Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT TỔNG HỢP TÀI LIỆU ƠN THI VÀO LỚP 10 ĐẦY ĐỦ CĨ ĐỀ THI + ĐÁP ÁN CÁC TRƯỜNG TRONG CẢ NƯỚC Chđ ®Ị I rót gän biĨu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm x bậc hai số khơng âm a x2 = a Kí hiệu: x a 2.Điều kiện xác định biểu thức A Biểu thức A xác định A 3.Hằng đẳng thức bậc hai A A A2 A A A 4.Các phép biến đổi thức +) A.B A B A 0; B +) A A B B +) A 2B A B B 0 +) A A.B B B A.B 0; B A 0; B m A B m B 0; A B A B A B n A B n +) A 0; B 0; A B AB A B +) +) A B m m.n n m n m n Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT m n A với m.n B BµI TËP Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: 1) 125 80 605 ; 12) 10 10 ; 10 10 2) ; 1 13) 49 20 ; 3) 15 216 33 12 ; 14) 12 27 4) ; 18 48 30 162 15) 5) 16) 8) 64 64 2 8 54 ; 17) 14 24 12 ; ; 1 32 3 18) 19) 10 9) 25 12 64 ; 2 64 16 6) 3 6 ; 27 75 7) 27 75 ; 2 2 2 ; 2 2 3 3 20) 192 ; 1 1 1 1 1 3 1 10) ; 11) ; x Bµi 2: Cho biĨu thøc A = 2 x a) Rót gän biĨu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > - C©u I(2,5®): HN Cho biĨu thøc A = x x x x x x x 1 , víi x ≥ vµ x ≠ x4 x 2 x 2 1/ Rót gän biĨu thøc A 2/ TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x = 25 3/ T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A = -1/3 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, ; Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT C©u I: (1,5®) C Tho Cho biĨu thøc A = x x 1 x x 1 x xx 1 x 1/ Rót gän biĨu thøc A 2/ T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > C©u III: HCM Thu gän c¸c biĨu thøc sau: 15 1 5 x y x y x xy B = : xy xy xy A= Bµi 1: (2,0®) KH (Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay) a Cho biÕt A = + 15 vµ B = - 15 h·y so s¸nh tỉng A + B vµ tÝch A.B Bài 2:Cho biểu thức: Hà Tĩnh x x x P với x >0 x x x x x 1.Rút gọn biểu thức P 2.Tìm giá trị x để P = Bài 1: (1,5 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho P x2 x 1 x 1 x x 1 x x x a Rút gọn P b Chứng minh P ; y > ; x y Câu 6: VĨNH PHÚC Rút gọn biểu thức: A 48 75 (1 3) Bài ( điểm ) ĐÀ NẲNG a Cho biểu thức K : a 1 a a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K a = + 2 c) Tìm giá trị a cho K < a) PHÚ N Trục mẫu : A 25 72 ; B= 4+2 Bµi 1: (1,5 ®iĨm) hƯng yªn a) Rót gän biĨu thøc: A = 27 12 Bài (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho biểu thức A = x 27 x x 12 với x > a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x cho A có giá trị Bài (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Rút gọn biểu thức: P = a 1 Câu (2,0 điểm) QUẢNG TRỊ a 1 a 2 với a > 0, a 1, a : a a 2 a Rút gọn (khơng dùng máy tính cầm tay) biểu thức: a) 12 27 b) 2 1) Rót gän biĨu thøc: H¶i d Ư¬ng x 1 A : víi x > vµ x x 1 x x 1 x x Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Câu 2:(2.0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc 2( x 2) x a) Rút gọn biểu thức: A = với x x x4 x 2 1 Bµi 2(2,0 ®iĨm): Hµ Giang Cho biĨu thøc : M = 1 a 1 a 1 a a, Rót gän biĨu thøc M b, TÝnh gi¸ trÞ cđa M a = Bài 3: (2điểm) BÌNH THUẬN Rút gọn biểu thức: 1/ 2/ A 15 15 15 15 a a a a 1 B 1 a a Câu 1: (2đ) Rút gọn biểu thức Long An a/ A 27 128 300 Câu2: (2đ) Long An Cho biểu thức P a2 a 2a a (với a>0) a a 1 a a/Rút gọn P b/Tìm giá trị nhỏ P C©u 3: (2 ®iĨm) B¾c Ninh Cho biĨu thøc: A = 2x x 11x x 3 x x2 a/ Rót gän biĨu thøc A b/ T×m x ®Ĩ A < c/ T×m x nguyªn ®Ĩ A nguyªn B C©u III: (1,0 ®iĨm) B¾c giang x x Rót gän: A x x 1 1 Víi x 0; x x x Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Bài 2: (2,0 điểm) ĐĂK LĂK 1/ Rút gọn biểu thức A ( 2) ( 2) x 2 2/ Cho biểu thức B x 1 x 1 x 3 : ( x 1)( x 3) x 1 x 1 A Rút gọn biểu thức B B Tìm giá trị ngun x để biểu thức B nhận giá trị ngun Bµi (2,0 ®iĨm): Qu¶ng B×nh Cho biĨu thøc: N= n 1 n 1 n 1 n 1 ; víi n 0, n a Rót gän biĨu thøc N b T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa n ®Ĩ biĨu thøc N nhËn gi¸ trÞ nguyªn Bài 3: (1,0 di m) ÐẠI HỌC TÂY NGUN y x x x y y Rút g n bi u th c P (x 0; y 0) xy x 10 x B = : x µi 3: Cho biĨu thøc x 2 x 2 x4 2 x a) Rót gän biĨu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > Bµi 4: Cho biĨu thøc C = x 1 x x 1 x x 1 a) Rót gän biĨu thøc C; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C < Bµi 5: Rót gän biĨu thøc : a) D = x x2 x x2 x x2 x x2 x x x x P = 1 1 ; b) x x ; c) Q = d) H = x 1 : ; x2 x x x x x x 1 x x 1 1 a 1 : a 1 a a a a Bµi 6: Cho biĨu thøc M = a) Rót gän biĨu thøc M; b) So s¸nh M víi Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT 2x x P = Bµi 7: Cho