Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Cảm ơn quí thầy cô môn Toán Giải tích, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh trang bị kiến thức cho chương trình Sau đại học Cám ơn Thầy cô, anh chị công tác phòng sau Đại học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện để hoàn thành khóa học kỳ hạn Đặc biệt, chân thành cảm ơn thầy Đặng Đức Trọng tận tâm hướng dẫn bảo hoàn thành luận văn ii MỤC LỤC Trang LỜI CÁM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ii LỜI NÓI ĐẦU iv Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Không gian Sobolev chiều 1.2 Giải tích thực – phức 1.2.1 Tích phân Stieltjes .4 1.2.2 Phổ toán tử tự liên hợp .6 1.2.3 Biến đổi Laplace ngược 1.3 Toán tử Sturm – Liouville .14 1.3.1 Toán tử Sturm – Liouville qui .14 1.3.2 Toán tử Sturm – Liouville suy biến 18 1.3.3 Đẳng thức Parseval nửa đường thẳng 20 1.3.4 Phổ toán Sturm – Liouville với q ∈ L2 (0, ∞) 26 1.3.5 Lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan 31 Chương KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN .36 2.1 Biểu diễn nghiệm đầu mút u f (0, t ) 36 2.2 Sự tồn tính nghiệm .39 2.3 Thuật toán .47 2.4 Xác định độ dài b phép đo 49 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU n không gian Euclide n chiều Lp ( µ ) không gian hàm p – khả tích với độ đo Lebesgue µ L2 ( , d ρ ) không gian hàm bình phương khả tích  với độ đo Lebesgue – Stieltjes χ[ , a ] hàm đặc trưng đoạn [0, a ] C ([0, ∞); L2 (0, b)) không gian hàm liên tục, bị chặn u :[0, ∞) → L2 (0, b) với chuẩn u sup b 2 = sup u (., t ) u (., t ) =  ∫ u ( x, t ) dx  t ≥0 0  C1 ((0, ∞); L2 (0, b)) không gian hàm khả vi liên tục, bị chặn u : (0, ∞) → L2 (0, b) với u 1,sup sup u (., t ) + sup chuẩn = t >0 t >0 du (., t ) dt b 2 du (., t )  du ( x, t ) = ∫ dx  Chú ý u (., t ) ∈ C ((0, ∞), )   dt  dt  W m , p ( a, b) không gian Sobolev hàm khả tích có đạo hàm riêng đến bậc p m thuộc L (a, b) , với chuẩn u H = H (t ) = W m , p ( a ,b ) m u p + ∑ Dα (u ) α =1 0, t < 1, t > hàm bước đơn vị Heaviside, H (t ) =  p iv LỜI NÓI ĐẦU Trong luận văn này, giải toán ngược cho phương trình nhiệt u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), < x < b ≤ ∞, t > 0, b > 1, u= t ( x, t ) u (0, t ) − hu (0, t ) = 0,  x (1)  + = ( , ) ( , ) 0, u b t Hu b t  x  u ( x,0) = f ( x) Trong u ( x, t ) nhiệt độ điểm x vào thời điểm t có nhiệt độ đầu f ( x) , chọn cho f ( x) = 0, ∀x > Yêu cầu đặt khôi phục hệ số nguồn nhiệt q ( x) , hệ số truyền nhiệt đối lưu h, H hai đầu mút độ dài b từ phép đo nhiệt độ đầu mút x = , u (0, t ) với ≤ t ≤ T Bài toán (1) có nhiều ý nghĩa Vật lí, ta xét ba báo [4], [5], [13] GS Vũ Kim Tuấn vấn đề  Bài toán truyền nhiệt (0, π ) [4] x, t ) u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), ≤ x ≤ π , t ≥ 0, ut (=  0, u x (0, t ) − hu (0, t ) =  0, u x (π , t ) + Hu (π , t ) =  u ( x,0) = f ( x) (2) f với tiên nghiệm q ∈ L1 (0, π ) Bằng hữu hạn phép đo fi ( x) → u i (0, t ), t ∈ (0, T ) , i = 1, , N , ta thu liệu phổ Tiếp tục thực N phép đo với hệ số truyền nhiệt đối lưu thay đổi, h2 ≠ h1 x = , ta thu liệu phổ thứ hai Khi hàm q khôi phục từ hai phổ  Trong [5] toán truyền nhiệt mở rộng u xx ( x, t ) − q ( x)u ( x, t ), ≤ x ≤ b ≤ ∞, t > 0, u= t ( x, t ) u (0, t ) − hu (0, t ) = 0,  x  , t ) 0, b < ∞ u x (b, t ) + Hu (b= u ( x,0) = f ( x), (3) với tiên nghiệm q ∈ L1loc (0, b) , phổ toán tử L = − y ''+ qy rời rạc Sử dụng lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan – Gasymov tác giả khôi phục hàm q từ hai phổ với bốn phép đo v  Bài báo [13] tiếp tục giải toán (3) với tiên nghiệm q ∈ L (0, b) , phổ toán tử L = − y ''+ qy có phần liên tục, đặc biệt không cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h Do xác định hai tập giá trị riêng xác định q từ hai phổ Hướng tiếp cận lại tiệm cận nhiệt độ biên, x = , vô cực để xác định giá trị riêng định độ dài hữu hạn hay vô hạn Hơn có độ dài hữu hạn ta tính độ dài với phép đo Khi tìm giá trị riêng ta khôi phục hàm phổ Từ lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan ta khôi phục hàm q giá trị h, H Luận văn nhằm chứng minh chi tiết kết báo [13], trình bày thành hai chương Chương Trình bày số kiến thức bản, khái niệm tích phân Stieltjes, biến đổi Laplace ngược, toán tử Sturm – Liouville lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan Chương Biểu diễn nghiệm đầu mút x = qua khai triển Sturm – Liouville Chứng minh tồn nghiệm toán ngược lý thuyết phổ ngược Gelfand – Levitan Đặc biệt yêu cầu xác định độ dài thanh, cách chọn nhiệt độ đầu thích hợp ta cần thực phép đo 1 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM 1.1.1 Không gian Hilbert Giả sử H không gian vector, tích vô hướng (u , v) dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương từ H × H vào  Định nghĩa 1.1.1 Không gian Hilbert không gian vectơ H trang bị tích vô hướng (u , v) không gian đầy đủ chuẩn u = (u , u ) Sau ta ký hiệu H không gian Hilbert Định lý 1.1.2 (Định lý biểu diễn Riesz – Fréchet) Giả sử H’ không gian liên hợp H Cho ϕ ∈ H ' tồn f ∈ H cho < ϕ, v > = ( f , v), ∀v ∈ H Hơn f = ϕ H' Qui ước Ta đồng H ' với H 1.1.2 Không gian Lp Giả sử (Ω, M , µ ) không gian độ đo ≤ p < ∞ Gọi Lp ( µ ) tập hợp hàm số phức đo X cho ∫u p dµ < ∞ Ω hàm u gọi p – khả tích độ đo µ Ω Không gian Lp ( µ ) không gian định chuẩn với chuẩn u p  p p =  ∫ u dµ  X  Định lý 1.1.3 Không gian Lp ( µ ) với ≤ p < ∞ không gian Banach 2 Định lý 1.1.4 Giả sử Ω tập mở  n , Lp (Ω) không gian hàm p – khả tích Lebesgue Khi có chuẩn Lebesgue p thiết lập từ tích vô hướng (u , v) Lp = ∫ u ( x)v( x)dx Ω chuẩn