Nguyễn Danh Nghĩa – KSTN Điện Tử Truyền Thông K60 Bùi Thái Sơn _ KSTN Điện Tử Truyền Thông K60 Hướng dẫn đáp số đề thi thử lần Bài a) Nếu (𝑥0 ; 𝑦0 ) điểm cố định họ (𝐶𝑚 ) ta phải có: 𝑦0 = (𝑚 + 1)𝑥03 − (2𝑚 + 1)𝑥0 − 𝑚 − ∀𝑚 𝑥 − 2𝑥0 − = ⟺ 𝑚(𝑥03 − 2𝑥0 − 1) + 𝑥03 − 𝑥0 + − 𝑦0 ∀𝑚 ⟺ { 𝑦0 = 𝑥03 − 𝑥0 + Dễ thấy phương trình 𝑥 − 2𝑥 − = (1) có nghiệm phân biệt 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 Do (𝐶𝑚 ) ln qua điểm cố định 𝐴1 (𝑥1 ; 𝑦1 ), 𝐴2 (𝑥2 ; 𝑦2 ), 𝐴3 (𝑥3 ; 𝑦3 ) với 𝑥𝑖 nghiệm (1) 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖3 − 𝑥𝑖 + Do 𝑥𝑖 tìm tường minh nên ta chứng minh 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 thẳng hàng phương pháp trực tiếp Tuy nhiên, ta làm gọn cách để ý 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖3 − 𝑥𝑖 + = 𝑥𝑖3 − 2𝑥𝑖 − + 𝑥𝑖 + = 𝑥𝑖 + ∀𝑖 = 1,2,3 Từ suy 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 thuộc đường thẳng có phương trình 𝑦 = 𝑥 + b) Đường thẳng vng góc với đường thẳng 𝑦 = 𝑥 + phải có hệ số góc −1 Vậy tiếp tuyến (𝐶𝑚 ) điểm (𝐶𝑚 ) có hồnh độ 𝑥0 có hệ số góc 𝑘 = 𝑓(𝑥0 ) = 3(𝑚 + 1)𝑥02 − (2𝑚 + 1) nên yêu cầu tốn tương đương có phương trình 3(𝑚 + 1)𝑥 − (2𝑚 + 1) = −1 có nghiệm ⟺ 2𝑚 3𝑚+3 𝑚 ≥ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑚 < −1 Vậy giá trị 𝑚 thỏa mãn yêu cầu toán 𝑚 ≥ ∨ 𝑚 < −1 Bài P(x) = (x-a)(x-a-2015).g(x) ≥0⟺ P(x) chẵn với x ∈ Z Giả sử có x0 ∈ Z để Q(P(x0))=1 Q(x) = [x – P(x0)].h(x) + Q(2014) = [2014 – P(x0)].h(2014) + Do P(x0) chẵn, h(2014) ∈ Z, nên VT chẵn, VP lẻ, mâu thuẫn Bài Ta có: 𝜋 𝜋 𝑛 𝐼𝑛 = ∫ cos 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑛−1 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 = ∫ 0 cos 𝑛−1 𝑥 (cos(𝑛 + 1) 𝑥 + cos(𝑛 − 1) 𝑥) 𝑑𝑥 (1) Mặt khác, ta có: 𝜋 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 cos 𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝐼𝑛 = ∫ cos 𝑥 𝑑 ( │0 + ∫ 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥 cos 𝑛−1 𝑥 𝑑𝑥 )= 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛 𝜋 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 cos 𝑛−1 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 =∫ cos 𝑛−1 𝑥 (cos(𝑛 − 1) 𝑥 − cos(𝑛 + 1) 𝑥)𝑑𝑥 Cộng phương trình (1) (2) ta được: 𝜋 2𝐼𝑛 = ∫ cos 𝑛−1 𝑥 cos(𝑛 − 1) 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼𝑛−1 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛−1 𝐼𝑛−2 𝐼0 𝜋 = = ⋯ = 𝑛 = 𝑛 2 Bài Cho 𝑥 = 𝑦 = ta 𝑓(0) = Lại cho 𝑦 = ta 𝑓(𝑥 ) = 𝑥𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ (2) Từ 𝑓(𝑥 − 𝑦 ) = 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑦 ) ⟹ 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ≥ Suy dễ dàng 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ≥ Từ đẳng thức cho 𝑦 = −𝑥 ta 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓 𝑙ẻ Với 𝑥, 𝑦 < ta có: 𝑓(−𝑥 − 𝑦) = 𝑓(−𝑥) + 𝑓(−𝑦) ⇒ −𝑓(𝑥 + 𝑦) = −𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) Còn 𝑥 > 0, 𝑦 < 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥— 𝑦)= 𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) Suy 𝑓 cộng tính ℝ Ta có 𝑓((𝑥 + 1)2 − (𝑥 − 1)2 ) = 𝑓(4𝑥) = 4𝑓(𝑥) Mặt khác : 𝑓((𝑥 + 1)2 − (𝑥 − 1)2 ) = (𝑥 + 1) 𝑓(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1)𝑓(𝑥 − 1) = (𝑥 + 1)(𝑓(𝑥) + 𝑓(1)) − (𝑥 − 1)(𝑓(𝑥) − 𝑓(1)) = 2𝑥𝑓(1) + 2𝑓(𝑥) So sánh kết ta thu 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥 (thỏa mãn) Vậy 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ Bài Dễ thấy 𝑎𝑛+1 > 4𝑎𝑛 > ∀𝑛 ( 𝑎𝑛+1 - 4𝑎𝑛 )2 = 15𝑎𝑛2 – 60 (*) (4𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 )2 = 15𝑎𝑛+1 − 60 = (𝑎𝑛+2 − 4𝑎𝑛+1 )2 4𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+2 − 4𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+2 − 8𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 = Lại có 𝑎0 = 2, 𝑎1 = nên 𝑎𝑛 = ( + √15 )n + (4 – √15 )n Do 𝑎2𝑛 = 𝑎𝑛2 − Mặt khác (*) → (𝑎𝑛+1 − 4𝑎𝑛 ) ⋮ 15 1 5 𝑎𝑛+1 −4𝑎𝑛 Có: (𝑎2𝑛 + 8) = (𝑎𝑛2 + 6) = ( 15 ) +2 = 3𝑘 + = (𝑘 − 1)2 + 𝑘 + (𝑘 + 1)2 (Với 𝑘 = 𝑎𝑛+1 −4𝑎𝑛 15 ∈ 𝑁) Bài Gọi số ván cờ mà anh Nam chơi ngày thứ nhất, ngày thứ hai, … ,ngày thứ hai mươi a1, a2, …, a20 Xét tổng s1=a1, s2= a1+a2, , s20=a1 + a2 + … + a20 Ta có: s1 < s2 < s3 < … < s20 < 36 (vì 20 ngày anh Nam chơi ít 12.3=36 ván cờ) TH1: ∃sk ⋮ 20 sk=20 hay a1+a2+ +ak=20 TH2: ∄sk ⋮ 20 theo Dirichlet, 20 số s1,s2, ,s20 có số cùng dư chia cho 20 ( có 20 số si, nhận 19 số dư 1,2, ,19 nên có số cùng dư) Chẳng hạn số sm sn (m sn – sm = 20 Hay am+1 + am+2 + + an = 20 ✪ Link đăng ký: https://goo.gl/j0wyAD ✪ Link fanpage: https://www.facebook.com/onthikstngsttgroup/ ✪ Email: onthikstngsttgroup@gmail.com ✪ Địa điểm (dự kiến): Viện Đào tạo liên tục ĐHBKHN ✪ Khai giảng: 17/7/2016 ✪ Liên hệ: Anh Tùng: 01686560691; Anh Linh: 0965141887 ... s1=a1, s2= a1+a2, , s20=a1 + a2 + … + a20 Ta có: s1 < s2 < s3 < … < s20 < 36 (vì 20 ngày anh Nam chơi ít 12. 3=36 ván cờ) TH1: ∃sk ⋮ 20 sk =20 hay a1+a2+ +ak =20 TH2: ∄sk ⋮ 20 theo Dirichlet, 20 số... 4