Tổng hợp một số phương pháp giải hệ phương trình điển hình

Phương pháp hàm số Phương pháp đánh giá HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp hệ số bất định TUY HÒA, NGÀY 20, THÁNG 7, NĂM 2016 Kỹ thuật dùng tổnghiệu C huyên đề kết thu qua thời gian học tập nghiên cứu thân hệ phương trình Tuy nhiên nói rằng, kết tinh qua nhiều hệ, giúp đỡ, học hỏi từ người bạn nhiều yếu tố khác Để đạt hiệu cao tham khảo chuyên đề này, xin trích dẫn lời nhà giáo G.Polya: " [ ] Một số toán có nêu lời giải đầy đủ (tuy vắn tắt), số khác, vạch bước giải đầu tiên, đưa kết cuối Một số toán có kèm thêm dẫn để giúp người đọc giải dễ dàng Chỉ dẫn nằm toán khác gần toán xét Nên đặc biệt lưu ý đến nhận xét mở đầu trước tập hay nhóm tập gặp thấy chương Nếu chịu khó, gắng sức giải toán dù không giải nữa, bạn đọc thu hoạch nhiều điều bổ ích Chẳng hạn, bạn đọc giở xem (ở sách) phần đầu lời giải, đem đối chiếu với suy nghĩ thân mình, gấp sách lại thử gắng tự lực tìm phần lại lời giải Có lẽ thời gian tốt để suy nghĩ, nghiền ngẫm phương pháp giải toán lúc bạn vừa tự lực giải xong toán hay vừa đọc xong lời giải toán sách, hay đọc xong phần trình bày phương pháp giải sách Khi vừa hoàn thành xong nhiệm vụ, ấn tượng "nóng hổi", nhìn lại nổ lực vừa qua mình, bạn đọc phân tích sâu sắc tính chất khó khăn vượt qua Bạn đọc tự đặt cho nhiều câu hỏi bổ ích: "Khâu trình giải quan trọng nhất? Khó khăn chủ yếu chỗ nào? Ta làm cho tốt hơn? Chi tiết liếc qua mà không ý đến - muốn "nhìn thấy" chi tiết đầu óc phải có tư chất sao? Liệu có cách đáng lưu ý để sau gặp tình tương tự, ta áp dụng không?" Tất câu hỏi hay cả, nhiều câu hỏi bổ ích khác nữa, câu hỏi hay câu hỏi tự nhiên nảy óc, không cần gợi ý cả!" (trích "Mấy lời khuyên dẫn" -G.Polya "Sáng tạo toán học") Đây tài liệu bạn đồng nghiệp biên soạn, lần nên không tránh khỏi thiếu sót trình bày kiến thức, mong bạn đọc chia sẻ góp ý để tài liệu hoàn thành tốt Mọi ý kiến bạn đọc gửi địa gmail:tinhmadrid@gmail.com NguyenDung98smile@gmail.com Xin cảm ơn! Tác giả Kỹ thuật 1: Phương pháp hệ số bất định  Lý thuyết  Bài tập áp dụng Kỹ thuật 2: Phương pháp tổng-hiệu  Lý thuyết  Bài tập áp dụng Kỹ thuật 3: Phương pháp đặt ẩn phụ  Lý thuyết  Bài tập áp dụng Kỹ thuật 5: Phương pháp đánh giá  Lý thuyết  Bài tập áp dụng Kỹ thuật 6: Phương pháp hàm số  Lý thuyết  Bài tập áp dụng KỸ THUẬT 1: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH 1)  Lý thuyết: Hệ số bất định phương pháp tối ưu cho nhiều toán khó đẹp Tài liệu đề cập đến biến đổ phương trình hữu tỉ dựa vào hệ số bất định Mục đích cuối phương pháp sau biến đổi hệ số bất định ta thu phương trình phân tích nhân tử denta có dạng phương (nếu bậc 2) Để hiểu rõ sâu vào phương pháp ta thực hành số ví dụ sau -  Bài tập áp dụng:  x3  y  35(1) Bài 1: Giải hệ phương trình sau  2 2 x  y  x  y (2)  Giải Đánh giá: Ta dùng phép để giải hệ Vì ta hy vọng từ hai phương trình hệ ta đưa dạng  x  a   ( y  b)3 (ta thấy x, y độc lập với nhau) Muốn ta nhân cho (2) số  công việc ta tìm a, b,  (lưu ý phương trình (1) có hệ số mũ bậc cao nên ta mặc định hệ số cũ, số a, b,  chọn phù hợp) Lấy (1)+  (2) ta được: x3  y  35   (2 x  y  x  y)   x3  2 x3  4 x  y  3 y  9 y  35  0(*) Ta cần tìm a, b,  thõa: a  b3  35   3   3  a  2 VT(*)= ( x  a )  ( y  b)  3a  2 3a  4  b   Do (*) trở thành:  x     y  b    Chi tiết: Ta có hệ phương trình:  x3  y  35 x  y   x  2; y  3     x  3; y  2 3   x   y  ( y  5)  y  35 Vậy nghiệm phương trình  x; y   (2; 3);(3; 2)  Nhận xét: Bài toán cho ta nhìn tổng quát phương pháp hệ số bất định, nhiên toán trường hợp x, y độc lập Chúng ta tiếp tục theo dõi ví dụ để