Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu word cực trị cơ học bồi dưỡng học sinh giỏi lý
CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG PHẦN ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIÊM I Đặt vấn đề Khi toán vật lý yêu cầu tìm cực trị - cực đại cực tiểu – đại lượng vật lý, bạn học sinh thường nghĩ đến việc dùng đạo hàm, cụ thể lấy đạo hàm đại lượng cho không Việc biết tính thành thạo đạo hàm tất nhiên có lợi, điều có học sinh lớp cuối cấp THPT, HS lớp hay gặp toán cực trị, đặc biệt kì thi học sinh giỏi, mà học sinh thường chưa học đạo hàm Hơn nữa, lời giải dùng đạo hàm đơn giản đẹp Trong giới thiệu bạn “một số phương pháp tìm cực trị” mà không dùng đạo hàm - Sử dụng đạo hàm ẩn có ý nghĩa vật lý Ví dụ, cực trị tọa độ đạt hình chiếu vật tốc không; cực trị vận tốc đạt gia tốc không… - Khảo sát tam thức bậc hai, công thức có sẵn đỉnh parabol, tìm nghiệm tam thức - Sử dụng biến đổi lượng giác cực trị hàm lượng giác Ví dụ, hàm khảo sát dẫn đến hàm số sin biến góc, cực đại đạt sin - Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, Bunhia-cốpki - Chuyển hệ quy chiếu khác Trong hệ quy chiếu việc tìm cực trị dễ nhiều - Sử dụng phương pháp đồ thị Khi việc tìm cực trị quy phép dựng hình đơn giản - Phương pháp biến thiên nhỏ Với biến thiên nhỏ tham số, độ biến thiên đại lượng cần khảo sát phải không II Cơ sở lý thuyết Phương trình bậc hai Ta có phương trình y = f(x) = ax2 + bx + c = = b2 – 4.a.c - Nếu: > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = b 2a b 2a - Nếu = 0: phương trình có nghiệm kép: x = - Nếu < 0: phương trình vô nghiệm * Cực trị tam thức bậc hai + a > ymim = b x = 4a 2a + a < ymax = y b x = 4a 2a y ymax a>0 a 0): a1 + a2 +…+ an n n a1a2 an dấu “ =” xảy a1 = a2 = … = an * Bất đẳng thức Bunhia – cốp ki (Bunyakovsky) 2 2 - Ta có: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² (a.c2 b.2d )max2 (2a b )(c d ) [(a b )(c d )]min a.c b.d dấu “ =” xảy c b = a d - Có 2n số thực (n 2): Với hai số a1, a2,…, an b1, b2,…, bn ta có: Dấu "=" xảy a a1 a = = …= n b1 b2 bn Các công thức lượng giác thường dùng a Công thức cộng: cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb tana - tanb tan(a - b) = + tana.tanb tana + tanb tan(a + b) = - tana.tanb b Công thức nhân đôi : sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - = – 2sin2x sin2x = 2sinxcosx tan2x = cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb 2tanx tan x cot2x = cot x 2cotx sin x cos2 x c Công thức hạ bậc: cos x cos x d Công thức tích thành tổng cos( x y) cos( x y) sinxsiny= cos( x y) cos( x y) cosxcosy= sinxcosy= Sin( x y) Sin( x y) e Công thức tổng (hiệu) thành tích: x y x y sinx + siny = 2sin cos x y x y sin sinx – siny = 2cos x y x y sin sin( x y ) tanx – tany = cos xcosy sin( y x) cotx – coty = sin xsiny x y x y cos sin( x y ) tanx + tany = cos xcosy sin( x y ) cotx + coty = sin xsiny cosx – cosy = 2sin cosx + cosy = 2cos f Phương trình bậc sinx cosx: Dạng: asinx + bcosx = c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 b2 c2 Cách giải : Chia hai vế phương trình cho a b2 , ta được: a a b2 Đặt: a a b2 cos ; sin x b a b2 cos sin x sin cos x a b2 cos x c a b2 sin Khi phương trình tương đương: c a b b