3 ⇒ max 3;3 2 ycbt ⇔ max f ( t ) = ≤ m − m + ⇔ m − m − ≥ ⇔ m ≤ −1 V m ≥ 3;3 Bài (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình x − + m x + = x − có nghiệm thực Giải: ĐK: x ≥ , biến đổi phương trình ⇔ −3 x − + x − = m x +1 x +1 t01+0–0– Đặt u = x − = − ∈ [ 0,1) x +1 x +1 Khi g ( t ) = −3t + 2t = m Ta có g ′ ( t ) = −6t + = ⇔ t = Do yêu cầu ⇔ −1 < m ≤ 3 Bài (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với m > , phương trình x + x − = m ( x − ) có hai nghiệm phân biệt Giải: Điều kiện: x ≥ Biến đổi phương trình ta có: ⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2) x2+0 2 ⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2) ⇔ ( x − ) ( x + x − 32 − m ) = ⇔ x = V g ( x ) = x + x − 32 = m ycbt ⇔ g ( x ) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 2; +∞ ) Thật ta có: g ′ ( x ) = 3x ( x + ) > 0, ∀x > Do g ( x ) đồng biến mà g ( x ) liên tục g ( ) = 0; lim g ( x ) = +∞ nên g ( x ) = m có nghiệm ∈ ( 2; +∞ ) x →+∞ Vậy ∀m > , phương trình x + x − = m ( x − ) có hai nghiệm phân biệt Bài 10 (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x + 2x + − x + − x = m Giải: Đặt f ( x ) = x + x + − x + − x ; x ∈ [ 0; 6] ′( ) − Ta có: f x = 4 ( − x) ( 2x) ( ) Đặt u x = ( 2x) − + − , x ∈ ( 0; ) ÷ ÷ x 6−x ; v ( x) = − , x ∈ ( 0, ) 2x 6−x ( − x) u ( x ) , v ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0, ) f ′( x) > 0, ∀x ∈ ( 0, ) ( ) ⇒ u = v ( ) = ⇒ f ′( x) < 0, ∀x ∈ ( 2, ) f ′(2) = ( ) ( ) u x , v x < 0, ∀x ∈ ( 2, ) x026+0–f(x) + 24 Nhìn BBT ta có PT có nghiệm phân biệt ⇔ + ≤ m < + Bài 11 (Đề TSĐH khối D, 2007): x + + y + = x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x + 13 + y + 13 = 15m − 10 x y ( 1 Giải: Đặt u = x + x ; v = y + y ta có x + 13 = x + x x ) ( ) − 3x ×1 x + = u − 3u x x 1 1 u = x + x = x + x ≥ x x = ; v = y + y ≥ y y = u + v = u + v = ⇔ 3 u + v − ( u + v ) = 15m − 10 uv = − m Khi hệ trở thành ⇔ u , v nghiệm phương trình bậc hai f ( t ) = t − 5t + = m Hệ có nghiệm ⇔ f ( t ) = m có nghiệm t1 , t thỏa mãn t1 ≥ 2; t ≥ Lập Bảng biến thiên hàm số f ( t ) với t ≥ t f ′( t) −∞ f ( t) +∞ –2 – – +∞ 5/2 + +∞ 22 7/4 Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 Bài 12 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình x + x ( sin y + cos y ) + ≥ với ∀y ∈ ¡ Giải: Đặt u = sin y + cos y ∈ − 2, , g ( u) ≥ BPT ⇔ g ( u ) = ( x ) u + ( x + 1) ≥ 0, ∀u ∈ − 2, ⇔ u∈Min − 2, Do đồ thị y = g ( u ) đoạn thẳng với u ∈ − 2, nên Min u∈ − , g ( − ) ≥ x − 2 x + ≥ x ≥ +1 g ( u ) ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x ≤ − x + 2 x + ≥ g ( ) ≥ a , b, c ≥ Chứng minh rằng: a + b + c + abc ≥ a + b + c = Bài 13 Cho Giải: BĐT ⇔ a + ( b + c ) − 2bc + abc ≥ ⇔ a + ( − a ) + ( a − ) bc ≥ ( ⇔ f ( u ) = ( a − ) u + 2a − 6a + ≥ ≤ u = bc ≤ b + c ) = ( − a) 