hiểu rõ  x  y  240(1) Bài 2: (VMO 2010) Giải hệ phương trình sau  3 2  x  y  3( x  y )  4( x  y )(2) Giải  Đánh giá: Ta thấy ví dụ trên, biến x, y độc lập với nên ta hi vọng từ phương trình ta đưa dạng  x      y    Công việc ta nhân số k cho phương trình (2) tìm  ,  , k ví dụ Hệ phương trình cho tương đương: 4   x  a  y  a  240  3   x  3x  x  y  12 y  32 y Suy ra: x  a  k ( x3  3x  x)  y  a  240  k (2 y3  12 y  32)(*) Cần chọn k cho: x     y     x  4 x  6 x  4 x    y  4 y  6 y  4 y   (**) Từ (*) (**) ta hệ: a    k  4 3k  6 k  8   4k  4    2    a  240      16  2k      4  12k  6  32k  4  Chi tiết: Hệ cho tương đương:  x  16  y  256  3  x  3x  x  y  12 y  32 y Lấy 1   2 ta được: x  16  8( x3  3x  x)  y  256  8(2 y  12 y  32 y ) x   y  x  y   ( x  2)4   y      x    y x   y TH1: Nếu x  y  thay vào (1) ta được:  y  2 y  24 y  32 y  224    y   8 y  40 y  112      x  4 TH2: Nếu x   y thay vào (1) ta được: y  y  y  36 y  44    y    y  y  22     x  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    4; 2 ,  4;2  Nhận xét: Ở hay tương tự khác với số mũ lớn hay nhỏ không chứa hạng tử x m y n ta sử dụng phương pháp Tuy nhiên qua phép biến đổi hệ không đẹp Ta xét toán sau  2  x  y  (1) Bài 3: Giải hệ phương trình sau  4 x  x  57   y (3x  1)(2)  25  Giải Đánh giá: Để ý thấy phương trình có hệ số mũ bậc va có xuất nhân tử xy nên việc dùng HSBĐ gặp nhiều khó khăn Một hướng cho ta dạng đưa phương trình bậc hai theo  ax  by  Để làm ta nhân (1) cho  cộng (2) nhân cho  1         x  y   1 57       x  xy  x  y    5 25    4  3   57      xy  y    (3x  y )   0 x     25   Đã xuất hạng tử  ax  by    3x  y  Ta mong đợi có dạng:    3 xy  y  k (3 x  y ) 1  x      Để ý hệ số y2 nên k=1 Khai triển đồng hệ số ta được:  3    6     1  4       Vậy ta tìm  ,   Chi tiết: Lấy (1)+2.(2) ta được:  3x  y   119  17      3x  y    3x  y       3x  y    3x  y   25    3 x  y  17  TH1: Nếu x  y  thì:    x  y  x  ; y   Ta có hệ sau   x  11 ; y   y  3x   25 25  17 TH2: Nếu x  y  thì: 17    x  y   y  3x   (VN ) Ta có hệ sau  10 x  102 x  284   y  3x  17  5 25     11  Vậy hệ có nghiệm  x; y    ;  ;  ;   5   25 25   Nhận xét: Những hệ có chứa hạng tử x , y , xy phần lớn đưa phương trình bậc hai dạng ax  by Bài giải theo phép đặt ẩn phụ tổng-hiệu Ta theo dõi ví dụ sau  x  xy  y  x  0(1)  Bài 4: Giải hệ phương trình sau    xy  y  y   0(2) Giải  Đánh giá: Như ta đưa phương trình bậc hai theo mx  ny Tương tự ta nhân  cho (1) cộng  nhân cho (2), ta được: 1        x  xy  y  3x     xy  y  y  1             x     xy     y   3  x          Ta cần chọn  ,  cho:        x     xy     y   x  y          y           x     xy     y  x  xy  y       Đồng hệ số ta có: 2             2          Để cho đơn giản ta chọn       Chi tiết: Lấy phương trình thứ cộng với phương trình thứ (2).2 ta được: x  xy  y  3x  y    ( x  y)2   x  y      x  y  1 x  y    x  y 1   x  2y   TH1: Nếu x  y   ta có x  2 y  thay vào phương trình thứ (2) ta được:  y    x  3  2  y2  y 1     y    x  3  2 TH2: Nếu x  y   ta có x  2 y  thay vào phương trình thứ (2) ta được:  1  x  3  y   y2  y 1     1  x  3  y   Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    3   1   1  2;1  ; 3  2;1  ;  3  5;  ;  3  5;        2   x  x  y  y   0(1) Bài 5: Giải hệ phương trình sau  2   x y  x  y  22  0(2) Giải  Đánh giá: Ở hệ có bậc cao giảm cách đặt t=x2 Để ý ta thấy từ hai phương trình ta đặt nhân tử chung x2 giải denta cho phương trình bậc ẩn x Để đảm bảo denta phương ta dùng hệ số bất định sau: 1   2 a  x4  x2 (4  ay  a)  y  y   22ay  22a  Coi phương trình bậc hai theo x2 ta được:   y  a    y  16a  2a  24   a  80a  20 