hay sin x c a b2 sin II Các toán minh họa A Một số toán phần động học chất điểm * Bài toán 1: Một xe ô tô tới gần điểm A với tốc độ v1 = 80m/s Tại thời điểm L = 10km nữa, từ A xe tải theo phương vuông góc với tốc độ v2 = 60m/s Hỏi khoảng cách ngắn xe ô tô xe tải bao nhiêu? Gợi ý hướng giải - Dễ dàng thấy khoảng cách ô tô xe tải có cực tiểu - ban đầu khoảng cách giảm xe ô tô tới gần A khoảng cách tăng lên Sự phụ thuộc khoảng cách (mà bình phương khoảng cách) ô tô xe tải vào thời gian có dạng s2 = (L - v1t)2 + (v2t)2 = (v12 + v22)t2 - 2Lv1t + L2 - Đơn giản xét cực tiểu hàm nhờ đạo hàm Lấy đạo hàm cho 0, ta được: t= ,s= = 6km - Hoặc tách riêng phần có chứa t thành dạng bình phương tổng, ta có s2 = ( - Thấy s2 cực tiểu biểu thức ngoặc thứ hai Từ ta nhận lại kết - Ta dùng tam thức bậc Xét phương trình ( Nếu s cực tiểu cố định phương trình phải có nghiệm nhất, tức biệt thức Δ phải Kết ta nhận giá trị s tìm (bạn thử kiểm tra xem!) - Tuy nhiên, lời giải đẹp ngắn gọn dựa chuyển HQC hệ gắn với hai xe, ví dụ xe ô tô Khi HQC xe tải chuyển động với vận tốc không đổi tức theo đường thẳng đứt nét vẽ s H.1 v2 Khoảng cách cực tiểu o tô đứng yên (trong A v21 v1 HQC này) xe tải tìm cách dựng L v1 H.1 s = Lsinα = * Bài toán 2: Hai chất điểm chuyển động với vận tốc v1 v2 dọc theo hai đường thẳng vuông góc với giao diểm O hai đường Tại thời điểm t hai chất điểm cách điểm O khoảng l1 l2 Sau thời gian khoảng cách hai chất điểm cực tiểu khoảng cách cực tiểu ? Gợi ý hướng giải - Chọn gốc tọa độ O giao điểm đường - Ta có: x1 = l1 – v1.t; x2 = l2 – v2.t - Khoảng cách hai chất điểm: d2 = x12 + x22 = (l1 – v1.t)2 + (l2 – v2.t)2 = (v12 + v22).t2 – 2(l1.v1 + l2.v2).t + l12 + l22 - Ta có: v12 + v22 > nên y = (d2)min khi: t=- l v l v l v l v b = 12 2 dmim = = 22 21 v1 v2 2a 4a v1 v2 * Bài toán 3: Hai chất điểm chuyển động thẳng hai trục Ox Oy vuông góc với Tại thời điểm t = 0, vật A cách O đoạn l1, vật B cách O đoạn l2, hai vật chuyển động hướng O với vận tốc v1 v2 a Tìm điều kiện để hai vật đến O lúc b Cho l1 = 100 m, v1 = m/s, l2 = 120 m, v2 = m/s Tìm khoảng cách hai vật thời điểm t = 10 s c Với kiện câu b Tìm khoảng cách nhỏ hai vật? Xác định vị trí vật ? Gợi ý hướng giải a Hai vật đến O lúc thời gian chuyển động chúng phải nhau: l1 l2 v1 v b Tại thời điểm t = 10 s khoảng cách từ chất điểm đến O là: x = l1 – v1.t = 60 m y = l2 – v2.t = 90 m * Khoảng cách hai chất điểm l x y2 108,17 m c Khoảng cách hai vật d2 x y2 (100 4t)2 (120 3t)2 25t 1520t 24400 Từ ta có dmin = b = 36m, t = = 30,4s 4a 2a Vị trí vật là: x = l1 – v1.t = - 21,6 m * Bài toán 4: Hai tàu biển chuyển động vận tốc hướng tới điểm O hai đường thẳng hợp góc = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ hai tàu Biết ban đầu chúng cách O khoảng a = 60 km, b = 40 km y Gợi ý hướng giải d * Phương pháp đại số v1 x = vt - 40 (1) y = vt - 60 (2) x v2 - Khoảng cách tàu thời điểm t: d2 = x2 + y2 - 2xycosα d2 = x2 + y2 - xy mà α = 600 nên: (3) - Thay (1)(2) vào (3) ta có: d2 = v2t2 - 100vt + 2800 (4) - Vế phải (4) tam thức bậc có cực tiểu khi: t = dmin2 = (5) = 300 dmin = * Phương pháp hình học: ( lời giải đẹp) v1 - Hệ qui chiếu B đứng yên: v2 - Vì v1 = v2 = v α = 600, nên ΔOAC tam giác - Suy ra: BC = a - b = 20 km dmin = BC sinα = a O v12 v2 dmin H B ≈ 17,32 km * Bài toán 5: Hai động tử M1, M2 đồng thời chuyển động hai đường thẳng đồng quy ( góc ) với v1 v2 Tìm khoảng cách ngắn chúng thời gian đạt khoảng cách đó, biết khoảng cách ban đầu l Biết động tử xuất phát từ giao điểm hai đường thẳng Gợi ý hướng giải * Cách 1: Tam thức bậc ( phương pháp đại số) - Phương trình tọa độ: x = t - v2 t (1) y = v1 t (2) - Khoảng cách hai động trở thời điểm t: d2 = x2 + y2 - 2xycosα (3) - Thế (1) (2) vào (3) ta được: d2 = ( v12 + v22 + 2v1v2cosα)t2 - 2l(v1cosα + v2)t + t2 (4) Vế phải (4) tam thức bậc có cực tiểu khi: t= dmin = = = * Cách 2: Phương pháp hình học Chọn hệ qui chiếu đứng yên động tử x Động tử chuyển động AH H dmin = BH = l.sinβ (1) dmin v1 v2 v12 y v2 l Thế (2) (3) vào (1): dmin = Thời gian để đạt d' = dmin : t = với cos2β = - sin2β = sin2α = = = = = cosβ = Vậy t= Biện luận: - Nếu α = 900 Giống trước t dmin = - Nếu α > 900 : để toán có nghĩa t>0 v1cosα + v2 > v2 ≥ v1 |cosα| * Bài toán 6: Một ô tô chuyển động từ A đến B dài L = 800 m Khởi hành từ A, ô tô chuyển động nhanh dần đều, tiếp sau ô tô chuyển động chậm dần dừng lại B Biết độ lớn gia tốc xe không vượt ao = m/s2 Hãy tính thời gian ngắn mà ô tô chạy từ A đến B Gợi ý hướng giải - Gọi a1, a2 độ lớn gia tốc ô tô hai giai đoạn - Áp dụng: vmax2 = 2a1.s1 = 2a2.s2 s1 a2 a2 a L s1 = ( s1 s2 ) = s2 a1 a1 a2 a1 a2 vmax2 = - Mà: t = t1 + t2 = vmax vmax = a1 a2 a L a2 a1 a2 a1 a2 a2 a a1 a2 - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si: ( trường hợp ta có: mà 2.a1.a2 L a1 a2 a2 a1 =1 a1 a2 2L a1 a2 a2 a ) a2 a1 L a0 - Vậy t cực tiểu khi: a1 a2 = a0 tmin = L a0 * Bài toán 7: Một xe buýt chuyển động thẳng đường với vận tốc v1 = 12m/s Một hành khách đứng cách đường đoạn b = 80m A Người nhìn thấy xe buýt vào thời điểm xe cách người khoảng a = 450m a b B a Hỏi người phải chạy theo hướng để đến v1 đường lúc trước xe buýt đến đó? Thời gian hai xe gặp bao nhiêu? biết người chuyển động với vận tốc v2 = 4m/s b Nếu muốn gặp xe với vận tốc nhỏ người phải chạy theo hướng ? Vận tốc nhỏ ? Gợi ý hướng giải A * Bài toán chuyển HQC - Hình vẽ a - Chọn HQC A đứng yên b B - ĐL cộng vận tốc: v21 = v2 + (- v1 ) v1 C a G/s hai xe gặp C - Ta có: t2 = AC BC ; t1 = v2 v1 - Theo đề người đón xe buýt lúc trước: t1 t2: - Áp dụng định lí hàm sin tam giác: v BC BC AC AC v1 v2 v2 AC BC sin sin v v b sin sin = 32,230 147,770 sin 15 v2 v2 a - Thời gian hai tàu gặp nhau: t = AB v1cos v2 cos 10 = v0 - at, l = v0t - ta nhận t = - Như để t nhỏ gia tốc a vật phải lớn Từ phương trình động lực học: mgsinα + Fms = ma N - mgcosα = - Ta tìm a = g(sinα + μcosα) - Để tìm cực đại a, ta dùng đạo hàm, ta được: tan = 1/ a = g - Mà dùng biến đổi, sau biện luận dựa giá trị sin cos: sinα + μcosα = với β = arccos(1/ sinα + ( cosα ) = sin(α+β) ) - Cực đại biểu thức , đạt sin(α+β) = Do gia tốc cực đại amax = g - Và thời gian cực tiểu: tmin = = = 0,8 s - Cũng dựa vào bất đẳng thức Bunhia – cốp ki, gia tốc a cực đại khi: sinα + μcosα (sinα + μcosα)max tan = 1/ a = g Và thời gian cực tiểu: tmin = = 0,8 s Và theo lời giải đẹp cho loại toán cực trị * Bài toán 13: Một vật có khối lượng m, kéo với vận tốc không đổi lực F mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt ngang Hệ số ma sát vật mặt nghiêng F β 15 k Xác định góc β F với mặt phẳng nghiêng lực F nhỏ Khi F có độ lớn bao nhiêu? Gợi ý hướng giải - Vật trượt nên: P + F + N + Fms = (*) - Chiếu (*) lên Ox, Oy ta được: F.cosβ - mg.sinα –k.N = N + F.sinβ - mg.cosα = →F= (sin k.cos )mg cos k sin - Giá trị Fmin mẫu số max - Đặt y = cosβ + k.sinβ * Cách 1: y = cosβ + k.sinβ = 1 k ( 1 k cosβ + k 1 k sinβ ) = k sin( + β) → ymax sin( + β) = → tanβ = k → Fmin = (sin k cos )mg 1 k = mg.sin(α +β) * Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia – Côpxki: y (cos2 sin )(1 k ) → ymax = → Fmin = (sin k cos )mg 1 k k với tanβ = k = mg.sin(α +β) - Nếu α + β = /2 → lực F hướng thẳng đứng lên F = mg, lực F giữ cho vật lơ lửng - Nếu α + β > /2 → lực F nghiêng sang trái so với phương thẳng đứng k thể kéo vật lên Vậy để toán có nghĩa là: α + β < /2 16 * Bài toán 14: Một hộp chứa cát ban đầu đứng yên, kéo sàn sợi dây với lực kéo F = 1000N, hệ số ma sát hộp sàn 0,35 Lấy g = 10m/s2 a Hỏi góc dây phương ngang để kéo lượng cát lớn nhất? b Khối lượng cát hộp trường hợp bao nhiêu? Gợi ý hướng giải - Chọn hệ trục tọa độ xOy hình vẽ - Định luật II Niu-tơn: N + P + F + Fms = m a (1) - Chiếu ( 1) lên Oy: N = P - F.sin - Chiếu (1) lên Ox: F.cos - Fms = ma a = F (cos .sin ) mg m - Để vật chuyển động từ trạng thái nghỉ: a m F (cos .sin ) mg 0 m F 1 303kg g - Để mmax (cos + .sin)max + Áp dụng đất đẳng thức Bunhia- cốp ki: cos + .sin (cos + .sin)max dấu “ =” xảy ra, khi: tan = = 19,30 - Vậy khối lượng bao cát hộp đó: m 303 kg * Bài toán 15: Cho hệ hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát M sàn k2, M m k1.Tác dụng lực F lên M theo phương hợp với phương ngang góc Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M tính góc tương ứng? Gợi ý hướng giải m * Xét vật m: P1 N1 Fms 21 ma (1) - Chiếu lên Ox: Fms21= ma a1 M F Fmn 21 m 17 - Chiếu lên Oy: N1 – P1 = N1 = P1 Fms21= k1.N1 = k1.mg a1 k1mg k1 g Khi vật bắt đầu trượt thì a1 = k1mg m * Xét vật M: F P2 P1 N2 Fms12 Fms M a2 - Chiếu lên trục Ox: F cos Fms12 Fms M a2 a2 F cos Fms12 Fms M - Chiếu lên Oy: F sin ( P1 P2 ) N2 N2 P1 P2 F sin - Ta có: Fms12 k1mg ; Fms k2 N2 k2 ( P1 P2 F sin ) a2 F cos k1mg k2 ( P1 P2 F sin ) M * Khi vật trượt: a1 a2 k1 g F cos k1mg k2 ( P1 P2 F sin ) M k1 g.M F (cos k2 sin ) k1mg k2 ( P1 P2 ) F (k1 k2 )( Mg mg ) (k1 k2 )(Mg mg ) cos k2 sin y * Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: y (cos k2 sin )2 (12 k22 )(cos sin ) k22 ymax k2 * Vậy: Fmin (k1 k2 )( Mg mg ) k2 , Lúc đó: sin k2 tg k2 cos C Một số toán tham khảo thêm Bài Một bọ dừa đậu đầu B cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng cạnh A tường thẳng đứng hình vẽ Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải theo sàn ngang với tốc độ không đổi v bọ bắt đầu bò dọc theo B 18 với vận tốc không đổi u Trong trình bò thanh, bọ đạt độ cao cực đại sàn Cho đầu A tỳ lên tường thẳng đứng ĐS: hmax = u L 2v Bài Hai xe chuyển động AO BO hướng O với v2 = v1 , α = 300 Khi khoảng cách xe cực tiểu dmin khoảng cách từ xe đến ) d1’ = 30 m Hãy tính khoảng cách từ xe đến O ĐS: 90m Bài Hai xe chuyển động thẳng từ A B hướng điểm O với vận tốc v Biết AO = 20km, BO = 