Tổng hợp các dạng Toán th vào 10

1.Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được trong một đường tròn.. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp... Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50 Đường phân giác của góc ABC và đường

trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E

1.Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được trong một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn này

2 Tính BE

3 Vẽ đường kính EF của đường tròn tâm (O) AE và BF cắt nhau tại P Chứng minh các đường thẳng

BE, PO, AF đồng quy

4 Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE

Câu V: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm O, bán

kính R Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC Gọi S là diện

tích tam giác ABC

a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn

b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng

dạng với nhau Suy ra AB.AC = 2R.AD và S =

4

AB BC CA

c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn

d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S

Bài 4: Cho đường tròn (O; R) Từ một điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A,

B là hai tiếp điểm) Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (Ckhác với A và B) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM

a Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp

b Chứng minh: CDE CBA

c Gọi I là giao điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB và DF Chứng minh IK//AB

d Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R

BÀI LÀM:

a Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AECD ta có :

- Hai góc đối AEC ADC 90 ( CD AB CE AM ;  )

Neõn toồng cuỷa chuựng buứ nhau

Do ủoự tửự giaực AECD noọi tieỏp ủửụứng troứn

b Chửựng minh: CDE CBA

Tửự giaực AECD noọi tieỏp ủửụứng troứn neõn

CDE CAE cuứngchaộncungCE

ẹieồm C thuoọc cung nhoỷ AB neõn:

CAE CBA cuứngchaộncungCA

Suy ra : CDE CBA

Suy ra tửự giaực ICKD noọi tieỏp.=> CIK CDK cuứngchaộn  CK 

Maứ CAB CDK cuứngchaộn  CBF Suy ra CIK CBA ụỷ   vũ trớ ủoàng vũ

 IK//AB (ủpcm)

d Xaực ủũnh vũ trớ ủieồm C treõn cung nhoỷ AB

ủeồ (AC + CB2 ) nhoỷ nhaỏt Tớnh giaự trũ nhoỷ nhaỏt ủoự khi OM = 2R.2

Gọi N là trung điểm của AB.Ta cú:

AC2 + CB2 = 2CD2 + AD2 + DB2 =2(CN2 – ND2) + (AN+ND)2 + (AN – ND)2 =

2CN2 – 2ND2 + AN2 + 2AN.ND + ND2+ AN2 – 2AN.ND + ND2.= 2CN2 + 2AN2 = 2CN2 + AB2/2

AB2/2 ko đổi nờn CA2 + CB2 đạt GTNN khi CN đạt GTNN ú C là giao điểm của ON và cung nhỏ AB.=> C là điểm chớnh giữa của cung nhỏ AB

Khi OM = 2R thỡ OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R

Do đú: Min (CA2 + CB2) = 2R2

B i 4: Cho ài 4: Cho đường trũn tõm O cú cỏc đường kớnh CD, IK (IK khụng trựng CD)

1 Chứng minh tứ giỏc CIDK l hỡnh chài 4: Cho ữ nhật

2 Cỏc tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường trũn tõm O thứ tự ở G; H

a Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cựng thuộc một đường trũn

b Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tỡm vị trớ của G v H khi diài 4: Cho ện tớch tam giỏc DỊJ đạt giỏ trị nhỏ nhất

Bài 4

1 Ta có CD là đờng kính, nên:

CKD = CID = 900 (T/c góc nội tiếp)

Ta có IK là đờng kính, nên:

KCI = KDI = 900 (T/c góc nội tiếp)

Vậy tứ giác CIDK là hình chữ nhật

2 a Vì tứ giác CIDK nội tiếp nên ta có:

ICD = IKD (t/c góc nội tiếp)

Mặt khác ta có: G = ICD (cùng phụ với GCI)

MP IA => Tích chéo bằng nhau & thế IC =IB

b) Chứng minh hai tam giác MDQ v IBA ài 4: Cho đồng dạng :

B i 4 (4.0 ài 4: Cho điểm )

Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A

v O).Lài 4: Cho ấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C v D), AE cài 4: Cho ắt BD tại H

a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân v tài 4: Cho ứ giác CEHK nội tiếp

b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi của hình tròn (O)

d) Cho góc BCD bằng α Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)

B i 4 (4.0 ài 4: Cho điểm )

a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân v t à t ứ giác CEHK nội tiếp.