L Giả sử (Ω, M , µ ) không gian độ đo, L∞ ( µ ) tập hợp hàm chủ yếu giới nội X Với phần tử u thuộc L∞ ( µ ) , đặt u ∞ = esssup u ( x) x∈X Định lý 1.1.5 Không gian L ( µ ) với chuẩn ∞ không gian Banach ∞ 1.1.3 Không gian Sobolev chiều 1.1.3.1 Không gian Sobolev W 1, p ( I ) Cho I = (a, b) khoảng bị chặn hay không bị chặn p ∈  với ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.1.6 Không gian Sobolev W 1, p ( I ) định nghĩa   W1, p ( I ) =u ∈ Lp ( I ) : ∃g ∈ Lp ( I ) cho ∫ uϕ ' =− ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ Cc1 ( I )  I I   Ta đặt H ( I ) = W 1,2 ( I ) Với u ∈ W 1, p ( I ) đặt u ' = g gọi đạo hàm suy rộng u Định nghĩa 1.1.7 Không gian W 1, p ( I ) không gian định chuẩn với chuẩn u = W1, p ( I ) u p + u' p Không gian H trang bị tích vô hướng (u= , v) H (u , v) L2 + (u ', v ') L2 chuẩn tương ứng u= H1 (u tương đương với chuẩn W 1, p ( I ) Xem [6] trang 169 p + u' p ) Định lý 1.1.8 Không gian H không gian Hilbert tách Định lý 1.1.9 Cho u ∈ W 1, p ( I ) tồn u ∈ C ( I ) cho u = u h.k.n I u ( x) − u= ( y) y ∫ u '(t )dt , ∀x, y ∈ I x Chú ý 1.1.10 Nếu u ∈ W 1, p ( I ) u ' ∈ C ( I ) u ∈ C1 ( I ) Định lý 1.1.11 Tồn số C (chỉ phụ thuộc vào I ≤ ∞ ) cho u ∞ ≤C u W1, p ( I ) , ∀u ∈ W1, p ( I ) , ≤ p ≤ ∞ Nói cách khác W1, p ( I ) ⊂ L∞ ( I ) với phép nhúng liên tục Hơn I bị chặn phép nhúng W1, p ( I ) ⊂ C ( I ) compact Hệ 1.1.12 Giả sử I không bị chặn u ∈ W 1, p ( I ) , ≤ p < ∞ , lim u ( x) = u∈I , x →∞ Hệ 1.1.13 Giả sử u , v ∈ W 1, p ( I ) , ≤ p ≤ ∞ , uv ∈ W 1, p ( I ) (uv= ) ' u 'v + v 'u Hơn ta có công thức tích phân phần b b a a ∫ u '( x)v( x)dx = u (b)v(b) − u (a)v(a) − ∫ u ( x)v '( x)dx , ∀a, b ∈ I m, p 1.1.3.2 Không gian Sobolev W ( I ) Định nghĩa 1.1.14 Cho trước số nguyên m ≥ số thực ≤ p ≤ ∞ Ta nói u ∈ W m, p ( I ) tồn m hàm g1 , , g n ∈ Lp ( I ) cho ∫ uD ϕ = j ∞ (−1) j ∫ g jϕ , ∀ϕ ∈ Cc ( I ), ∀j =1, 2, , m Khi u ∈ W m , p ( I ) ta xác lập đạo hàm liên tiếp u sau u ' = g1 , (u ') ' = g , … cấp m, ký hiệu Du , D 2u , …, D mu Không gian W m , p ( I ) trang bị chuẩn u = W m, p ( I ) m u p + ∑ Dα (u ) α =1 p Đặt H m ( I ) = W m ,2 ( I ) , không gian H m trang bị tích vô hướng m (u= , v) H m (u , v) L2 + ∑ ( Dα u , Dα v) L2 α =1 Chú ý 1.1.15 ∞ 1, p i) Cc ( I ) trù mật W0 ( I ) 1, p 1, p ii) Nếu u ∈ W ( I ) ∩ Cc ( I ) u ∈ W0 ( I ) iii) Ký hiệu W 1, p ' ( I ) không gian đối ngẫu W01, p ( I ) , ≤ p < ∞ H −1 ( I ) đối ngẫu H 01 ( I ) iv) Ta đồng L2 với đối ngẫu không đồng H 01 ( I ) với −1 H −1 ( I ) H ⊂ L ⊂ H với phép nhúng liên tục chứa trù mật 1.2 GIẢI TÍCH THỰC – PHỨC 1.2.1 Tích phân Stieltjes Giả sử α( x) h( x) hàm thực xác định [a, b] , phân hoạch ∆ khoảng (a, b) điểm chia x0 , x1 , , xn a = x0 < x1 < < xn = b với chuẩn = , i 0,1, , n − 1} δ max{x i +1 − xi= Định nghĩa 1.2.1 Giới hạn n −1 lim ∑ h(ξi ) [α ( xi +1 ) − α ( xi ) ] δ →0 i =0 với xi ≤ ξi ≤= xi +1 , i 0,1, , n − tồn độc lập với cách phân hoạch cách chọn số ξi gọi tích phân Stieltjes h( x) α( x) cận từ a đến b ký hiệu b ∫ h ( x ) dα ( x ) (1.1) a Định nghĩa dễ dàng mở rộng với α ( x) h( x) hàm phức Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tích phân Stieltjes) i) Nếu h( x) liên tục α ( x) có biến phân bị chặn (a, b) tích phân Stieltjes h( x) α ( x) từ a tới b tồn 5 ii) Nếu h( x) có biến phân bị chặn α ( x) liên tục (a, b) tích phân Stieltjes h( x) α ( x) từ a tới b tồn b b a a ∫ h( x)dα ( x) = h(b)α (b) − h(a)α (a) − ∫ α ( x)dh( x) Trong định lý hàm có biến phân bị chặn hàm u thỏa tính chất: tồn k −1 số C cho ∑ u (t i =0 i +1 ) − u (ti ) ≤ C với phân hoạch t0 < t1 < < tk I Hàm có biến phân bị chặn hàm có biến phân bị chặn bị chặn Định lý 1.2.3 Nếu h( x) liên tục f ( x) khả tích a ≤ x ≤ b x α ( x) = ∫ f ( x)dt , (a ≤ c ≤ b, a ≤ x ≤ b) c x = ∫ h ( x ) dα ( x ) c x x c c h( x) f ( x)dx ∫ h( x)α '( x)dx ∫= Định lý 1.2.4 (Định lý giá trị trung bình thứ nhất) Nếu h hàm thực liên tục f hàm khả tích không âm a ≤ x ≤ b tồn ξ ∈ (a, b) cho b b a a ∫ h( x) f ( x)dx = h(ξ )∫ f ( x)dx (1.2) Định nghĩa 1.2.5 Giả sử h(x) liên tục a ≤ x < ∞ α ( x) có biến phân bị chặn a ≤ x ≤ R , R > Các giới hạn ∞ R a ∫ h( x)dα ( x) = lim ∫ f ( x)dα ( x) ; R →∞ a ∫ h( x)dα ( x) = lim R →∞ −∞ a a ∫ f ( x ) dα ( x ) , −R ∞ = ∫ h( x)dα ( x) lim M →∞ −∞ a N ∫ h( x)dα ( x) + lim ∫ h( x)dα ( x) N →∞ −M a tồn tại, tích phân gọi hội tụ, ngược lại gọi phân kỳ Đặc biệt α ( x) hàm bước, tích phân suy rộng trở thành chuỗi lũy thừa ∞ ∞ a k =0 ∫ h( x)dα ( x) = ∑α k h( xk ) (1.3) Định lý 1.2.6 (Helly – Bray) Giả sử {α n ( x)}0∞ dãy hàm có biến phân bị chặn đều, hội tụ điểm a ≤ x ≤ b , lim α n ( x) = α ( x) , hàm f liên tục a ≤ x ≤ b n →∞ b b lim ∫ f ( x)dα n ( x) = ∫ f ( x)dα ( x) n →∞ a (1.4) a Chứng minh Từ giả thuyết suy α ( x) hàm có biến phân bị chặn Hơn α n ( x) bị chặn nên tồn số T không nhỏ α n ( x) α ( x) , với a ≤ x ≤ b Chọn phân hoạch a = x0 < x1 < < xm = b cho với ε > bé tùy ý f ( x) − f ( xi ) < ε , ∀x ∈ ( xi , xi +1 ) Khi b = Hn ∫ a b f ( x ) dα n ( x ) − ∫ f ( x ) dα ( x ) a m −1 xi +1 =∑ m −1 xi +1 ( x) − ∑ ∫ [f ( x) − f ( x )]dα ∫ [f ( x) − f ( x )]dα ( x) i n i xi =i 0= xi i m −1 xi +1 i =0 xi + ∑ f ( xi ) ∫ d [α n ( x) − α ( x)] Do m −1 xi +1 H n ≤ ε T + ε T + max f ( x) ∑ a ≤ x ≤b i =0 ∫ d [α n ( x) − α ( x)] xi Cho n tiến vô ta lim H n ≤ 2ε T x →∞ Suy điều phải chứng minh  Định lý Helly – Bray không cho khoảng vô hạn 1.2.2 Phổ toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.2.7 Giả sử G không gian đóng không gian Hilbert H Toán tử P xác định với f ∈ H tương ứng với phần tử chiếu g G gọi toán tử chiếu phép chiếu G kí hiệu P G Các tính chất