Phương pháp : Xác định lần lượt các giao tuyến của P với các mặt của hình chóp theo các bước sau : - Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của P với một mặt của hình chóp C[r]
(1)Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 TỔNG HỢP MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN I Đường thẳng và mặt phẳng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách 1) Phương pháp : - Tìm điểm chung mặt phẳng - Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến hai mặt phẳng Chú ý : Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đòng phẳng nằm hai mặt phẳng đó Giao điểm , có hai đường thẳng này chính là điểm chung hai mặt phẳng Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp : Để tìm giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm (P) đường thẳng c cắt A điểm A nào đó thì A là giao điểm a và (P) Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến (P) và (Q) Chứng minh điểm thẳng hàng , chứng minh đường thẳng đồng quy Phương pháp : - Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm đó là các điểm chung hai mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng thẳng hàng trên giao tuyến hai mặt phẳng đó - Muốn chúng minh đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm hai đường nàylà điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng di động Phương pháp : M là giao điểm hai đường thẳng di động d và d' Tìm tập hợp các điểm M * Phần thuận : Tìm hai mặt phẳng cố định chứa d và d' M di đọng trên giao tuyến cố định hai mặt phẳng đó * Giới hạn (nếu có) * Phần đảo Chú ý : d di động luôn qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a không qua A thì d luôn nằm mặt phẳng cố định (A,a) Thiết diện Thiết diện hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn các giao tuyến (P) với các mặt hình chóp Phương pháp : Xác định các giao tuyến (P) với các mặt hình chóp theo các bước sau : - Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên (P) với mặt hình chóp (Có thể là mặt trung gian) - Cho giao tuyến này cắt các cạnh mặt đó hình chóp ta các điểm chung (P) với các mặt khác Từ đó xác định các giao tuyến với các mặt này - Tiếp tục các giao tuyến khép kín ta thiết diện II.Đường thẳng // Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (2) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp : Có thể dùng các cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách / dạng 1) Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Phương pháp : * Tìm điểm chung hai mặt phẳng * Áp dụng định lý giao tuyến để tìm phương giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với đường thẳng đã có) Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng Ghi chú : Ta có cách để tìm giao tuyến : Cách 1(2 điểm chung) và cách (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp cách xác định thiết diện hình chóp Tính góc hai đường thẳng a,b chéo Phương pháp : Tính góc : Lấy điểm O nào đó Qua O dựng a' // a và b' // b Góc nhọn góc vuông tạo a',b' gọi là góc a và b Tính góc : Sử dụng tỉ số lượng giác góc tam giác vuông dùng định lý hàm số côsin tam giác thường III.Đường thẳng // với mặt phẳng Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Phương pháp : Ta chứng minh d không nằm (P) và song song với đường thẳng a chứa (P) Ghi chú : Nếu a không có sẵn hình thì ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến (P) và (Q) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(Cách / dạng 2) Thiết diện song song với đườc thẳng cho trước Phương pháp : Nhắc lại hệ : Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì cắt (P) theo giao tuyến song song với d Từ đây xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (3) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 IV.Mặt phẳng // Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Chú ý :Sử dụng tính chất ta có cách thứ để chưngs minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách / dạng 3) Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Phương pháp : - Tìm phương giao tuyến hai mặt phẳng định lý giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với " - Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết - Chú ý : Nhớ tính chất V.Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với Phương pháp : * Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) - Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt chứa (P) - Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với - Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng - Nêú hai đường thẳng cắt thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học hình học phẳng Thiết diện qua điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước Cho khối đa diện (S) , ta tìm thiết diện (S) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho trước - Nếu có hai đường thẳng cắt hay chéo a,b cùng vuông góc với d thì : (P) // a (hay chứa a) (P) // b (hay chứa b) Phương pháp tìm thiết diện loại này đã trình bày bài trên - Dựng mặt phẳng (P) sau : Dựng hai đường thẳng cắt cùng vuông góc với d , đó có ít đường thẳng qua M Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (4) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 mặt phẳng xác định hai đường thẳng trên chính là (P) Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học VI.Đường vuông góc và đường xiên Dựng đường thẳng qua điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp : Thực các bước sau : *Chọn (P) đường thẳng d, dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d cho (Q) dễ dựng ) *Xác định đường thẳng * Dựng AH vuông góc với c H - Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P) - Độ dài đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P) Chú ý : - Trước chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa - Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), đó cần dựng Ax // m thì - Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)) - Nếu AB cắt (P) I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB Ứng dụng trục đường tròn Định nghĩa : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tâm đường tròn đó Ta có thể dùngn tính chất trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là điểm cách điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) - Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC đó A,B,C là ba điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tâm O đương tròn qua ba điểm A,B,C Tập hợp hình chiếu điểm cố định trên đường thẳng di động Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M điểm cố định A trên đường thẳng d di động mặt phẳng (P) cố định và luôn qua điểm cố định O Phương pháp : - Dựng , theo định lý ba đường vuông góc ta có - Trong mặt phẳng (P), nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa (P) Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc điểm cố định trên mặt phẳng di động Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa đường thẳng d cố định Phương pháp : Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (5) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 - Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d - Tìm - Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H là hình chiếu A trên (P) Gọi E là giao điểm d với (Q) Trong mặt phẳng (Q), nên H thuộc đường tròn đương kính AE Góc đương thẳng và mặt phẳng Cách xác định góc a và (P) Phương pháp : - Tìm giao điểm O a với (P) - Chọn điểm và dựng đó VII Mặt phẳng vuông góc Nhị diện góc hai mặt phẳng Khi giải các bài toán liên quan đến số đo nhị diện hay góc hai mặt phẳng thì ta thường xác định góc phẳng nhị diện Nếu góc này chưa có sẵn trên hình ta có thể dựng nó theo phương pháp đây Phương pháp : - Tìm cạnh c nhị diện (giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai mặt nhị diện ) - Dựng đoạn thẳng AB có hai đầu mút trên hai mặt nhị diện và vuông góc với mặt nhị diện - Chiếu vuông góc A ( hay B ) trên c thành H ta là góc phẳng nhị diện Chú ý : - Nếu đã có đường thẳng d cắt hai mặt nhị diện A, B và vuông góc với cạnh c nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng nhị diện đó sau ; Chiếu vuông góc A ( hay B hay điểm trên AB ) trên c thành H Khi đó là