Toán rời rạc đỗ như an

Lời nói đầu Cùng với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, Toán rời rạc Discrete Mathematics đã trở thành lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại và không thể thiếu được

Lời nói đầu

Cùng với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, Toán rời rạc (Discrete Mathematics) đã trở thành lĩnh vực quan trọng của toán học hiện đại và không thể thiếu được một khi người ta cần phải giải quyết các bài toán quan hệ của các đối tượng rời rạc trong lý thuyết và thực tế trên máy tính Hiện nay Toán rời rạc ngày càng được quan tâm và trở thành kiến thức cơ bản cho sinh viên ngành Toán – Tin, Công nghệ thông tin và các ngành khoa học kỹ thuật khác

[5] Đỗ Đức Giáo, Cơ sở toán trong lập trình, Nhà xuất bản KH&KT, Hà Nội 1998

[6] Nguyễn Thanh Sơn, Lý thuyết đồ thị, Đại học Bách Khoa TP HCM.1993

[7] Seymour Lipschutz - Mare Lars Lipson, Tuyển chọn 1800 bài tập rời rạc, NXB

Thống kê, Hà Nội 2002

[8] Diestel R., Graph theory, Second Edition Springer-Verlag New York, 2000

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TỔ HỢP

Lý thuyết tổ hợp như là một lĩnh vực của toán học rời rạc Xuất hiện vào đầu thế kỷ 17 bởi nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler, … nhưng lý thuyết tổ hợp thực sự phát triển vào những năm 50 của thế kỷ trước khi

mà máy tính điện tử ra đời

Nội dung chính của lý thuyết tổ hợp là giải quyết bốn bài toán lớn: Bài toán đếm, bài toán tồn tại, bài toán liệt kê, bài toán tối ưu tổ hợp

Hiện nay lý thuyết tổ hợp là công cụ toán học hữu hiệu được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Hình học hữu hạn, Đại số giao hoán, Thống kê, Quy hoạch thực nghiệm, … đặc biệt là trong ngành khoa học máy tính của Công nghệ thông tin

Bài toán đếm là bài toán nhằm trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu …?” Một số bài toán

đếm thường gặp như đếm số phần tử của một tập hợp thỏa mãn tính chất nào đó; đếm số nghiệm của một phương trình, đếm số phép toán cơ bản của một thuật toán; đếm số tổ hợp,

… Với mỗi bài toán đếm, đối tượng cần đếm thường được gọi là một cấu hình tổ hợp

Ví dụ 1.1

a) Có bao nhiêu cách xếp 5 người đứng thành hàng ngang để chụp ảnh?

b) Có bao nhiêu cách xếp 5 người đứng thành hàng ngang để chụp ảnh sao cho bạn

Ví dụ 1.2 Thuật toán “sắp xếp nỗi bọt” (bubble sort) dùng để sắp xếp theo thứ tự không

giảm dãy phần tử a1,a2,K,a n cho trước được mô tả bởi đoạn chương trình sau:

For i :=1 to n −1 do For j :=1 to n−i do

If a[ j +1] < a[ j] then hoandoi (a[ j +1], a[ j]) ;

Hỏi thuật toán trên có bao nhiêu phép toán so sánh?

Giải Cách 1:Với mỗi i (i =1,n−1) phải thực hiện n−i phép so sánh Vậy số phép so

sánh là

2

)1(1)

2()1

2(2

Ký hiệu A là số phần tử của tập hợp A Nếu A ⊂ X , A:= X \ A là tập hợp bù của

A

U

1.1 Nguyên lý cộng

Ví dụ 1.3 Cần chọn một sinh viên năm thứ ba hay năm thứ tư đi dự hội nghị Hỏi có bao

nhiêu cách chọn lựa một sinh viên như thế biết rằng có 100 sinh viên năm thứ ba và 50 sinh viên năm thứ tư?