c¸c biĨu thøc vµ Q = x 2 x x 2x x 2 a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q; b) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P = Q Bµi 8: Cho biĨu thøc P = 2x x x x x x x x x x a) Rót gän biĨu thøc P b) So s¸nh P víi c) Víi mäi gi¸ trÞ cđa x lµm P cã nghÜa, chøng minh biĨu thøc chØ nhËn ®óng mét P gi¸ trÞ nguyªn 3x 9x 1 P = : Bµi 9: Cho biĨu thøc x x 2 x x x 1 a) T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; lµ sè tù nhiªn; P c) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi x = – b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ĩ x 2 x 3 x 2 x P = : Bµi 10: Cho biĨu thøc : x 5 x 6 2 x x x a) Rót gän biĨu thøc P; b) T×m x ®Ĩ P Chđ ®Ị II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I Tính chất hàm số bậc y = ax + b (a ≠0) -Đồng biến a > 0; nghịch biến a < -Đồ thị đường thẳng nên vẽ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị +Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số ln qua gốc tọa độ +Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số ln cắt trục tung điểm b -Đồ thị hàm số ln tạo với trục hồnh góc , mà tg a -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA + b II.Điểm thuộc đường – đường qua điểm Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA) Ví dụ 1: Tìm hệ số a hàm số: y = ax biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a=1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có qua A khơng? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = nên điểm A thuộc v đường thẳng (d) III.Quan hệ hai đường thẳng Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ -Hai đường thẳng song song a1 = a2 b1 ≠ b2 -Hai đường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2 -Hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2 +Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1.a2 = -1 chúng vng góc với IV.Cách tìm giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình f(x) = g(x) (II) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = f(x) y = g(x) để tìm tung độ giao điểm Chú ý: Số nghiệm phương trình (II) số giao điểm hai đường V.Tìm điều kiện để đường thẳng đồng qui Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để tìm (x;y) Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm vào phương trình lại để tìm tham số VI.Tính chất hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0) -Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > -Đồ thị hàm số Parabol ln qua gốc tọa độ: +) Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa độ +) Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ -Đồ thị hàm số qua điểm A(xA; yA) yA = axA2 VII.Vị trí đường thẳng parabol -Xét đường thẳng x = m parabol y = ax2: +) ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) -Xét đường thẳng y = m parabol y = ax2: +) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT +) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x = m a +) Nếu am < khơng có giao điểm VIII.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: cx2= ax + b (V) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = ax +b y = cx2 để tìm tung độ giao điểm Chú ý: Số nghiệm phương trình (V) số giao điểm (d) (P) IV.Tìm điều kiện để (d) (P) a) (d) (P) cắt phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt b) (d) (P) tiếp xúc với phương trình (V) có nghiệm kép c) (d) (P) khơng giao phương trình (V) vơ nghiệm X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết 1.Quan hệ hệ số góc qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc tìm hệ số a Bước 2: Thay a vừa tìm x0;y0 vào cơng thức y = ax + b để tìm b 2.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) Do đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b 3.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x0;y0) tiếp xúc với (P): y = cx2 (c 0) +) Do đường thẳng qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b (3.1) +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx (c 0) nên: Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép (3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình để tìm a,b XI.Chứng minh đường thẳng ln qua điểm cố định ( giả sử tham số m) +) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đường thẳng ln qua với m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm với m +) Đồng hệ số phương trình với giải hệ tìm x0;y0 XII.Một số ứng dụng đồ thị hàm số 1.Ứng dụng vào phương trình 2.