Các đề toán số học chọn lọc K09 & lehoan 4.2006 Giới thiệu Các toán dẫn toán thành viên diễn đàn www.diendantoanhoc.net giới thiệu thảo luận CAT Số Học thuộc BOX Tốn Olympic Các thành viên tích cực box Số Học bạn hoanq, Mr Stoke, gần có thêm xuất bạn emvaanh Bản tổng hợp 50 toán hai CTV THPT K09 lehoan biên tập Như bạn thấy thứ tự tốn lộn xộn, thực điều lại khiến cho nội dung collection trở nên đa dạng phong phú Hơn nữa, đằng sau lộn xộn mối liên hệ mật thiết, điều thể phần tiếp sau tài liệu Các bạn thành viên thân quen bạn thành viên tìm thấy toán điều thú vị cho riêng Trong thời gian tới, hi vọng điều tâm đắc bạn chia sẻ topic bổ ích Bài tốn Tìm tất số nguyên dương nguyên tố với phần tử dãy an = 2n + 3n + 6n − n≥1 Bài toán Giải phương trình nghiệm nguyên dương x2 − (a2 + b2) · y = Bài toán Cho k số tự nhiên ≤ a1 ≤ a2 ≤ ≤ ak ≤ n thỏa mãn [ai, aj ] > n với ≤ i ≤ j ≤ k Chứng minh k X (i) < a i=1 i k X (ii) < a i=1 i Bài tốn Hãy tìm tất số nguyên dương n cho tồn hoán vị {a1, a2, , an} {1, 2, , n} thoả mãn tính chất hai tập hợp sau (i) {a1, a1a2, , a1a2 an} (ii) {a1, a1 + a2 , , a1 + a2 + + an } lập thành hệ thặng dư đầy đủ modun n Bài tốn Tìm số ngun dương k lớn để tồn 2k số nguyên dương đôi phân biệt a1, a2 , , ak, b1, b2 , , bk mà k tổng a1 + b1, a2 + b2, , ak + bk đôi khác nhỏ 2005 Bài toán Giả sử p số nguyên tố Chứng minh 2p − số nguyên tồn p số có tổng bội số p Kết luận toán thay đổi bỏ giả thiết p nguyên tố Bài toán Chứng minh số hợp số thuộc hai dạng sau vô hạn (i) n 22 + (ii) n 62 + Bài toán Giả sử a, b, c số nguyên dương nguyên tố cho đẳng thức an = b2 + c2 với số nguyên n > Chứng minh a viết thành tổng hai số phương Bài tốn Một số tự nhiên bập bênh đem nhân với ta số viết theo thứ tự ngược lại chữ số Chẳng hạn số 1089 số bập bênh có chữ số 1089.9 = 9801 Vấn đề tìm tất số bập bênh có n chữ số Hơn tính số tất số bập bênh có n chữ số Bài toán 10 Chứng minh với số tự nhiên n tồn hai số nguyên x, y thoả mãn n|x2 − 34y + Bài tốn 11 Tìm tất số tự nhiên k cho tồn số thực dương ck thoã mãn S(kn) ≥ ck S(n) ∀n ∈ N Bài toán 12 Tìm tập giá trị N để phương trình sau có nghiệm nguyên dương x21 + x22 + + x2n = N (x1 x2 xn − 1) Bài toán 13 Dãy số p1 p2, , pn , dãy tất số nguyên tố Chứng minh tồn ba số hạng liên tiếp dãy thoả mãn tính chất số chúng lớn bình phương số số Bài toán 14 Chứng minh tồn số tự nhiên n để số 2n + 3n có 23 ước số nguyên tố Bài toán 15 Cho dãy tăng số tự nhiên {an } có tính chất tồn số M cho an+1 − an < M với n ∈ N Chứng minh tập ước số nguyên tố dãy vô hạn Bài toán 16 Xét M = n(n − 1) (n − k + 1) với n ≥ 2k Chứng minh M có ước số nguyên tố lớn k Bài toán 17 Giả sử p số nguyên tố có dạng 4k + Chứng minh p − số tự nhiên liên tiếp khơng thể chia làm hai nhóm có tích thừa số nhóm Bài tốn 18 Tìm số nguyên dương n nhỏ sau cho n2 − n + 11 tích bốn số ngun tố (khơng cần phân biệt) Bài tốn 19 Tìm tất ba số nguyên dương (x, y, z) với z bé cho tồn số ngun dương a, b, c, d có tính chất y b d x = z = c , x > a > c z = ab = cd x+y =a+b Bài toán 20 Cho số nguyên a1, a2, , an b1, b2, , bn ≥ ∀1 = 1, n Chứng minh tồn vô hạn số nguyên (c1 , c2 , , cn) cho ta có tính chất sau b1c1 + b2 c2 + bncn |ca11 + ca22 + + cann Bài toán 21 Tìm tất số tự nhiên n cho với hoán vị (a1, a2, , an) {1, 2, , n} ta ln tìm số i mà a1 + a2 + + số phương Bài tốn 22 Tìm tất số nguyên dương n cho n3 − số phương Bài tốn 23 Chứng minh với số nguyên dương s tồn số tự nhiên n thoả mãn S(ns) = a với S(x) tổng chữ số x Bài tốn 24 Cho số ngun dương n > Tìm số ngun dương nhỏ khơng có dạng na − nb với số nguyên dương a, b, c, d nc − nd Bài tốn 25 Cho số nguyên không âm a