Để denta số có dạng bình phương y2 phải số phương, ta phải giải phương trình nghiệm nguyên a2 - 4=k2 a    Tìm nghiệm PT này, thử lại Dễ thấy a=2 16a  2a  24  a  80a  20  144  Ta chọn a=2  Chi tiết: Xét (1) + (2).2 ta có: 1     x  x  y  y   2( x y  x  y  22)    x  y   x  y    TH1: Nếu y   x  , thay vào (1) ta được: x  x   x  5   x  5    x  x  32(VN ) TH2: Nếu y   x  , thay vào (1) ta được:  Vậy ta có nghiệm hệ  x; y    2;3 ;  2;3 ;   2;5 ;  2;5 x  x   x     x      x  x    x  2;     x  xy  49(1)  Bài 6: Giải hệ phương trình sau  x  xy  y  y  17 x(2) Giải  Ý tưởng: Vẫn theo suy nghĩ trên, phương trình thứ có mũ lớn nên ta giữ nguyên phương trình (1) cộng cho phương trình (2) nhân số , ta được: x3  3xy  49    x  xy  y  17 x  y   0(1) Mặt khác ta nhẩm nghiệm phương trình (1)  x; y    1;4 Do ta mong muốn (1) trở thành:  x  1  ax  bx  cy  dy  49    ax3  bx  cxy  dxy  49 x  ax  bx  cy  dy  49   ax3   a  b  x2  cxy  dxy  cy  b  49 x  dy  49  Từ (1) (2) ta đồng hệ số sau: a  a  b    a  c  c      d       c   b   d  24 b  49  17 d  8   Chi tiết: Nhân phương trình (2) cho cộng với phương trình (1) ta được: x3  3xy  49  3x  24 xy  y  24 y  51x    x  1 ( x  x  y  24 y  49)     x  1  x  1   y   2 0 x 1   x  1    x   0, y    x  1, y  Nếu x= -1 thay vào phương trình (1) ta được: y  16  y  4 Nếu x= -1, y=4 thay vào hệ thấy thõa (Qua cách từ nhận xét thân tôi, người viết tài liệu cảm thấy phần đặt có phần khó hiểu Do khó hiểu cho bạn đọc, bạn đọc lạ lẫm phương pháp này, xin trình bày lại phương pháp hệ số bất định khác lại dễ nhìn cho bạn)  Ý tưởng: Để ý hệ có bậc theo x bậc theo y, nên ta lấy (1) + (2).a để đưa bậc theo y; y  3x  a   y  8ax  8a   x3  ax2  17ax  49  Ta cần chọn a để denta y bình phương theo biểu thức x Ta có:   3x  x3  4a   x 15a  147a   16a  49a Nếu  bình phương phải có dạng 3  f  x   , muốn 16a  49a phải -3 lần số phương Để đơn giản ta chọn a  trước Ta phải giải phương trình nghiệm nguyên: 16a  49a  3b 2 Dễ thấy 16a2  49a   a 0;1;2;3 Ta thấy a  thõa nên   3  x  1 mà    x  1  Chi tiết: Lấy (1) + (2).3 ta được: y  3x  3  24  x  1  x3  3x2  51x  49  0(*) (*) có   3x  12 x3  18 x  12 x3   3  x  1   x  1  x  1  x  1  x  1   Vậy ta có hệ phương trình    2  x  3xy  49  y  16  y  4 Do hệ có nghiệm  x; y   1;4 ;  1; 4   Nhận xét: Ta thấy hai phương pháp lấy (1) + (2).a a=3, hai cách ý tưởng khác Cách hiệu cho phương trình có nghiệm, cách mang this tổng quát ta thấy cách làm ta có cảm giác dễ chịu  Kết luận phương pháp: Nhìn chung phương pháp hay để giải hệ phương trình hệ giải phương pháp hẹ số bất định, nhiên khó khăn cho bạn có kiến thức chưa vững Chỉ ví dụ điển hình cho phương pháp, tập khác rơi vào dạng bạn giải tương tự 2   x  2(3 y  1) x  (5 y  y  11) x  y  10 y   Giải hệ phương trình  22   y  ( x  2) y  x  x   ( x  y )  x  y  y 2 Giải hệ phương trình  2  x  x y  x   y  2  x  y  (1) Bài 2: Giải hệ phương trình  4 x  3x  57   y (3x  1)(2)  25 Giải  Đánh giá: Đánh giá phương trình hệ ta thấy phân tích thành nhân tử Tuy nhiên nhìn kỹ ta thay đổi hệ số x2 y2 (2) phép (1) Như ta nghĩ tới việc đặt (*) nêu trên, việc khó ta phân tích Ta hướng tới phương pháp sau: Ta (1) vào (2) biến đổi biểu thức bậc 2, sau: 57  (1).  (2)  x (4   )  xy   y  x  y   25 Mục đích ta phân tích f ( x)  x (4   )  3xy   y thành nhân tử Muốn  f ( x ) phải có dạng bình phương Ta xét:   y  4 (4   ) y  y (9  16  4 ) Như ta phải tìm  16  4 số phương, hay ta phải tìm nghiệm nguyên phương trình:  16  4  k Ta tìm  4; 2;0 (thật ta cần tìm nghiệm nguyên phương trình  16  4  thử lại) Dễ thấy nhận   2 Khi ta phân tích x2  3xy  y   x  y  x  y  Và đặt a  x  y; b  x  y  Chi tiết: Lấy (2) - 2.