toán tử chiếu a) Toán tử chiếu toán tử tuyến tính bị chặn có chuẩn b) Điều kiện cần đủ để toán tử P toán tử chiếu P = P P* = P c) Tích hai toán tử chiếu PG1 , PG2 toán tử chiếu chúng giao hoán PG1 PG2 = PG2 PG1 Khi PG1 PG2 = PG G = G1 ∩ G2 d) Hiệu hai toán tử chiếu, PG1 − PG2 toán tử chiếu G2 ⊂ G1 Khi PG1 − PG2 = PG1 \G2 e) Nếu {Pk } , k=1,2,3, dãy vô hạn toán tử chiếu PGk ≤ PGk +1 , k=1,2,3, k → ∞ toán tử chiếu Pk hội tụ mạnh tới toán tử chiếu P Định nghĩa 1.2.8 Giả sử P toán tử tuyến tính đóng xác định tập trù mật D P H Số λ gọi giá trị qui toán tử P toán tử ngược ( P − λ I ) −1 tồn bị chặn Các số phức λ lại gọi phổ P Định lý 1.2.9 Phổ toán tử tự liên hợp nằm đường thẳng thực Định nghĩa 1.2.10 Một giải đồng họ toán tử Eλ , với tham số thực λ hữu hạn hay vô hạn, thỏa điều kiện a) Eλ toán tử chiếu với giá trị λ b) Eλ ≤ Eµ với λ < µ ( Eµ − Eλ toán tử không âm) c) E−∞ = , E+∞ = I , với x ∈ H ta có lim Eλ x = , lim Eλ x − x = λ →−∞ λ →+∞ d) Với x, hàm vectơ Eλ x liên tục phải, lim Eλ +ε x − Eλ x = ε →+0 Kí hiệu ∆ khoảng (α , β ) , [α , β ) , (α , β ] [α , β ] E∆ kí hiệu cho hàm Eβ −0 − Eα + = Eβ −0 − Eα ; Eβ −0 − Eα −0 ; Eβ + − Eα + =Eβ − Eα ; Eβ + − Eα −0 =Eβ − Eα −0 Từ tính chất b) ta có E∆ toán tử chiếu khoảng ∆1 , ∆ , , ∆ n rời E∆i E∆ j = với i ≠ j Giả sử hàm f liên tục khoảng [a, b] , xác định tích phân Stieltjes hàm f Eλ b ∫ f (λ )dEλ (1.4’) a Nếu hàm f liên tục điểm hữu hạn thêm vào điều kiện tồn tích phân Stieltjes ta mở rộng định nghĩa tích phân ∞ ∫ f (λ )dEλ −∞ giới hạn tích phân (1.4’) a → −∞, b → ∞ Định lý 1.2.11 Với toán tử tự liên hợp L tồn giải đồng nhất, Eλ , có tính chất a) Một vectơ x ∈ DL +∞ ∫ λ d ( Eλ x, x) < ∞ −∞ b) Khi điều kiện a) thỏa +∞ ∫ λ dEλ x , L( x) = +∞ L( x) = −∞ ∫ λ d ( Eλ x, x) −∞ Ngược lại, toán tử định nghĩa giải đồng Eλ toán tử tự liên hợp Định lý 1.2.12 a) Số thực λ điểm qui toán tử L λ điểm Eλ , nghĩa tồn ε > cho Eλ +ε − Eλ −ε = b) Số thực λ giá trị riêng toán tử L λ điểm nhảy Eλ , nghĩa Eλ + − Eλ ≠ c) Số thực λ phổ liên tục toán tử L λ điểm liên tục Eλ , nghĩa Eλ + − Eλ = Từ giải thức đồng nhất, Eλ , ta xác định phổ toán tử L, lẽ ta thường gọi Eλ hàm phổ 1.2.3 Biến đổi Laplace ngược Định nghĩa 1.2.13 Cho α (t ) hàm phức biến số thực t xác định khoảng ≤ t ≤ ∞ Giả sử α (t ) có biến phân bị chặn khoảng ≤ t ≤ R với R dương, với s giới hạn ∞ ∫e − st R dα (t ) = lim ∫ e − st dα (t ) R →∞ (1.5) tồn tích phân gọi hội tụ, ngược lại gọi phân kỳ Nếu α(t ) có biến phân bị chặn khoảng ε ≤ t ≤ R với ε bé tùy ý R dương, ta sử dụng ký hiệu ∞ ∫e 0+ − st R dα (t ) = lim ∫ e − st dα (t ) ε →0 R →∞ ε Khi tích phân (1.5) hội tụ xác định hàm theo biến s, ký hiệu g ( s ) , gọi biến đổi Laplace – Stieltjes α (t ) Xem [3] Vol.2 trang 36 – 38 Xem [3] Vol.2 trang 46 9 t Định nghĩa 1.2.14 Giả sử