Ứng dụng vào tốn cực trị Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT t¹i N cđa ®êng trßn ë P Chøng minh : C Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M Khi M di chun trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng M cè ®Þnh nµo O A B Lêi gi¶i: Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tun ) Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng N n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) P D B' A' Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN => OPM = OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC NDC CM CO => => CM CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®ỉi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®ỉi hay tÝch CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M ( HD) DƠ thÊy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A , VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: A Ta cã : BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) E => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) I 1( F CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) )1 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) O O2 B H C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kỊ bï) => EBC+EFC = 1800 mỈt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c BEFC ®ã BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng AE AF minh trªn) => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chøng minh t¬ng tù ta còng cã O2F EF VËy EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA, EB víi c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) E Chøng minh EC = MN N Chøng minh MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) H TÝnh MN M TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn Lêi gi¶i: 1 Ta cã: BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m K) A I O C K B => ENC = 90 (v× lµ hai gãc kỊ bï) (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN t¹i N => MN lµ tiÕp tun cđa (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tun cđa (I) t¹i M, VËy MN lµ tiÕp tun chung cđa c¸c nưa ®êng trßn (I), (K) Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cã diƯn tÝch phÇn h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Lêi gi¶i: C C 123 O O D S E M A H×nh a D B F M 1 2 F E S 2 A B H×nh b Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => CDB = 900 nh vËy D vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ D cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB XÐt CMB Ta cã BACM; CD BM; ME BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE.(1) Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn (O)) => MEB = 900 Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => A2 = B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u : ABC = CME (cïng phơ ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => CE CS SM EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G Chøng minh : AC // FG Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD C¸c ®êng th¼ng AC, Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp DE, FB ®ång quy Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB CAB Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kỊ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp B O E F D G S A C * BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) hay BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) DƠ thÊy CA, DE, BF lµ ba ®êng cao cđa tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S Bµi 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH PQ Lêi gi¶i: A Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 90 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp * V× AM lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ O trung ®iĨm cđa AM P Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = BC.AH 2 Q Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = AB.MP M B H C Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = AC.MQ 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mµ AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Ịu) => MP + MQ = AH Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => HP HQ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH còng lµ ®êng cao => OH PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: M Ta cã : ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) _ => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) K C ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưc ®êng trßn ) _ => MDI = 90 (v× lµ hai gãc kỊ bï) D => MCI + MDI = 180 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCID