TÍNH CHẤT QUANG HỌC CỦA VẬT RẮN

Trong chương này, ta nghiên cứu tương tác của bức xạ điện từ với vật liệu. Có thể thực hiện việc này bằng hai phương pháp: vi mô và vĩ mô. Trong phương pháp vĩ mô, ta dùng lí thuyết Maxwell để mô tả sự lan truyền sóng điện từ, còn vật liệu thì được mô tả bởi các hằng số đặc trưng. Trong phương pháp vi mô, ta xét tương tác của điện từ trường lên các electron trong vật liệu. 1. HÀM ĐIỆN MÔI 1.1. Hệ phương trình Maxwell Ta xét sự truyền sóng điện từ trong vật liệu. Các vật liệu có thể biểu hiện các tính chất khác nhau đối với sóng điện từ: trong suốt, phản xạ hay hấp thụ. Các hiện tượng đó xảy ra như thế nào là tuỳ thuộc vào vật liệu và vào tần số của sóng điện từ. Ta đã xét tác dụng của điện trường lên các điện tích tự do (điện tử dẫn) trong kim loại. Nó gây nên dòng điện trong kim loại. Đặc trưng cho vật liệu về tính dẫn điện là điện dẫn suất  của nó. Khi trường điện từ tác dụng lên vật liệu, nó còn gây nên sự dịch chuyển của các điện tích định xứ trong nguyên tử, tạo nên các mômen lưỡng cực địa phương. Thuyết Maxwell xét đến cả hai hiện tượng đó. Cơ sở của thuyết Maxwell là các phương trình Maxwell. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Ta rút ra phương trình cho E: (8) với (9) Đó là phương trình truyền sóng tắt dần. Nhìn chung các trường trong hệ phương trình trên là các đại lượng tuần hoàn theo thời gian. Một cách biểu diễn tương đương và hay được dùng là biến đổi Fourier: (10) (11) Vì E(t) và D(t) là các đại lượng thực, nên E() = E() và D() = D(). E() gọi là ảnh Fourier của E(t). Từ (8.10), ta có và ảnh Fourier của là iE(). 1.2. Hàm điện môi E() và D() liên hệ với nhau qua hằng số điện môi phụ thuộc tần số: D() = 0() E(). Nếu ta coi  là đặc trưng cho tính chất dẫn điện thì  là đặc trưng cho tính chất điện môi của vật liệu. () gọi là hàm điện môi của vật liệu. Sử dụng (5) và (6), ta viết (2) dưới dạng ảnh Fourier: (12) trong đó là điện dẫn suất phức có kể đến hàm điện môi: . (13) Ta cũng có thể viết thành: (12a) trong đó hàm điện môi phức là: (14) với điện dẫn suất được kể đến trong phần ảo của hàm điện môi. Như vậy, có thể mô tả tính chất dẫn điện qua tính chất điện môi và ngược lại, tính chất điện môi qua tính chất dẫn điện. Sở dĩ như vậy, là vì khi   0, sự phân biệt giữa electron tự do và electron liên kết bị xoá đi, vì khi đó ta có sự dịch chuyển tuần hoàn của các điện tích. Còn khi  = 0, thì tính chất của electron tự do và liên kết là hoàn toàn khác nhau, làm cho  và  không có liên hệ gì với nhau. Khi xét cả sự phụ thuộc không gian và thời gian của điện từ trường, ta có nghiệm là sóng phẳng (15) với k là véc tơ sóng. Thay nghiệm này vào phương trình sóng (8), ta thu được: (16) hay (17) Trong trường hợp chân không,  = 1,  = 0, thì hay và sóng điện từ lan truyền với vận tốc ánh sáng c.