* Tam giác CBD cân

AC BD tại K BK=KD=BD:2(đường kính vuông góc dây cung) ,ΔCBD có đường cao CK vừa l ài 4: Cho đường trung tuyến nên ΔCBD cân

* Tứ giác CEHK nội tiếp

4

C E D

M’

K H

B”

D

”

* ãABC 90 0( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)

ΔABC vuụng tại B cú BKAC : BC2 =KC.AC  400 =16.AC

đ-1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO

2) Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D Chứng minh rằng:

d

H

I F

E

D

C

B A

Câu IV: (3,0đ) Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi không

trùng với AB Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F

1 Chứng minh rằng BE.BF = 4R2

2 Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn

3 Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một

b Ta có góc CEF = góc BAD (Cùng phụ với góc BAE)

Mà góc BAD = góc ADC ( Tam giác AOD cân)

=> Góc CEF = góc ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp đờng tròn

c Gọi trung điểm của EF là H

=> IH // AB (*)

Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông

AEF, góc A = 900) => góc HAC = góc HEA (1)

Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi = R =>

I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng =R

* Chú ý: Trờng hợp CD  AB thì I thuộc AB và vẫn cách d một khoảng = R.

Bài 5 (3,0 điểm)

Cho điểm M nằm ngoài đờng tròn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) (A; B là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp

b) Tính diện tích tam giác AMB nếu cho OM = 5cm và R = 3 cm

c) Kẻ tia Mx nằm trong góc AMO cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và

D ) Gọi E là giao điểm của AB và OM Chứng minh rằng EA là tia phân giác của góc CED.Bài 5:

D C

E O M

A

Ba) Ta có: MA  AO ; MB  BO ( T/C tiếp tuyến cắt nhau)

Vì MA;MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau => MA = MB => MAB cân tại A

MO là phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO là đờng trung trực => MO AB

Xét AMO vuông tại A có MO AB ta có:

C B

2 5 5 =

192

25 (cm

2)c) XÐt AMO vu«ng t¹i A cã MO AB ¸p dông hÖ thøc lîng vµo tam gi¸c vu«ng AMO ta cã:

Ta cã: DOE MOD ( c.g.c) ( O chong ; OD OE OM OD ) => OED ODM ( 2 gãc t øng) (4)

Tõ (3) (4) => OED MEC mµ : AEC MEC =900

1.Chứng minh ADE ACB 

2.Chứng minh K l trung ài 4: Cho điểm của DE

3.Trường hợp K l trung ài 4: Cho điểm của AH Chứng minh rằng đường thẳng DE l tiài 4: Cho ếp tuyến chung ngo i cài 4: Cho ủa đường tròn đường kính BH v ài 4: Cho đường tròn đường kính CH

B i 3: a Ta có tài 4: Cho ứ giác BDEC nội tiếp

m ài 4: Cho HACABC ( cùng phụ với góc ACB)

=> HACAED => AEK cân tại K => AK=KE (1)

Chứng minh tương tự ta có AKD cân tại K =>

7

AK = KD (2)

=> KE=KD => K l trung ài 4: Cho điểm của DE

c Vì K l trung ài 4: Cho điểm của AH v DE nên tài 4: Cho ứ giác

ADHE l hình bình h nhài 4: Cho ài 4: Cho

M góc A =90ài 4: Cho 0 => ADHE l hình chài 4: Cho ữ nhật =>

AK = KH = KD = KE

Ta có O1DK = O1HK

M góc Oài 4: Cho 1HK = 900 => góc O1DK = 900

Mặt khác DO1 = BO1 = HO1 (t/c tam giác vuông)

=> DE l tiài 4: Cho ếp tuyến của (O1)

Tương tự ta cũng chứng minh

được DE l tiài 4: Cho ếp tuyến của (O2)

=> DE l tiài 4: Cho ếp tuyến chung của (O1) v (Oài 4: Cho 2)

B i 4ài 4: : (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC = R, trênđường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M.a) Chứng minh tứ giác BCMD l tài 4: Cho ứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tam giác ABM l tam giác cân ài 4: Cho

c) Tính tích AM.AD theo R

d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM th nh hai hài 4: Cho ần Tính diện tích phần của tam giác ABMnằm ngo i (O) ài 4: Cho

