Đường tròn và mặt phẳng không gian oxyz

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác www.laisac.page.tl  Đ  ĐƯ  ƯỜ  ỜN  NG T  TH  HẲ  ẲN  NG V  VÀ M  MẶ  ẶT P  PH  HẲ  ẲN  NG  T  TR  RO  ON  NG K  KH  HÔ  ÔN  NG G  GI  IA  AN O  OX  XY  YZ  co m TS.Trần Phương PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN c I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: Hai véctơ u = ( a1 , a , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) cặp véc tơ phương (VTCP) mặt phẳng (α) ⇔ u , v ≠ ; không phương giá chúng oc uo song song nằm mặt phẳng (α) Véctơ n = ( a; b; c ) véc tơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (α) ⇔ (α) ⊥ giá n Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô số cặp véctơ phương vô số véctơ pháp tuyến đồng thời n // [ u , v ] gb u = ( a1 , a , a )  Nếu  cặp VTCP mp(α) VTPT là: v = ( b1 ; b2 ; b3 ) a3 a ; b3 b3 a1 a ; b1 b1 a2   b2  kh on  a n = [u , v ] =   b2 II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG Phương trình tổng quát: 2.1 Phương trình tắc: Ax + By + Cz + D = với A + B + C > Nếu D = Ax + By + Cz = ⇔ (α) qua gốc tọa độ Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ (α): By + Cz + D = song song chứa với trục x’Ox Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ (α): Ax + Cz + D = song song chứa với trục y’Oy Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = (α): Ax + By + D = song song chứa với trục z’Oz Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 2.2 Phương trình tổng quát mp(α) qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP a2 b2 a3 b3 ( x − x0 ) + a3 b3 a1 b1 ( y − y0 ) + a1 b1 a3 a ; b3 b3 a2 b2 a1 a ; b1 b1 a2   là: b2  ( z − z0 ) = 2.3 Phương trình tổng quát mp(α) qua điểm  y − y1 n =  AB, AC  =   y − y1 z − z1 z − z1 , z − z1 z − z1 x − x1 x − x1 , x − x1 x − x1 y − y1 z − z1 y3 − y1 z3 − z1 ( x − x1 ) + z − z1 x2 − x1 z3 − z1 x3 − x1 ( y − y1 ) + y − y1   y − y1  c nên phương trình là: co A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) ; C ( x , y , z ) không thẳng hàng có VTPT là: m u = ( a1 , a , a )  a  hay VTPT n = [u , v ] =    b2 v = ( b1 ; b2 ; b3 ) x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y3 − y1 ( z − z1 ) = oc uo Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng qua A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) là: x + y + z = ( abc ≠ ) a b c Phương trình chùm mặt phẳng: Cho mặt phẳng cắt ( α ) : a1 x + b1 y + c1 z + d = ; ( α ) : a x + b2 y + c z + d = ( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α ) với gb Mặt phẳng (α) chứa (∆) p ( a1 x + b1 y + c1 z + d ) + q ( a x + b2 y + c z + d ) = với p + q > III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG on Cho mặt phẳng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 ) (α2): A2 x + B y + C z + D = có VTPT n = ( A2 , B , C ) Nếu n1 , n không phương (α1) cắt (α2) kh Nếu n1 , n phương (α1 ), (α2) điểm chung (α1) // (α2) Nếu n1 , n phương (α1 ), (α2) có điểm chung (α1) ≡ (α2) IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Góc mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C 22 với n1 , n VTPT (α1), (α2) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác V KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = là: d ( M , α) = Ax + By + Cz + D A2 + B + C d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β ) VI CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA m Khoảng cách mặt phẳng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α ) Bài Lập phương trình tổng quát mp(α) qua A(2; 1; −1) vuông góc co với đường thẳng xác định điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1) Mp(α) qua A nhận BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phương trình mp(α) là: ( x − ) − ( y − 1) + ( z + 1) = ⇔ x − y + z + = c Bài Lập phương trình tham số phương trình tổng quát mp(α) qua A ( 2; −1; ) , B ( 3; 2; −1) vuông góc với ( β ) : x + y + z − = oc uo HD: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; ) Do mp(α) qua A, B ( α ) ⊥ ( β ) nên (α) nhận AB, n b làm cặp VTCP Suy VTPT (α) là:  −5 −5 1  n = ; ;  = (11; −7; −2 ) Mặt khác (α) qua A ( 2; −1; ) nên 1   phương trình mp(α): 11 ( x − ) − ( y + 1) − ( z − ) = ⇔ 11x − y − z − 21 = Bài Lập phương trình mp(α) qua A(1; 0; 5) // mp(γ): 2x − y + z − 17 = Lập phương trình mp(β) qua điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) gb tính góc nhọn ϕ tạo mp(α) (β) HD: mp(α) // (γ): x − y + z − 17 = có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): x − y + z + c = (α) qua A(1; 0; 5) ⇒ ⋅ − + + c = ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): x − y + z − = kh on mp(β) nhận véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm cặp VTCP nên có   −1 −1 VTPT là: nβ =  ; ;  = (1;1; )  −1 −1 −1 −1  Vậy phương trình mp(β): x + ( y − 1) + z = ⇔ x + y + z − = cos ϕ = cos ( n , nβ ) = ⋅1 − 1⋅1 + ⋅ = = ⇒ ϕ = π = 60° +1+1 1+1+ 2  x − z = Bài Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆):  3 x − y + z − = vuông góc với mặt phẳng (P): x − y + z + = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là: m ( x − z ) + n ( x − y + z − 3) = ( m, n ∈ » ; m + n > ) ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = ⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m ) Mặt phẳng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên để (α) ⊥ (P) u ⋅ v = Cho n = suy m = , phương trình mp(α) là: 11x − y − 15 z − = co Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz lập với mặt phẳng (α): m ⇔ ⋅ ( m + 3n ) − ⋅ ( −2n ) + ⋅ ( n − 2m ) = ⇔ 8n − m = x + y − z = góc 60° HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz ⇒ (P) có dạng: mx + ny = ( m + n > ) 2.m + 1.n − m2 + n2 = ⇔ ( 2m + n ) = 10 ( m + n ) 2 + 12 + oc uo cos ( u , v ) = cos 60° ⇔ c ⇒ VTPT u = ( m; n; ) Mặt phẳng (α) có VTPT v = ( 2;1; − ) suy ⇔ ( 4m + 4mn + n ) = 10 ( m + n ) ⇔ ( 3m + 8mn − 3n ) = Cho n = ⇒ 3m + 8m − = ⇔ m = −3 ∨ m = Vậy ( P ) : x − y = ( P ) : x + y = Bài Viết phương trình tổng quát mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) tạo với (Oxy) góc 60° gb HD: (α): Ax + By + Cz + D = qua M, N suy ra: C + D = 0; A + D = ⇒ C = A; D = −3 A Mặt phẳng (Oxy) có VTPT ( 0; 0;1) suy C 2 A +B +C = cos 60° ⇔ 3A = ⇔ 36 A = 10 A + B 2 10 A + B 2 on ⇔ 26 A = B ⇔ B = ± 26 A Do A + B + C ≠ ⇒ A ≠ Cho A = suy mp(α): x − 26 y + z − = x + 26 y + z − = kh Bài Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c số dương thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = Xác định a, b, c cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max HD: y (ABC): x + + z − = Suy = 12 + 12 + 12 a b c d ( O; ABC ) a b c ⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ =  12 + 12 + 12  ( a + b + c ) ≥ ⋅ = 3 a d a b c b c  ⇒ d ≤ ⇒ d ≤ Với a = b = c = Max d = 3 Bài Cho chùm mặt phẳng ( Pm ) : x + y + z + + m ( x + y + z + 1) = Chứng minh rằng: (P m) qua (d) cố định ∀m Tính khoảng cách từ O đến (d) Tìm m để (Pm) ⊥ ( P0 ) : x + y + z + = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác HD:  x + y + z + = Với m, (Pm) qua đường thẳng cố định (d):   x + y + z + = Mặt phẳng x + y + z + = có VTPT: u = ( 2;1;1) x + y + z + = có VTPT v = (1;1;1) suy (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) a = 12 + + = +1+1 m [OM ⋅ a ] Mặt khác (d) qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) = co ( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + = có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ; Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( P0 ) có VTPT n = ( 2;1;1) Để (Pm) ⊥ (P0) n1 ⋅ n2 = ⇔ ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = ⇔ 4m + = ⇔ m = −3 Bài Cho điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Viết phương trình mặt c phẳng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) OABC hình chữ nhật Cho S(9; 0; 0) Tính thể tích chóp S.OABC Viết phương trình mặt phẳng chứa AB qua trung điểm OS AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) oc uo HD: Do (ABC) qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: −5 ( x − ) + ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ x − y + z = O(0; 0; 0) 5.0 − 4.0 + 2.0 = nên O ∈ (ABC) Ta có: OA = ( 0;1; ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = suy OABC hình chữ nhật gb Gọi H hình chiều S lên (OABC) suy V = S OABC ⋅ SH = ⋅ S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = ⋅  AB, AC  ⋅ AS 3 Ta có: AS = ( 9; −1; −2 )  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) on ⇒ V = ( −5 ) − ⋅ − ( −2 ) = −45 = 15 3 ( ) ( Trung điểm OS M ; 0; ⇒ AM = ; −1; −2 2 ) ( ) kh ⇒ Mặt phẳng chứa AB qua M có VTPT là: n = [ AB AM ] = −5; − ; −11 ⇒ Phương trình mặt phẳng: 10 x + y + 22 z − 45 = Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến α Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêmGiải tài liệu học tập khác Mặt phẳng ( α ) thuộc chùm tạo (P) (Q) nên có phương trình dạng: m ( x − y + z + 36 ) + n ( x + y − z − 15 ) = ( m + n > ) ⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( m − n ) z + 36m − 15n = Ta có 36m − 15n ( m + 2n ) + ( n − 3m ) + ( m − n ) =3 ⇔ 12m − 5n = 59m − 16mn + 6n ⇔ 19n − 104mn + 85m = + Cho n = m = nhận ( α ) : 3x − y + z + 21 = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( α ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = co ⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = ⇔ n = m ∨ 19n = 85m m d ( O, ( α ) ) = ⇔ ( c Bài 11 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) ) khoảng cách từ điểm M 0; 0; đến mặt phẳng ( α ) oc uo Giải Gọi phương trình mặt phẳng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = ( A + B + C > ) Ta có A ∈ ( α ) ⇒ A − B + D = (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ A + B + C + D = ( ) Mặt khác: d ( M , ( α ) ) = ⇔ C + D = 6 2 2 ⇔ 27 ( C + D ) = 49 ( A + B + C ) ( 3) A2 + B + C Từ (1) (2), ta có C = −3 A − B, D = B − A ( ) Thế (4) vào (3), ta được: 27.49 A = 49  A + B + ( A + B )  gb 5B + 12 AB − 17 A = ⇔ B = A ∨ B = − 17 A + Chọn A = B = ⇒ C = –5, D = –1 nhận ( α ) : x + y − z − = + Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 ( α ) : x − 17 y + 19 z − 27 = kh on VII CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O vuông góc với ( P ) : x − y + z − = , ( Q ) : x + y − 12 z + = Bài Viết PT mp(α) qua M(1; 2;1) chứa giao tuyến ( P ) : x + y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z =  x − y + z − = Bài Viết phương trình mặt phẳng chứa ( ∆ ) :  3x + y + z − = vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z − = Truy cập www.khongbocuoc.com thêm0;các tài liệu tập khác Bài Cho A(5; 1; để 3), download B(1; 6; 2), C(5; 4) Viết PT học mp(ABC) Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC) Viết PT mặt phẳng: a Qua O, A // BC; Qua C, A ⊥ (α): x − y + 3z + = b Qua O ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) chứa giao tuyến (α), (ABC) Bài Xác định tham số m, n để mặt phẳng x + ny + z + m = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: α ( x − y + z − 3) + β ( x − y − z + ) = m Bài Cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z + = , ( β ) : x + y − z + = điểm M(1; 0; 5) Tính khoảng cách từ M đến mp(α) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến (d) (α) (β) co đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x − y + = Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3) Tính khoảng cách từ gốc O đến (P) c Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện OABC Bài Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N trung oc uo điểm OA BC; P, Q điểm OC AB cho OP = OC đường thẳng MN, PQ cắt AQ AB Bài Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > Gọi A’, B’ hình chiếu O lên DA, DB Viết phương trình mặt phẳng chứa đường OA’, OB’ Chứng minh mặt phẳng vuông góc CD Viết phương trình mp(MNPQ) tìm tỉ số Tính d theo a để số đo góc A′OB ′ = 45° Bài 10 Tìm Oy điểm cách mặt phẳng ( α ) : x + y − z + = 0, ( β ) : x − y + z − = gb Bài 11 Tính góc mặt phẳng (P) (Q) qua điểm I(2; 1; −3) biết (P) chứa Oy (Q) chứa Oz Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng (P) (Q) Bài 12 Cho ∆OAB cạnh a nằm mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy on kh ( ) Điểm A nằm phần tư thứ mp(Oxy) Cho điểm S 0; 0; a Xác định A, B trung điểm E OA Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa SE song song với Ox Tính d ( O, P ) từ suy d ( Ox; SE ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ phương (VTCP) (∆) ⇔ (∆) // giá a m I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Nhận xét: Nếu a VTCP (∆) ka (k ≠ 0) VTCP (∆) II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN co tức (∆) có vô số VTCP Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x 0, y 0, z0) c  x = x + a1t  có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) :  y = y + a t ( t ∈ » )   z = z + a t oc uo Phương trình tắc: Phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y z − z có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : = = a1 a2 a3 Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C tuyến hai mặt phẳng   A2 x + B y + C z + D2 = Phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): gb x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, tắc: on ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C ) Cho (∆):  ( β ) : A2 x + B y + C z + D = n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒VTPT hai mặt phẳng  ⇒ VTCP a =  n1 , n  n = ( A2 , B , C ) kh Tìm điểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ x − x0 