Giải: A := {sinh viên năm ba}, B := {sinh viên năm tư} Ta có A ∩ B = ∅ ,

50

|

|,1000

|

| A = B = Theo nguyên lý cộng, | A∪ B |=| A |+ | B |=100 + 50 =150

I BÀI TOÁN ĐẾM 1 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐẾM

Ví dụ 1.4 Xác định giá trị của S sau khi thực hiện xong đoạn chương trình sau:

; 0 :=

S For i := 1 to 10 do S : = S + 1 ; For j := 1 to 20 do S : = S + 1 ; For l := 1 to 30 do S : = S + 1 ;

Giải Rõ ràng, trong đoạn chương trình trên các câu lệnh For là độc lập nhau, theo nguyên

lý cộng, S =10+20 +30 = 60

I BÀI TOÁN ĐẾM 1 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐẾM

Ÿ Trường hợp với 3 tập hợp: Giả sử A, B, C là ba tập hợp bất kỳ, khi đó

Tổng quát: Giả sử A1,A2,K, A n là n tập hợp bất kỳ Khi đó

n n

1 3

1 2

1 2

1 1

n m

n n

n n

A A

A N

A A

A A

A A

N

A A

A N

+

∩+

∩

=

+++

=

−

KM

L

Ví dụ 1.7 Có bao nhiêu chuỗi nhị phân 8 bit hoặc bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 ?

Giải Đặt A ={00XXXXXX },B ={ XXXXXX 11} Khi đó, A ∩ B = {00XXXX 11} là tập chứa các chuỗi 8 bit bắt đầu bởi 00 và kết thúc bởi 11 Ta cần xác định | A U B | là số chuỗi nhị phân 8 bit bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 Ta có | A |=| B |= 26, |A∩B| = 24 Vậy

I BÀI TOÁN ĐẾM 1 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐẾM

Giải Gọi A3={x∈ X, xM3}, A4={x∈ X, xM4}, A7={x ∈ X, xM7} Khi đó A3∪A4 ∪A7

là tập các số chia hết cho ít nhất một trong ba số 3, 4, 7 Ta cần tính

1003

∩+

∩

=

74

1007

3

1004

1.3 Nguyên lý nhân

Định nghĩa 1.1 Tích Descartes của n tập hợp A1, A2, L , A n khác rỗng, ký hiệu

n

A A

A1 × 2 × L × , là một tập hợp gồm các phần tử là một bộ có thứ tự gồm n thành phần, trong đó thành phần thứ i thuộc tập A ( i i = 1 ,n ) tương ứng

A

1 2

A A A

A | | |

| × × × = (n lần)

I BÀI TOÁN ĐẾM 1 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐẾM

Ÿ Ví dụ 1.9: Giả sử A = {1, 2}, B = {a, b, c} Khi đó

A x B = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2,c) }, và |A x B| = 2 x 3 =6

1«

« b2«

H4

Ÿ §Þnh lý: |A x B| = |A| x |B|

Ví dụ 1.10 Một dịch vụ trên Internet quy định password như sau: dài 6 ký tự, trong đó 3 ký

tự đầu tiên là các mẫu tự alphabet và 3 ký tự sau là các ký số thập phân Hỏi có bao nhiêu password khác nhau có thể được thành lập?

Giải Mỗi password theo quy định có dạng AAA999, trong đó ký tự A đại diện cho một

trong các ký tự alphabet a, b, …, z và số 9 đại diện cho một trong các ký tự số thập phân 0,

1, …, 9 Với mỗi password, có 26 cách chọn mỗi ký tự alphabet và có 10 cách chọn cho mỗi ký tự số thập phân Theo nguyên lý nhân, có tất cả

3 3

1026

10101026

26

password khác nhau

I BÀI TOÁN ĐẾM 1 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐẾM

Ví dụ 1.11 Từ Hà nội đến Huế có 3 cách đi: Máy bay, tàu hỏa, ôtô Từ Huế đi Sài gòn có 4

cách đi: Máy bay, tàu hỏa, ôtô, tàu thủy Hỏi từ Hà nội đi Sài gòn qua Huế có bao nhiêu cách đi khác nhau?