góc phẳng nhị diện - Nếu hai đường thẳng a , b vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì - Nếu hai mặt nhị diện chứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung đáy AB thì ( I là trung điểm AB ) là góc phẳng nhị diện đó Mặt phân giác nhị diện , cách xác định mặt phân giác Phương pháp : C1 : - Tìm góc phẳng nhị diện - Mặt phân giác nhị diện là mặt qua cạnh c nhị diện và phân giác Ot góc phẳng xOy C2 : - Tìm điểm A cách hai mặt nhị diện Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (6) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 - Mặt phân giác nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c nhị diện Mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp : - Cách : Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Cách : chứng minh góc hai mặt phẳng có số đo 90 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Cách : Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt chứa (P) - Cách : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) - Cách : Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C thuộc (P) - Cách : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến (P) và (Q) thì a vuông góc với (P) " - Cách : Sử dụng định lý : " Nếu a là giao tuyến hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P) thì a vuông góc với (P) " Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặtphẳng Thiết diện Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với (P) Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) Phương pháp : - Từ điểm trên a dựng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) Chú ý : Nếu có đường thẳng thì (Q) // d hay (Q) chứa d Bµi tËp vÒ h×nh häc kh«ng gian Bài tập ôn tập chương I Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng qua hai điểm chung đó, là giao tuyến hai mặt phẳng ¸p dông: Bµi 1: Cho mét ®iÓm S ë ngoµi mÆt ph¼ng ( α ) vµ ®iÓm A, B, C, D n»m ( α ); AB vµ CD kh«ng song song T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (SCD) HD: AB CD = {I} ; (SAB) (SCD) = SI Bµi 2: Cho hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD kh«ng n»m cïng mét mÆt ph¼ng, M lµ mét ®iÓm trªn AB, vµ N lµ mét ®iÓm trªn CD T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (MCD) vµ (NAB) HD: (MCD) ((NAB) = MN Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (7) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AC và BC, K là điểm trªn c¹nh BD cho KD < KB T×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (IJK) víi c¸c mÆt ph¼ng (ACD) vµ (ABD) HD: JK CD = {H} (IJK) (ACD) = IH IH AD = {E} (IJK) (ABD) = KE Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AD và BC a T×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (IBC) vµ (JAD) b M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB, N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AC T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (IBC) vµ (DMN) HD: a (IBC) (JDA) = IJ b BI MD = {P}; CI DN ={Q}; (DMN) (IBC) = PQ Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD vµ D, E, F lµ trung ®iÓm cña AB, BC, SA a T×m giao tuyÕn d1 cña mÆt ph¼ng (SDC) vµ (SAE) b T×m giao tuyÕn d2 cña mÆt ph¼ng (SDC) vµ (BFC) c d1 vµ d2 cã c¾t kh«ng ? HD: a, (SDC) (SAE) = SG = d1 b, BF SD = {K} (SDC) (BFC) = CK = d2 c, d1 d2 ={ I} Bài 6: Chứng minh có vô số đường thẳng cắt đường thẳng cho trước đôi chÐo Bµi 7: Cho ®êng th¼ng d1 vµ d2 kh«ng n»m mét mÆt ph¼ng LÊy ®iÓm A trªn d1 vµ ®iÓm B trªn d2 T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (A,d2) vµ (B, d1) HD: (A, d2) (B, d1) = AB Bài 8: Cho điểm A, B, C, D không cùng nằm mặt phẳng Gọi I, J là trung ®iÓm cña AD vµ BC a Chøng minh IB vµ JA lµ ®êng th¼ng chÐo b T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (IBC) vµ (JAD) c Gäi M lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n AB vµ N lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n AC T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (IBC) vµ (DMN) HD: Dùng phương pháp phản chứng Gi¶ sö IB vµ JA kh«ng chÐo nhau, th× IB vµ JA n»m cïng mp, D AI D ( ABIJ ) A, B, C , D n»m mp