30km, góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách ngắn chúng trình chuyển động? ĐS: km Bài (Olympic 30/04 – Đắc Lắk 2015) Một người cần bơi qua sông rộng AB = d = 750m với tốc độ chảy dòng nước u = 1m/s Biết tốc độ chạy người bờ v = 2,5m/s, tốc độ bơi nước v’ = 1,5m/s Tìm lộ trình người xuất phát từ A để đến B nhanh tính khoảng thời gian B d A ĐS: tmin = 632s Bài (Olympic 30/04 - Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2015) Từ điểm sườn núi lập góc 30o so với mặt phẳng ngang, người ta ném đồng thời hai vật với vận tốc ban đầu 20m/s nằm mặt phẳng thẳng đứng Một vật ném lên phía trên, vật lại ném xuống phía với góc Hỏi điểm rơi hai vật sườn núi cách khoảng tối đa bao nhiêu? ĐS: Lmax = 106,67m Bài (Olympic 30/04 - Ninh Thuận 2014 – 2015) 19 Phía mặt phẳng nghiêng góc α = 300, điểm O cách mặt O phẳng nghiêng đoạn OC = h, người ta đặt máng trượt thẳng nhẵn, tựa vào mặt phẳng nghiêng điểm P Để chất điểm từ O trượt không vận tốc đầu, theo máng đến điểm P mặt phẳng nghiêng thời gian ngắn góc β β h P C phương thẳng đứng máng trượt phải bao nhiêu? Tìm α thời gian trượt ngắn theo h gia tốc rơi tự g Biết mặt phẳng nghiêng đặt cố định ĐS: tmin 1,86h g Bài Một gỗ có khối lượng M đặt mặt phẳng nghiêng cố định mặt bàn có góc nghiêng α Phía gỗ người ta đặt xe đồ chơi có khối lượng m, chạy dây cót Cho hệ số ma sát trượt xe gỗ µ1, gỗ α mặt phẳng nghiêng µ2 Lên dây cót cho xe thả xe chạy xuống Tìm gia tốc chuyển động lớn xe để gỗ trượt lên phía theo mặt phẳng nghiêng Nêu nhận xét kết tìm Cho gia tốc trọng trường g ĐS: amax = g (1 M ) 22 m Bài Một nêm khối lượng M giữ mặt phẳng nghiêng cố định với góc nghiêng so với đường nằm ngang Góc nghiêng nêm bố trí cho mặt nêm nằm ngang hình vẽ Trên mặt nằm ngang nêm có đặt khối hộp lập phương có khối lượng 2M nằm yên Nêm thả bắt đầu trượt xuống Cho g = 10m/s2 a Bỏ qua ma sát mặt tiếp xúc Hỏi với giá trị gia tốc nêm đạt giá trị cực đại? Tính giá trị cực đại gia tốc nêm đó? 20 b Bề mặt mặt tiếp xúc có ma sát hệ số ma sát biết góc nghiêng nêm =300 Tìm điều kiện để khối lập phương không trượt nêm nêm trượt xuống ĐS: amax = 10,4 m/s2; 2 3 Bài Một vật ném lên từ mặt đất với vận tốc V0 = 10m/s hợp với phương nằm ngang góc = 300 cách vị trí ném theo phương ngang đoạn l có tường thẳng đứng (Hình 1), vật va chạm với tường tuyệt đối đàn hồi Lấy g = 10m/s2 a Tìm l để vật chạm đất cách O đoạn ngắn b Tìm l để vật chạm đất cách O đoạn lớn ĐS: dmin = ; dmax = l = Bài 10 Hai vật nhỏ lúc ném lên với vận tốc có độ lớn v0 hướng khác Góc hợp hai vận tốc hai vật tùy ý Biết hai vật chạm đất vị trí khoảng cách xa không chúng L max = 19m Lấy g = 10m/s2 Hãy xác định vận tốc ban đầu v0 hai vật ĐS: d max 2v 20 (1 ) 19 v 18m / s g Gợi ý giải số toán tham khảo thêm Bài - Xét ( < t < L L ) ( t < ) u v A u - Khi B di chuyển đoạn s = v.t, h α B v 21 bọ l = u.t - Độ cao mà bọ đạt được: h = l.sinα = ut.sinα với sinα = →h= u L L2t (vt )4 = L2 (v.t ) L u y L - Với y = L2t (vt )4 Đặt X = t2 → y = -v2.X2 + L.X - Nhận xét hmax ymax, y tam thức bậc hai có a = - v2 < → ymax = - 2 L4 L4 L → ymax = X = 2 4a 2v 4(v ) 4v - Vậy độ cao mà kiến đạt là: hmax = Bài u L 2v A d β d1 B α d2 O - Chọn hệ tọa độ Oxy trùng với phương chiều chuyển