(1) ta có hệ tương đương:  2  x  y   2 x  xy  y  x  y  47  25 Đặt b  x  y; a  x  y ta có hệ đối xứng:  2  a  b  a  ; b    a  ; b  a  b  ab  47    25 5     11   Vậy ta tìm  x; y     ;  ;  ;     5   25 25   Bài 3: Giải hệ phương trình   x  3xy  49  2   x  xy  y  y  17 x Giải  Ý tưởng: Đây ta gặp phần phương pháp hệ số bất định, ta giải phương pháp khác Xét hạng tử bậc x  8xy  y ta thấy không thấy phân tích thành nhân tử cách khác biến đổi Đến hạng tử bậc 3, dù x  xy  x  x  y  không dễ đưa bậc theo a, b với phép đặt (*) Vậy ta chuyển snag phép đặt (**) Ta  x  ua  vb thử cách đặt  mục đích ta khử ab, a 2b, ab2 sau đưa bậc theo y  va  ub  a, b Giờ ta tìm u, v:  x  ua  vb Đặt  thay vào hệ ta được:  y  va  ub a  u  3uv   b3  v3  3u v   a 2b  3v3  3u 2v   ab  3u  3uv   49   2 2 2 2 a  u  8uv  v   b  v  8uv  u   8ab  u  v   9ua  25vb Ta đồng cho hệ số ab, a 2b, ab2  3v3  3u 2v   u  v 3u  3uv    u  v u  v   Do đặt u=v hay u= -v cách nên ta đặt u=v=1  Chi tiết: Đặt x  a  b, y  a  b ta có hệ sau: 4a  4b3  49 8a  8b3  98   2 6a  10b  9a  25b 6a  9a  10b  25b Tới ta giải hệ số bất định Cụ thể lấy phương trình (1) cộng phương trình (2).(-6) ta được:  2a     2b    2a   2b   a  b   5   5  Từ tìm nghiệm hệ  a; b    ;  ;  ;    x; y    1;  ;  1; 4   2 2   Nhận xét: Từ toán ta rút kinh nghiệm phương trình có mx3 ,3mxy , my ,3mx y ta đặt x  a  b, y  a  b Ta xét tương tự sau 6 x y  y  35  Bài 4: Giải hệ phương trình  2 5 x  y  xy  x  13 y  Giải  Ý tưởng: Theo nhẫn ét thi phương trình có y  x y nên ta đặt x  a  b; y  a  b  Chi tiết: Đặt x  a  b; y  a  b ta có (1) trở thành:  a  b    a  b   35    a  2ab  b   a  b    a  3a 2b  3ab  b3   35    a3  a 2b  2a 2b  2ab  ab  b3   2a  6a 2b  6ab  2b3  35   a  b3  35 0 Tương tự, (2) trở thành: 6a  9a  4b  4b  Vậy ta có hệ phương trình 35  3 a  b    6a  9a  4b  4b   Giải hệ phương pháp hệ số bất định nêu ta 3 5  a; b    1;  ;   ;1   x; y    ;   ;   ;   2    2 2  2  Nhận xét: Nếu biết nghiệm hệ ta giải nhanh hệ số bất định sau: 1   2   y  15 x2   y  5 x  y3  15 y  39 y  35  2   1  5    y   3  x     y     (Tiếp theo cho bạn đọc) 2       x  x  y  y Bài 5: Giải hệ phương trình  2  x  y   (Đề kiểm tra đội tuyển THPT chuyên ĐHSP Hà Nội) Giải  Ý tưởng: Ta thấy phương trình (1) hệ có dạng đối xứng nên ta đồng thời nghĩ a  x  y  tới cách đặt b  x  y Lại để ý phương trình thứ (2) hệ có  ab   c  ab  c c   ab a b ;y  Chi tiết: ta có: x  , suy ra: 2  a  b 2  a  b   ab 4 2 x  y   x  y  x  y   x  y   ab  a  b2            Ta thấy x  y   a  b   a  b a  3b a  c3b   2 Do phương trình thứ hệ tương đương: ab a  c3b a  b2    c  a  b2   a  c3b  2 Ta có hệ c  a  b   a  c3b  c2  c4  c a   a   ca  c3  a  ac    a  a  ab  c   ca  1  a3  c3    a   a  c c 1  Suy hệ có hai nghiệm  a; b    c;1 ;  ; c  c  Xét hai trường hợp: TH1: Nếu a  c, b   x  c 1 3 1 1  ,y 2 11 11  1 c  1 TH2: Nếu a  , b  c  x    c    , y    c2   c 2c 2c 2c 3    3  3    1  ; Vậy hệ cho có nghiệm  x; y     ,  ;  2    3  Nhận xét: Ta thấy mấu chốt toán ta nhìn thấy tương tác quan hệ biến, nhiên phương pháp tổng-hiệu dùng tới  Kết luận phương pháp: Nhìn chung phương pháp hay khó ta chưa nắm vững lý thuyết chưa nắm vững cách đặt biến hệ Đòi hỏi phải nhớ dạng đặc biệt để áp dụng cách đặt kiểu vào làm để tiết kiệm thời gian Một tập tương tự  x2  y  x   Giải hệ phương trình  2 xy  x  y  x  y   1  3) Kỹ thuật 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẬT ẨN PHỤ  Lý thuyết: - Phương pháp phương pháp quen thuộc học sinh việc giải hệ phương trình Đặc biệt phương pháp ý đến việc chia để xuất ẩn phụ Kỹ thuật thường dựa vào dấu