α (t ) = ∫ f (u )du tích phân (1.5) hội tụ ∞ g ( s ) = ∫ e − st f (t )dt (1.6) Gọi g ( s ) biến đổi Laplace f (t ) , hàm f (t ) hàm gốc g ( s ) hàm ảnh phép biến đổi Laplace Ký hiệu f (t ) • =• g ( s ) Định lý 1.2.15 Nếu tồn số thực γ cho α (t ) = o(eγ t ), t → ∞ tích phân ∞ ∫e − st dα (t ) hội tụ s = σ + iτ với σ > γ Chứng minh Từ giả thiết suy tồn số M cho α (t ) ≤ Meγ t , ≤ t < ∞ ta giả sử α ( x) bị chặn khoảng hữu hạn Do ∞ ∫e − st ∞ M α (t )dt ≤ M ∫ e − (σ −γ )t dt = , σ >γ σ −γ nên tích phân vế trái bất đẳng thức hội tụ tuyệt σ > γ Hơn R ∫e − st dα = (t ) α ( R )e − sR R − α (0) + s ∫ e − stα (t )dt α (t )e − st = o(1) , t → ∞,σ > γ Thật điều kiện cần cho tích phân (1.5) hội tụ Nên ∞ R 0 − st − st = ∫ e dα (t ) s ∫ e α (t )dt − α (0) , σ > γ Định lý 1.2.16 Nếu tích phân ∞ ∫e hội tụ s0= γ + iδ với γ > − st dα (t ) 10 α (t ) = o(eγ t ) , t → ∞ Hệ 1.2.17 Nếu tích phân (1.5) hội tụ s= σ + iτ hội tụ với s= σ + iτ cho σ > σ , lim g ( s ) = σ →∞ Định lý 1.2.18 Nếu tích phân ∞ g ( s ) = ∫ e − st dα (t ) hội tụ s= σ + iτ với σ > ∞ = g ( s ) s ∫ e − stα (t )dt − α (0) hội tụ tuyệt đối s có Re s > σ Hệ 1.2.19 Giả sử α (t ) hàm có biến phân bị chặn khoảng ε ≤ t ≤ R với ε bé tùy ý R dương Nếu tích phân ∞ g ( s ) = ∫ e − st dα (t ) 0+ hội tụ s= σ + iτ với σ > ∞ lim s ∫ e − stα (t )= dt α (0+) σ →∞ (1.7) Định lý 1.2.20 Cho f hàm thực xác định khoảng (0, ∞) Nếu ∞ g ( s ) = ∫ e − st f (t )dt hàm ảnh biến đổi Laplace g ( s ) giảm tới chậm hàm mũ Chứng minh Với s thực từ (1.7) ta có lim s.g (= s ) f (0+) s →∞ Giả sử f không đổi dấu (0, a ) Không tính tổng quát, giả sử f ( x) > (0, a ) Đặt < ε < a , ε ∞ − st g (s) = g1 ( s ) g ( s ) ∫ e f (t )dt + ∫ e f (t )dt :=+ − st ε Áp dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân thứ ta 11 g1 ( s ) = e − sto ε ε ∫ f (t )dt ≥ e ∫ f (t )dt > 0, − sε 0 < t0 < ε Do lim e sε g1 ( s ) > s →∞ Tương tự cho tích phân thứ hai ta có  sε f (t + ε )  = e g (s) từ (1.7) suy s) lim se sε g (= s →∞ f (ε + ) Nên lim e sε g ( s ) > s →∞ Ngược lại f ( x) < (0, a ) lim e sε g ( s ) < s →∞ Do f không đổi dấu (0, a ) lim eas g ( s ) = lim e(a-ε )s eε s g ( s ) = ∞ s →∞ s →∞ Từ hệ 1.2.17 suy lim g ( s ) = s →∞ Từ hai kết suy tồn = s0 s0 (a ) > cho > g ( s ) > e − as với s > s0 Do ln g ( s ) ln g ( s ) ≤ lim ≤ x →∞ x →∞ s s Vì a chọn nhỏ tùy ý suy ln g ( s ) lim = s →∞ s Chứng minh hoàn tất − a ≤ lim (1.8) Định lý 1.2.21 Giả sử f ∈ L∞ (0, ∞) , f có bước nhảy không liên tục t (−1) j −1 njt e g (nj ) = (1 − e −1 ) f (t + 0) + e −1 f (t − 0) j =1 ( j − 1)! ∞ lim n∑ n →∞ g định nghĩa (1.6) Đặt biệt, f liên tục t ∞ (−1) j −1 njt lim n∑ e g (nj ) = f (t ) n →∞ j =1 ( j − 1)! (1.9) 12 Nói cách khác f hoàn toàn xác định {g (n)}n≥1 Chứng minh Đặt (−1) j −1 njt e g (nj ) ∑ j =1 ( j − 1)! ∞ n f n (t ) = − e−e