động hai xe - Ta có: x = v2t – d2; y = v1t – d1 - Khoảng cách hai xe tịa thời điểm t: d2 = x2 + y2 – 2xy.cos300 - Thế x y vào ta được: d2 = ( v12 + v22 – v1.v2).t2 + ( d1.v2 + d2v1 – 2d2v2 – 2d1v1).t + d12 + d22 + d1d2 - Ta có: dmin t = 3.d1 d 2.v2 - Khi khoảng cách từ xe đến O là: 30 = v2 3.d1 d → d1 = 2.v2 d2 - 60 22 - Khoảng cách từ xe hai đến O là: x = v2 3.d1 d - d2 = 90m 2.v2 Bài A’ A α O β B’ B Xét thời điểm t vật A A’, vật B B’, khoảng cách d = A’B’ Ta có: 10 d AO vt BO vt d AO BO 10 → = sin sin sin sin sin sin sin sin 2cos sin 2 Với β + = 1200 → d = 10.sin 600 2cos600 sin - Nhận xét: dmin sin = sin = → dmin = (km) Bài - Hình vẽ - Người chạy bờ đoạn AC bơi theo hướng CD (CD tạo với AB góc ) cho bờ người chuyển động theo hướng CB AC t1 = v t1 = AC u v' sin AB = => AC = AB v' cos u v' sin v' cos B D u d v’ A v C Hình t = t1 + t 23 t= AB (v + u – v’sin ) vv' cos (1) với AB = 750 m; v = 2,5 m/s; v’ = 1,5 m/s 3,5 1,5 sin cos t = 200 - Đặt y = (2) 3,5 1,5 sin cos (3) ycos + 1,5 sin = 3,5 (4) - Ta có: ycos + 1,5 sin y 1,52 y2 + 1,52 3,52 y 10 ymin = 10 3,16 - Vậy tmin = 200 ymin 632s x1 v 0cos1.t1 gsin t (1) 1 2 - Phương trình chuyển động vật x1 y Bài - Chọn hệ quy chiếu hai vật hình vẽ x2 o ) t12 y1 v sin 1.t1 gcos (2) + Thời gian chuyển động vật là: y1 t1 xa vật L1 2v sin 1 thay vào (1) ta có tầm bay cos 2v sin 1 (cos1 sin 1 tan ) cos + Ta thấy L1max Y sin 1 (cos1 sin 1 tan ) có giá trị lớn + Ta có Y lớn đạo hàm Y' cos21 sin 21 1 30o Vậy ta có L1max= 80/3m - Phương trình chuyển động vật 2: x v 0cos2 t gsin t 22 24 y2 v sin 2 t gcos + Thời gian chuyển động vật là: y2 t + Tầm bay xa vật L2 t 22 2v sin 2 cos 2v sin 2 (cos2 sin 2 tan ) cos + Tương tự vật ta có L2max 2 60o L2max= 80m - Vậy khoảng cách cực đại hai vật mặt phẳng nghiêng Lmax=106,67m Bài - Chọn trục tọa độ Ox trùng với OP, chiều dương từ O đến P Khi chất điểm trượt máng không ma sát gia tốc là: a = gcosβ >0 - Chất điểm trượt theo máng chuyển động nhanh dần O nên thời gian từ O đến P là: t 2.OP g cos β h (1) P Từ hình vẽ, xét OPC ta có: C α OP OC sin(90 ) sin(900 ) hay OP Hình OCcos h.cos (2) cos( - ) cos( - ) Thay (2) vào (1) ta được: t 2h cos g cos cos( - ) 4hcos cos +cos( -2 ) g (3) Để thời gian vật trượt nhỏ (3) có mẫu số lớn Vì góc α có giá trị xác định nên (3) nhỏ cos(α-2β) = 1, hay Thay số ta β = 150 Thay β = 150 α = 300 vào (3) ta : 25 t 4h cos 300 = (cos300 1) g 3h ( 1) g 1,86h g Như để thời gian vật trượt nhỏ β = 150 thời gian vật trượt từ O đến P tmin 1,86h g Bài - Chọn trục Oxy hình vẽ Phương trình định luật II Niu tơn cho xe gỗ Ox, Oy: F + mgsinα – Fms1 = ma (1) N1 – mgcosα = (2) F’ms1 + Fms2 + Mgsinα – F’ = (3) N2 – N1 – Mgcosα = (4) N1 Fms1 N2 F’ y O F F’ms1 P2 P1 x Fms2 α - Trong đó: F = F’ lực ma sát nghỉ gây chuyển động; Fms1 = F’ms1 lực ma sát trượt xe gỗ; Fms2 = µ2N2 lực ma sát trượt gỗ mặt phẳng nghiêng Cộng (1) (3), (2) (4), ta được: g(m + M)sinα + Fms2 = ma (5) N2 – g(m + M)cosα = (6) Từ (5) (6) ta được: g(m + M)sinα + µ2g(m + M)cosα = ma Suy ra: a = g (1 M M ) (sinα + 2.cosα) g (1 ) 22 m m → amax = g (1 M ) 22 m tanα = 1/2 Nhận xét: kết ta thấy a không phụ thuộc µ1 nghĩa giá trị hệ số ma sát trượt gỗ mặt nghiêng tuỳ ý phải khác 0, để amax giá