nªn I MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn Ta cã BC MA; AD MB nªn BC vµ AD lµ hai A B ®êng cao cđa tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc O H t©m cđa tam gi¸c MAB Theo gi¶ thiÕt th× MH AB nªn MH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 Mµ A1 + M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bĐt) hay OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK vµ OCK lµ hai gãc ®èi nªn KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 19 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KỴ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp D Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng I Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Lêi gi¶i: 1 0 A / / O B C BIC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BID = 90 M O' (v× lµ hai gãc kỊ bï); DE AB t¹i M => BMD = 90 => BID + BMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) E => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD DC; theo trªn BI DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Tõ (1) vµ (2) => I, B, E th¼ng hµng (v× qua B chØ cã mét ®êng th¼ng song song víi AD mµ th«i.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tun ( v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phơ víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 20 Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi t¹i C Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iĨm C cđa (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cđa (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iĨm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp D Bèn ®iĨm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn G Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng M C DF, EG, AB ®ång quy B A O' O MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tun cđa (O’) F Lêi gi¶i: 1 BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) E => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kỊ bï) Theo gi¶ thiÕt DE AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi cđa tø gi¸c MCGD nªn MCGD lµ tø gi¸c néi tiÕp BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BFD = 900; BMD = 900 (v× DE AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa AB; DE AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iĨm cđa DE (quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AD DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD DF nªn suy BE DF Theo trªn BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BF DF mµ qua B chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DF ®o B, E, F th¼ng hµng Theo trªn DF BE; BM DE mµ DF vµ BM c¾t t¹i C nªn C lµ trùc t©m cđa tam gi¸c BDE => EC còng lµ ®êng cao => ECBD; theo trªn CGBD => E,C,G th¼ng hµng VËy DF, EG, AB ®ång quy Theo trªn DF BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tun (v× M lµ trung ®iĨm cđa DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam gi¸c vu«ng trung tun thc c¹nh hun b»ng nưa c¹nh hun) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phơ víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 21 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Gäi I lµ trung ®iĨm cđa OA VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chøng minh r»ng c¸c ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc t¹i A Ta cã OI = OA – IA mµ OA Chøng minh IP // OQ vµ IA lÇn lỵt lµ c¸c b¸n kÝnh Chøng minh r»ng AP = PQ cđa ®êng trßn (O) vµ ®êng X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa P ®Ĩ tam gi¸c AQB cã diƯn tÝch lín nhÊt trßn (I) VËy ®êng trßn (O) Lêi gi¶i: Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT vµ ®êng trßn (I) tiÕp xóc t¹i A OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mµ ®©y lµ hai gãc ®ång vÞ nªn suy IP // OQ Q P A I O H B APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => OP AQ => OP lµ ®êng cao cđa OAQ mµ OAQ c©n t¹i O nªn OP lµ ®êng trung tun => AP = PQ (HD) KỴ QH AB ta cã SAQB = AB.QH mµ AB lµ ®êng kÝnh kh«ng ®ỉi nªn SAQB lín nhÊt QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB §Ĩ Q trïng víi trung ®iĨm cđa cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iĨm cđa cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iĨm cđa cung AO => PI AO mµ theo trªn PI // QO => QO AB t¹i O => Q lµ trung ®iĨm cđa cung AB vµ ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt Bµi 22 Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iĨm E thc c¹nh BC Qua B kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK B A Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chun trªn c¹nh BC th× H di chun trªn ®êng nµo? Lêi gi¶i: H Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH DE O E t¹i H nªn BHD = 90 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh BD => BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ) BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800 (1) D C K BHK lµ gãc bĐt nªn KHC + BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung KC KH => KHC KDB => => KC KD = KH.KB KB KD (HD) Ta lu«n cã BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn E chun ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chun ®éng trªn cung BC (E B th× H B; E C th× H C) Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miỊn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c giao ®iĨm cđa BF vµ ED, Chøng ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT E minh ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450 M D K A F H B O C Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 45 ; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 90 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng Ta cã BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F (1) FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng) => CFM + CDM = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®êng trßn suy CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng) Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC t¹i C => MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bµi 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã B = 450 VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB A Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng D trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH F Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam O H gi¸c BDE / _ Lêi gi¶i: _K 1 / I AEC = 90 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kỊ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 B E C => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB Gäi K lµ trung ®iĨm cđa HE (1) ; I lµ trung ®iĨm cđa HB => IK lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE HE t¹i E => IK HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iĨm cđa BH => IE = IB ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nưa ®êng trßn ) => BDH = 900 (kỊ bï ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tun (do I lµ trung ®iĨm cđa BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1 (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 (4) Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Theo trªn ta cã CD vµ AE lµ hai ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC => BH còng lµ ®êng cao cđa tam gi¸c ABC => BH AC t¹i F => AEB cã AFB = 900 Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phơ BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID t¹i D => OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE Bµi 25 Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R) KỴ c¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t t¹i A Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M råi kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB Gäi giao ®iĨm cđa BM, IK lµ P; giao ®iĨm cđa CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp A Chøng minh MI = MH.MK Chøng minh PQ MI Lêi gi¶i: Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tun c¾t ta cã AB = AC => ABC c©n t¹i A Theo gi¶ thiÕt MI BC => MIB = 900; MK AB => MKB = 900 H => MIB + MKB = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp K M * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 180 ; tø gi¸c Q P CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 180 mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c B C ABC c©n t¹i A) => KMI = HMI (1) I Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) O Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2) MI MK Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => => MI2 = MH.MK MH MI Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => Q1 = I1 mµ I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) Theo gi¶ thiÕt MI BC nªn suy IM PQ Bµi 26 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R VÏ d©y cung CD AB ë H Gäi M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung CB, I lµ giao ®iĨm cđa CB vµ OM K lµ giao ®iĨm cđa AM vµ CB Chøng minh : J KC AC AM lµ tia ph©n gi¸c cđa CMD Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / KB AB M K Chøng