TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( VÒNG ) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010 Câu I : 1) Cộng hai phương trình hệ ta thu 2x y 25 x y 5 2 x y Với x y ta hệ 2 x y 1 2 3y 3y Từ 1 suy x thay vào ta y 2 y 1 x 1 2 y y 13 y 30 y 17 y 17 x 13 13 y 1 x 1 Tương tự với trường hợp x y 5 ta y 17 x 13 13 17 Đáp số: ( x 1, y 1), ( x , y ) 13 13 17 ( x 1, y 1), ( x , y ) 13 13 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác sau: Dễ thấy y đặt x ky ta k 3k y 12ky y 23 2 thu 2 suy 2(3k 12k 8) 23(k 1) k k y y 17 y 1 x 1 Với k y y 1 x 1 17 y x 17 13 13 Với k y2 17 13 y 17 x 13 13 2) Điều kiện x , phương trình tương đương với 2x 1 x2 x 1 Giải 2x 1 2x 1 x Giải x 4x 2x 1 4x 2x x 2 TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Đáp số: x 4, x 0, x Câu II : 1) Đẳng thức viết lại dạng x2 y x2 y xy 2( x y)(1 xy) 25 x y xy 1 x y 1 xy 25 2 x y xy 1 25 x 1 y 1 25 x 1 y 1 (Vì x, y ) x ( x 4, y 0) y 1 x ( x 0, y 4) y Đáp số: x 0, y , x 4, y k k 1 1 1 k (k 1) k k 1 Với k ta có 11 1.2 1 1 k ta có 2.3 2) Ta có k n ta có n2 n 1 1 n(n 1) n n 1 Cộng n đẳng thức ta thu 1.2 2.3 n2 n 1 Dễ thấy n n n 1 n 1 n 1 n(n 1) n 1 Suy 1.2 2.3 n2 n 1 n n(n 1) Chú ý: Học sinh giải cách khác sau 1 1.2 k 2 2.3 Với k k n n2 n 1 n n(n 1) n n k k 1 k k (k 1) k k TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Cộng n đẳng thức ta suy 3 13 1.2 2.3 3.4 n2 n n n n(n 1) n 1 n2 n 1 Suy n n(n 1) 1.2 2.3 Câu III : 1) Xét tam giác BAC vuông A có góc ACB = 300 , AB 2R Ta suy B BC AB 4R Theo định lý Pitago tam giác ABC ta có AC BC AB2 16R2 4R2 12R2 AC 3R Ta thấy AH BH , nên AH khoảng cách từ A đến H đường thẳng BC N A Dễ thấy M C AB AC AH BC 2SABC AH AB AC R.2 3.R 3R BC 4R Đáp số: AC 3R, BC 4R, AH 3R 2) Vì ABHN tứ giác nội tiếp Suy HNB HAB (Cùng chắn cung BH ) Ta có HAB = ACB (Góc có cạnh tương ứng vuông góc) Suy HNB ACB 1800 HNB HNM ACB HNM tứ giác HNMC tứ giác nội tiếp, bốn điểm C, H , N , M nằm đường tròn Vì A, B, C cố định H cố định Vì tâm đường tròn cách H , C cố định nên nằm đường trung trực đoạn HC cố định Vậy tâm đường tròn qua đường trung trực đoạn HC Câu IV : Ta chứng minh bất đẳng thức a b4 a b2 a, b (1) Bình phương hai vế ta thu (1 a )(1 b4 ) 2a 2b2 (1 a )(1 b4 ) (1 a 2b2 )2 (a b2 )2 (Hiển nhiên đúng) Ta có (1 a)(1 b) a b ab 4 Ta có TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 a b 2ab 2(a ) 2a 2(b ) 2b Cộng ba bất đẳng thức ta thu 3(a b2 ) 2(a b ab) a b2 (2) Từ (1) (2) suy a b4 Vậy Pmin 17 17 đạt a b 2