hiệu phương trình có dạng tích xy, x2 y , f  x  g  y  , Bên cạnh có phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác,…tuy nhiên tất phương pháp thường không đặc trưng dễ thấy mà chủ yếu dựa vào tư kỹ làm người Ta theo dõi số tập ví dụ sau để hiểu rõ phương pháp  Bài tập minh họa:  x  y  Bài 1: Giải hệ phương trình    x  y 1  xy   Giải  Ý tưởng: Ở ta dễ thấy phương trình (1) hệ có tổng hai bình phương phương trình (2) hệ có xy  2.2 xy nghĩa bóng dáng công thức lượng giác Nên ta bắt đầu đặt ẩn phụ hàm lượng giác  Chi tiết: Đặt x  cos  ; y  sin  ta phương trình sau:  sin   cos 1  2sin    1   2 sin   450    sin 2   2   4sin   450  sin 2  sin 300    8sin   450  sin   150  cos   150    cos   150  cos 600  cos  2  300     cos   150   cos   150  cos  2  300    2 cos  3  450     650  k120  k, l  0   35  l120 Vậy hệ cho có nghiệm   x; y    sin 650 ;cos 650  ,  sin1850 ;cos1850  , sin 3050 ;cos 3050  ,  sin 850 ;cos850  ,   sin 350 ;cos 350   sin 205 ;cos 205  0  Nhận xét: Ta thấy đặ ẩn phụ việc giải toán gọn dễ dàng Từ ta thấy ngắn gọn phương pháp đặt ẩn phụ giaiar hệ phương trình  x  y   x  y    Bài 2: Giải hệ phương trình  2  x  y   x  y   15 Giải  Ý tưởng: Ta thấy đặt hai phương trình rắc rối việc khai triển hàm lượng giác Nhìn kỹ khai triển hết tích hai phương trình ta thấy điều đặc biệt (phần nháp dành cho bạn đọc)  Chi tiết: Biển đổi ý tưởng ta hệ mới:  x3  y  xy  x  y   (như phân tích đến việc đặt rõ ràng)  3 x  y  xy x  y  15    u  x  y Đặt  , hệ trở thành v  xy  x  y  u  v  15 u   đó, ta có:  u  v  v   x    x  y  x  y  y      x   xy   xy  x  y      y  3 Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;2 ,  2;1  Nhận xét: Ta thấy việc trước đặt ẩn phụ ta nên thử khai triển phương trình xem Như ví dụ việc triển khai hệ cho ta thấy đặt ẩn phụ dễ dàng   x   x  y 3  y  Bài 3: Giải hệ phương trình  2 x  y    y Giải  Ý tưởng: Hệ nhìn vào ban đầu ta nghĩ tới việc biến đổi phương trình (2) cho có biểu thức phương trình (1)  Chi tiết: y    Điều kiện  x   (*) y   x  y   Biến đổi hệ trở thành;   x   x  y 3  y   x   x  y    y  u  x   y Đặt   v  x  y   Khi hệ trở thành:  u   u  v  u  v  v    thõa mãn điều kiện (*)  2  u  uv  u  v    v   x  1   u   x   y 1  y   Nếu  thõa (*)  x  v  x  y        y  1   x       y   u   x   y   Nếu  v   x  y     x       y   10 10 thõa (*) 10 10    Vậy hệ có nghiệm sau  x; y    3;1 ,  5; 1 ,  10;3  10 ,  10;3  10  x  y  xy  y   Bài 4: Giải hệ phương trình  y 2 x  y  x 1  Giải y từ đưa dạng phương x 1 trình (1) u, v Nhưng để ý ta cần bước đơn giản để biến đổi phương trình (1) có dạng phương trình (2) đặt ẩn phụ Ta vào giải  Chi tiết: Nhận thấy y=0 nghiệm hệ nên ta biến đổi sau;  Ý tưởng: Ta đặt ẩn với phần tử x  y ,  x2   x2  x y   u   y Đặt  y  y x  y  v  x  y 2   x2  Khi đó, hệ phương trình trở thành: u  v    v  u   x   x2     y  u    y  Giải hệ ta thu nghiệm hệ    x  2 v    x  y     y  Vậy hệ có hai nghiệm  x; y   1;2 ,  2;5 2y   x2  y 1  x   Bài 5: Giải hệ phương trình   x2  y  2x   y Giải  Ý tưởng: Ta giữu ý tưởng toán Nhìn chung dễ dàng nhìn thấy cách đặt ẩn phụ Ta quan sát giải chi tiết sau  Chi tiết: Điều kiện xy  a  x  y   Đặt  , ab  x b   y  Lúc này, hệ cho trở thành:  a   3   1 b  1  a b  a  a  2b    b   x   a   y  1 Khi   b  1   x  1    y   x   a    y  Khi   b    x  3    y  1 Vậy nghiệm hệ  x; y   1; 1 ,  1;1 ,  3;1 ,  3; 1  x  xy  x  y  Bài 6: Giải hệ phương trình  2  x  x y  x  y  Giải  Ý tưởng: Ta giữ suy nghĩ tập trên, nhìn qua hai phương trình hệ ta thấy hệ có nghiệm  x; y    0;0 chúng có dạng tích nên ta nghĩ đến việc chia hai phương trình cho x y Ta theo dõi giải