Sinh viên không được sử dụng tài liệu.. Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3.. Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A3.. Các câu còn lại 1 điểm.. Nếu cách làm đún
Trang 1ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011 Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA 1
Câu 1 : Cho ma trận A =
1 + 2 i 2 − i
1 + 2 i 3 + 2 i
Đặt z =det( A) Tính √5 z.
Câu 2 : Cho hai ma trận A =
1 −1 0
3 −3 1
và B =
1 −2 5
Tìm ma trận X thỏa 2 I + AX = B T
Câu 3 : Giải hệ phương trình
2 x1 + x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0
3 x1 + x2 − 5 x3 − 8 x4 = 0
5 x1 + 3 x2 − 7 x3 − 1 2 x4 = 0
Câu 4 : Trong IR3
, cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x1, x2, x3) , ( y1, y2, y3) ) = 3 x1y1+ 2 x1y2+ 2 x2y1+ 5 x2y2+ x3y3
Tìm độ dài của vécto u = ( 1 , 2 , −1 )
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết
f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( 1 , 1 , 0 ) = ( 6 , 5 , 2 ) , f( 1 , 0 , 1 ) = ( 6 , 2 , 5 )
Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết
f ( x) = f( x1, x2, x3) = ( 2 x1+ x2− 3 x3, x1+ 2 x2+ x3, x1− 2 x3)
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 0 ) }
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x1, x2) = 5 x2
1− 4 x1x2+ 8 x2
2 về dạng chính tắc bằng biến đổi TRỰC GIAO Nêu rõ phép đổi biến
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1, X2, X3 ∈ IR3 là 3 vécto cột, độc lập tuyến tính Biết
A · X1 = X2, A · X2 = X3, A · X3 = X1 Tìm tất cả trị riêng và vécto riêng của A3
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
Trang 2Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca 1
Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm Các câu còn lại 1 điểm
Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ
Câu 1. det ( A) = −5 + 5 i = 5 √ 2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 )
5
√
z = z k = 10√
5 0
c o s 3 π/4 + k2 π
5 + i s in
3 π/4 + k2 π
, k = 0 , 1 , , 4
Câu 2 X = A −1B T
− 2 I, A −1 =
5 1 −1
4 1 −1
Suy ra X =
−2 3 −4 1 1
1 8 2 −4
Câu 3. Đưa về bậc thang, giải ra được nghiệm tổng quát X = ( 2 α + 3 β, −α − β, α, β)
Câu 4. Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = √
3 + 4 + 4 + 2 0 + 1 =√
3 2
Câu 5. Có nhiều cách làm Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( −1 2 , −5 , −8 ) , f( 0 , 0 , 1 ) = ( −1 2 , −8 , −5 ) , suy ra ma trận của f trong chính tắc là A =
1 8 −1 2 −1 2
1 0 −5 −8
1 0 −8 −5
Ứng với trị riêng λ1 = 3 , giải hệ ( A − 3 I) X = 0 , ta có nghiệm X = ( 4 α, 5 α − β, β) T
Suy ra tất cả
các vécto riêng của f ứng với trị riêng λ1 = 3 là X = ( 4 α, 5 α − β, β)
Câu 6 f( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 1 ) ] E = ( −1 , 5 , −4 ) T;
f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ] E = ( 1 , 2 , 0 ) T
f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ] E = ( 1 , 0 , 1 ) T Ma trận cần tìm: A =
−1 1 1
5 2 0
−4 0 1
Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A =
5 −2
−2 8
Chéo hóa trực giao A = P DP T
, trong
đó D =
9 0
0 4
, P =
√
√
−2
√
√
Dạng chính tắc cần tìm: f( y1, y2) = 9 y2
1 + 4 y2
2 Phép đổi biến X = P Y
Câu 8. Ta có A3
( X1) = A( A( AX1) ) = A( AX2) = AX3 = X1 Suy ra X1 là vécto riêng của A3 ứng
với trị riêng λ1 = 1
Tương tự 2 vécto X2, X3 đều là vécto riêng của A3
ứng với trị riêng λ1 = 1
Vì X1, X2, X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học của λ1 bằng 3 Suy ra A3
chỉ có một trị riêng
và A3
= I.