Xác định nguồn nhiệt bên trong của thanh bị chôn một phần

Header Page of 166 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH PHM MINH TR XC NH NGUN NHIT BấN TRONG CA THANH B CHễN MT PHN LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2012 Footer Page of 166 Header Page of 166 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH PHM MINH TR XC NH NGUN NHIT BấN TRONG CA THANH B CHễN MT PHN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC GS NG C TRNG Thnh ph H Chớ Minh 2012 Footer Page of 166 Header Page of 166 LI CM N Cm n quớ thy cụ b mụn Toỏn Gii tớch, khoa Toỏn Tin trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh ó trang b nhng kin thc cho tụi chng trỡnh Sau i hc Cỏm n cỏc Thy cụ, cỏc anh ch cụng tỏc ti phũng sau i hc v trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh ó to iu kin tụi hon thnh khúa hc ỳng k hn c bit, tụi chõn thnh cm n thy ng c Trng ó tn tõm hng dn v ch bo tụi hon thnh lun Footer Page of 166 Header Page of 166 ii MC LC Trang LI CM N i MC LC ii DANH MC CC Kí HIU ii LI NểI U iv Chng KIN THC CHUN B 1.1 Gii tớch hm 1.1.1 Khụng gian Hilbert 1.1.2 Khụng gian Lp 1.1.3 Khụng gian Sobolev mt chiu 1.2 Gii tớch thc phc 1.2.1 Tớch phõn Stieltjes .4 1.2.2 Ph ca toỏn t t liờn hp .6 1.2.3 Bin i Laplace ngc 1.3 Toỏn t Sturm Liouville .14 1.3.1 Toỏn t Sturm Liouville chớnh qui .14 1.3.2 Toỏn t Sturm Liouville suy bin 18 1.3.3 ng thc Parseval trờn na ng thng 20 1.3.4 Ph ca toỏn Sturm Liouville vi q L2 (0, ) 26 1.3.5 Lý thuyt ph ngc Gelfand Levitan 31 Chng KHễI PHC NGUN NHIT NI CHO THANH B CHễN .36 2.1 Biu din nghim ti u mỳt u f (0, t ) 36 2.2 S tn ti v tớnh nht nghim .39 2.3 Thut toỏn .47 2.4 Xỏc nh di b bng mt phộp o 49 KT LUN TI LIU THAM KHO Footer Page of 166 Header Page of 166 iii DANH MC CC Kí HIU n khụng gian Euclide n chiu Lp ( ) khụng gian cỏc hm p kh tớch vi o Lebesgue L2 ( , d ) khụng gian cỏc hm bỡnh phng kh tớch trờn vi o Lebesgue Stieltjes [ , a ] hm c trng ca on [0, a ] C ([0, ); L2 (0, b)) khụng gian cỏc hm liờn tc, b chn u :[0, ) L2 (0, b) vi chun u sup b 2 = sup u (., t ) ú u (., t ) = u ( x, t ) dx t 0 C1 ((0, ); L2 (0, b)) khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc, b chn u : (0, ) L2 (0, b) vi u 1,sup sup u (., t ) + sup chun = t >0 t >0 du (., t ) dt ú b du (., t ) du ( x, t ) = dx Chỳ ý u (., t ) C ((0, ), ) dt dt W m , p ( a, b) khụng gian Sobolev cỏc hm kh tớch cú o hm riờng n bc p m thuc L (a, b) , vi chun u H = H (t ) Footer Page of 166 = W m , p ( a ,b ) m u p + D (u ) =1 0, t < 1, t > l hm bc n v Heaviside, H (t ) = p Header Page of 166 iv LI NểI U Trong lun ny, chỳng ta s gii bi toỏn ngc cho phng trỡnh nhit u xx ( x, t ) q ( x)u ( x, t ), < x < b , t > 0, b > 1, u= t ( x, t ) u (0, t ) hu (0, t ) = 0, x (1) + = ( , ) ( , ) 0, u b t Hu b t x u ( x,0) = f ( x) Trong ú u ( x, t ) l nhit ti im x vo thi im t ca cú nhit u f ( x) , c chn cho f ( x) = 0, x > Yờu cu t l khụi phc h s ngun nhit q ( x) , h s truyn nhit i lu h, H ln lt ti hai u mỳt v di b t nhng phộp o nhit ti u mỳt x = , u (0, t ) vi t T Bi toỏn (1) cú nhiu ý ngha Vt lớ, ta xột ba bi bỏo [4], [5], [13] ca GS V Kim Tun v ny Bi toỏn truyn nhit trờn (0, ) [4] x, t ) u xx ( x, t ) q ( x)u ( x, t ), x , t 0, ut (= 0, u x (0, t ) hu (0, t ) = 0, u x ( , t ) + Hu ( , t ) = u ( x,0) = f ( x) (2) f vi tiờn nghim q L1 (0, ) Bng hu hn cỏc phộp o fi ( x) u i (0, t ), t (0, T ) , i = 1, , N , ta thu c cỏc d liu ph Tip tc thc hin N phộp o nh trờn vi h s