B i 5 : (3,5 ài 4: điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB v dây CD vuông góc vài 4: Cho ới nhau (CA

< CB) Hai tia BC v DA cài 4: Cho ắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở F Chứng minh rằng :

1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn 2/ Ba điểm B , D , F thẳng h ng.ài 4: Cho 3/ HC l tiài 4: Cho ếp tuyến của đường tròn (O)

8

 Tứ giác ABHD nội tiếp

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng n y cài 4: Cho ắt đường thẳng DC tại P

Ta có: BAM DAP  (cùng phụ MAD )

AB = AD (cạnh hình vuông ABCD)

ABM ADP 90 

Nên BAM = DAP (g.c.g)  AM = AP

Trong PAN có: PAN = 90o ; AD  PN

Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A v B Trên cùng mài 4: Cho ột nửa mặt phẳng có bờ l AB ài 4: Cho

kẻ hai tia Ax v By cùng vuông góc vài 4: Cho ới AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia

By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)

a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn n y.ài 4: Cho

Mặt khác tứ giác PCBK nội tiếp nên: PCK PBK (2)

Từ (1) v (2) ta có ài 4: Cho điều phải chứng minh

Xét các tam giác vuông AIC v ài 4: Cho BKC có: KCCI v ài 4: Cho KB CA suy ra: BKC ACI

(góc có cạnh tương ứng vuông góc) hay ACI đồng dạng với BKC(g-g)

B i 4 (3,5 ài 4: Cho điểm)

Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác vớiđiểm B) Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ G cắt haitiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C v D.ài 4: Cho

1 Gọi N l tiài 4: Cho ếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BDNOnội tiếp được

2 Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra CN DN

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh ∆AME ∆ACM v AMài 4: Cho 2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác CME l nhài 4: Cho ỏ nhất

B i 3 ài 4:

a)* Hình vẽ đúng

* EIB 90   0 (giả thiết)

*  ECB 90  0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

* Kết luận: Tứ giác IECB l tài 4: Cho ứ giác nội tiếp b) (1 điểm) Ta có:

* MI l ài 4: Cho đường cao của tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB

* Trừ từng vế của hệ thức ở câu b) với hệ thức trên

* Ta có: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2

d)

* Từ câu b) suy ra AM l tiài 4: Cho ếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam

giác CME Do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác

CME nằm trên BM Ta thấy khoảng cách NO1 nhỏ nhất khi

v chài 4: Cho ỉ khi NO1BM.)

 Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được O1 Điểm C l giao cài 4: Cho ủađường tròn đã cho

 với đường tròn tâm O1, bán kính O1M

B i 4 ài 4: (2 điểm)

Phần nước còn lại tạo th nh hình nón có chiài 4: Cho ều cao

bằng một nửa chiều cao của hình nón do 8cm3 nước

ban đầu tạo th nh Do ài 4: Cho đó phần nước còn lại có thể tích

E N

H

M

D C

O

H

M N

O

D

C

B A

c) Xỏc định vị trớ của điểm D để diện tớch hỡnh bỡnh h nh ABCD cú diài 4: Cho ện tớch lớn nhất vài 4: Cho tớnh diện tớch trong trường hợp n y ài 4: Cho

Cõu 5 : ( 1.0 điểm ) Cho D l ài 4: Cho điểm bất kỳ trờn cạnh BC của tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũntõm O Ta vẽ hai đường trũn tõm O1 , O2 tiếp xỳc AB , AC lần lượt tại B , C v ài 4: Cho đi qua D Gọi E l giaoài 4: Cho điểm thứ hai của hai đường trũn n y Chài 4: Cho ứng minh rằng điểm E nằm trờn đường trũn (O)

Cõu 4:

a Gúc ADB = 900 (Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)

m AD//BC (gt) => DBài 4: Cho BC

Cho A là một điểm trên đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi B là