minh ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tun cđa ®êng _ I trßn t¹i M A B Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => MB MC H O => CAM = BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK lµ tia KC AC ph©n gi¸c cđa gãc CAB => ( t/c tia ph©n gi¸c cđa tam gi¸c ) D KB AB (HD) Theo gi¶ thiÕt CD AB => A lµ trung ®iĨm cđa CD => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CMD Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iĨm cđa BC => OM BC t¹i I => OIC = 900 ; CD AB t¹i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp KỴ MJ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) Theo trªn OM BC => OM MJ t¹i J suy MJ lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn C¸c tiÕp tun víi ®êng trßn (O) kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kỴ MH BC, MK CA, MI AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Lêi gi¶i: I B I H B M M O A H O A K C C K (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO = BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® BM ) => HKM = MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => HIM KHM MI MH Theo trªn HIM KHM => => MI.MK = MH2 MH MK Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC; E lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua BC; F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC A Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F n»m trªn ®êng trßn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n = B' Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC O Lêi gi¶i: C' H G = Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa / BC => I lµ trung ®iĨm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai / / B C A' ®êng chÐo c¾t t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®êng I / (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 180 mµ F E BHC = B’HC’ (®èi ®Ønh) => BAC + BHC = 1800 Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 180 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thc (O) Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT * H vµ E ®èi xøng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thc (O) Ta cã H vµ E ®èi xøng qua BC => BC HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iĨm cđa cđa HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo trªn F (O) vµ FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phơ ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n Theo trªn AF lµ ®êng kÝnh cđa (O) => O lµ trung ®iĨm cđa AF; BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => I lµ trung ®iĨm cđa HF => OI lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c AHF => OI = 1/ AH Theo gi¶ thiÕt I lµ trung ®iĨm cđa BC => OI BC ( Quan hƯ ®êng kÝnh vµ d©y cung) => OIG = HAG GI OI (v× so le trong); l¹i cã OGI = HGA (®èi ®Ønh) => OGI HGA => mµ OI = AH GA HA GI => mµ AI lµ trung tun cđa tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iĨm cđa BC) => G lµ träng t©m cđa GA tam gi¸c ABC Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cđa ®êng trßn (O; R) (BC 2R) §iĨm A di ®éng trªn cung lín BC cho O lu«n n»m tam gi¸c ABC C¸c ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H A Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC Gäi A’ lµ trung ®iĨm cđa BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ = E Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ cđa A ®Ĩ tỉng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt A1 O F Lêi gi¶i: (HD) H = Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) / / / AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF ABC B C D A' / VÏ ®êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => A’ lµ trung ®iĨm K cđa HK => OK lµ ®êng trung b×nh cđa AHK => AH = 2OA’ ¸p dơng tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tun, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng ta cã : R AA ' AEF ABC => (1) ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC; R’ lµ b¸n kÝnh R ' AA1 ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF; AA’ lµ trung tun cđa ABC; AA1 lµ trung tun cđa AEF Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AH nªn ®©y còng lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp AEF AH A 'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ 2 VËy R AA1 = AA’ A’O (2) Gäi B’, C’lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn lỵt lµ c¸c ®êng cao cđa c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R mµ lµ tØ sè gi÷a trung tun cđa hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF vµ ABC AA ' AA ' AA1 EF FD ED nªn = T¬ng tù ta cã : OB’ = R ; OC’ = R Thay vµo (3) ta ®ỵc AA ' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R ( BC AC AB ) 2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC mµ R kh«ng ®ỉi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt SABC Ta cã SABC = AD.BC BC kh«ng ®ỉi nªn SABC lín nhÊt AD lín nhÊt, mµ AD lín nhÊt A lµ ®iĨm chÝnh giìa cđa cung lín BC SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t (O) t¹i M VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cđa gãc OAH A D Gi¶ sư B > C Chøng minh OAH = B - C 0 Cho BAC = 60 vµ OAH = 20 TÝnh: a) B vµ C cđa tam gi¸c ABC b) DiƯn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R O Lêi gi¶i: (HD) AM lµ ph©n gi¸c cđa BAC => BAM = CAM => BM CM => M lµ trung ®iĨm cđa cung BC => OM BC; Theo gi¶ thiÕt AH BC => B H OM // AH => HAM = OMA ( so le) Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM M lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc OAH VÏ d©y BD OA => AB AD => ABD = ACB Ta cã OAH = DBC ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => OAH = ABC ABD => OAH = ABC - ACB hay OAH = B - C a) Theo gi¶ thiÕt BAC = 600 => B + C = 1200 ; theo trªn B C = OAH => B - C = 200 B C 1200 B 700 => 0 B C 20 C 50 R 1202 R R R R (4 3) b) Svp = SqBOC - S BOC = R = 3600 2 12 C¸C BµI TO¸N N¢NG CAO C©u V(0,5®): HN Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, C Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 x x x (2 x x x 1) 4 Bµi 5: (1,25®) hue Mét c¸i phƠu cã h×nh trªn d¹ng h×nh nãn ®Ønh S, b¸n kÝnh ®¸y R = 15cm, chiỊu cao h = 30cm Mét h×nh trơ ®Ỉc b»ng kim lo¹i cã b¸n kÝnh ®¸y r = 10cm ®Ỉt võa khÝt h×nh nãn cã ®Çy níc (xem h×nh bªn) Ngêi ta nhÊc nhĐ h×nh trơ khái phƠu H·y tÝnh thĨ tÝch vµ chiỊu cao cđa khèi níc cßn l¹i phƠu Bài 5: Hà Tĩnh Các số a, b, c 1;4 thoả mãn điều kiện a 2b 3c chứng minh bất đẳng thức: a 2b 3c 36 Đẳng thức xảy nào? Câu 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: Bài 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNH Đề thức Với số k nguyên dương, đặt Sk = ( + 1)k + ( - 1)k Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm Sn với m, n số nguyên dương m > n Bµi (1,5 ®iĨm) nam ®Þnh x y xy 1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: 2 x y x y ( xy 1) 2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: (2 x 1) x x (2 x 1) x x Bài :(1điểm) HẢI PHỊNG Cho 361 số tự nhiên a1 ,a ,a , ,a 361 thoả mãn điều kiện 1 1 37 a1 a2 a3 a 361 Chứng minh 361 số tự nhiên đó, tồn số Bài (0,5 điểm) THÁI BÌNH Giải phương trình: x2 - + x2 + x + 1 = (2 x3 + x + x + 1) Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT Bài (0,5 điểm) THÁI BÌNH 1 1 Giải phương trình: 3 x 2x 5x 4x Bài (1,0 điểm) THANH HĨA 3m Cho số thực m, n, p thỏa mãn : n np p Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p Bài ( 1,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Người ta rót đầy nước vào ly hình nón cm3 Sau người ta rót nước từ ly để chiều cao mực nước lại nửa Hãy tính thể tích lượng nước lại ly Câu : PHÚ N ( 1.0 điểm ) Cho D điểm cạnh BC tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O1 , O2 tiếp xúc AB , AC B , C qua D Gọi E giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh điểm E nằm đường tròn (O) C©u V : (1 ®iĨm) H¶i d Ư¬ng Cho x, y tháa m·n: x y3 y x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: B x 2xy 2y 2y 10 Câu 5:(1,0 điểm) H¶i D¬ng chÝnh thøc 4x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = x 1 Bµi 5: Hµ Giang (1,0 ®iĨm) TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: P = sin 150 sin 250 sin 650 sin 750 Bài 5: (1 điểm) BÌNH THUẬN Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có chiều cao h = 12 cm bán kính đường tròn đáy r = cm Câu 5: (1đ) Long An Cho b,c hai số thoả mãn hệ thức: 1 b c Chứng minh hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) C©u 7: (0,5 ®iĨm) B¾c Ninh Cho h×nh thoi ABCD Gäi R, r lÇn lỵt lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABD, ABC, a lµ ®é dµi c¹nh cđa h×nh thoi Chøng minh r»ng: 1 2 R r a Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT C©u VI:(0,5 ®iĨm) B¾c giang Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 16 0 x y z T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = (x+y)(x+z) C©u VI:(0,5 ®iĨm) B¾c giang T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2+ xy +y2 - x2y2 = Bài 5: (1,0 điểm) ĐĂK LĂK Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình: x 2(m 1)x 2m 9m (m tham số) Chứng minh : 7(x1 x ) x1 x 18 Bài 5: (1,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUN Cho x, y >0 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 1 x y xy Bµi 5: (1, ®iĨm) hƯng yªn b2 Cho hai sè a,b kh¸c tho¶ m·n 2a + = 4 a T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật tài liệu hay, [...]