số nguyên dương d Chứng minh 73 số a, a + d, , a + 72d có số mà biểu diễn thập phân có chữ số Bài toán 26 Chứng minh với số thực δ ∈ [0, 1] với ε > bất đẳng thức ϕ(n) Chứng minh 1989|nn nn − nn n Bài toán 34 Sắp xếp dãy số nguyên tố theo thứ tự tăng dần p1 , p2 , Chứng minh pn ! ∈Z pn (pn + 1)(pn + 2) (pn+1 − 1) ∀n ∈ N n>2 Bài toán 35 Giả sử S tập hợp tất số nguyên tố bé 40 Tìm số k nhỏ cho với tập k phần tử S tồn phần tử đôi phân biệt a, b, c cho a + b + c số nguyên tố Bài toán 36 Số nguyên dương n gọi đáng ghét tồn số nguyên dương m mà tập hợp {1, 2, , 28011980} có n số x1 < x2 < < xn không đồng dư với theo mod n Nếu điều khơng xảy n gọi đáng yêu Xác định số nguyên dương đáng yêu bé Bài toán 37 Cho số nguyên dương a, b Chứng minh tồn số nguyên dương (n1 , n2, , nk ) thoả mãn tính chất ni + ni+1 |ni ni+1 ∀i = 0, k quy ước n0 = a, nk+1 = b Bài toán 38 Chứng minh số nguyên lớn 17 biểu diễn thành tổng số nguyên lớn đôi nguyên tố Chứng minh tính chất khơng với 17 Bài toán 39 Cho số nguyên tố p ≥ a1, a2, , ap−2 số tự nhiên cho p không chia hết ak akk − với k Chứng minh chọn số để tích số có số dư chia cho p Bài toán 40 Với số nguyên dương n gọi S(n) tổng chữ số n Chứng minh tồn k số tự nhiên a1 , a2, , ak cho an + S(n) = am + S(m) ∀ ≤ n, m ≤ k Bài toán 41 Chứng minh phương trình x3 + y + z − t3 = 42 có vơ hạn nghiệm ngun Số nghiệm nguyên dương phương trình bao nhiêu, hữu hạn hay vơ hạn a c Bài tốn 42 Giả sử n, a, b, c, d số tự nhiên (n ≥ 2) thoả mãn + < a + c < n b d a c Cố định n, tìm giá trị lớn + b d Bài toán 43 Tập hợp S gồm k + m − số nguyên bất kỳ, m ≥ k ≥ 2,k|m Chứng minh tồn m số số có tổng chia hết cho k √ Bài toán 44 Giả sử biểu diễn thập phân có dạng √ = 2, a1 a2 an bbb bbb | {z } an+1 m số b Biết b 6= an , b 6= an+1 Chứng minh n ≥ m − Bài toán 45 (Open Question) Giả sử P tập khác rỗng tập số nguyên tố cho với p1 , p2 , , pk ∈ P (khơng thiết phân biệt) ước số nguyên tố số p1 p2 pk + thuộc vào P Hỏi tập hợp P có trùng với tập hợp tất số nguyên tố hay khơng Bài tốn 46 Tìm tất hàm số f : Z → Z thoả mãn đẳng thức f (x3 ) + f (y ) + f (z ) = (f (x))3 + (f (y))3 + (f (z))3 ∀x, y, z ∈ Z Bài toán 47 Giả sử m số nguyên dương lớn cho trước Tìm số C lớn cho n X X 1 ≥C ∀n ∈ N k k k=1 1≤k≤n,(k,m)=1 Bài toán 48 Chứng minh hai mệnh dề sau i) Nếu n > 49 tồn hai số nguyên a, b > cho a + b = n ϕ(a) ϕ(b) + tồn hai số nguyên a, b > cho a + b = n ϕ(a) ϕ(b) + >1 a b Bài toán 49 Với số tự nhiên n = at a2a1 xét hàm số X X + T (n) = 10 i chẵn i lẻ Hãy tìm số nguyên dương A nhỏ cho tồn số tự nhiên n1 , n2, , n148 m1, m2 , , m149 thoả mãn hai điều kiện A = n1 + n2 + + n148 = m1 + m2 + m149 T (n1) = T (n2) = = T (n148) T (m1) = T (m2) = = T (m149) Bài toán 50 Ký hiệu ϕ(n) số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n π(n) số số nguyên tố không vượt n Chứng minh với số tự nhiên n > ta có π(n) ϕ(n) ≥ K09 lehoan www.diendantoanhoc.net Trần Quốc Hoàn K50 CA Đại Học Công Nghệ Hà Nội Lê Hồng Quý lớp 12 khối phổ thơng chun Tốn Đại Học Vinh tỉnh Nghệ An ... Một số tự nhiên bập bênh đem nhân với ta số viết theo thứ tự ngược lại chữ số Chẳng hạn số 1089 số bập bênh có chữ số 1089.9 = 9801 Vấn đề tìm tất số bập bênh có n chữ số Hơn tính số tất số bập... toán 28 Cho số nguyên tố p = 4k + Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n √ cho số [n p] số phương Bài tốn 29 Tìm tất số nguyên dương m n cho với số dương a thoả mãn am , an số nguyên suy a số nguyên... toán 13 Dãy số p1 p2, , pn , dãy tất số nguyên tố Chứng minh tồn ba số hạng liên tiếp dãy thoả mãn tính chất số chúng lớn bình phương số số Bài tốn 14 Chứng minh tồn số tự nhiên n để số 2n + 3n