2 Như đồ thị y = f ( u ) đoạn thẳng với u ∈ 0; ( − a ) Ta có ( ) ( ) 2 f ( ) = 2a − 6a + = a − + ≥ 0; f ( − a ) = ( a − 1) ( a + ) ≥ 2 4 nên suy f ( u ) ≥ 0; ∀ u ∈ 0; ( − a ) Vậy a + b + c + abc ≥ Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bài 14 (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): a , b, c ≥ Chứng minh rằng: ab + bc + ca − 2abc ≤ 27 a + b + c = Cho Giải: a ( b + c ) + ( − 2a ) bc = a ( − a ) + ( − 2a ) bc = a ( − a ) + ( − 2a ) u = f ( u ) ( Đồ thị y = f ( u ) = ( − 2a ) u + a ( − a ) với ≤ u = bc ≤ b + c ) = (1 − a) đoạn thẳng với giá trị ( ) đầu mút f ( ) = a ( − a ) ≤ a + − a = < ( ) ( 27 )( f ( − a ) = ( −2a + a + 1) = − 2a + a − 4 27 3 ) ≤ 27 ( ) 2 1 Do đồ thị y = f ( u ) đoạn thẳng với u ∈ 0; ( − a ) f ( ) < ; f ( − a ) ≤ 27 nên 27 f ( u ) ≤ Đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = 27 Bài 15 Chứng minh rằng: ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ≤ 4, ∀ a, b, c ∈ [ 0, 2] Giải: Biến đổi bất đẳng thức hàm bậc biến số a, tham số b, c ta có f ( a ) = ( − b − c ) a + ( b + c ) − bc ≤ 4, ∀a, b, c ∈ [ 0, 2] Đồ thị y = f ( a ) đoạn thẳng với a ∈ [ 0, 2] nên f ( a ) ≤ Max { f ( ) ; f ( ) } Ta có f ( ) = − ( − b ) ( − c ) ≤ 4; f ( ) = − bc ≤ ⇒ f ( a ) ≤ 4, ∀a, b, c ∈ [ 0, ] Bài 16 CMR: ( − a ) ( − b ) ( − c ) ( − d ) + a + b + c + d ≥ 1, ∀a, b, c, d ∈ [ 0,1] Giải: Biểu diễn bất đẳng thức hàm bậc biến số a, tham số b, c, d, ta có: f ( a ) = [ − ( − b ) ( − c ) ( − d ) ] a + ( − b ) ( − c ) ( − d ) + b + c + d ≥ 1, ∀a, b, c , d ∈ [ 0,1] Đồ thị y = f ( a ) , ∀a ∈ [ 0,1] đoạn thẳng nên Min f ( a ) = Min { f ( ) , f ( 1) } a∈[ 0,1] Ta có f ( 1) = b + c + d + ≥ 1, ∀b, c, d ∈ [ 0,1] f ( 0) = ( − b) ( − c ) ( − d ) + b + c + d ⇔ g ( b) = [ − ( − c ) ( − d ) ] b + ( − c ) ( − d ) + c + d Đồ thị y = g ( b ) , ∀b ∈ [ 0,1] đoạn thẳng nên Min g ( b ) = Min { g ( ) , g ( 1) } b∈[ 0,1] Ta có g ( 1) = c + d + ≥ 1; g ( ) = ( − c ) ( − d ) + c + d = + cd ≥ ⇒ f ( ) = g ( b ) ≥ 1, ∀b ∈ [ 0,1] Vậy f ( a ) ≥ hay ta có (đpcm) BT LIÊN QUAN KSHS 1.ĐỀ (D - 2010): Cho hàm số : y = − x − x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − m 2.ĐỀ (D - 2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x − x + Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành 3 độ -1 Tìm m đề tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng x − y = − x +1 ( C ) Chứng minh với m đường thẳng y = x + m 3.ĐỀ (A - 2011): Cho hàm số y = 2x − cắt đồ thị hàm số ( C ) hai điểm phân biệt A; B Gọi k1; k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A; B Tìm m để tồng k1 + k2 đạt giá trị lớn m−2 2 x + mx − x − nghịch biến tập 4.ĐỀ (…) : Tìm giá trị tham số m để hàm số y = xác định 5.ĐỀ( ): Tìm giá trị m để hàm số y = − x + x + mx − đồng biến ( 0;2 ) 2 6.