Đề thi Đại số tuyến tính ĐHBKHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Cho ma trận A = +2 i −i +2 i +2 i    −1 −2   Câu : Cho hai ma trận A =  −1 B =    −3 T Tìm ma trận X thỏa I + AX = B      Câu : Giải hệ phương trình     x1 x1 x1 x1 √ z Đặt z =det( A) Tính + x2 + x2 + x2 + x2 − x3 − x3 − x3 − x3 −2 − x4 − x4 − x4 − x4    = = = = 0 0 Câu : Trong IR3 , cho tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 + x3 y3 Tìm độ dài vécto u = ( , , −1 ) Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( , , ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( , , ) = ( , , ) , f( , , ) = ( , , ) Tìm tất vécto riêng f ứng với trò riêng λ1 = Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 + x2 + x3 , x1 − x3 ) Tìm ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Câu : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = x21 − x1 x2 + x22 dạng tắc biến đổi TRỰC GIAO Nêu rõ phép đổi biến Câu : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1 , X2 , X3 ∈ IR3 vécto cột, độc lập tuyến tính Biết A · X1 = X2 , A · X2 = X3 , A · X3 = X1 Tìm tất trò riêng vécto riêng A3 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm Các câu lại điểm Nếu cách làm mà đáp án sai, cho điểm tùy theo mức độ √ Câu det ( A) = −5 + i = ( c o s ( π/4 + i s in π/4 ) √ √ π/4 + k2 π π/4 + k2 π z = zk = 10 c o s + i s in , k = , , , 5     −1 −2 −4 1   −1  −5  Câu X = A−1 B T − I , A−1 =   Suy X =  −1  −3 1 −4 Câu Đưa bậc thang, giải nghiệm tổng quát X = ( α + β, −α − β, α, β) √ √ Câu Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = + + + + = Câu Có nhiều cách làm Tìm f( , , ) = ( , , ) , f( , , ) = ( −1 ,  −5 , −8 ) , f ( , , ) = −1 −1 −5 −8  ( −1 , −8 , −5 ) , suy ma trận f tắc A =    −8 −5 Ứng với trò riêng λ1 = , giải hệ ( A − I) X = , ta có nghiệm X = ( α, α − β, β) T Suy tất vécto riêng f ứng với trò riêng λ1 = X = ( α, α − β, β) Câu f ( , , ) = ( , , ) , suy [f ( , , ) ]E = ( −1 , , −4 ) T ; f ( , , ) = ( , , ) , suy [f( , , ) ]E = ( , , ) T   −1 1  T  f ( , , ) = ( , , ) , suy [f( , , ) ]E = ( , , ) Ma trận cần tìm: A =   −4 −2 Câu Ma trận dạng toàn phương: A = Chéo hóa trực giao A = P DP T , −2   √   √  5  , P =  −2 D =   √ √  5 Dạng tắc cần tìm: f ( y1 , y2 ) = y12 + y22 Phép đổi biến X = P Y Câu Ta có A3 ( X1 ) = A( A( AX1 ) ) = A( AX2 ) = AX3 = X1 Suy X1 vécto riêng A3 ứng với trò riêng λ1 = Tương tự vécto X2 , X3 vécto riêng A3 ứng với trò riêng λ1 = Vì X1 , X2 , X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học λ1 Suy A3 có trò riêng A3 = I