sau  Chi tiết: Xét x   y    x; y    0;0 nghiệm hệ Xét x  , chia hai vế phương trình (1) cho x , chia hai vế phương trình (2) cho x , ta hệ phương trình sau:  y  x   y   x    x    x  y  y   x    x2  Đặt z  x  y  y 3 x y   y5 x y , hệ tiếp tục biến đổi lại x z  y   z  y   z   y 1 Giải hệ ta   x  y    z  1    y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    0;0 , 1;1    x   y  2 x   8  Bài 7: Giải hệ phương trình   y  y x   x  13 Giải  Ý tưởng: Ta thấy hai phương trình hệ có hạng tử x  không ấn tượng để ta liên tưởng đến việc đặt ví dụ Do ta thử đặt khác tập đặt t  x  (bài nháp bạn đọc)  Chi tiết:   Đặt t  x   x  , t   Hệ phương trình trở thành:   t  y 1  2t   8 t  y  2ty  8 1   2  y  yt  t  12  t  y   3ty  12   Ta thấy (1).3+(2).2 cho ta phương trình sau: t  y  2 t  y   3t  y     t  y    Nếu t  y , ta có t  y  Khi đó: Nếu t  y  2x 1   x   y  2 3  61 , ta có 4t  6t  13   t   t   Khi đó:    64 3  61 y y    3  61   4 t    x   3  61  x  43  61  16     43  61  61  ; Vậy hệ có nghiệm  x; y    ;  ,   16  2    Nhận xét: Ở đặt ẩn phụ ta thấy cần đặt ẩn hạng tử hệ Về việc đặt dựa vào quan sát, đánh giá kỹ trình làm người, không khó để ta nhận Ta theo dõi tiếp ví dụ sau 2 x  x  y  1  y  y Bài 8: Giải hệ phương trình  2  x  xy  y  x  y Giải  Ý tưởng: Dễ dàng nhận thấy  x; y    0;0 nghiệm hệ Tuy nhiên, phương trình thứ (2) có dạng tích nên ta tiếp tục chia hai phương trình cho x y  Chi tiết: Xét x   y    x; y    0;0 nghiệm hệ Xét y  , đặt t  x  x  t y Hệ cho trở thành: y  y  2t  t  1  y   t  1   2  y  t  t  3  y  t     t   Từ (2) ta suy  Chia (1) cho (2) vế theo vế ta được: t  t    t  1  2t  t   t   3t  7t  3t    t  (Lời giải chi tiết cho bạn đọc) t t 3 t 2  t     Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    0;0  , 1;1 ,  1;1 ,  ;   43 43   Nhận xét: Ở ta sử dụng đến ý nêu phần lý thuyết sử dụng kỹ chia hai phương trình hệ cho để đưa đến tìm ẩn vừa đặt  Kết luận phương pháp: Nhìn chung phương pháp dễ hiểu dễ làm ba phương pháp nêu trên, nhiên dùng để giải cho hệ đơn giản dễ đánh giá, không tối ưu cho đa số hệ phương trình Thứ hai, phương pháp lý thuyết không đề cập nhiều mà chủ yếu dựa vào kỹ nhìn nhận, đánh giá kỹ làm người để đến việc đặt tối ưu Một số ví dụ minh họa   2  x y  xy  y     x y   1) Giải hệ phương trình   2   x y x 3   x  y   1 2) Giải hệ phương trình   y   x  2 x     2  4) Kỹ thuật 4: KỸ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ  Lý thuyết: G  x; y   - Hệ có dạng   F  x; y   Một hai phương trình hệ ta đưa dạng tích, chẳng hạn G  x; y   f  x; y  g  x; y  Thông thường phương trình bậc hai hai ẩn phương trình đẳng cấp tìm mối liện hệ biến - Một dạng tích mà hay gặp sau:  a  1  b  1  a  b   ab  Khi đó, hệ phương trình tương đương:   au  bv  ab  uv  a  v   b  u    f  x; y  g  x; y    f  x; y    g  x; y      G  x; y   G  x; y   G  x; y   - Phân tích phương trình bậc hai hai ẩn thành nhân tử: Phương trình bậc hai hai ẩn có dạng: F  x; y   ax  bxy  cy  dx  ey  f   ax   by  d  x  cy  ey  f  Ta xem phương trình bậc ẩn x tham số y, ta tính denta phương trình    by  d    cy  ey  f    my  p  2   by  d   my  p  x  2a    by  d   my  p  x  2a  Đến theo quy tắc phân tích đa thức bậc biết nghiệm, ta được:   by  d   my  p    by  d   my  p   F  x; y   a  x   x   2a 2a    Và lúc hệ ban đầu ta tương đương với hệ sau:     by  d   my  p    by  d   my  p  a  x   x   2a 2a      G  x; y   Dấu hiệu: Cách nhận biết phương trình để đưa dạng tích: - Hệ có hai phương trình bậc hai (đối với bậc bậc đặt ẩn phụ để giảm mũ) - Hệ có phương trình đẳng cấp - Hệ có phương trình có dạng uv  Av  Bu  AB  - Hệ phương trình