Giải Mỗi cách đi từ Hà nội đi Sài gòn qua Huế có dạng ( b a , ) , trong đó a có 3 cách lựa chọn, b có 4 cách lựa chọn Theo nguyên lý nhân, số cách đi khác nhau từ Hà Nội đi Sài

Ví dụ 1.13 Đoạn chương trình sau đây thực hiện xong thì S bằng bao nhiêu?

;0:=

Giải Bài toán tương đương với việc đếm số cấu hình (i, j, k), trong đó i có 10 lựa chọn,

j có 20 lựa chọn, k có 30 lựa chọn Theo nguyên lý nhân, S =10×20×30 = 6000

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

2.1 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự (hay vectơ)

gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho, các thành phần có thể được lặp lại

Định lý 1.4 Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là k

n

Ví dụ 1.14 Xét tập hợp A ={a,b,c}. Mỗi chỉnh hợp lặp chập 2 của 3 phần tử của A là một

phần tử của tập tích Descartes A× A Số chỉnh hợp này gồm 32 = 9 bộ (a,a),(a,b), (a,c),

),(),,

(

),

,

(b a b b b c , (c,a), (c,b), (c,c)

Ví dụ 1.15 Xét tập hợp E = 1, 2, 3, 4, 5, 6} Với các chữ số của E, có thể lập bao nhiêu số

có 4 chữ số?

Giải Cách 1: Dễ thấy, mỗi số gồm 4 chữ số của E là một chỉnh hợp lặp chập 4 của 6 phần

tử trong E Do đó có tất cả 64 số khác nhau gồm 4 chữ số

Cách 2: Có thể giải thích theo nguyên lý nhân như sau: Một số có 4 chữ số từ E có dạng

9999, trong đó mỗi vị trí có 6 khả năng chọn, nên số cách chọn một số có 4 chữ số là

4

666

6

6× × × =

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

2.2 Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa 1.3 Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm

k thành phần lấy từ n phần tử đã cho, các thành phần này không được lặp lại

n

A n k

−

Ví dụ 1.16 Xét tâp hợp E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Với mỗi số gồm của Hỏi có bao nhiêu số có

4 chữ số phân biệt được lập từ E ?

Giải Cách 1: Mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt của tập E tương ứng với một chỉnh hợp không

lặp chập 4 của 6 phần tử trong E Do đó, có

)!

46(

!64

2.3 Hoán vị

Định nghĩa 1.4 Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp thứ tự các phần tử đó Định lý 1.6 Số hoán vị của n phần tử cho trước là ! n

Ví dụ 1.17 Có bao nhiêu cách xếp 5 người

a) ngồi trên một bàn dài gồm 5 ghế?

b) ngồi trên một bàn tròn gồm 5 ghế? (ta lưu ý hai cách xếp được xem là giống nhau nếu chúng chỉ khác nhau bởi một phép quay)

Giải a) 5!=120

b) Cố định một người nào đó ngồi trên một ghế, sau đó xếp chỗ cho 4 người còn lại Như vậy, số cách xếp 5 người ngồi trên một bàn tròn 5 ghế là 4!

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GiẢI TÍCH TỔ HỢP

Ví dụ 1.19 Trong mặt phẳng 0xy, một robot di chuyển bằng cách nhãy từng bước dài một

đơn vị theo hướng dương của trục x hoặc trục y Tính số cách để robot có thể di chuyển từ gốc toạ độ (0,0) đến điểm (4,3)

Giải Mỗi đường đi của robot gồm 4 lần dịch chuyển sang phải (X) và 3 lần dịch chuyển lên

trên (Y) Do vậy, mỗi đường đi của robot có thể biểu diễn bằng một chuỗi 7 ký tự trong đó

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GiẢI TÍCH TỔ HỢP

Ví dụ 1.20 Có bao nhiêu tập hợp con của tập E = 1, 2, 3, 4}?

Giải Ta lần lượt đếm số tập con của E gồm 0, 1, 2, 3, 4 phần tử Theo nguyên lý cộng, số

tập con của E là C40 +C41 +C42 +C43 +C44 = 24

2.5 Tổ hợp lặp

Ta xét một số ví dụ sau đây

Ví dụ 1.21 Một sinh viên mua r = 4 cây bút chì chọn trong n =3 màu khác nhau là xanh,

đỏ và vàng Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua hàng khác nhau?

Như vậy, số cách chọn mua 4 bút chì tương ứng với số cách sắp xếp 4 dấu * và 2 dấu | vào

6 vị trí, hay gọn hơn là số cách chọn 4 bút chì chính là số cách đặt 4 dấu * (cũng như đặt 2 dấu |) trong số 6 vị trí có thể, số này là C64 = C44+3−1

Giải Giả sử các bút cùng màu được đặt trong 3 ngăn khác nhau như hình dưới đây, mỗi

ngăn chứa các bút cùng màu với số lượng không hạn chế

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GiẢI TÍCH TỔ HỢP

Ví dụ 1.22 Phương trình x1 + x2 + x3 =10 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

Giải Mỗi nghiệm của phương trình tương ứng với một cách chọn r = 10 phần tử từ một tập có n = 3 loại, sao cho có x phần tử loại 1, 1 x phần tử loại 2 và 2 x phần tử loại 3 được 3

chọn Hình 1.2 minh hoạ cách biểu diễn một số nghiệm của phương trình đã cho Dễ nhận thấy, số nghiệm của phương trình bằng số tổ hợp chập 10 của 12 phần tử là C1210 = C1010+3−1

Bằng cách lý luận như ở các ví dụ trên ta có kết quả sau

Định nghĩa 1.6 Một tổ hợp lặp chập r của n phần tử cho trước là việc chọn r phần tử trong n phần tử, trong đó mỗi phần tử có thể được chọn lại nhiều lần

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GiẢI TÍCH TỔ HỢP

Ví dụ 1.23 Có thể nhận được bao nhiêu từ khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của

từ SUCCESS?

Giải Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là giống nhau Có 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ E và 1

chữ U, nên bài toán đã cho là hoán vị của tập có các phần tử giống nhau

Để xác định số các từ khác nhau có thể tạo ra, ta nhận thấy có 3

7

C cách chọn 3 vị trí

cho chữ S, còn lại 4 vị trí trống Có C cách chọn 2 vị trí cho hai chữ C, còn lại hai vị trí42

trống Có thể đặt chữ U bằng C cách và 21 C cách đặt chữ E Theo nguyên lý nhân, số các từ11

khác nhau có thể được tạo là

! 1

! 1

! 2

! 3

! 7

1 1

1 2

2 4

3

Ví dụ 1.22 Trong không gian 0xyz, một robot di chuyển bằng cách nhãy từng bước dài một

đơn vị theo hướng dương của trục x hoặc trục y hoặc trục z Tính số cách khác nhau mà robot

có thể di chuyển từ gốc toạ độ (0, 0, 0) đến điểm (4, 3, 5)

Giải Ta xem mỗi đường đi của robot từ gốc tọa độ đến điểm (4, 3, 5) là một chuỗi gồm 4 + 3

+ 5 = 12 bước xxyyyxzxzz zz ký tự x, y,z biểu diễn cách bước một đơn vị của con bọ theo các

trục Ox, Oy, Oz tương ứng Mỗi đường đi khác nhau của con bọ là một hoán vị các ký tự của chuỗi trên, đây chính là hoán vị lặp có các phần tử giống nhau Ta có số cách đặt 4 chữ x vào