y − y z − z = = a1 a2 a3 Đặt tỉ số t suy dạng tham số Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Vị trí tương đối đường thẳng: m Cho (∆ 1) qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) co Nếu [u , v ] ⋅ M M ≠ ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo Nếu [u , v ] ⋅ M M = a1 : a : a ≠ b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) cắt (∆1), (∆2) song song c ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   Nếu  hệ phương trình  vô nghiệm  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ ) oc uo ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   Nếu  hệ phương trình  có nghiệm ( ∆ )  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) trùng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): gb Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) Nếu n ⋅ u ≠ ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ (∆) cắt (α) kh on Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C (∆) ⊥ (α)  n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc = Nếu  ⇔  (∆) // (α)  M ∉ ( α )  Ax + By + Cz + D ≠  n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc = Nếu  ⇔  (∆) ⊂ (α)  M ∈ ( α )  Ax + By + Cz + D = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Góc đường thẳng: Cho (∆1) qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (( ∆ ) , ( ∆ ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác định bởi: cos ϕ = u ⋅v = u ⋅v a b1 + a b + a b a 12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b 32 Góc đường thẳng mặt phẳng: co Góc m (∆2) qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) Góc ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác định bởi: u ⋅n = u ⋅ n aA + bB + cC oc uo sin ϕ = c Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): 2 a + b + c2 A2 + B + C Góc hai mặt phẳng: Góc mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 gb V KHOẢNG CÁCH với n1 , n VTPT (α1), (α2) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho (∆) qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) Khoảng cách từ điểm kh on M1(x1; y 1, z1) đến đường thẳng (∆) là: d ( M , ( ∆ ) ) = u ⋅ M M  u Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: Cho (∆ 1) qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Giả sử ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo nhau, d ( (∆ ),(∆ ) ) = [ u , v ] ⋅ M 1M [u , v ] Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = là: Ax + By + Cz + D A2 + B + C VI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ( ∆ ) sử dụng dấu hiệu nhận  ( α ) co ( ∆ )  Phương pháp: Giải hệ PT tạo  ; ( ∆ ) biết qua hệ thức véctơ  x + y =  x − y + z + = ; oc uo x − y + = ( ∆ ) :  2 x − y − 3z − = ( ∆ ) :  c Bài Xét vị trí tương đối cách khác nhau:  x = 9t  ( ∆ ) :  y = 5t   z = −3 + t  y + 2z − = ( ∆ ) :   x + z − =  x = + 2t  Bài Xác định giao điểm đường thẳng ( ∆ ) :  y = − t ( t ∈ » ) với mặt   z = + t gb phẳng ( α ) : x + y − z − =  x + y + z − = Bài Xác định giao điểm đường thẳng ( ∆ ) :  với mặt  x + y − z − = on phẳng ( α ) : x + y + z − = Bài Cho đường thẳng:  x = 3t y+2  ( ∆ ) :  y = − t , ( ∆ ) : x 1− = = z −3 , z = + t  kh m d ( M , α) =  x − y + 3z − = ( ∆ ) :   x − y + z + = a Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng với b Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) (∆ 3) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng (α α) Phương pháp: Viết phương trình tham số đường thẳng (∆ ) qua M (∆ ) ⊥(α) m Giao điểm H (∆ ) (α) hình chiếu vuông góc M lên (α) Bài Tìm hình chiếu vuông góc M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − z + = Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng (α α) co Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (α ) Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), điểm M’ đối xứng M qua (α) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) x + y – 3z + = c Bài Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α): Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng (∆ ∆) oc uo Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M (α ) ⊥ (∆ ) Giao điểm H (∆) (α ) hình chiếu vuông góc M lên (∆) Phương pháp 2: Viết PT tham số (∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t MH ⊥ u véctơ phương (∆) GPT MH ⋅ u = ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài Xác định hình chiếu vuông góc M(−1; −1; 1) lên đường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = −3 − 3t} Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng (∆ ∆) gb Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (∆ ) Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), điểm M’ đối xứng M qua (∆) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) kh on Bài Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; −1) lên đường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = − 3t} Dạng 6: Xác định hình chiếu vuông góc đường thẳng (∆ ∆ ) lên mặt phẳng (α α) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) điểm H≡ (∆) ∩ (α ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) đường thẳng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) (β ) ⊥ (α ) C2: Lấy điểm A, B phân biệt thuộc (∆ ) Xác định hình chiếu vuông góc A, B lên (α ) H1, H2 C3: co Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) đường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2 m Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) đường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ) Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác định A ≡ (∆ ) ∩ (α ) Lấy M ∉ (∆) M ≠ A Xác định hình chiếu vuông góc H M lên (α) Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) (∆ ’) ≡ AH oc uo lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – = c 5 x − y − z − = Bài Xác định hình chiếu vuông góc (∆):   x + z − = Dạng 7: Xác định hình chiếu song song đường thẳng (∆ ∆ 1) lên (α α) theo phương (∆ ∆ 2) cắt (α α) Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) điểm H≡ (∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) (∆2 ) không song song: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) // (∆2 ) gb Hình chiếu song song (∆1) lên (α) theo phương (∆2) (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − = Bài Xác định hình chiếu song song đt (∆1):  lên (α): x + y + z + =  on y +1 z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = Dạng 8: VPT đường thẳng (∆ ∆ ) qua M cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆2) với (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo không qua M kh Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1) Nếu cho (∆1) dạng tổng quát nên viết phương trình (α) dạng chùm Nếu (∆1 ) dạng tham số lấy điểm A, B ∈ (∆1 ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ⇒ Phương trình (α ) qua điểm A, B, M Nếu (α ) // (∆2 ) toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (∆2 ) tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) Nếu MN // (∆ 1) toán vô nghiệm, MN cắt (∆1 ) suy đường thẳng Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 ) m cần tìm (∆) ≡ MN co Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) Nếu (∆) cắt (∆1 ) (∆2 ) đường thẳng (∆ ) đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆1 ) (∆ 2) toán vô nghiệm c  y − = Bài VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) (∆) cắt (∆1):  ,  x − z − = (∆2): { x = + 2t , y = − t , z = + t} Dạng 9: VPT đường thẳng (∆ ∆ ) cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) song song với (∆ ∆ 3) oc uo Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆3 ), mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) // (∆3 ) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) (∆2 ) đường thẳng (∆) đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆ 1) (∆2 ) toán vô nghiệm Phương pháp 2: Viết phương trình tham số (∆1 ) theo t1, (∆ 2) theo t2 Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t1, t2 ⇒ MN theo t1, t2 Xác định t1, t2 cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆1 ), (∆ 2) song gb song với (∆3 ) (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) giao điểm (∆) (∆ 1) (∆) nhận VTCP (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số (∆) theo x0, y0, z0 kh on ( ∆ ) (∆ ) cắt (∆ 2) suy hệ  có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ )  y − = Bài VPT đường thẳng (∆) cắt (∆1):  , (∆2):  x − z − = { x = + 2t , y = − t , z = + t} // với trục Oz Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác y + z −1 y −3 z −9 = = Bài VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − = , (∆2): x − = 1 y+3 z−2 // (∆3): x + = = −2 m 10 Dạng 10: VPT đường thẳng (∆ ∆ ) qua M vuông góc (∆ ∆ 1), cắt (∆ ∆ 2) ∆ 1), (∆ ∆ 2) M ∉ (∆ (β ) qua M chứa (∆ 2) co Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M ⊥ (∆1 ), mặt phẳng Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) đường thẳng (∆ ) đường thẳng cần tìm c Nếu (∆ ) // (∆ 2) toán vô nghiệm y +1 z + = Bài VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) ⊥ (∆1): x − = , 2 