có dạng đẳng thức - Hệ phương trình có chứa thưc (ta phân tích nhân tử cách đặt ẩn phụ, liên hợp dùng hàm số,…)  Bài tập minh họa:  xy  x  y     x  y 2 Bài 1: Giải hệ phương trình  (Đề thi ĐH Khối A-2011) 2 5 x y  xy  y   x  y   Giải  Đánh giá: Ở nhìn qua hệ, ta để ý phương trình (1) khai triển đẳng thức vế phải xuất nhân tử x  y xy  Chi tiết: Từ phương trình (1) ta có: xy  x  y    x  xy  y  xy  x  y     x  y   xy    xy  1  x  y    Do đó, hệ phương trình tương đương; 5 x y  xy  y   x  y    2  xy  1  x  y      xy  5 x y  xy  y   x  y    2   5 x y  xy  y   x  y      xy    x  y     x  y   5 x y  xy  y   x  y       xy   2  5 x y  xy y  y   xy  y    2   x  y   2 2  3 y  x  y   x y  xy   x  y     xy    3 y  y    2   x  y   6 y  x y  xy   x  y     x    x   y   10  10   x x   y   x  1    5         y  1  x  1  10  y   10   y   2 5   y  1    x  y    1  xy  y  x   Tập nghiệm hệ phương trình  Nhận xét: Nhìn chung hệ giải theo phương pháp nêu, trọng khâu biến đổi phương trình hệ cẩn thận  xy  x  y  1 Bài 2: Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  x   y  y    Giải Hệ cho tương đương với: 3xy  3x  y   3 4 x  12 x  x   y  y  Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: x  12 x  12 x    y  xy  x   x  1  y  y  xy    x   y   x  1  y  x  1  y   y  y  x  3   Tiếp tục thay xy  x  y  vào vế phải phương trình ta được:  x   y   x  1  y  x  1  y   y  y  xy  y      x   y   x  1  y  x  1  y   y  x  y  1    y  1  x   x  y  1 x  y       y  2x  TH1: Với y  1  x , phương trình (1) trở thành: 1  x  1  x   x   x   x  3x    x  TH2: Với y  x  , phương trình (1) trở thành: 1  x  x    x  x    x  3x   x 3  17  17 y 2  3  17 x   Vậy hệ cho có nghiệm   y   17   Nhận xét: Nhìn chung qua cách trình bày việc giải toán nhẹ nhàng Tuy nhiên bước thứ hai, việc ta nhìn bước điều nhạy bén, đòi hỏi ta phải có kỹ thuật, kinh nghiệm làm thấy Ngoài hệ giải phương pháp rút thế, đặt ẩn phụ Tuy nhiên có cách trình bày tự nhiên đơn giản Ta tiếp tục xét ví dụ đơn giản 2 x  y   x  y 1 Bài 3: Giải hệ phương trình  (Cao đẳng năm 2010) 2  2  x  xy  y  Giải  Đánh giá: Dễ dàng nhận ta khai thác phương trình (1) Nếu đặt t  x  y , t  phương trình trở thành phương trình bậc ẩn t Ta giải tìm t, từ suy mối quan hệ giữ x y  Chi tiết: Điều kiện x  y  Ta có 1  x  y  2 x  y   t  x  y   t  x  y Đặt t  t  3(loai ) 1  t  2t     Với t   x  y   y   x Thay y   x vào (2) ta được:  x  1, y  1  x  3, y   2  x2  x     Vậy nghiệm hệ  x; y   1; 1 ,  3;7  2   y  xy  y   x  x  1 Bài 4: Giải hệ phương trình  2   y  13  15  x  x    Đề thi thử DDH 2013-THPT Trần Phú-Hà Tĩnh Giải  Đánh giá: Ta quan sát phương trình (1), để ý thấy chúng chứa nhiều hạng tử có dạng bình phương bậc 4, điều làm ta liên tưởng đến đẳng thức Thật vậy, phương trình (1) tương đương: y  y x  x2    y  x      y2  x   y2  x   Đến đây, ta cần đặt t  y  x , giải t sau tìm quan hệ x y  Chi tiết: Điều kiện: 1  x  15 Như phân tích 1   y  x    y  x    Đặt t  y  x , phương trình (1) trở thành: t  t  7t     t  8(loai ) Với t   y  x  thay vào phương trình (2), ta được:  2  x  16  15  x  x   x  16  15  x  x   x  115  x   x  13 x  15  0,  x    2x   x   y   y  2 15     0(loai ) 2 Vậy tập nghiệm hệ  x; y    3;2  ,  3; 2  Với y  x   [...]