12 vị trí là C , số cách đặt 3 chữ y vào 8 vị trí còn lại là 124 C và số cách đặt 5 chữ z vào 5 83

vị trí còn lại là C Theo nguyên lý nhân, số đường đi khác nhau của con bọ là 55

4 12

!5

=

I BÀI TOÁN ĐẾM 2 GiẢI TÍCH TỔ HỢP

Từ các ví dụ trên ta có kết luận:

Định nghĩa 1.7 Một hoán vị của n phần tử trong đó có n 1 phần tử giống nhau thuộc loại

1, n 2 phần tử giống nhau thuộc loại 2, … và n k phần tử giống nhau thuộc loại k ( n1 +n2 + + n k = n ) được gọi là hoán vị lặp chập k của n phần tử

Định lý 1.9 Số hoán vị lặp chập k của n phần tử trong đó có n 1 phần tử giống nhau thuộc loại 1, n 2 phần tử giống nhau thuộc loại 2, … và n k phần tử giống nhau thuộc loại k là

!

!

!

!2

1 n n k

n n

L

1

n a

a

a

n n

(2) a n = 2n −1, n =1, 2, 3, Công thức tường minh hay nghiệm của (1)

Trong hệ thức truy hồi, a1 =1 được gọi là điều kiện đầu, a n = a n−1 +1, n = 2, 3, 4,

được gọi là thành phần truy hồi hay đệ quy

I BÀI TOÁN ĐẾM 3 HỆ THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 1.24 Lập hệ thức truy hồi cho bài toán sau: Trong một quần thể vi trùng số lượng các

cá thể tăng gấp đôi sau mỗi giờ Nếu thoạt đầu có 5 cá thể hỏi sau 4 giờ số lượng chúng là bao nhiêu?

Giải Gọi a là số vi trùng sau n giờ Vì số vi trùng sẽ tăng gấp đôi sau mỗi giờ nên ta có hệ n

thức truy hồi xác định số vi trùng sau n giờ:

a

n n

Ví dụ 1.25 Họ nhà thỏ và dãy số Fibonacci (TK XIII) Một cặp thỏ mới sinh (một đực một

cái) được thả trên một hòn đảo Giả sử rằng một cặp thỏ sinh sản được khi đầy 2 tháng tuổi

và mỗi tháng chúng đẻ được một cặp thỏ con Tính số cặp thỏ trên đảo sau n tháng với giả

sử các con thỏ là trường thọ

Giải Gọi a là số cặp thỏ trên đảo sau n n tháng Để tìm số cặp thỏ sau n tháng, ta cộng số

cặp thỏ ở trên đảo tháng thứ n −1 là a n−1 và số cặp thỏ mới đẻ là a n−2 (vì mỗi cặp thỏ con được sinh ra từ cặp thỏ có ít nhất hai tháng tuổi) Do vậy dãy {a n} xác định số cặp thỏ trên đảo được biểu diễn bởi hệ thức truy hồi:







≥+

2 1

n a

a a

a a

n n

I BÀI TOÁN ĐẾM 3 HỆ THỨC TRUY HỒI

3.2 Giải hệ thức truy hồi

Ví dụ 1.26 Dễ dàng kiểm tra các khẳng định sau đây:

(a) hệ thức truy hồi a n = 2a n−1 −a n−2 có các nghiệm:

n a

a n =5, n = 3 (b) hệ thức truy hồi a n = 8a n−1 −16a n−2 có các nghiệm:

n n

n

n n

a = 0, = 4 , = 2.4 +3 4 Việc xác định nghiệm của một hệ thức truy hồi là vấn đề khó Trong một số trường

hợp người ta thường dùng phương pháp lặp và phương pháp tổng quát được trình bày sau

đây để tìm nghiệm của một hệ thức truy hồi

3.2.1 Phương pháp lặp tìm nghiệm của hệ thức truy hồi

Ví dụ 1.27 Lãi kép Một người gửi 10 000 USD vào tài khoản của mình với lãi xuất 10%mỗi năm Hỏi sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?

