Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán 2008

Vì tâm đường tròn cách đều H C, cố định nên nó nằm trên đường trung trực của đoạn HC cố định.. Vậy tâm đường tròn đi qua đường trung trực của đoạn HC.

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( VÒNG 1 )

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2010

Câu I :

1) Cộng hai phương trình của hệ ta thu được

 2

2x3y 25  2x 3y  5

 Với 2x 3y 5 ta được hệ 22 32 5

2

x y

x y

 





 

 

 

1 2

Từ  1 suy ra 5 3

2

y

 và thay vào  2 ta được

2 2

5 3

2 2

y y



   

  2 2

  





   



 Tương tự với trường hợp 2x 3y  5 ta được

    





     

 Đáp số: (x 1,y 1), ( 7 , 17)

(x  1,y  1), ( 7 , 17)

x  y  Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách cơ bản khác như sau: Dễ thấy y0 và đặt xky ta thu được

2 2 2

2





1

17

k

k







 



1

y

  



        



Với

2 2 2

   



     



2) Điều kiện 1,

2

x  phương trình tương đương với

2x 1 3 4x 2x  1 1 0

Giải 2x   1 3 2x    1 9 x 4

0

x







      

 

Đáp số: x 4, x 0, 1

2

x

Câu II :

1) Đẳng thức được viết lại dưới dạng

2 2 2 2

  2 2   

    2

x y xy

     

   2

    

x 1y 1 5

    (Vì x y, 0)

1 5

1 1

1 5

x

x

y

  









      

  





Đáp số: x0,y4 , x4,y0

2) Ta có

2

1

k k

    

Với k  1 ta có 3 1 1 1

1.2    2

k 2 ta có 7 1 1 1

2.3  2 3

kn ta có

2

1

n n

    

Cộng n đẳng thức ta thu được

2

1

n n

n

 

1

1

n



Suy ra

2

n n

n

n n

      

Chú ý: Học sinh có thể giải cách khác như sau

2

Với k 1 3 1 1

1.2 2

k  2 7 1 2

2

1 1

k n

 

Cộng n đẳng thức ta suy ra

2

n

 

Suy ra

2

n n

n

n n

      

Câu III :

1) Xét tam giác BACvuông tại A có góc ACB= 0

30 , AB 2 R Ta suy ra

B Theo định lý Pitago đối với tam giác ABC

ta có 2 2 2 2 2 2

AC 2 3 R

H Ta thấy rằng AHBH, nên AH là khoảng cách từ A đến

đường thẳng BC

N

A M C

Dễ thấy

Đáp số: AC 2 3 ,R BC  4 ,R AH  3 R

2) Vì ABHN là tứ giác nội tiếp

Suy ra HNBHAB (Cùng chắn cung BH )

Ta có HAB = ACB (Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

180

HNB ACB  HNBHNM  ACBHNM

 tứ giác HNMC là tứ giác nội tiếp, như vậy bốn điểm C H N M, , , cùng nằm trên

một đường tròn Vì A B C, , cố định  Hcố định Vì tâm đường tròn cách đều H C,

cố định nên nó nằm trên đường trung trực của đoạn HC cố định Vậy tâm đường tròn

đi qua đường trung trực của đoạn HC

Câu IV : Ta chứng minh bất đẳng thức

1a  1b  4 a b a b,  (1)

Bình phương hai vế ta thu được 4 4 2 2

2 2 2

   (Hiển nhiên đúng)

Ta có

3 4

ABC



2 2

2

2

2 1

4 1

4

a b ab

 

 

  Cộng ba bất đẳng thức ta thu được

2

2 2 1

2

   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

     

Vậy min 17

2

P  đạt được khi và chỉ khi 1.

2

a b