ĐỀ (….) Tìm m để hàm số y = x + ( m − m + ) x + ( 3m + 1) x + m − đạt cực tiểu x = -2 7.Đề (CĐ A - 2007): Tìm m để hàm số y = − x + x + ( m + 1) x + m + có cực đại; cực tiểu 8.ĐỀ (…): Tìm m để hàm số y = x − 3mx − m − x + có cực trị 9.ĐỀ (…): Tìm m để hàm số y = − x + x + ( m + 1) x + m + cực trị 10.ĐỀ (B - 2007): Cho hàm số y = − x + x + m − x − 3m − Tìm m đểt hàm số có cực đại, cực tiểu điểm CĐ, CT cách gốc tọa độ 11.ĐỀ (B - 2014): Cho hàm số y = x − 3mx + 1(1) ; Cho A (2; 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B C cho ∆ABC cân A x3 12.ĐỀ(…): Tìm m để đồ thị hàm số y = + mx + ( m + ) x + có hai điểm cực trị phía trục Oy 2 13.ĐỀ (D - 2012): Cho hàm số y = x − mx − 3m − x + (1) , m tham số thực Tìm m để 3 ( x x + x + x hàm số (1) có hai điểm cực trị x1và x2 cho 2 ) = 14.ĐỀ (CĐ - 2009): Tìm giá trị tham số m để hàm số y = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + có cực đại va cực tiểu; đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số có hoành độ dương 15.ĐỀ (…): Tìm m để hàm số y = x + mx + x + có đường thẳng qua cực đại; cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = x − 16.ĐỀ (B - 2002): Tìm m để hàm số y = mx + m − x + 10 có ba điểm cực trị 17.ĐỀ (B – 2012): Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + m (1) , với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông 18.ĐỀ (…): Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 19.ĐỀ (B - 2011): Cho hàm số y = x − 2( m + 1) x + m(1) , m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa dộ A cực trị thuộc trục tung , B C hai điểm cực trị lại 20.ĐỀ(…): Cho hàm số y = x − mx + m − 1(C m ) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt 2 21.ĐỀ (…): Cho hàm số y = x − 2( 2m + 1) x + 4m + 3m + 2(C m ) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm ) cắt đường thẳng y = bốn điểm phân biệt 22.ĐỀ (…): Cho hàm số y = x − x + x − 6(C ) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx − 2m − cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 23.ĐỀ (A - 2010): Cho hàm số y = x − x + (1 − m ) x − m(1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục 2 hoành tại3 điểm có hoành độ x1 ; x ; x3 thỏa điều kiện x1 + x + x3 < ( ) ( ) ( ( ) ) 24.ĐỀ (…): Cho hàm số y = x + 2mx + ( m + 3) x + 4(C m ) đường thẳng (d): y = x + , điểm K(1; 3) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4); B; C cho diện tích tam giác KBC 2x + 25.ĐỀ (D - 2011): Cho hàm số y = Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai x +1 điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành 2x − m (C ) đường thẳng ∆ : y = mx − + m Tìm m để ∆ cắt (C) 26.ĐỀ(…):Cho hàm số y = x +1 điểm phân biệt có hoành độ dương 2 27 ĐỀ (B - 2009): Cho hàm số y = x − x Với giá trị m PT x x − = m có nghiệm thực phân biệt