oc uo 7 x + y − z − = cắt (∆ 2):   x + y + z + = 11 Dạng 11: VPT đường vuông góc chung đường thẳng (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo a TH đặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆2): Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ ) ∩ ( α ) , H hình chiếu vuông góc M lên (∆1 ) gb ⇒ MH đường vuông góc chung (∆1 ), (∆2) b Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dạng tham số Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa độ M, N theo t1 , t ⇒ MN theo t1 , t on MN đường vuông góc chung (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ ) , MN ⊥ ( ∆ ) ⇒ t1 , t ⇒ MN c Phương pháp 2: Gọi a1 , a VTCP (∆1 ) (∆ 2) kh ⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2  Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 ) // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Viết phương trình đường vuông góc chung SB, OA Bài Viết phương trình đường vuông góc chung  x − y − 2z + = ( ∆ ) :  y − z +1= m x + y + z − = ( ∆1 ) :  y + z − = Bài Viết phương trình đường vuông góc chung co  x = + 2t1 x = + t2  ( ∆ ) :  y = + t1 ( ∆ ) :  y = −3 + 2t  z = −3 + 3t  z = + 3t   c Bài VPT đường vuông góc chung 3 x − y − = ( ∆ ) : 5 x + z − 12 = ( ∆ ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = − t}  oc uo x = + t x + 2z − =  Bài Cho ( ∆ ) :  y = − t ( ∆ ) :  y − =  z = 2t  Viết phương trình mặt phẳng cách (∆ 1) (∆2) 12 Dạng 12: Các toán khoảng cách 12.1 Tính khoảng cách: y +1 z −1 Bài Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ∆ ) : x − = = Bài Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính khoảng cách từ A đến BC gb Bài Tính khoảng cách đường thẳng x + y = ( ∆ ) :  x − y + z − = ( ∆ ) : { x = + 3t; y = −t; z = + t}  Bài Tính khoảng cách đường thẳng kh on ( ∆ ) : x 1− = y −2 z −3 = , x + y − z = ( ∆ ) : 2 x − y + 3z − =  Bài Tính khoảng cách đường thẳng  x + z + 23 =  x − 2z − =   ( ∆ ) :  y − z + 10 = , ( ∆ ) :  y + z + = Bài Tính khoảng cách mặt phẳng (α): 2x + y + z – = (β):2x + y + z + 10 = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) đến (ABC) 12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Tìm M∈Oy cho khoảng cách từ M đến (α) Bài Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz cho khoảng cách từ M đến (α): 3x – 2y + 6z + = MA co Bài Cho (α): x + y + z + = m Bài Cho (α): x + 2y – 2z – = 2 x + y + z − = cho d ( M , ( α ) ) = Tìm M∈(∆):  x + y + 2z + = Tìm M∈Ox cách (α) (β) c Bài Cho (α): 12x – 16y + 15z + = (β): 2x + 2y – z – = 12.3 Các toán tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: oc uo a Dạng 1: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = để (MA + MB) Phương pháp: Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B gb Nếu t A t B > ⇔ A, B phía (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P) Khi MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M B b Dạng 2: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = để |MA – MB| max on Phương pháp: Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B > ⇔ A, B phía (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), kh |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B| Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía (P) Lấy A1 đối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác b Dạng 3: Cho điểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(∆) cho trước cho (MA + MB) Phương pháp: Xác định tọa độ điểm A’, B’ hình chiếu tương ứng k= M A' M 0B' =− AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' m điểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số  A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ = ⇒ A1, M ,B thẳng hàng  B1 B ′ M B ′  A1 A ' ⊥ ( ∆ ) co Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) cho A khác phía B so với (∆ ) thỏa mãn Bài Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) c ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = để (MA + MB) min;|MA – MB| max oc uo Bài Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ mặt phẳng Oxy cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = để (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 2;−1), B ( − 2; 2; −3) gb x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) :  cho (MA + MB) y + z − = Bài Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) kh on y −1 z + = cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) : x + = −1 y−2 z −2 A(1;2; −1) Bài Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + = cho (MA + MB) = −2 B ( 