Chuỗi f n (t ) hội tụ tuyệt t Thật nt ∞ ∞ ∞ 1 njt ( ) e g nj ≤ e njt ∫ e − njx f ( x) dx ∑ ∑ ( j − 1)! =j = j ( j − 1)! ∞ ≤ f ∞ ∫e n (t − x ) ∞ ∞ f n ( j −1)( t − x ) dx j =1 = ∑ ( j − 1)!e ( ) ent e −1 f n e n (t − x ) ee = dx ∞ ∫ n(t −x ) ∞ , đặt z = e n (t − x ) ta en ( t − a ) n ( t −b ) ∞ ∫ K (t , x) f ( x)dx n e−e − e−e −z = nt nt ∫a K n (t , x)dx 1= ∫ e dz − e − e en ( t − b ) − e−e b n (t −a ) (1.10) 13 Giả sử f có bước nhảy không liên tục t Khi với ε > tồn δ ∈ (0, t ) cho f ( x) − f (t + 0) < ε với x ∈ (t , t + δ ) f ( x) − f (t − 0) < ε với x ∈ (t − δ , t ) Đặt = J n (t ) − e −1 f (t + 0) + − e−e Áp dụng công thức (1.10) ta có nt e −1 − e − e − e−e ∞ nt f (t − 0) − f n (t ) nt − e −1 ∫ K (t , x)dx = − e n , − ent t t ∫K n (t , x)dx = e −1 − e − e − e−e nt nt Cho nên ∞ t = J n (t ) ∫ K (t , x) [ f (t − 0) − f ( x)] dx + ∫ K (t , x) [ f (t + 0) − f ( x)] dx n n t  t −δ t  =  ∫ + ∫  K n (t , x)[f (t − 0) − f ( x)]dx +  t −δ   t +δ ∞   ∫ + ∫  K n (t , x)[f (t + 0) − f ( x)]dx  t t +δ  = ( I1 + I ) + ( I + I ) Đánh giá I1 I Ta có t −δ I1 ≤ ∫ K (t , x) f (t − 0) − f ( x) dx n t −δ ≤2 f ∞ ∫ nδ e−e − e−e K n (t , x)dx = f ∞ nt − e−e nt ∞ I4 ≤ ∫ K (t , x) f (t + 0) − f ( x) dx n t +δ ∞ − nδ − e−e ≤ f ∞ ∫ K n (t , x)dx = f ∞ nt , − e−e t +δ ta áp dụng (1.10) cho đẳng thức sau đánh giá Tiếp theo ta đánh giá I I , ta có [...]... hội tụ mạnh tới toán tử chiếu P Định nghĩa 1.2.8 Giả sử P là toán tử tuyến tính đóng xác định trên tập con trù mật D P của H Số λ gọi là giá trị chính qui của toán tử P nếu toán tử ngược ( P − λ I ) −1 tồn tại và bị chặn Các số phức λ còn lại gọi là phổ của P Định lý 1.2.9 Phổ của toán tử tự liên hợp nằm trên đường thẳng thực Định nghĩa 1.2.10 Một giải của đồng nhất là một họ các toán tử Eλ , với tham... chứng minh  Định lý Helly – Bray không đúng cho khoảng vô hạn 1.2.2 Phổ của toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.2.7 Giả sử G là không gian con đóng của không gian Hilbert H Toán tử P xác định với mỗi f ∈ H tương ứng với một phần tử chiếu g trên G gọi là toán tử chiếu hoặc phép chiếu trên G và được kí hiệu là P G Các tính chất cơ bản của toán tử chiếu a) Toán tử chiếu là toán tử tuyến tính bị chặn và có... tích phân Stieltjes của h( x) đối với α ( x) từ a tới b tồn tại và b b a a ∫ h( x)dα ( x) = h(b)α (b) − h(a)α (a) − ∫ α ( x)dh( x) Trong đó định lý trên hàm có biến phân bị chặn là những hàm u thỏa tính chất: tồn k −1 tại số C sao cho ∑ u (t i =0 i +1 ) − u (ti ) ≤ C với mọi phân hoạch t0 < t1 < < tk của I Hàm có biến phân bị chặn đều là hàm có biến phân bị chặn và bị chặn đều Định lý 1.2.3 Nếu h(... b] , xác định tích phân Stieltjes của hàm f đối với Eλ b ∫ f (λ )dEλ (1.4’) a Nếu hàm f liên tục tại các điểm hữu hạn và thêm vào các điều kiện tồn tại của tích phân