trị góc α = arctan(1/2) Bài 26 - Phương trình nêm khối hộp Mg N sin Ma 2Mg N 2Ma sin - Suy ra: a 3g sin 3g 2sin 2sin sin Để amax 2sin sin min 2 Điều xảy : sin 450 - Suy ra: amax = 10,4 m/s2 - Khi 2M không trượt M , vật chuyển động vật với gia tốc a g sin cos với điều kiện tan - Xét trường hợp nêm trượt xuống: + Phương trình chuyển động khối hộp: Fms 2M g sin cos cos (*) 2Mg N 2M g sin cos sin N 2Mg 1 sin cos sin (**) + Để 2M không trượt M thì: Fms N (***) + Thay (*), (**) vào (***) ta được: cos sin 2 cos cos sin cos với 300 sin - Để khối lập phương không trượt nêm thì: 2 3 Bài - Trong hệ quy chiếu xoy, chọn gốc thời gian ném thì: 5 v x v cos v y v sin gt 10t y x’ y’ v0 v O’ O x l 27 x 3t suy ra: (1) y 5t 5t - Khi chạm tường x = l Từ (1) suy t = ( 2) (với điều kiện l < xm = ) suy vy = - - Thay vào (2): y= 2 2 15 ( 3) - Vận tốc trước va chạm v hợp với phương ngang góc có: 2 v = (5 ) tan = 3 7,5 - Sau va chạm v' đối xứng với v qua tường Chọn hệ tọa độ x’O’y’ gốc thời gian lúc va chạm, biến thời gian t’ sau va chạm vật chuyển động có: x ' t ' 2 t ' 5t '2 y' 3 - Khi chạm đất y’ = -( 2 ) ta có phương trình : 5t '2 15 Giải phương trình ta t’ = - 2 t ' 3 2 = 3 15 x’m = - Vật cách vị trí ném : d = x 'm = 2 - Vậy dmin = (có nghĩa vật chạm tường độ cao cực đại, sau chạm tường vật chuyển động vị trí cũ) dmax = l = (đây tầm xa vật tường) Bài 10 Ta có tầm bay xa vật ném xiên L v 20 sin 2 g 28 Vì hai vật có vận tốc ban đầu có độ lớn rơi vị trí nên góc ném 1 , 2 hai vật phải thỏa mãn điều kiện 1 2 90o , tức ban đầu hai vận tốc đối xứng qua phương 45o Thời gian vật bay không khí thời gian vật trên, thời gian 2v sin(45o ) t g Xét hệ quy chiếu gắn với vật vật chuyển động thẳng với vận tốc v 2v sin Khoảng cách hai vật sau thời gian t 4v 20 sin .sin(45o ) 2v 20 d v t (cos(2 45o ) cos45o ) g g Ta thấy d lớn cos(2 45o ) lớn 22.5o Vậy d max 2v 20 (1 ) 19 v 18m / s g III Kết luận Sau tìm hiểu số phương pháp giải toán cực trị, bước đầu cho thấy phấn khởi phương án biện luận cực trị, toán có lời giải ngắn gọn Chuyên đề dùng tài liệu tham khảo cho em học sinh tiếp xúc với toán cực trị, giáo viên dùng để truyền tải đến em rằng, toán vật lí có lời giải đẹp HS Phần sở lí thuyết cho toán cực trị dùng để giải toán cực trị chương dòng điện không đổi, dòng điện xoay chiều Trong trình viết chuyên đề nhiều sơ sót, kính mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đọc để hoàn chỉnh chuyên đề 29 [...]... phương pháp giải bài toán cực trị, bước đầu cho thấy sự phấn khởi về phương án biện luận cực trị, các bài toán có lời giải ngắn gọn Chuyên đề này có thể dùng tài liệu tham khảo cho các em học sinh khi tiếp xúc với bài toán cực trị, và giáo viên có thể dùng để truyền tải đến các em rằng, một bài toán vật lí luôn có lời giải đẹp nhất đối với mỗi HS Phần cơ sở lí thuyết cho bài toán cực trị này có thể dùng... sin(α+β) ) - Cực đại của biểu thức trên bằng , đạt được khi sin(α+β) = 1 Do đó gia tốc cực đại bằng amax = g - Và do đó thời gian cực tiểu: tmin = = = 0,8 s - Cũng có thể dựa vào bất đẳng thức Bunhia – cốp ki, gia tốc a cực đại khi: sinα + μcosα (sinα + μcosα)max khi tan = 1/ a = g Và do đó thời gian cực tiểu: tmin = = 0,8 s Và theo tôi đây cũng là lời