... 2 x 3 7 5 x 10 y 2.2 3 y 1 x 2 Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ: y 1 2 x y 3 5 x 10 x 2 x 2 3 x y 7 3 x y 7 3.2 y 7 y 1 x 2 Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ: y 1 - §Ĩ gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sư dơng PP céng cho thn lỵi 2 x 3 y 2 10 x 15 y 10 11 y 22 y 2 x 2 5 x 2 y 6 10 x 4 y 12 5 x... - 10 = 0 8 3x2 + 14x + 8 = 0 9 4x2 - 5x - 9 = 0 9 -7x2 + 6x = - 6 10 2x2 - x - 21 = 0 10 x2 - 12x + 32 = 0 11 6x2 + 13x - 5 = 0 11 x2 - 6x + 8 = 0 12 56x2 + 9x - 2 = 0 12 9x2 - 38x - 35 = 0 13 10x2 + 17x + 3 = 0 13 x2 - 2 3 x + 2 = 0 14 7x2 + 5x - 3 = 0 14 4 2 x2 - 6x - 2 = 0 15 x2 + 17x + 3 = 0 15 2x2 - 2 2 x + 1 = 0 Bµi tËp 2: BiÕn ®ỉi c¸c ph¬ng tr×nh sau thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i a) 10x2... ®iĨm c¸ch chÝnh gi÷a qu·ng ®êng AB lµ 10 km vµ xe ®i chËm t¨ng vËn tèc gÊp ®«i th× hai xe gỈp nhau sau 1 giê 24 phót HPT: x y 10 2 1 5 ( x 2 y ) 2( x y ) Bµi 8 Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 HS nÕu chun 5 HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng nhau TÝnh sè HS mçi líp Bµi 9 Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tun TÝnh riªng tØ lƯ... lo¹i ¸o NÕu tỉ thø nhÊt may trong 3 ngµy, tỉ thø hai may trong 5 ngµy th× c¶ hai tỉ may ®ỵc 1 310 chiÕc ¸o BiÕt r»ng trong mét ngµy tỉ thø nhÊt Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT may ®ỵc nhiỊu h¬n tỉ thø hai lµ 10 chiÕc ¸o Hái mçi tỉ trong mét ngµy may ®ỵc bao nhiªu chiÕc ¸o? C©u III: (1,0®) C tho T×m hai... Bµi 9 Hai trêng A, B cã 250 HS líp 9 dù thi vµo líp 10, kÕt qu¶ cã 210 HS ®· tróng tun TÝnh riªng tØ lƯ ®ç th× trêng A ®¹t 80%, trêng B ®¹t 90% Hái mçi trêng cã bao nhiªu HS líp 9 dù thi vµo líp 10 Bµi 10 Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bĨ kh«ng cã níc sau 2 giê 55 phót th× ®Çy bĨ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt cÇn Ýt thêi gian h¬n vßi thø hai lµ 2 giê TÝnh thêi gian ®Ĩ mçi vßi ch¶y riªng th× ®Çy... vµ híng dÉn: Bµi 1 Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 160 km, ®i ngỵc chiỊu nhau vµ gỈp nhau sau 2 giê T×m vËn tèc cđa mçi « t« biÕt r»ng nÕu « t« ®i tõ A t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h sÏ b»ng hai lÇn vËn tèc «t« ®i tõ B Bµi 2 Mét ngêi ®i xe m¸y ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian dù ®Þnh NÕu vËn tèc t¨ng14 km/h th× ®Õn B sím h¬n 2 giê nÕu vËn tèc gi¶m 2 km/h th× ®Õn B mn 1 giê... phót.TÝnh vËn tèc riªng cđa mçi ca n« biÕt r»ng vËn tèc cđa ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc cđa ca n« ngỵc dßng lµ 9 km/h (cã c¶ vËn tèc dßng níc) vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 km/h Bµi 4 Mét ca n« xu«i dßng 108 km vµ ngỵc dßng 63 km hÕt 7 giê Mét lÇn kh¸c ca n« xu«i dßng 81 km vµ ngỵc dßng 84 km còng hÕt 7 giê TÝnh vËn tèc cđa dßng níc vµ vËn tèc thËt cđa ca n« Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun... cho hµm sè y= mx-m+1 (d) a chøng tá r»ng khi m thay ®ỉi th× ®êng th¼ng (d) lu«n ®I qua ®iĨm cè ®Þnh t×m ®iĨm cè ®Þnh Êy b t×m m ®Ĩ (d) c¾t (P) y=x2 t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt A vµ B, sao cho AB= 3 Bµi tËp 10 trªn hƯ trơc to¹ ®é Oxy cho c¸c ®iĨm M(2;1); N(5;-1/2) vµ ®êng th¼ng (d) y=ax+b a t×m a vµ b ®Ĩ ®êng th¼ng (d) ®I qua c¸c ®iĨm M, N b x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng MN víi c¸c trơc Ox,... THUẬN Cho hai hàm số y = x – 1 và y = –2x + 5 1/ Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho 2/ Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên 2 B¾c giang Hµm sè y=2009x+2 010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R? V× sao 2 B¾c giang Cho hµm sè y = x -1 T¹i x = 4 th× y cã gi¸ trÞ lµ bao nhiªu? Bµi 2 (1,5 ®iĨm): qu¶ng b×nh Cho ba ®êng th¼ng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 vµ... x y 2 2 1 x y 2 b) x 2 1 y 1 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số) 3 x y 3 2.1 a) 2 x y 7 4 x 3 y 6 b) 2 x y 4 3 x 2 y 10 c) 2 1 x 3 y 3 3 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xun để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất Thaygiaongheo.net – Video – Tài liệu học tốn THPT x 2 3y 1 2.2 a) 2 x y 2