Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính: a Độ dài HC theo a không làm tròn số.. Tìm số cạnh của một đa giác, biết số cạnh cần tìm lớn hơn 10 và đa giác đó có ít hơn 60 đường chéo.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề bài gồm 1 trang)
Câu 1 (2.0 điểm) Rút gọn biểu thức:
A 16 0,125
2) B= −(1 a 1− ) a 2 a 1+ − với a 1≥
Câu 2 (2.0 điểm) Tìm x, biết:
3 + − 2 <
2) 6x2 = +x 2
Câu 3 (2.0 điểm).
1) Cho x thỏa mãn: 2x + 3x + 4x = 2+ 3+ 6+ 8+ 16
Chứng tỏ rằng 2x − x là số tự nhiên
2) Với x 0≠ , tìm số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn: (m 2016 x− ) 2 =2x 1+
Câu 4 (3.0 điểm).
1) Cho tam giác ABC cân tại A, µA 30= 0, AB = 2a (a > 0), kẻ đường cao BH (H AC∈ ) Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính:
a) Độ dài HC theo a (không làm tròn số)
b) Sin 75 (thu gọn kết quả, không làm tròn số).0
2) Cho α, (α +10) là các góc nhọn, hãy so sánh sinα và tan(α +10) ; cos (α +10) và cotα.
Câu 5 (1.0 điểm).
Tìm số cạnh của một đa giác, biết số cạnh cần tìm lớn hơn 10 và đa giác đó
có ít hơn 60 đường chéo
––––––––––––––––
(Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi)
Họ tên học sinh:………Số báo danh:………
Chữ kí giám thị 1: ……… Chữ kí giám thị 2:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu 1
(2,0 đ)
A 16 0,125
= 16 − 0.125 + 1 2 3
2 + 3 + 1 3
0,5
= 2 + 1 2 3
2) B= −(1 a 1− ) a 2 a 1+ − với a 1≥ = (1− a 1− ) (1+ a 1)− 2 0,25
= (1− a 1 1− )( + a 1− ) ( vì 1+ a 1− >0 ) 0,25
Câu 2
(2,0 đ)
3 + − 2 < Điều kiện x≥ 0 0,25
Kết hợp với điều kiện ta được 0 ≤ <x 6 0,25 2) 6x2 = +x 2
⇔ ( )2
6 x − − =x 2 0
⇔ 3 x − = 2 0 (vì 2 x + > 1 0) 0,25
3
x= ; 2
3
x= −
Vậy 2
3
x= ; 2
3
x= − ( Nếu chỉ ra 1 nghiệm cho 0,25 điểm ) 0,5
Trang 3Câu 3
(2,0 đ)
1) Cho x thỏa mãn:
2x + 3x + 4x = 2+ 3+ 6+ 8+ 16 Chứng tỏ rằng 2x − x là số tự nhiên
2x + 3x + 4x = 2+ 3+ 6+ 8+ 16
=( 2 1) + ( 2 1) −
= 1 ( là số tự nhiên ) 0,5
2) Với x 0≠ , tìm số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn:
(m 2016 x− ) 2 =2x 1+
Với x 0≠ ta có:(m 2016 x− ) 2 +x2 =x2 +2x 1+ 0,25
2
2
x 1
m 2015
x
x 1
x
+
+
0,25
Vì
2
x 1
2015 2015 x
+
Nên số nguyên m nhỏ nhất tìm được là m= 2015 0,25
Câu 4
(3,0 đ)
1.a) ΔABH vuông tại H, ta có:
1
BH = AB.sinA = 2a = a
2
( Nếu nói cạnh góc vuông đối diện góc 30 0
bằng nửa cạnh huyền vẫn cho điểm )
0,5
1.b) ΔABC cân tại A ta có :
BHC
∆ vuông tại H ta có:
BC = BH + HC = a + a (2 - 3) = 2a 2 - 3
0,25
Trang 42 3 sinC=
2 2a 2 - 3
BC
+
0 0
Vậy tan (α+1 ) > sinα0
0,25
0
sin α sin α 1 (vì 0 < sin < 1α )
Vậy cotα > cos(α+1 )0
0,5
Câu 5
(1,0 đ)
Gọi số cạnh của đa giác cần tìm là n (n∈ ¥ , n> 10)
Số đường chéo xuất phát từ một đỉnh của đa giác n cạnh là n− 3 0,25
Số đường chéo của đa giác n cạnh là ( 3)
2
0,25
Vì đa giác có ít hơn 60 đường chéo nên ta có :
60 2
Vì n> 10nên n− < 3 12 ⇔ <n 15
Suy ra n∈{11;12;13;14}
0,25
Thử lại ta thấy n∈{11;12} thỏa mãn 0,25
Ghi chú:
- Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.