Rất hay và có ích và bổ ích cho các học sinh trung học cơ sở . cho các em biết thế nào là sô hoàn chỉnh. lịch sử của sô hoàn chỉnh. cho các em khám phá điều thú vị về số học từ đó thích học hơn về môn toán học..
Trang 1SỐ HOÀN CHỈNH
Số hoàn chỉnh còn gọi là số hoàn hảo, số hoàn toàn, số đầy đủ…
Trường phái Pitago ở Hy lạp cổ đại đã phát hiện ra nhiều số có tính chất quan trọng, trong
đó có số hoàn chỉnh Vậy số hoàn chỉnh là số có dạng nào ?
Nếu một số tự nhiên mà có tổng tất cả các ước dương của nó bằng hai lần số đó thì gọi
là số hoàn chỉnh Chẳng hạn:
1 + 2 + 3 + 6 = 2.6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2.28
Tại sao gọi là số hoàn chỉnh ?
Các nhà thần bí tuyên bố rằng: 6 và 28 là các bộ phận của vũ trụ: Thượng Đế đã sáng tạo ra thế giới trong 6 ngày; Mặt trăng quay xung quanh Trái Đất một vòng hết 28 ngày !
Trường phái Pitago cho rằng số 6 là số thần thánh, lý tưởng nhất và đầy đủ nhất, số 6 còn là tích các ước hoàn chỉnh : 1+2+3 = 1 x 2 x 3 Só 6 là số hoàn chỉnh nhỏ nhất
Trong quyển IX của bộ sách “ Nguyên lý” của Euclid đã đưa ra định nghĩa và chứng minh một số tính chất của số hoàn chỉnh:
Nếu 2p - 1 là số nguyên tố thì số 2p - 1(2p -1) là số hoàn chỉnh
Ông chứng minh đơn giản như sau:
Đặt M= 2p -1 Tất cả các ước của 2p -1 x M ( trừ bản thân nó) có tổng bằng 2p -1 x M :
1+2+22 +…+ 2p-1 + M + 2M + 22M +…+ 2p-2 M = (1 + 2 + 22 +…+ 2p-1 ) +
(1+ 2+ 22 +…+ 2p-2 )
M=( 2p -1) + ( 2p-1 -1).M = 2p-1 x M
Euclid đã biết được 3 số hoàn chỉnh: 6, 28 và 496, tương ứng với p bằng 2,3 và 5
Đến thế kỷ I, học giả cuối cùng của trường phái Pitago đã biết được thêm một số hoàn chỉnh là 8128 ( ứng với p =7)
Năm 1460 người ta tìm ra số hoàn chỉnh thứ 5 ( ứng với p = 13) là:
212 (213 - 1) = 33 550 336
Năm 1603 nhà toán học Pietro Antonio Cataldi ( 1552- 1626) người Italia tìm được số hoàn chỉnh thứ 6 và thứ 7 ( ứng với p = 17 và p = 19) Sau đó ông lại tìm ra số thứ 8 với p = 521 Đầu thế kỷ XIX người ta tìm ra số hoàn chỉnh thứ 9 ( p = 607) có 37 chữ số
Năm 1952, nhờ máy tính SWAC người ta tìm ra các số hoàn chỉnh thứ 10, 11, 12 ( ứng với
p = 1279, p= 2203 và p = 2281)
Năm 1957 nhờ máy tính BESK người ta tìm ra được số hoàn chỉnh với p = 3217
Năm 1961 nhờ máy tính IBM- 7090 người ta tìm ra được hai số hoàn chỉnh với p = 4253 và
p = 4423
Sau đó người ta tìm được các số hoàn chỉnh với p bằng 9689, 9941 và 11213
Năm 1996, người ta đã tìm được số hoàn chỉnh thứ 33
Như vậy số hoàn chỉnh có thể còn có thêm nữa
“Tập hợp các số hoàn chỉnh là vô hạn hay hữu hạn?” là một vấn đề của toán học mà cho
đến nay vẫn chưa có câu trả lời
Thế kỷ XVIII nhà toán học Euler đã nghiên cứu số hoàn chỉnh thêm một bước và đã chứng minh rằng :” Bất cứ số hoàn chỉnh nào là số chẵn thì phải có dạng 2p - 1(2p -1), trong đó p là số
Trang 2nguyên tố và 2p -1 cũng là số nguyên tố”, tức là giữa số hoàn chỉnh chẵn và số nguyên tố Mersene có quan hệ 1-1 theo dạng 2p-1 x Mp
Điều đáng ngạc nhiên là trong các số hoàn chỉnh đã tìm được chưa có số lẻ nào, và có giả
thuyết đặt ra rằng : “Số hoàn chỉnh chỉ có số chẵn?” cũng là một vấn đề nổi tiếng mà toán
học chưa giải quyết được
Năm 1968 Bulient Tachman tuyên bố rằng: Nếu tồn tại số hoàn chỉnh là số lẻ thì nó không thể ít hơn 36 chữ số!
Cho đến nay người ta mới chỉ chứng minh được nếu có số hoàn chỉnh lẻ thì nó phải lớn hơn
10200 Vấn đề tìm số hoàn chỉnh lẻ vẫn đang thu hút các nhà toán học Còn bạn thì sao !
Số hoàn chỉnh có những tính chất kỳ diệu, sau đây là vài tính chất trong số đó:
1.Mỗi số hoàn chỉnh đều là tổng các số tự nhiên liên tiếp:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 30 + 31
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 126 + 127
2 Ngoài số 6, các số hoàn chỉnh khác đều có thể biểu thị bằng tổng các lập phương các số
lẻ liên tiếp:
28 = 13 + 33
496 = 13 + 33 + 53 +73
8128 = 13 + 33 + 53 +…+133 + 153
3 Tổng các số nghịch đảo tất cả các ước của mỗi số hoàn chỉnh đều bằng 2:
1 1 1 1 2
1 2 3 6+ + + =
1 1 1 1 1 1 2
1 2 4 7 14 28+ + + + + =
1 1 1 1 2
Thay cho lời kết: Tại hội nghị Toán học thế giới ở Pari năm 1900, nhà toán học nổi tiếng
David Hilbert (1862-1943) người Đức đã nêu ra 23 vấn đề mà toán học chưa giải quyết được Từ đó các nhà toán học, nhất là các nhà toán học trẻ đã say sưa và kiên trì tìm cách giải quyết Đến nay đã có 21 vấn đề được giải quyết trọn vẹn và các tác giả đã nhận được Giải thưởng Fields Hiện nay còn hai vấn đề chưa giải quyết được, đó là việc dựng những không gian của các siêu hộp liên hợp ( vấn đề 18) và bài toán biên tổng quát (vấn đề 20)
Số hoàn chỉnh không thuộc phạm vi trên, nhưng nó cũng là một trong nhiều vấn đề chưa giải quyết được trong lĩnh vực số học và lý thuyết số
Mong rằng các bạn trẻ yêu toán có niềm đam mê với số hoàn chỉnh và bằng công nghệ tin học hiện đại ngày nay, hãy phát hiện thêm những số hoàn chỉnh mới!