Một số vấn đề về dòng chảy lớp biên dạng falkner –skan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ HUYỀN GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN DẠNG FALKNER – SKAN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ HUYỀN GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN DẠNG FALKNER – SKAN Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Văn Trản Hà Nội – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS – TS Trần Văn Trản, người thầy tận tình hướng dẫn, vạch cho em hướng đi, đưa nhận xét sửa chữa, bổ sung cho em nhiều kiến thức quý báu để em bước hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô khoa Toán – Cơ – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị cho em kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè động viên, tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 22 tháng 07 năm 2015 Học viên Trần Thị Huyền Giang MỤC LỤC Mở đầu ………………………………………………………………………….3 Chương Dòng chảy lớp biên ……………………………………………… 1.1 Ngắn gọn dòng chảy lớp biên ……………………………………………5 1.2 Nghiệm đồng dạng hệ phương trình lớp biên ………………………….14 1.3 Thu nhận toán mô tả dòng chảy Falkner – Skan……………………… 16 Chương Một số tính chất chung nghiệm toán dòng chảy Falkner – Skan ……………………………………………………………… 21 2.1 Về tồn nghiệm toán …………………………… 21 2.2 Về ổn định tuyến tính nghiệm …………………………………………22 2.3 Nghiệm phân nhánh toán ………………………………………… 26 Chương Giải số toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan………… 28 3.1 Phương pháp giải với biên chưa xác định cách đưa toán hai biên xác định ………………………………………………………………… 28 3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn giải hệ phương trình Prandtl …………….32 Kết luận……………………………………………………………………… 39 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….40 Phụ lục………………………………………………………………………….41 MỞ ĐẦU Vật thể có cấu trúc hình nón tròn xoay thường gặp thiết bị bay máy bay, tên lửa có ưu điểm khí động lực học tốc độ âm Vì ứng dụng quan trọng lý thuyết lớp biên cho vật thể lĩnh vực chế tạo vũ khí đạn dược Lý thuyết lớp biên học chất lỏng có vị trí đặc biệt nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn Một kết bật lý thuyết lớp biên tồn nghiệm đồng dạng nhiều trường hợp mà trường hợp vật thể hình nón điển hình Đối với nghiệm đồng dạng hệ phương trình lớp biên cho trường hợp hai chiều dẫn đến phương trình vi phân thường Từ nghiên cứu tính chất chung nghiệm tính toán cách dễ dàng Dòng chảy lớp biên bề mặt hình nón với tên dòng chảy Falkner – Skan nghiên cứu từ lâu Do ứng dụng quan trọng nghiên cứu dòng chảy lĩnh vực quân nên quan tâm nhiều từ năm sau chiến tranh giới thứ hai Hiện nghiên cứu sâu toán dòng chảy Falkner – Skan với yếu tố nhiệt độ dòng khí cao, tốc độ bay siêu âm, … nhận ý đặc biệt chuyên gia Luận văn tập trung vào nội dung mô tả toán từ khía cạnh học, toán học ứng dụng hai phương pháp tính khác hoàn toàn chất để thu nhận lời giải trường hợp cổ điển, nghĩa chưa tính đến yếu tố nhiệt Luận văn gồm ba chương: Chương 1: Dòng chảy Falkner – Skan Trong chương trình bày nội dung lý thuyết lớp biên, nghiệm đồng dạng cách thu nhận toán Chương 2: Một số tính chất chung nghiệm toán dòng chảy Falkner – Skan Đưa số tính chất chung nghiệm toán dòng chảy lớp biên: tồn nghiệm toán, ổn định tuyến tính nghiệm nghiệm phân nhánh toán Chương 3: Giải số toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan Thực giải số toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan hai phương pháp tính khác hoàn toàn chất, nêu kết nhận so sánh với Chương DÒNG CHẢY FALKNER – SKAN 1.1 Ngắn gọn lý thuyết lớp biên Chúng ta quan tâm, khảo sát dòng chảy với độ nhớt nhỏ số Reynolds lớn Một đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chuyển động chất lỏng đưa L.Prand vào năm 1904 ông giải thích ảnh hưởng độ nhớt dòng chảy với số Reynolds lớn cách đơn giản phương trình Navier – Stokes để xấp xỉ nghiệm cho trường hợp Hình Dòng chảy lớp biên dọc theo tường Để đơn giản phương trình, coi dòng chảy hai chiều chất lỏng với độ nhớt nhỏ bao quanh vật trụ với hai biên mỏng giống hình Với bỏ qua vùng lân cận trực tiếp bề mặt vật rắn, vận tốc bậc vận tốc dòng tự do, v , kiểu đường dòng phân bố vận tốc sai lệch nhỏ dòng chảy ma sát Tuy nhiên, nghiên cứu chi tiết rằng, không giống dòng chảy có thế, dòng chảy không trượt qua tường mà bám vào Sự chuyển từ vận tốc mặt tường tới đạt giá trị đủ lớn khoảng cách tính từ bề mặt vật rắn tạo nên lớp mỏng gọi lớp biên Với dòng chảy có hai vùng cần xem xét, chí phân chia ranh giới chúng không thật rõ ràng Lớp mỏng vùng lân cận trực tiếp vật thể mà gradient vận tốc theo chiều vuông góc với tường, u lớn Trong miền y độ nhớt nhỏ  dòng chảy ảnh hưởng vào việc tạo nên ứng suất trượt    u y Trong miền lại gradient vận tốc không lớn xuất ảnh hưởng vận tốc không quan trọng Trong miền dòng chảy không ma sát Tổng quan nói độ dày lớp biên biến thiên vận tốc, xác hơn, giảm số Reynolds tăng Có thể thấy từ vài nghiệm xác phương trình Navier – Stokes độ dày lớp biên tỷ lệ với bậc hai độ nhớt động học   Khi đơn giản hóa phương trình Navier – Stokes, ta giả sử độ dày lớp biên nhỏ so với chiều dài đặc trưng, L vật thể:   L Trong miền nghiệm thu từ phương trình lớp biên gần áp dụng cho số Reynolds đủ lớn Bây giờ, nghiên cứu cách đơn giản phương trình Navier – Stokes, để hoàn thành chúng, ước lượng độ lớn đại lượng Trong toán hai chiều hình 1, ta giả thiết tường phẳng trùng với trục x, trục y vuông góc với Ta viết lại phương trình Navier – Stokes dạng không thứ nguyên cách lấy vận tốc dòng tự V, độ dài vật L làm đại lượng đặc trưng Khi thời gian đặc trưng đại lượng L áp suất trở thành không thứ nguyên chia cho V  V Khi đại lượng R  VL   VL  số Reynolds Phương trình liên tục phương trình Navier – Stokes cho dòng chảy phẳng có dạng sau: u v  0 x y (1.1) u u u p   2u  2u  u v      t x y x R  x y  (1.2) v v v p   v  v  u v      t x y y R  x y  (1.3) Điều kiện biên trượt chất lỏng tường: u  v  với y  u  U y   Với giả thiết độ dày lớp biên không thứ nguyên  , nhỏ so với L (   1), ta giữ lại đại lượng có bậc với  Chúng ta ước lượng độ lớn đại lượng để bỏ qua đại lượng nhỏ đơn giản phương trình Vì trình liên tục u bậc nên theo phương x v bậc một, mặt tường v  lớp biên y v bậc  Vì v  2u  2u bậc  , nên bậc x x x Chúng ta giả thiết gia tốc u u bậc với đại lượng u , x t nghĩa gia tốc tức thời xuất sóng áp suất lớn bị loại trừ Để phù hợp với đối số trước, số đại lượng nhớt phải bậc độ lớn với đại lượng quán tính, vùng lân cận trực tiếp với mặt tường nhỏ so với đại lượng Vì đạo hàm cấp hai vận tốc phải lớn gần R mặt tường Để phù hợp với giả thiết trước ta áp dụng  2u 2v Vì vectơ vận tốc song song với tường tăng từ mặt y y tường có giá trị dòng tự qua lớp có độ dày  Ta có  2u y v Khi  y   2v y  u y  Nếu giá trị đưa vào phương trình (1.2), (1.3), từ phương trình thứ chuyển động suy TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Văn Cúc (2004), Cơ học chất lỏng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh B Oskam and A E P Veldman, (1982), “Branching of the Falkner – Skan solutions for   ”, National Aerospace Laboratory NLR, P.O Box 90502, Amsterdam, The Netherlands Colin Sparrow, (1996), “Bifurcation in the Falkner – Skan equation”, Basic Research Institute in the Mathematical Sciences, HP Laboratories Bristol, HPL-BRIMS-96-09 Dr Hermann Schlichting, (1979), Boundary-Layer Theory, Mc Graw – Hill Book Company R S Heeg, D Dijkstra and P J Zandbergen, (1999), “The stability of Falkner – Skan flows with several inflection points”, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik ZAMP 40