điểm đối xứng với O qua A Kẻ đờng thẳng d đi qua B cắt đờng

tròn (O) tại C và D (d không đi qua O, BC < BD) Các tiếp tuyến

của đờng tròn (O) tại C và D cắt nhau tại E Gọi M là giao điểm của

OE và CD Kẻ EH vuông góc với OB (H thuộc OB) Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, H,M, E cùng thuộc một đờng tròn

b Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông

ODE với đờng cao DM

ta đợc OM.OE = OD2

=R2

c Gọi HE cắt (O) tại N

Ta có BOM đồng dạng với EOH => OH.OB = OM.OE = R2

O

H E

H

D

B O

A C

Xét OBN có BNO 900 và A là trung điểm của

a/ Chứng minh tứ giỏc ADHE nội tiếp

b/ Chứng minh tam giỏc AED đồng dạng với tam giỏc ACB

c/ Tớnh tỉ số

BC

DE

.d/ Gọi O l tõm ài 4: Cho đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Chứng minh OA vuụng gúc với DE

Gợi ý đáp án câu 5:

a Xét tứ giác ADHE có

AEH ADH = 900 => Tứ giác ADHE nội tiếp.

b Ta có tứ giác BEDC nội tiếp vì

BEC BDC =900 => EBCADE ( Cùng bù với EDC )

=> ADE đồng dạng với ABC

(Chung góc A và EBCADE)

c Xét AEC có AEC 900 và A 600 =>

ACE  => AE = AC:2 (tính chất)

Mà ADE đồng dạng với ABC

2

BC AC 

d Kẻ đờng thẳng d OA tại A

=> ABC CAd (Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn một cung)

Mà EBCADE => EDA CAd => d//ED

Ta lại có d OA (theo trên) => EDOA

Cõu 5 (3,5 điểm)

Cho điểm A nằm ngo i ài 4: Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R Từ A kẻ đường thẳng (d) khụng đi qua tõm

O, cắt đường trũn (O) tại B v C ( B nài 4: Cho ằm giữa A v C) Cỏc tiài 4: Cho ếp tuyến với đường trũn (O) tại B vài 4: Cho

C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH vuụng gúc với AO (H nằm trờn AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M.Gọi I l giao ài 4: Cho điểm của DO v BC.ài 4: Cho

1 Chứng minh OHDC l tài 4: Cho ứ giỏc nội tiếp được

2 Chứng minh OH.OA = OI.OD

3 Chứng minh AM l tiài 4: Cho ếp tuyến của đường trũn (O)

4 Cho OA = 2R Tớnh theo R diện tớch của phần tam giỏc OAM nằm ngo i ài 4: Cho đường trũn (O)

Xột Tứ giỏc OHDC cú OHD + DOC = 1800

Suy ra : OHDC nội tiếp được trong một đường

trũn

b) Ta cú: OB = OC (=R)  O mằn trờn đường

trung trực của BC; DB = DC (T/C của hai tiếp

tuyến cắt nhau)

 D mằn trờn đường trung trực của BC

Suy ra OD l ài 4: Cho đường trung trực của BC => OD

14

vuụng gúc với BC.

Xột hai tam giỏc vuụng ∆OHD v ài 4: Cho ∆OIA cú DOA chung

 ∆OHD đồng dạng với ∆OIA (g-g)

c) Xột ∆OCD vuụng tại C cú CI l ài 4: Cho đường cao Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng,

ta cú: OC2 = OI.OD m OC = OM (=R) ài 4: Cho  OM2 = OC2 = OI.OD (2)

Từ (1) v (2)ài 4: Cho : OM2 = OH.OA

OM

OH OA

OM



Do đú : ∆OHM ∆OMA (c-g-c)

OMA = OHM= 900

 AM vuụng gúc với OM tại M

 AM l tiài 4: Cho ếp tuyến của (O)

d) Gọi E l giao ài 4: Cho điểm của OA với (O); Gọi diện tớch cần tỡm l S.ài 4: Cho

Π.R 2

3

2) Chứng minh: MN là phân giác của góc BMK

3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN

Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.

O

N K

H

E B A

15

NAH NMK = 1

2s®KH

NAH  NMB = 1

2s®NB (2)

 MN lín nhÊt (V× AB= const )  M lµ chÝnh gi÷a AB

Câu 4:(3 đ i ể m)

Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R) Tiếp tuyến tại N v P cài 4: Cho ủa đường tròn lần lượt cắt tia MP v tia MN tài 4: Cho ại E v D.ài 4: Cho

a) Chứng minh: NE2 = EP.EMa)Chứng minh tứ giác DEPN k tài 4: Cho ứ giác nội tiếp

b) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K ( K không trùng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2

F I

P

O

N K

M