Phương pháp UCT hệ số bất định

Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH (U.C.T) I) Mở đầu: Chắc hẳn bạn nghe thấy, hay nhìn thấy người khác nói hay sử dụng phương pháp ấn tượng để chứng minh bất đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp Hôm xin phép đượng trình bày số hiểu biết nho nhỏ phương pháp Nói đến U.C.T nói đến phương pháp chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức phụ Đối với bạn chưa biết phương pháp việc đưa bất đẳng thức phụ thật câu hỏi khó Phương pháp rộng nên hôm chia sẻ cách mà sử dụng phương pháp để giải dạng quen thuộc Bài toán 1: Cho a; b; c  thỏa mãn f  a   f  b   f  c   3k Chứng minh: g  a   g  b   g  c   3k  PS: Bài toán có cực trị (dấu xảy ra) tâm nghĩa a  b  c  x0 II) Các kiến thức cần sử dụng: 1) Định lý Fermat: Cho hàm f :  a; b   R hàm f đạt cực trị c  (a; b) f   c   2) Các công thức logarit: ln  abc   lna  lnb  lnc với a; b; c  (Công thức giúp ta chuyển tích tổng.) Đạo hàm hàm Logarit: (lnx)  x 3)Bất đẳng thức Jensen: * Cho f hàm lồi  a; b  với xi  (a; b); i  1, n Ta có: f  x1   f  x2   n  f  xn  x x   f n   xn    ** Cho f hàm lõm  a; b  với xi  (a; b); i  1, n Ta có: f  x1   f  x2   n  f  xn  x x   f n   xn    Để đơn giản bạn cần nhớ f "  x   với x  (a; b) f lồi  a; b  ngược lại Bây vào phần luôn, cách xây dựng bất đẳng thức phụ ( Với toán nêu trên) Chúng ta hệ số bất định sau: g  x   k     f  x   k  (  gọi hệ số bất định) Ta có bất đẳng thức mà ta giả sử tương đương với: h  x   g  x   k     f  x   k   Sẽ đạt cực trị x  x0 hay theo định lý Fermat h '  x0   hay   Vậy bất đẳng thức ta cần tìm có dạng: g  x   k   Hoàng Quốc Việt g   x0  f   x0  g   x0   f  x   k  f   x0   Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn Bây lại nảy sinh vấn đề mới, bất đẳng hay không? Nếu ta sử lý chúng làm sao? Có thể trả lời rằng, bất đẳng thức đúng, công việc ta sau xây dựng bất đẳng thức xong kiểm tra lại bất đẳng thức (có thể khảo sát hàm số, hay biến đổi tương đương) Nếu bất đẳng thức ta  Q.E.D , ( mệt đây) ta khoang vùng điểm nhạy cảm (thường điểm làm cho BĐT đổi chiều, hay điểm cho hàm số chuyển từ lồi sang lõm ) cuối chia trường hợp để xử lý Chỉ đơn giản có thôi, sức mạnh kiểm chứng Nó chứng minh bất đẳng thức khó mà không cần sử dụng đến phương pháp trâu bò EV, LCF-RCF Chúng ta đến với ví dụ để hiểu rõ phương pháp Ví dụ 1: Bất đẳng thức AM-GM: Cho n số không âm a1 , a2 , , an chứng minh rằng: a1  a2  n  an  n a1.a2 an Chứng minh: * Nếu tồn xi  bất đẳng thức hiển nhiên ** xi  Đặt xi  Với x1x2 n a1.a2 an ; i  1, n ta có BĐT cho theo biến là: xn   ln  x1   ln  x2   Bất đẳng thức viết lại là: x1  x2  x1  x2  n  xn  n x1.x2 xn  ln  xn    xn  n (BĐT cho trở dạng Bài toán 1) Hệ số bất định: x   .lnx ta đạo hàm hai vế cho x  ta   Vậy ta gia cát dự bất đẳng thức sau: x   lnx Tiếp theo kiểm tra bất đẳng thức này: Xét hàm số f ( x)  x  lnx  với x  x 1 Ta có: f ( x)    x 1 x Dễ thấy f '  x  đổi dấu từ âm sang dương x qua Từ suy f ( x)  f (1)   Q.E.D Dấu xảy a1  a2   an PS: * Lời giải sử dụng nhiều kĩ thuật cần thiết sử dụng phương pháp Thứ chuẩn hóa bđt cho để có điều kiện dạng tích Thứ hai sử dụng công thức hàm Logarit đề đưa điều kiện dạng tích dạng tổng giống toán ban đầu Với cách hẳn bạn hiểu không chia làm nhiều toán với điều kiện dạng tích hay bất đẳng thức cần chứng minh có dạng tích Thứ ba, bất đẳng thức ta có dính đến hàm siêu việt việc sử dụng hàm số điều bắt buộc phải làm ( dùng biến đổi tương đương được) ** Ngoài cách chuẩn hóa chuẩn hóa điều kiện theo dạng tổng cách đặt xi  nai bạn làm thử cách a1  a2   an Hoàng Quốc Việt Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn Ví dụ 2: Cho x, y, z  x  y  z  Chứng minh rằng: 10( x3  y3  z )  9( x5  y5  z )  Chứng minh: Nhận xét bất đẳng thức có dấu điểm x  y  z  x  y  0; z  ta giả vờ bđt có cực trị biên xem nào? Phân tích: Bằng phương pháp U.C.T ta đoán có bđt: 10 x3  x5    25 16 x  1 27   3x  1 27 x3  18 x  21x  16  Rõ ràng bđt đúng, phụ thuộc vào dấu f  x   27 x3  18x  21x  16  f  x    x  x0  0.9   10   Ta có  f  x    x  x0  0.9   1 True 10    f  x    x  x0  0.9  10  1 False  Đến ta tiến hành giải cách chia trường hợp 9  TH1: Trong ba số có số   ;1 10  9   1 Giả sử x   ;1  y; z  0;  10   10   10 x3  x5   Ta có: 10 y  y   True  10 z  z   9 TH2: Cả ba số  0;   10  25 16  10 x  x  x   27  25 16  y  true Khi 10 y  y  27  25 16   10 z  z  z  27   x  y  z  Cùng hoán vị  Q.E.D Dấu “=” xảy   x  y    z 1   PS: Như ta thấy phương pháp giải bất đẳng thức có cực trị không tâm Hoàng Quốc Việt Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn Ví dụ 3: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc  Chứng minh: 1 1    2 (1  2a) (1  2b) (1  2c) Chứng minh:  1  1 TH1: Trong ba số a, b, c có số   0;  giả sử a   0;   20   20  Khi ta có:  2a  1  100   true 121   TH2: Cả ba số   ;   không khó khăn ta chứng minh  20   1   ln a  27   2a  1  1    ln b  true  27   2b  1  1    ln c 27   2c  1  Q.E.D Dấu “=” xảy a  b  c  Ví dụ 4: Cho a; b; c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  3a   b2  3b   c  3c  3 Chứng minh: Không tính tổng quát, ta giả sử a  b  c  1  x 1 Với m i x  ta có: 2 x  3x  Thật vậy, BĐT tương đương ( x  1)2 ( x  x  1)  Suy 1 Nếu c  sử dụng BĐT với a, b, c cộng lại ta dễ có đpcm 1 Nếu c  ta xét khả -TH1: b  ta có: Hoàng Quốc Việt Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn  a  3a   (a  1,5)  0, 75  0, 75  1  2  VT   1  b  3b   (b  1)   b   16 c  3c   (c  1)   c  (1   1)      2 (  1) x  24 x  15 -TH2: b  suy  a  b  xét [1;2] ta có: f ( x)  0 4( x  3x  3)2,5  ab Do theo BĐT Jensen ta có: f (a)  f (b)  f    f (t )    t  3t  Vậy ta cần có t  3t   (3  2t )  3(3  2t )  3 (t  1)2 (36t  252t  749t  1202t  1099t  546t  117) Hay   Q.E.D (t  3t  3)2 (4t  6t  3)2 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Ví dụ 5: Cho a; b; c  , chứng minh rằng: a2 2a  ab  b2  b2 2b2  bc  c  c2 2c  ca  c  a bc Chứng minh: a2 Xét bất đẳng thức phụ sau: 2a  ab  b 2  11a  3b a, b  16 TH1: Nếu 11a  3b  11a  3b 16 2a  ab  b TH2: Nếu 11a  3b  Ta thực phép biến đổi: Thi lúc hiển nhiên có: a2    a2 2 0 11a  3b 16a  (11a  3b) 2a  ab  b  16 16 2a  ab  b 2a  ab  b 256a  (11a  3b)(2a  ab  b ) [16a  (11a  3b) 2a  ab  b2 ].16 2a  ab  b (a  b)2 (14a  3b)(a  3b) [16a  (11a  3b) 2a  ab  b2 ].16 2a  ab  b Nhưng 11a  3b  nên 14a  3b  Hay bất đẳng thức a2 11a  3b  Vậy ta có a, b  thì: 16 2a  ab  b Xây dựng bất đẳng thức tương tự cộng lại  Q.E.D Dấu xảy a  b  c PS: Cách để tìm bất đẳng thức phụ trên: Cách 1: Ta nghĩ đến việc phải tìm m, n cho Hoàng Quốc Việt a2 2a  ab  b  ma  nb a, b  Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn Cho a  b  ta có m  n  4a(2a  a  1)  a(4a  1) +Cho b  đạo hàm vế ta được: m 2a  a  1.(2a  a  1) 11 Cho a  ta tìm m   n   16 16 Cách 2: Ngoài cách ta làm sau: a2 2a  ab  b a  1 b b   a a  a 1 t  t2 với t  b a Bằng phương pháp hệ số bất định ta có dự đoán rằng: 1 t  t  11  t 16 16 a 11 11   a  at  a  b 16 16 16  t  t 16 III) Phương pháp U.C.T bất đẳng thức Vasile Cirtoaje: Bây chia sẻ cho bạn kĩ thuật nhỏ hay kết hợp BĐT Vasile Cirtoaje phương pháp Trước tiên ta nói bất đẳng thức Vasile Cirtoaje: Cho a; b; c  thỏa mãn abc  chứng minh rằng: 1   1 a  a 1 b  b 1 c  c 1 Chứng minh: Bài ta hoàn toàn dùng kĩ thuật để chứng minh, trình bày cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz AM-GM quen thuộc Do abc  nên tồn x; y; z  cho a  yz zx xy ;b  ;c  2 x y z Khi ta có: LHS   cyc x  y2  z2  x   1 2 2 yz y z x  y  z  xyz  x  y  z   x y  y z  z x cyc x  x yz  y z  1 x2 x Thật BĐT cuối tương đương: x y  y z  z x  xyz  x  y  z  (Đúng theo AM-GM ) Nên BĐT chứng minh Dấu “=” xảy a  b  c  Như ta có BĐT: a 2k 1  2k  2k  với điều kiện a, b, c  0; abc  k k  a  b  b  c  ck  Ngoài ta viết bất đẳng thức dạng khác: ak  bk  ck     với a, b, c  0; abc  a 2k  a k  b2k  bk  c 2k  c k  Hoàng Quốc Việt Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn  ak   Thật bất đẳng thức viết lại:  1  k 1  1   k a  a 1  cyc  cyc   a 2k a k Đây bất đẳng thức Vasile Cirtoaje chứng minh: Hai dạng tương đương với nhau, toán khác ta áp dụng chúng cách linh hoạt Ví dụ 1: Cho số dương a; b; c thỏa mãn abc  chứng minh rằng:  4a  2a   cyc Chứng minh: Phân tích: Thứ toán yêu câu chứng minh theo chiều  nghĩa ta cần đánh giá: 1  2k  i  với k hệ số bất định 4a  2a  a  a k  Và yêu cầu tìm k thích hợp Cách làm không khác toán Ta có BĐT  i   a 2k  a k  4a  2a đạo hàm hai cho a  ta có k    1   a a3  3a   theo AM-GM 4a  2a  a  a  Xây dựng BĐT tương tự với biến b,c cộng lại, kết hợp BĐT Vasile Cirtoaje  Q.E.D Như ta có bđt: Ví dụ 2: Cho số dương a; b; c thỏa mãn abc  chứng minh rằng:  a2  a   cyc Chứng minh: ak   Bây toán cần chứng minh với chiều  đo ta cần đánh sau: a  a  a 2k  a k  Việc tìm k tương tự toàn từ đầu đến giờ, xin nhường bạn đ c Nhận xét: BĐT Vasile Cirtoaje BĐT chặt, nên có ứng dụng lớn chứng minh bđt loại Các bạn áp dụng phương pháp để chứng minh bđt khác Việc tự nhiên cho bđt phụ kết hợp với bổ đề trời rơi xuống làm cho cách giải ta trở nên độc đóa ( người chưa biết đên pp này) IV) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho a,b,c số thực dương, chứng minh rằng: a b c    2 b  c   c  a   a  b  a  b  c  Bài (Nesbitt): Cho a,b,c số thực dương, chứng minh rằng: a b c    bc ca ab Bài (IMO 2001): Cho a,b,c số thực dương, chứng minh rằng: a b c   1 a  8bc b2  8ca c  8ca Hoàng Quốc Việt Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn 3 ; a  b  c  chứng minh rằng: a b c    a  b  c  10 Bài (Russia 2000): Cho x;y;z số thực dương thỏa mãn xyz  , chứng minh rằng: Bài (Poland 1996): Cho a; b; c  x2  y  z  x  y  z   xy  yz  zx  Bài (Bantic way, 2005): Cho x;y;z số thực dương thỏa mãn xyz  , chứng minh rằng: x y z   1 x 2 y 2 z 2 1    , chứng minh rằng: a b c  a 1 b 1 c 1  Bài (Croatia 2005): Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn Bài 8: Cho x;y;z số thực dương thỏa mãn 3x 4y 2z    2, x 1 y 1 z 1 Chứng minh rằng: 89 Bài 9: Cho x; y; z  1 thỏa mãn x3  y3  z  x  y  z Chứng minh rằng: x3 y z  x5  y  z  x  y  z     Bài 10: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  a   b  1 c  3c  64 Chứng minh rằng: a3b4c5  Bài 11: Cho a,b,c,d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  1, Chứng minh rằng: a  b3  c  d  a  b  c  d  Bài 12 (Bin Zhao): Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:   a2 b2 c2   1 4a  ab  4b2 4b2  bc  4c 4c  ca  4a Bài 13 (USAMO): Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:  2a  b  c 2   2b  c  a 2   2c  a  b 2  2 2a   b  c  2b   c  a  2c   a  b  Bài 14: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN biểu thức:  P  a   a2  b b   b2  c c   c2  a bc ca a b 1      a b c a2 b c 1   1 Bài 16: Cho x; y; z  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: a bc b ca c ab Bài 15: Cho a; b; c  Chứng minh: Bài 17 (Hongkong 1997): Cho x; y; z  Chứng minh: Hoàng Quốc Việt  xyz x  y  z  x  y  z x y z 2   xy  yz  zx    3 Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Viet_1846@yahoo.com.vn Bài 18: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn xyz  Chứng minh rằng: x2  y2 1 z2 1   1 x4  4x2  y  y  z  4z  Bài 19: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc  Chứng minh rằng: 1   1 2 3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1)3 Bài 20: Chứng minh với m i a, b, c dương, ta có: a2 b2 c2   1 a  7ab  b2 b  7bc  c c  7ca  a Bài 21: Giả sử a, b, c số thực dương cho abc  Chứng minh a) a3 b3 c3   3 (a  1) (b  1) (c  1) b) 1    2 (a  1) (b  1) (c  1) 5  a   b   c  c)           a 1   b 1   c 1  d) e) a b c    a 3 b 3 c 3 2a  6a   2b2  6b  Hoàng Quốc Việt  2c  6c   1; Viet_1846@yahoo.com.vn Phương pháp hệ số bất định (U.C.T) Hoàng Quốc Việt 10