giải đẹp nhất cho loại bài toán cực trị này *... có đặt một khối hộp lập phương có khối lượng 2M đang nằm yên Nêm được thả ra và bắt đầu trượt xuống Cho g = 10m/s2 a Bỏ qua mọi ma sát ở các mặt tiếp xúc Hỏi với giá trị nào của thì gia tốc của nêm đạt giá trị cực đại? Tính giá trị cực đại của gia tốc của nêm khi đó? 20 b Bề mặt của các mặt tiếp xúc có ma sát và cùng hệ số ma sát và biết góc nghiêng của nêm =300 Tìm điều kiện về để khối lập... các công thức động học Fms P 14 0 = v0 - at, l = v0t - ta nhận được t = - Như vậy để t là nhỏ nhất thì gia tốc a của vật phải lớn nhất Từ các phương trình động lực học: mgsinα + Fms = ma N - mgcosα = 0 - Ta tìm được a = g(sinα + μcosα) - Để tìm cực đại của a, ta có thể dùng đạo hàm, ta được: tan = 1/ a = g - Mà cũng có thể dùng biến đổi, sau đó biện luận dựa trên giá trị của sin hoặc cos:... hai, ta được h = s.tanα - = s.tanα - (tan2α +1) - Nếu từ đó rút ra v02 và phân tích cực tiểu như hàm của tanα thì tính toán sẽ rất cồng kềnh Bởi vậy chúng ta sẽ dùng phương pháp đã chứng tỏ là có hiệu quả mà ta đã trình bày ở trên, cụ thể là xét công thức của v02 như phương trình đối với tanα với v0 đã cho Đối với giá trị cực tiểu của vận tốc v0 = vmin, phương trình phải chỉ có 1 nghiệm: Δ = s2 - =0 -... (sinα + 2.cosα) g (1 ) 1 22 m m → amax = g (1 M ) 1 22 m khi tanα = 1/2 Nhận xét: kết quả trên ta thấy a không phụ thuộc µ1 nghĩa là giá trị của hệ số ma sát trượt giữa gỗ và mặt nghiêng là tuỳ ý nhưng phải khác 0, và để amax thì giá trị góc α = arctan(1/2) Bài 8 26 - Phương trình của nêm và khối hộp Mg N sin Ma 2Mg N 2Ma sin - Suy ra: a 3g sin 3g 2 2sin 1... thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh Trong quá trình bò trên thanh, con bọ đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn Cho đầu A của thanh luôn tỳ lên tường thẳng đứng ĐS: hmax = u L 2v Bài 2 Hai xe chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với v2 = v1 , α = 300 Khi 3 khoảng cách giữa 2 xe là cực tiểu dmin thì khoảng cách từ xe một đến ) là d1’ = 30 3 m Hãy tính khoảng cách từ xe 2 đến O... trị, và giáo viên có thể dùng để truyền tải đến các em rằng, một bài toán vật lí luôn có lời giải đẹp nhất đối với mỗi HS Phần cơ sở lí thuyết cho bài toán cực trị này có thể dùng để giải các bài toán cực trị ở các chương dòng điện không đổi, dòng điện xoay chiều Trong quá trình viết chuyên đề vẫn còn nhiều sơ sót, kính mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô cùng bạn đọc để có thể hoàn chỉnh chuyên... bất đẳng thức Cô-si ta có : d2 2 2 27 g 4 0 ( 4 6v02 32v04 1 d 2 d 9g 27 g 2 dmax 4 6v02 = 9g 4 6v02 2 8v04 - Vậy: ( ) = 2 sin2( 1 - sin) = 41,80 9g g B Một số bài toán phần động lực học chất điểm * Bài toán 11: Hai máng nhẵn AB và CE trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng, cùng tạo nên góc so với phương ngang Từ A và C đồng A thời thả hai vật trượt không vận tốc đầu Thời gian trượt... 29,61 (s) t 53,41(s) b v = v1 sin vmin khi sin = 1 vmin = 2,13m/s Sin * Bài toán 8: Hãy xác định vận tốc cực tiểu phải truyền cho quả bóng chuyền để khi nảy từ chính mặt đất nó có thể bay qua lưới với độ cao h = 2,5m, đặt cách nơi bóng đập vào đất s = 6m Gợi ý hướng giải - Ta viết phương trình chuyển động