... gặp một bài hệ phương trình thì ta nên thử (*) trước, vì phương pháp này sẽ giúp ta đưa được về một hệ đơn giản hơn a  mx  ny - Một trường hợp đặt biệt hơn là dùng phép đặt  dùng cho hệ phương trình có b  nx  my một phương trình đối xứng, từ đó có thể đưa về hệ phương trình đối xứng loại (I) Phương pháp này có thể giải nhiều bài hệ phương trình hữu tỷ, đặc biệt là hệ phương trình bậc 2 Vì từ một. ..KỸ THUẬT 1: PHƯƠNG PHÁP DÙNG TỔNG-HIỆU 2)  Lý thuyết: - - Trong việc giải hệ phương trình thì đặt ẩn phụ là phương pháp hiệu quả và gọn nhẹ nhất Phương pháp đặt ẩn phụ tổng- hiệu tuy không phải là phương pháp tối ưu nhất nhưng nhờ phương pháp nay mà ta đưa hệ về được về một hệ giải bằng phương pháp thế Cái vấn đề cốt lõi của phương pháp này là từ một hệ 2 ẩn x, y ta đặt: a  mx ... kiệm thời gian Một bài tập tương tự  x2  y 2  x  3  Giải hệ phương trình  2 2 xy 2  x  4 y  x  y  1  1  3) Kỹ thuật 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẬT ẨN PHỤ  Lý thuyết: - Phương pháp này là phương pháp rất quen thuộc đối với học sinh trong việc giải hệ phương trình Đặc biệt trong phương pháp này chúng ta chú ý đến việc chia để xuất hiện ẩn phụ Kỹ thuật này thường dựa vào các dấu hiệu phương trình có dạng... nghiệm của hệ phương trình  Nhận xét: Nhìn chung hệ trên giải theo phương pháp đã nêu, chúng ta chỉ chú trọng trong khâu biến đổi các phương trình của hệ cẩn thận  xy  x  y  3 1 Bài 2: Giải hệ phương trình  3 2 3 4 x  12 x  9 x   y  6 y  5  2  Giải Hệ đã cho tương đương với: 3xy  3x  3 y  9  3 2 3 4 x  12 x  9 x   y  6 y  5 Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:... đương với hệ sau:     by  d   my  p    by  d   my  p  a  x   x   2a 2a      G  x; y   0 Dấu hiệu: Cách nhận biết một phương trình thế nào để đưa về dạng tích: - Hệ có một hoặc hai phương trình bậc hai (đối với bậc 4 hoặc bậc 6 thì có thể đặt ẩn phụ để giảm mũ) - Hệ có phương trình đẳng cấp - Hệ có một phương trình có dạng uv  Av  Bu  AB  0 - Hệ phương trình có dạng... là 2 phương pháp đặt trên là như nhau vì vai trò x, y và a, b không đổi  Phép đặt (*) dùng cho những hệ mà ta có thể nhóm các hạng tử một cách thích hợp để đưa ra phương trình đơn giản hơn theo mx+ny hoặc ux+vy  Phép đặt (**) dùng cho những hệ mà ta có thể khử một trong hai hạng tử nào đó sau khi khai triển (Lưu ý rằng hệ phương tình hữu tỷ mà 2 ẩn tách được thì ta giải được bằng phương pháp hệ số. .. có phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác,…tuy nhiên tất cả các phương pháp này thường không đặc trưng dễ thấy mà chủ yếu là dựa vào tư duy và kỹ năng làm bài của từng người Ta hãy theo dõi một số bài tập ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về phương pháp này  Bài tập minh họa:  x 2  y 2  1 Bài 1: Giải hệ phương trình   2  x  y 1  4 xy   3 Giải  Ý tưởng: Ở đây ta dễ thấy phương trình (1) của hệ. .. 2) Giải hệ phương trình   y  2  x  2 x  2   7  2  4 4) Kỹ thuật 4: KỸ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ  Lý thuyết: G  x; y   0 - Hệ có dạng   F  x; y   0 Một trong hai phương trình của hệ ta có thể đưa được về dạng tích, chẳng hạn G  x; y   f  x; y  g  x; y  Thông thường đây là phương trình bậc hai hai ẩn hoặc là phương trình đẳng cấp có thể tìm mối liện hệ giữa các biến - Một. .. ta có hệ đối xứng: 3 4  2 2 2  a  b  5 a  5 ; b  5   a  4 ; b  3 a  b  ab  47  0   25 5 5   2 1   11 2   Vậy ta tìm được  x; y     ;  ;  ;     5 5   25 25   Bài 3: Giải hệ phương trình 3 2   x  3xy  49  2 2   x  8 xy  y  8 y  17 x Giải  Ý tưởng: Đây là bài ta đã gặp ở phần phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây ta giải nó ở một phương pháp. .. (*) 10 10    Vậy hệ có nghiệm sau  x; y    3;1 ,  5; 1 , 4  10;3  10 , 4  10;3  10  x 2  y 2  xy  4 y  1  Bài 4: Giải hệ phương trình  y 2 x  y  2 x 1  Giải y rồi từ đó đưa về như dạng phương x 1 trình (1) đối với u, v Nhưng nếu để ý thì ta chỉ cần một bước đơn giản để biến đổi phương trình (1) về có dạng phương trình (2) rồi đặt ẩn phụ Ta đi vào bài giải  Chi tiết: Nhận