tr¸i víi gi¶ thiÕt C BJ C ( ABIJ ) VËy IB vµ JA chÐo Câu b,c tương tự bài tập Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (8) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Bài 9: Gọi α là mặt phẳng xác định đường thẳng a, b cắt O, và c là ®êng th¼ng c¾t mp( α ) t¹i I kh¸c O a Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (O,c) và ( α ) b Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c vµ kh«ng trïng víi I T×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (M,a) vµ (M,b) Chøng minh r»ng giao tuyÕn nµy lu«n n»m mét mÆt ph¼ng cè định M di động trên c HD: a, (O,c) ( ) = OI b, (M, a) (M, b) = OM, OM (O, c) Bµi 10: Cho ®êng th¼ng a, b chÐo vµ mét ®iÓm M kh«ng thuéc ®êng th¼ng đó Hãy dựng đường thẳng qua M và cắt đường thẳng a, b Vấn đề 2: Cách chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy t¹i mét ®iÓm Phương pháp: + Muốn chứng minh điểm thẳng hàng, ta chứng minh điểm đó là các điểm chung mặt phẳng phân biệt Lúc đó chúng nằm trên giao tuyến mặt phẳng + Muốn chứng minh đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm đường th¼ng nµy lµ ®iÓm chung cña hai mÆt ph¼ng mµ giao tuyÕn lµ ®êng th¼ng thø ba ¸p dông: Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c DEF kh«ng n»m cïng mét mÆt ph¼ng, AB c¾t DE t¹i M; BC c¾t EF t¹i N; AC c¾t DF t¹i L Chøng minh: M, N, L th¼ng hµng HD: CÇn chøng minh M, N, L n»m trªn giao tuyÕn cña mp (ABC) vµ (DEF) Bài 2: Cho tứ diện ABCD; E,F,G là điểm trên AB, AC, AD Gọi M, N , L là giao điểm BC và EF; CD và FG; BD và EG Chứng minh: M, N, L thẳng hµng HD: CÇn chøng minh M, N, L n»m trªn giao tuyÕn cña mp (BCD) vµ (EFG) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G là điểm trên cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng qui Bµi 4: Cho mÆt ph¼ng ( α ) vµ ( ) c¾t theo giao tuyÕn d Ta lÊy ®iÓm A, B thuéc mp( α ), nhng kh«ng thuéc d vµ mét ®iÓm O kh«ng thuéc ( α ) vµ ( ) C¸c ®êng thẳng OA, OB cắt ( ) A’, B’ Giả sử đường thẳng AB cắt d C a Chøng minh ®iÓm O, A, B kh«ng th¼ng hµng b Chứng minh điểm A’, B’, C’ thẳng hàng, và từ đó suy đường thẳng AB, A’B’ và d đồng qui Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (9) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu ®êng th¼ng kh«ng cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng vµ v¾t đôi thi chúng đồng qui Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC n»m ngoµi mÆt ph¼ng ( α ); cho biÕt c¹nh cña tam gi¸c kÐo dµi c¾t ( α ) t¹i I, J, K Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Bµi 7: Cho tø diÖn ABCD Gäi A’ vµ B’ lµ träng t©m cña hai tam gi¸c BCD vµ ACD, I lµ trung ®iÓm cña CD a Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AA’ vµ BB’ giao t¹i G Suy đường thẳng nối từ đỉnh tứ diện đến trọng tâm mặt đối đồng qui GA' b Chøng minh r»ng A’B’ song song víi AB vµ tÝnh GA Bµi 8: Cho ®iÓm A, B, C, D kh«ng cïng n»m mét mÆt ph¼ng Gäi I lµ ®iÓm n»m trªn ®êng th¼ng BD nhng kh«ng thuéc ®o¹n BD Trong mÆt ph¼ng (ABD), ta vÏ mét đường thẳng qua I cắt đoạn thẳng CB và CD M và N a Chøng minh ®iÓm K, L, M, N cïng thuéc mÆt ph¼ng b Gäi O1 lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng BN vµ DM, O2 lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng BL vµ DK vµ J lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng LM vµ KN Trong ®iÓm A, C, J, O1, O2 cã ba bé ba ®iÓm nµo th¼ng hµng kh«ng ? c Gi¶ sö ®êng KM vµ LN c¾t t¹i H Chøng minh r»ng ®iÓm H thuéc ®êng th¼ng AC HD: a, K, L, M, N (IMK) b, (ABN) (ADM) = AJO1 (BCL) (CDK) = CJO2 c, (ABC) (ADC) = ACH Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Gọi I là giao điểm AC và BD Chứng minh A’C’, B’D’ và SI đồng qui HD: A’C’ B’D’ = {K} K A’C’ (SAC), K B’D’ (SBD) mµ (SAC) (SBD) = SI K SI A’C’ , B’D’ và SI đồng qui Vấn đề 3: Cách tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Cho đường thẳng d và mp( α ) Giả sử d cắt ( α ) Muốn tìm giao điểm d vµ ( α ), ta chän mÆt ph¼ng phô chøa d, c¾t ( α ) theo giao tuyÕn (d) dÔ nh×n thÊy Trong mp phô ( ) , d c¾t ( ) t¹i I §Ý lµ giao ®iÓm cña d vµ mp( α ) ¸p dông: Nguyễn Ngọc Toản Lop12.net (10) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Bài 1: Cho tứ diện OABC Trên các cạnh OA, OB, OC, ta lấy các điểm A’, B’, C’ LÊy ®iÓm M n»m tam gi¸c ABC a T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng B’C’ víi mp(OAM) b §êng th¼ng OM víi mp(A’B’C’) HD: a, cã AM BC = {K}, B’C’ OK = {H} H lµ giao ®iÓm cña B’C’ víi (OAM) b, OM A’H = {E} E lµ giao ®iÓm cña OM víi (A’B’C’) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N là trung điểm AC và BC, K là ®iÓm trªn c¹nh BD vµ kh«ng trïng víi trung ®iÓm cña BD T×m giao ®iÓm cña CD vµ AD víi mp(MNK) HD: NK CD = {I} IM AD = {J} AD (MNK) = {J} Bµi 3: Cho ®iÓm A, B, C, D kh«ng cïng n»m mét mÆt ph¼ng Gäi M vµ N lÇn lượt là trung điểm AC và BC Trên đoạn thẳng BD, ta lấy điểm P cho BP = 2PD T×m giao ®iÓm cña: a §êng th¼ng CD víi mp(MNP) b §êng th¼ng AD víi mp(MNP) Bµi 4: Cho h×nh chãp S.ABCD, d¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC a T×m giao ®iÓm I cña AM víi (SBD) Chøng minh: IA = 2IM b T×m giao ®iÓm F cña SD víi (ABM) Chøng minh F lµ trung ®iÓm cña SD c Gäi N lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB T×m giao ®iÓm cña MN víi (SBD) Vấn đề 4: Cách tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng di động Phương pháp: + Gọi đường thẳng di động d và d’, d d’ = {M} Muốn tìm tập hợp M ta làm sau: Tìm hai mặt phẳng cố định chứa d và d’, M di động trên giao tuyến cố định hai mặt phẳng đó + Giíi h¹n (nÕu cã) + Phần đảo ¸p dông: Bài 1: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d1 và d2 đồng qui O Hai điểm A và B cố định ngoài mặt phẳng (P) Mặt phẳng (Q) lưu động qua AB cắt d1 M và d2 M T×m quü tÝch giao ®iÓm I cña Am vµ BN Nguyễn Ngọc Toản 10 Lop12.net (11) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Bµi 2: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ tø gi¸c, AB vµ CD kh«ng song song, M lµ điểm di động trên cạnh SB Mặt phẳng (ADM) cắt SC N T×m tËp hîp giao ®iÓm cña Am vµ DN Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng (P)lưu động qua AB cắt SC và SD E và F Tìm tập hợp giao điểm M AE và BF Bµi 4: Cho ®êng th¼ng d1 vµ d2 c¾t t¹i O vµ mét ®êng th¼ng kh«ng cïng n»m mét mÆt ph¼ng víi d1 vµ d2 M lµ mét ®iÓm trªn T×m giao tuyÕn cña mÆt phẳng (M,d1) và (M,d2) Tìm quỹ tích giao tuyến M lưu động trên Vấn đề 5: Cách xác định thiết diện hình chóp và mặt phẳng Phương pháp: Cho hình chóp S.A1,A2, A3,…,An và mp( ) Nếu ( ) cắt mặt nào đó hình chóp (mặt bên hay mặt đáy) thì ( ) cắt mặt này theo đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến ( ) với mặt đó C¸c ®o¹n giao tuyÕn nèi tiÕp nhau, t¹o thµnh mét ®a gi¸c ph¼ng gäi lµ thiÕt diÖn Nh vËy, muèn t×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi ( ), ta t×m c¸c ®o¹n giao tuyÕn (nÕu cã) §a gi¸c t¹o bëi c¸c ®o¹n giao tuyÕn lµ thiÕt diÖn cÇn t×m VËn dông: Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường th¼ng CD lÊy ®iÓm M cho KM kh«ng song song víi BD T×m thiÕt diÖn cña tø gi¸c ABCD víi mp(HKM) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi H và K là trung điểm các cạnh AC và BC tam gi¸c BCD, ta lÊy ®iÓm M cho ®êng th¼ng KM vµ CD c¾t T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn ABCDE víi mp(HKM) Bµi 3: Cho h×nh chãp S.ABCD Trong tam gi¸c SCD, ta lÊy mét ®iÓm M a T×m giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (SBM) vµ (SAC) b T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng BM víi mp(SAC) T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(ABM) Bài 4: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H và K lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh CB vµ CD lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh SA T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(MHK) Bài 5: Cho tứ diện ABCD, cạnh a Kéo dài BC đoạn CE = a, kéo dài BD mét ®o¹n EF = a Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB a T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF) b TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Nguyễn Ngọc Toản 11 Lop12.net (12) Một số vấn đề Hinh Học Không Gian 11 Nguyễn Ngọc Toản 12 Lop12.net (13)