Chương III- Vectơ ngau nhien

Chương III: VECTƠ NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU) III.1 Khái niệm Nếu biến ngẫu nhiên X1,X2,…, Xn xác định kết phép thử ta nói Z = (X1,X2,…, Xn ) vectơ ngẫu nhiên n chiều III.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc chiều (X,Y) III.2.1 Bảng phân phối XS đồng thời III.2.2 Phân phối XS theo BNN thành phần X, Y (PP lề) III.2.3 PP XS có điều kiện III.2.4 Điều kiện độc lập X Y III.2.5 Hàm phân phối XS (X,Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục chiều (X,Y) III.3.1 Hàm mật độ đồng thời III.3.2 Hàm mật độ BNN thành phần X, Y (Hàm mật độ lề) III.3.3 Điều kiện độc lập X Y III.3.4 Hàm phân phối XS (X,Y) III.3.5 Hàm mật độ có điều kiện III.4 * * * Một số tham số đặc trưng vectơ ngẫu nhiên Kz vọng toán * Kz vọng hàm (X,Y) Kz vọng có điều kiện * Covarian ( Hiệp phương sai) Ma trận tương quan * Hệ số tương quan & { nghĩa * Sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tham số đặc trưng III.5 Hàm vectơ ngẫu nhiên (X,Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VTNN RỜI RẠC CHIỀU III.2.1 Bảng phaân phối XS đồng thời: Cho X = {x1, x2, , xm}; Y = {y1, y2, , yn} Đặt pij = P(X = xi, Y= yj); i  1, m, j  1, n, Dưới bảng phân phối xác suất đồng thời (X, Y): Y y1 y2 Yn x1 p11 p12 p1n x2 P21 P22 P2n xm pm1 pm2 pmn X Khi  pij  vaø  p ij i j  Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.2.2 Phân phối XS theo BNN thành phần X, Y (PP lề) n Đặt: pi =  pij = P(X = x i ),i = 1, m j=1 Ta bảng phân phối xác suất X: X x1 x2 xm PX p1 p2 pm m Ñaët: q j =  pij = P(Y = y j ), j = 1, n i =1 Ta bảng phân phối xác suất Y: X y1 y2 yn PY q1 q2 qn Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.2.3 Phân phối xác suất có điều kiện: Bảng PPXS X với điều kieän Y  y j ( j  1, n) laø: X P X / yj x1 x2 p1j p 2j qj qj xm pmj qj pij tức P(X=x i |Y=y j ) = q j Baûng PPXS Y điều kiện X  xi (i  1, m) laø: Y P Y / xi y1 pi1 pi y2 pi pi Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều yn pin pi III.2.4 Điều kiện độc lập X Y X Y độc lập  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j hay pij = piqj i, j  F(x,y) = FX(x).FY(y); ( FX , FY hàm PPXS X,Y , hay gọi la hàm phân phối lề ) III.2.5 Hàm phân phối đồng thời (X,Y) RR F(x,y) = P(X < x, Y < y) Lưu ý:  xi  x p yj y ij • F(x,y) xác suất để điểm ngẫu nhiên M(X,Y) rơi vào hình chữ nhật vơ hạn có đỉnh phía trên, bên phải (x,y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VTNN LIÊN TỤC (X,Y) III.3.1 Hàm mật độ XS đồng thời: VTNN (X,Y) hàm xác định toàn mặt phẳng, thỏa:  f ( x, y )  0; ( x, y )    2 f ( x, y)dxdy    P  ( X , Y )  D    f ( x, y )dxdy • Tính chất: III.3.2 Hàm mật độ lề: f X (x) =  + f Y (y) =  + - - D f(x,y)dy, x  hàm mật độ theo X; f(x,y)dx, y  hàm mật độ theo Y III.3.3 Điều kiện độc lập X, Y: X Y độc lập  F  x, y   FX  x  FY  y   f(x,y) = f X (x).f Y (y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.3.4 Hàm phân phối XS (X,Y): x F ( x, y )  P ( X  x, Y  y )  • Từ suy ra:  du    f  x,y  y f (u , v)dv   F ( x, y )  xy • Trong trường hợp riêng, miền D hình chữ nhật: P(a X< b; c X< d] = F(b, d) – F(a, d) – F(b, c) + F(a, c) III.3.5 Hàm mật độ có điều kiện VTNN liên tục (X,Y) f  x,y  Hàm mật độ X với điều kiện Y = y là: f X y = f Y (y) Hàm mật độ Y với điều kiện X = x là: f (y) = f(x,y) Y x f X (x) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều III.4 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG BNN hai chiều: * Kz vọng toán: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) * Hiệp phương sai (Covarian, mômen tương quan): cov(X,Y)= E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X).E(Y) * Ma trận tương quan ( ma trận hiệp phương sai) (X,Y): cov(X,Y)  cov(X,X) cov(X,Y)   D(X) D(X,Y)=  =   cov(Y,X) cov(Y,Y) cov(Y,X) D(Y)     * Hệ số tương quan X Y: RXY cov(X,Y) E(XY)-E(X).E(Y)  = D(X) D(Y) D(X) D(Y) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều Hệ số tương quan covarian dùng để đặc trưng cho mức độ chặt chẽ mối liên hệ phụ thuộc BNN X Y Nếu RXY = ta nói X, Y khơng tương quan, ngược lại RXY  ta nói X, Y có tương quan Nếu X, Y độc lập cov(X,Y)= RXY = Điều ngược lại khơng đúng, tức cov(X,Y)= X, Y độc lập, X, Y phụ thuộc dạng thức Khi (X,Y) có phân phối chuẩn X,Y độc lập  RXY= Hệ số tương quan khơng có đơn vị đo |RXY| Nếu RXY = 1 X, Y có tương quan tuyến tính (thuận /nghịch) Khi RXY  1 X, Y có tương quan “gần” tuyến tính Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 10 Ví dụ trường hợp x=1 x = 3:   f X (1)    f (1, y )dy   f X (3)     dy      13 (1  y ) dy   dy  36  f (3, y )dy   dy   1/ Như : x/2   x ( x  12)     x  y dy x  (0;2)  f X ( x)   f ( x, y)dy     36  0 0 x  (0; 2)   Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều x  (0;2) x  (0;2) 24  fY ( y )    2 2 x  y dx    f ( x, y )dx  2 y  0 ct1  d)  4 y3 y  (0;1)   y  (0;1)  3  y  (0;1) y  (0;1)  x ( x  12) 68 E ( X )   x f X ( x)dx   x dx  36 45  ct1   4 y3  E (Y )   y fY ( y )dy   y    dy   3  x/2 0 E ( XY )   xyf ( x, y )dxdy   dx  2 29 xy ( x  y )dy  45 COV ( X , Y )  E ( XY )  E ( X ).E (Y )  25 ct2 ct2 Công thức khác: E(X) =  x.f(x,y)dxdy; E(Y) =  y.f(x,y)dxdy; R2 Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều R2 25 ... g) Tìm hàm mật độ có điều kiện X,Y Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 21 Hình vẽ cho câu a,b) Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 22 a) f(x,y) hàm mật độ XS vectơ ngẫu nhiên  f ( x, y )  0,... x & y j < y i,j Chương III: Véc tơ ngẫu nhiên chiều 18 Ví dụ: + F(x,y) = P( X