Giải (1) Xác định hệ thức truy hồi:

Gọi a là số tiền có trong tài khoản sau n năm Số tiền này bằng số tiền có sau n n−1năm cộng với lãi xuất của năm thứ n , do đó dãy {a n} thỏa mãn hệ thức truy hồi:







=+

0

n a

a a

a

n n

10000

1

0

n a

a

a

n n

I BÀI TOÁN ĐẾM 3 HỆ THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 1.29 Tháp Hà Nội Trò chơi xếp hình rất phổ biến vào cuối thế kỷ 19 gọi là Tháp Hà

Nội Tương truyền rằng trong một ngôi đền cổ ở Hà Nội có một tấm đế bằng đồng trên đó có

ba cái cọc bằng kim cương Lúc khai thiên lập địa, trên một trong ba cái cọc thượng đế đã đặt

64 chiếc đĩa bằng vàng với đường kính giảm dần Ngày đêm các nhà sư dịch chuyển đĩa sang một chiếc cọc khác theo nguyên tắc: mỗi lần chỉ dịch chuyển một đĩa, một đĩa có thể dịch chuyển từ cọc này sang cọc bất kỳ, nhưng không được để một chiếc đĩa lên trên một chiếc đĩa

có đường kính bé hơn Ngày tận thế sẽ đến khi tất cả các đĩa được chuyển sang một chiếc cọc khác

Hình 1.3 Bài toán Tháp Hà Nội với n = 4 đĩa

Giải Xét bài toán với số đĩa n Gọi a là số lần phải n

chuyển n đĩa từ cọc A sang C mượn B làm trung

gian Với n = 1 , thì rõ ràng a1 = 1 (điều kiện đầu)

Với n > 1 , trước hết ta cần chuyển n− 1 đĩa (để lại

đĩa to nhất) ở A sang B mượn C làm trung gian, số

lần phải chuyển là a n−1 Sau đó chuyển đĩa to nhất

còn lại ở A sang C Cuối cùng, cần chuyển n− 1 đĩa

ở B sang C mượn A làm trung gian, số lần phải

chuyển là a n−1 Như vậy, số lần chuyển hết n đĩa từ

A sang C mượn B làm trung gian là a n = 2a n−1 + 1

Hệ thức truy hồi xác định số lần chuyển n đĩa từ A

I BÀI TOÁN ĐẾM 3 HỆ THỨC TRUY HỒI

Để xác định nghiệm a của hệ thức truy hồi trên ta dùng phương pháp lặp các số hạng n

của nó:

122

1)12

(21

22

12

3.2.2 Phương pháp tổng quát tìm nghiệm của hệ thức truy hồi

Hệ thức truy hồi dạng tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bậc k có dạng

a n = c1a n−1 + c2a n−2 + L + c k a n−k trong đó c1, c2,K, c k là các hằng số và c k ≠ 0

Ví dụ 1.30

(1) a n =a n−1 +a n−2 Hệ thức truy hồi tuyến tính, thuần nhất, hệ số hằng bậc 2 (2) a n = a n−1 + a n−4 Hệ thức truy hồi tuyến tính, thuần nhất hệ số hằng bậc 4 (3) a n = 2a n−1 +1 Không thuần nhất

(4) a n = a n−1 + a2n− 4 Không tuyến tính

(5) a n = na n−1 + a n−2 Hệ số không là hằng

I BÀI TOÁN ĐẾM 3 HỆ THỨC TRUY HỒI

Trường hợp với k = 2: a n = c1a n−1 +c2a n−2

Định lý 1.10 Cho c1,c2 là các hằng số thực, giả sử phương trình đặc trưng r2 −c1r −c2 = 0

có hai nghiệm phân biệt r1, r2 Khi đó dãy số {a n} là nghiệm của hệ thức truy hồi

2 2 1

1 1 0 2 2

1

2 0 1

r r

c r c r

r

r c c