Stieltjes ta có thể mở rộng định nghĩa tích phân ∞ ∫ f (λ )dEλ −∞ như là giới hạn của tích phân (1.4’) khi a → −∞, b → ∞ 8 Định lý 1.2.11 2 Với mỗi toán tử tự liên hợp L tồn tại duy nhất giải của đồng nhất, Eλ , có tính chất a) Một vectơ... phổ liên tục của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm liên tục của Eλ , nghĩa là Eλ + 0 − Eλ = 0 Từ giải thức của đồng nhất, Eλ , ta xác định được phổ của toán tử L, vì lẽ đó ta thường gọi Eλ là hàm phổ 1.2.3 Biến đổi Laplace ngược Định nghĩa 1.2.13 Cho α (t ) là hàm phức biến số thực t xác định trên khoảng 0 ≤ t ≤ ∞ Giả sử α (t ) có biến phân bị chặn trên khoảng 0 ≤ t ≤ R với mỗi R dương, với mỗi s giới... Ngược lại, mỗi toán tử định nghĩa bởi những giải của đồng nhất Eλ là toán tử tự liên hợp Định lý 1.2.12 3 a) Số thực λ là điểm chính qui của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm hằng của Eλ , nghĩa là tồn tại ε > 0 sao cho Eλ +ε − Eλ −ε = 0 b) Số thực λ là giá trị riêng của toán tử L nếu và chỉ nếu λ là điểm nhảy của Eλ , nghĩa là Eλ + 0 − Eλ ≠ 0 c) Số thực λ là phổ liên tục của toán tử L nếu và chỉ... dα ( x ) c x x c c h( x) f ( x)dx ∫ h( x)α '( x)dx ∫= Định lý 1.2.4 (Định lý giá trị trung bình thứ nhất) Nếu h là hàm thực liên tục và f là hàm khả tích không âm trong a ≤ x ≤ b thì tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho b b a a ∫ h( x) f ( x)dx = h(ξ )∫ f ( x)dx (1.2) Định nghĩa 1.2.5 Giả sử h(x) liên tục trong a ≤ x < ∞ và α ( x) có biến phân bị chặn trong a ≤ x ≤ R , R > 0 Các giới hạn ∞ R a ∫ h( x)dα (... phân Stieltjes của h( x) đối với α( x) cận từ a đến b và được ký hiệu bởi b ∫ h ( x ) dα ( x ) (1.1) a Định nghĩa dễ dàng được mở rộng với α ( x) và h( x) là các hàm phức Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tại của tích phân Stieltjes) i) Nếu h( x) liên tục và α ( x) có biến phân bị chặn trên (a, b) thì tích phân Stieltjes của h( x) đối với α ( x) từ a tới b tồn tại 5 ii) Nếu h( x) có biến phân bị chặn và α... tất − a ≤ lim (1.8) Định lý 1.2.21 Giả sử f ∈ L∞ (0, ∞) , nếu f có một bước nhảy không liên tục tại t thì (−1) j −1 njt e g (nj ) = (1 − e −1 ) f (t + 0) + e −1 f (t − 0) j =1 ( j − 1)! ∞ lim n∑ n →∞ trong đó g được định nghĩa trong (1.6) Đặt biệt, nếu f liên tục tại t thì ∞ (−1) j −1 njt lim n∑ e g (nj ) = f (t ) n →∞ j =1 ( j − 1)! (1.9) 12 Nói cách khác f hoàn toàn được xác định bởi {g (n)}n≥1... gọi là phân kỳ Nếu α(t ) có biến phân bị chặn trên khoảng ε ≤ t ≤ R với ε bé tùy ý và mỗi R dương, ta sử dụng ký hiệu ∞ ∫e 0+ − st R dα (t ) = lim ∫ e − st dα (t ) ε →0 R →∞ ε Khi tích phân (1.5) hội tụ xác định một hàm theo biến s, ký hiệu là g ( s ) , gọi là biến đổi Laplace – Stieltjes của α (t ) 2 3 Xem [3] Vol.2 trang 36 – 38 Xem [3] Vol.2 trang 46 9 t Định nghĩa 1.2.14 Giả sử α (t ) = ∫ f