TÍNH CHẤT QUANG HỌC CỦA VẬT RẮN Trong chương này, ta nghiên cứu tương tác xạ điện từ với vật liệu Có thể thực việc hai phương pháp: vi mô vĩ mô Trong phương pháp vĩ mô, ta dùng lí thuyết Maxwell để mô tả lan truyền sóng điện từ, vật liệu mô tả số đặc trưng Trong phương pháp vi mô, ta xét tương tác điện từ trường lên electron vật liệu HÀM ĐIỆN MÔI 1.1 Hệ phương trình Maxwell Ta xét truyền sóng điện từ vật liệu Các vật liệu biểu tính chất khác sóng điện từ: suốt, phản xạ hay hấp thụ Các tượng xảy tuỳ thuộc vào vật liệu vào tần số sóng điện từ Ta xét tác dụng điện trường lên điện tích tự (điện tử dẫn) kim loại Nó gây nên dòng điện kim loại Đặc trưng cho vật liệu tính dẫn điện điện dẫn suất σ Khi trường điện từ tác dụng lên vật liệu, gây nên dịch chuyển điện tích định xứ nguyên tử, tạo nên mômen lưỡng cực địa phương Thuyết Maxwell xét đến hai tượng Cơ sở thuyết Maxwell phương trình Maxwell (1) rotE = -B& rotH = j + D ∇E = ∇H = j = σE D = εε E B = µµ H (2) (3) (4) (5) (6) (7) Ta rút phương trình cho E: ε ∂ 2E σ ∂E ∇ E= 2 + c ∂t ε 0c2 ∂t (8) với c= ε µ0 (9) Đó phương trình truyền sóng tắt dần Nhìn chung trường hệ phương trình đại lượng tuần hoàn theo thời gian Một cách biểu diễn tương đương hay dùng biến đổi Fourier: ∞ E (t ) = ∫ E ( ω)e −iωt dω (10) D(t ) = ∫ D( ω)e −iωt dω (11) −∞ ∞ −∞ Vì E(t) D(t) đại lượng thực, nên E(ω) = E*(-ω) D(ω) = D*(-ω) E(ω) gọi ảnh Fourier E(t) Từ (8.10), ta có E&(t ) = ∞ ∫ (−iω )E (ω )e − iωt d ω ảnh Fourier −∞ E (t ) -iωE(ω) 1.2 Hàm điện môi E(ω) D(-ω) liên hệ với qua số điện môi phụ thuộc tần số: D(ω) = ε0ε(ω) E(ω) Nếu ta coi σ đặc trưng cho tính chất dẫn điện ε đặc trưng cho tính chất điện môi vật liệu ε(ω) gọi hàm điện môi vật liệu Sử dụng (5) (6), ta viết (2) dạng ảnh Fourier: rot H ( ω ) = σ E ( ω ) − iωε 0ε ( ω ) E ( ω ) = σ%( ω ) E ( ω ) = J (12) (ω ) điện dẫn suất phức có kể đến hàm điện môi: σ% σ%(ω ) = σ − iωε 0ε (ω ) Ta viết thành: rot H ( ω ) = −iωε 0ε% ( ω ) E ( ω ) = ε 0ε%( ω ) E&( ω ) = D& (13) (12a) hàm điện môi phức là: ε% (ω ) = ε (ω ) + iσ = ε (ω ) + iε (ω ) ε 0ω (14) với điện dẫn suất kể đến phần ảo hàm điện môi Như vậy, mô tả tính chất dẫn điện qua tính chất điện môi ngược lại, tính chất điện môi qua tính chất dẫn điện Sở dĩ vậy, ω ≠ 0, phân biệt electron tự electron liên kết bị xoá đi, ta có dịch chuyển tuần hoàn điện tích Còn ω = 0, tính chất electron tự liên kết hoàn toàn khác nhau, làm cho ε σ liên hệ với Khi xét phụ thuộc không gian thời gian điện từ trường, ta có nghiệm sóng phẳng (15) E = E e i( kr −ωt ) với k véc tơ sóng Thay nghiệm vào phương trình sóng (8), ta thu được: ω2 σω k = ε +i c ε 0c 2 (16) hay k= 2 ω σ ε + i ÷ c ωε  Trong trường hợp chân không, ε = 1, σ = 0, k = (17) ω hay ω = ck sóng điện từ lan c truyền với vận tốc ánh sáng c Trong môi trường vật chất, k = 1/  σ  n%=  ε + i ÷ ωε   ω ω c ~ chiết suất