7; −2;3) Bài Cho A(2; 3; 0) B ( 0; − 2; ) x + y + z − = cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) :  x − y + z − = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 13 Dạng 13: Các toán góc Bài Xác định góc mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + = Bài Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Bài Cho ( P1 ) : x − y − z + = , ( P2 ) : x + y + z − = , ( P3 ) : − x + y − z + = Gọi (∆) giao tuyến (P1) (P2) m Tính góc cặp cạnh đối ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)) co Tính góc (∆) với giao tuyến (P1), (P3) với mặt phẳng (P3) x = + t 3 x − y − =  Bài Cho ( ∆ ) :  ( ∆ ) :  y = −1 Tìm m để: − − = z y   z = + mt  b Góc (∆1) (∆2) 60° c a Góc (∆1) (∆2) 45° Khi tính góc (P) với (∆2) biết (P) ⊥ (∆1) ( ) oc uo Bài Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − ; −1; a Tính góc ((ABC); (ABD)) b Tính góc khoảng cách đường thẳng (AD) (BC) 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) ( d ) : x − = −1 y+2 z = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho: a) MA + MB nhỏ nhất; b) MA + MB nhỏ nhất; c) MA + MB nhỏ d) Diện tích tam giác AMB nhỏ gb VPT mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) tạo với trục Oy góc lớn on Trong số đường thẳng qua A cắt đường thẳng (d), viết phương trình đường thẳng cho khoảng cách từ B đến lớn nhất? nhỏ nhất? Giải M (1 − t ; − + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; − t ; − 2t ) , MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) kh a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; − 4t ) Suy MA + MB = 24 ( t − ) + 44 Do MA + MB nhỏ t = lúc M ( −1; 0; ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác b Ta có MA + MB = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − ) + 28 Vậy MA + MB nhỏ t = M ( −1; 0; ) c Ta xác định hình chiếu A1 , B1 hai điểm A, B lên đường thẳng (d) ) ( − 14t + 18 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ B ( − ; ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 1 co MB = ( 3t m MA = ( 3t − 10t + 20 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ A1 − ; − ; 10 với AA1 ⊥ ( d ) 3 3 AA1 = 210 ; BB1 = 30 Điểm M cần tìm điểm chia đoạn A1 B1 theo tỉ 3  −2 (1 + ) 10 − 14  ; − 1; = − nên tọa độ M    3 (1 + )  BB1  (1 + ) AA1 c số k = − d AM ( −t ; − + t ; − + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12) oc uo 2 S AMB =  AM ; AB  = ( 6t − 16 ) + ( −2t + ) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416 2 304 19 38 12 = , M − ; ; Dễ thấy S AMB nhỏ t = 112 7 7  x + y + = PT tổng quát (d)  Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  y − z + = ( ) (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ 2.4 − + = 10 = 5 + ( −1) • Nếu a ≠ giả sử a = Khi ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = gb • Nếu a = (P): y − z + = Khi d ( A; ( P ) ) = Suy d ( A; ( P ) ) = Xét hàm số f ( b ) = ( 5b + 3) 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = ⇔ b = ∨b = − 5 ( 5b + 4b + ) Do f = 35 ; f − = ; lim f ( b ) = nên d ( A; ( P ) ) lớn 35 b →∞ 6 () on kh 5b + ( ) Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 35 b = , lúc phương trình (P) có dạng x + 13 y − z + 21 = , hay ( P ) : x + 13 y − z + 21 = 5 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác • Nếu a = (Q): y − z + = cos α = • Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = b2 = cos α 5b + 4b + 2 5b + 4b + 4b + 4b = ⇔ b = ∨ b = −1 Ta có g ′ ( b ) = ( 5b + 4b + ) Do g ( ) = 0; g ( −1) = ; lim g ( b ) = nên cos α lớn b→∞ m Xét hàm số g ( b ) = b = −1 co b Từ cos α = Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy cos α lớn hay (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ b = −1 Lúc (Q) x − y + z − = c PT (R): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = Trục Oz có VTCP v ( 0; 1; ) oc uo Nếu a = (R): y − z + = β = ((Q), Oy) thỏa mãn sin β = Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi (R): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = Xét hàm số h ( b ) = 4b2 + 4b + = sin β 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = ⇔ b = ∨ b = − ( 5b + 4b + ) + 2b Khi sin β = ( ) Do h ( ) = ; h − = ; lim h ( b ) = nên sin β lớn , b = b →±∞ 6 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn b = Khi mặt phẳng (R) có phương trình x + y − z + = gb Giả sử d đường thẳng qua A cắt d M (1 − t ; − + t ; 2t ) Khi d ( B; d ) =  AM ; AB  AM = 56t − 304t + 416 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 on 16 (11t − 8t − 60 ) = ⇔ t = −2 ; t = 30 Xét u ( t ) = 28t − 152t + 208 Ta có u ′ ( t ) = 11 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) kh Do u ( −2 ) = 48; u 30 = ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B đến d lớn 11 35 b→∞ 48 t = −2 nhỏ t = 30 Khi d tương ứng 11 35 y − y−4 z−2 có phương trình d : x − = = z − d : x − = = −4 −3 15 18 −19 [...]... + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} 9 Dạng 9: VPT đường thẳng (∆ ∆ ) cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) và song song với (∆ ∆ 3) oc uo Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆3 ), mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) và // (∆3 ) Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆) là đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆ 1) hoặc... góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng (AD) và (BC) 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 y+2 z = 1 2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất; b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất; c) MA + MB nhỏ nhất d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất gb 2 VPT mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất 3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo... là VTCP của (∆1 ) và (∆ 2) kh ⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2  Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) và // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 ) và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Bài 1 Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA Bài 2 Viết phương trình đường vuông góc chung... mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất 3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất 4 VPT mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất on 5 Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng (d), viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? Giải 1 M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒... toán vô nghiệm, nếu MN cắt (∆1 ) suy ra đường thẳng Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 ) m cần tìm là (∆) ≡ MN co Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) Nếu (∆) cắt (∆1 ) và (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆1 ) hoặc (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm c  y − 2 = 0 Bài 1 VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) cắt (∆1):  ,  2 x − z − 5 =... cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác 3 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 VI CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng ( ∆ ) hoặc sử dụng dấu hiệu nhận  ( α ) co ( ∆ 1 )  Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi... vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau b Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) và (∆ 3) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác 2 Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng (α α) Phương pháp: Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α) m Giao điểm H của (∆ ) và (α) là hình chiếu vuông góc... (∆1 ), mặt phẳng Nếu (α ) // (β ) thì bài toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) thì đường thẳng (∆ ) là đường thẳng cần tìm c Nếu (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghiệm y +1 z + 2 = Bài 1 VPT đường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 = , 2 2 1 oc uo 7 x + y − z − 1 = 0 cắt (∆ 2):   x + 2 y + z + 1 = 0 11 Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng... phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) và // (∆2 ) gb Hình chiếu song song của (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − 1 = 0 Bài 1 Xác định hình chiếu song song của đt (∆1):  lên (α): x + 2 y + z + 1 = 0  on y +1 z + 2 x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 = = 2 1 3 8 Dạng 8: VPT đường thẳng (∆ ∆ ) qua M và cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆2) với (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo nhau và không đi... ∆ 2 ) :   x + z − 8 = 0  x = 1 + 2t  Bài 2 Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) :  y = 1 − t ( t ∈ » ) với mặt   z = 1 + t gb phẳng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0  x + y + z − 2 = 0 Bài 3 Xác định giao điểm của đường thẳng ( ∆ ) :  với mặt  x + 2 y − z − 1 = 0 on phẳng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0 Bài 4 Cho 3 đường thẳng:  x = 3t y+2  ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1− 1 = 4 =