phức: = ω = k với n v c / n% n% = ε% ( ω) (18) Ta có hệ thức sau: n~ = n + iκ (18a) (19) n% = ( n + iκ )2 = ε%= ε1 + i ε = n − κ + 2i nκ với n chiết suất môi trường, κ hệ số dập tắt, ε1 phần thực, ε2 phần ảo hàm điện môi phức Cũng từ đó, ta có : n κ k = ω +i ω c c (20) Xét sóng truyền theo chiều dương trục z, thay (20) vào (15), ta có biểu thức sóng:  % nz −iω  t − ÷  n   κω z  (21) E = E0 exp i ω  z − t ÷ exp  − = E 0e  c  ÷ c c      c Đây sóng tắt dần, lan truyền với vận tốc Từ điều kiện E(ω) D(ω), ta suy n * hàm điện môi phức, ε%( −ω ) = ε% (ω ) Ta định nghĩa độ cảm điện χ từ hệ thức: D = P + ε 0E = χε 0E + ε 0E = (1 + χ )ε 0E = εε 0E (22) Từ đó, χ = ε − Như vậy, ta đặc trưng cho tính chất điện môi vật liệu ~ ~ ~ (ω) hàm điện môi phức ε (ω) , chiết suất phức n ( ω) độ cảm điện phức χ 1.3 Các hệ thức tán sắc Kramers-Kronig Xuất phát từ tính nhân tượng vật lí, người ta chứng minh thành phần thực ảo hàm điện môi liên hệ với qua hệ thức sau đây, gọi hệ thức tán sắc Kramers- Kronig: ∞ ω 'ε (ω ')dω ' ε1(ω ) = + P ∫ π ω '2 − ω (23a) ∞ 2ω ε (ω ')dω ' ε (ω ) = − P∫ π ω ' − ω2 (23b) ∞ x −α ∞ x +α P kí hiệu giá trị tích phân, xác định sau: P ∫ ≡ lim ( ∫ + ∫ ) α →0 với α giá trị biến mà tích phân phân kì Có thể tìm hệ thức tương tự cho phần thực ảo chiết suất độ cảm điện Chẳng hạn, ta có : ∞ ∞ ω 'κ (ω ')dω ' c α (ω ')dω ' n(ω ) = + P ∫ = + P ∫ π ω '2 − ω π ω '2 − ω với hệ số hấp thụ α (ω ) = (24) 2ω κ (ω ) c (25) Như vậy, thực nghiệm, ta đo hệ số hấp thụ toàn dải tần số (0 ≤ ω < ∞) từ (24), ta xác định chiết suất tần số sóng điện từ 1.4 Sự truyền ánh sáng qua mặt song song Ta chiếu chùm tia sáng hẹp vuông góc với bề mặt mặt song song có chiều dày d (Hình 1) Cường độ I0 chùm tia sáng tỉ lệ với bình phương cường độ điện trường sóng ánh sáng I0 ∝ E02 (1-R)I0 e- αd (1-R)2I0 e- αd (1-R)I0 I0 RI0 R(1-R)I0 e- 2αd R2(1-R)I0 e- 3αd R)2I0 e-3 αd R(1-R)2I0 e-2 αd R(1-R)I0 e- αd R2(1- R2(1-R)I0 e- 2αd R3(1-R)I0 e-4αd R3(1-R)I0 e-3αd R4(1-R)I0 e-5αd R4(1-R )2I0 e-5αd Hình Sự truyền ánh sáng qua mặt song song R2(n-1)(1-R)I0 e-(2n-1)αd Một phần chùm sáng phản xạ với hệ số phản xạ ( n − 1)2 + κ R= ( n + 1)2 + κ (26) Một phần vào qua mặt phân cách (1-R)I0 Sau qua chiều dày d bản, cường độ sáng bị suy giảm hấp thụ (1-R)I0 e- αd Đến mặt phân cách vật liệu - không khí, phần phản xạ trở lại vào vật liệu R(1-R)I0 e- αd Phần ánh sáng qua mặt phân cách vào không khí phía sau là (1-R) (1-R)I0 e- αd Chùm sáng phản xạ trở lại bị hấp thụ, đến mặt phân cách phía trước, phần truyền qua mặt phân cách ngoài, phần phản xạ trở lại, bị hấp thụ phần phía sau Phần có cường độ R2(1-R)2 I0 e-3 αd Phần phản xạ vào vật liệu tiếp tục bị phản xạ mặt trước Kết phản xạ nhiều lần mặt phân cách mặt sau bản, ta có cường độ sáng là: I = I ( − R ) e−α d + I R ( − R ) e −3α d + I R ( − R ) e−5α d 2 2 − n −1) α d n −1 + I R ( ) ( − R ) e ( + Ta tính cường độ sáng I theo cách tính tổng số hạng chuỗi nhân lùi vô hạn có công bội R2e-2αd Vậy chùm sáng truyền qua có cường độ: I = I0 (1 − R ) e − αd − R e − αd (27) Ta định nghĩa hệ số truyền qua T: I (1 − R ) e − αd T= = I − R e − αd (25) Nếu αd >>1, bỏ qua e-2αd T ≈ (1 − R ) e − αd Nếu biết R(ω) d cách đo T(ω), ta xác định α(ω) Nếu chưa biết R(ω), ta đo hệ số truyền qua hai mẫu có độ dày khác d1 d2 xác định α từ T1 ≈ exp[α( d − d1 )] T2 T(ω) phổ truyền qua, R(ω) phổ phản xạ, α(ω) phổ hấp thụ (26) TÁN SẮC VÀ HẤP THỤ 2.1 Hàm điện môi dao động tử điều hoà Khi đặt điện trường, vật liệu bị phân cực, vật liệu xuất mômen điện Có loại phân cực chủ yếu phân cực electron, phân cực định hướng phân cực ion Ta xét trường hợp phân cực electron Giả sử điện trường biến thiên tuần hoàn E = E0 cos ωt tác dụng lên nguyên tử Điện trường gây nên dịch chuyển tương đối tâm điện tích dương âm, làm hình thành lưỡng cực có mômen p = qs với q điện tích, s véc tơ độ dài lưỡng cực Phương trình chuyển động nguyên tử-lưỡng cực là: & s&+ γ s&= −ω02 s + q E µ (27) Đây phương trình chuyển động dao động tử điều hoà có tần số riêng ω0 tác dụng điện trường E Số hạng γs đặc trưng cho lực hãm µ khối lượng rút gọn dao động tử Ta xác định véc tơ phân cực P hệ, mômen lưỡng cực điện đơn vị thể tích vật liệu: P = nqs + ε χ e E (28) Số hạng thứ vế phải mô tả phần véc tơ phân cực liên quan đến điện tích liên kết nguyên tử, số hạng thứ hai thể phân cực khí electron tự (nếu vật liệu có electron tự do) với χe độ cảm điện khí electron tự E cường độ điện trường vật liệu Một cách xác, phải điện trường địa phương, tổng hợp điện trường điện trường gây điện tích vật liệu Tuy nhiên, cách gần ta coi E điện trường Ta thay phương trình (27) phương trình cho ảnh Fourier đại lượng thu được: s(ω )(ω02 − ω − iγω ) = q E (ω ) µ (29) Đó phương trình liên hệ đại lượng xét tần số xác định ω Từ phương trình đại số này, ta tính được: s(ω ) = q E (ω ) µ ω0 − ω − iγω (30) Véc tơ phân cực tần số ω là: P (ω ) = nqs(ω ) + ε χ eE (ω ) (31) Sử dụng biểu thức liên hệ P với E ε với χ , ta có: q2 ε (ω ) = + χ e + n µε (32) ω02 − ω − iγω Ta đặt εst = εω=0 gọi số điện môi tĩnh, ε∞ = εω=∞ số điện môi q 2n tần số cao, ε ∞ = + χ e ε st = ε ∞ + Từ đó: ε µω02 ε (ω ) = ε ∞ + ω02 (ε st − ε ∞ ) ω02 − ω − iγω (33) Tách phần thực phần ảo hàm điện môi theo (33), ta có: ε1(ω ) = ε ∞ + (ε st − ε ∞ )ω02 (ω02 − ω ) (ω02 − ω )2 + γ 2ω (34a) ε (ω ) = (ε st − ε ∞ )ω02 γ ω (34b) (ω02 − ω )2 + γ 2ω Sự phụ thuộc tần số ε1 ε2 biểu diễn Hình Hình Dạng ε1(ω) ε2(ω) cho dao động tử lưỡng cực Như vậy, ε1= n2−κ2 phụ thuộc vào tần số cách phức tạp ε1 tăng đến gần ω0 , sau đổi dấu, tăng dần đến giá trị ε∞ ε1 liên quan đến chiết suất n, kết dẫn đến tượng tán sắc ánh sáng ε2 = 2nκ có cực đại ω = ω0, mà κ = 2ωα , nên hệ c số hấp thụ α có cực đại ω = ω0 Nếu γ