truyn nhit i lu thay i, h2 h1 ti x = , ta thu c d liu ph th hai Khi ú hm q c khụi phc t hai ph Trong [5] bi toỏn truyn nhit m rng u xx ( x, t ) q ( x)u ( x, t ), x b , t > 0, u= t ( x, t ) u (0, t ) hu (0, t ) = 0, x , t ) 0, b < u x (b, t ) + Hu (b= u ( x,0) = f ( x), (3) vi tiờn nghim q L1loc (0, b) , ph ca toỏn t L = y ''+ qy l ri rc S dng lý thuyt ph ngc Gelfand Levitan Gasymov tỏc gi khụi phc hm q t hai ph ch vi bn phộp o Footer Page of 166 Header Page of 166 v Bi bỏo [13] tip tc gii bi toỏn (3) vi tiờn nghim q L (0, b) , ph ca toỏn t L = y ''+ qy cú phn liờn tc, c bit khụng cho phộp thay i h s truyn nhit h Do ú chỳng ta khụng th xỏc nh c hai giỏ tr riờng v ú khụng th xỏc nh q t hai ph Hng tip cn cũn li l tim cn nhit biờn, x = , ti vụ cc xỏc nh giỏ tr riờng v quyt nh di ca l hu hn hay vụ hn Hn na cú di hu hn ta cú th tớnh c di ch vi mt phộp o Khi ó tỡm c giỏ tr riờng ta khụi phc hm ph T lý thuyt ph ngc Gelfand Levitan ta khụi phc c hm q v cỏc giỏ tr h, H Lun ny nhm chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo [13], c trỡnh by thnh hai chng Chng Trỡnh by mt s kin thc c bn, cỏc khỏi nim v tớch phõn Stieltjes, bin i Laplace ngc, toỏn t Sturm Liouville v lý thuyt ph ngc Gelfand Levitan Chng Biu din nghim ti u mỳt x = qua khai trin Sturm Liouville Chng minh s tn ti v nht nghim ca bi toỏn ngc bng lý thuyt ph ngc Gelfand Levitan c bit nu ch yờu cu xỏc nh di ca thanh, bng cỏch chn nhit u thớch hp ta ch cn thc hin mt phộp o Footer Page of 166 Header Page of 166 Chng KIN THC CHUN B 1.1 GII TCH HM 1.1.1 Khụng gian Hilbert Gi s H l khụng gian vector, tớch vụ hng (u , v) l dng song tuyn tớnh i xng, xỏc nh dng t H ì H vo nh ngha 1.1.1 Khụng gian Hilbert l khụng gian vect H c trang b mt tớch vụ hng (u , v) v khụng gian ny y i vi chun u = (u , u ) Sau õy ta luụn ký hiu H l khụng gian Hilbert nh lý 1.1.2 (nh lý biu din Riesz Frộchet) Gi s H l khụng gian liờn hp ca H Cho H ' tn ti nht f H cho < , v > = ( f , v), v H Hn na f = H' Qui c Ta ng nht H ' vi H 1.1.2 Khụng gian Lp Gi s (, M , ) l khụng gian o v p < Gi Lp ( ) l hp cỏc hm s phc o c trờn X cho u p dà < hm u c gi l p kh tớch i vi o trờn Khụng gian Lp ( ) l khụng gian nh chun vi chun u p p p = u dà X nh lý 1.1.3 Khụng gian Lp ( ) vi p < l mt khụng gian Banach Footer Page of 166 Header Page of 166 nh lý 1.1.4 Gi s l m trờn n , Lp () l khụng gian cỏc hm p kh tớch Lebesgue Khi ú cú nht chun Lebesgue p c thit lp t tớch vụ hng (u , v) Lp = u ( x)v( x)dx ú l chun trờn L Gi s (, M , ) l khụng gian o, L ( ) l hp cỏc hm ch yu gii ni trờn X Vi mi phn t u thuc L ( ) , t u = esssup u ( x) xX nh lý 1.1.5 Khụng gian L ( ) vi chun l mt khụng gian Banach 1.1.3 Khụng gian Sobolev mt chiu 1.1.3.1 Khụng gian Sobolev W 1, p ( I ) Cho I = (a, b) l khong b chn hay khụng b chn v p vi p nh ngha 1.1.6 Khụng gian Sobolev W 1, p ( I ) c nh ngha bi W1, p ( I ) =u Lp ( I ) : g Lp ( I ) cho u ' = g , Cc1 ( I ) I I Ta t H ( I ) = W 1,2 ( I ) Vi u W 1, p ( I ) t u ' = g gi l o hm suy rng ca u nh ngha 1.1.7 Khụng gian W 1, p ( I ) l khụng gian nh chun vi chun u = W1, p ( I ) u p + u' p Khụng gian H c trang b tớch vụ hng (u= , v) H (u , v) L2 + (u ', v ') L2 chun tng ng u= H1 (u tng ng vi chun W 1, p ( I ) Xem [6] trang 169 Footer Page of 166 p + u' p ) Header Page 10 of 166 nh lý 1.1.8 Khụng gian H l khụng gian Hilbert tỏch c nh lý 1.1.9 Cho u W 1, p ( I ) ú tn ti u C ( I ) cho u = u h.k.n trờn I u ( x) u= ( y) y u '(t )dt , x, y I x Chỳ ý 1.1.10 Nu u W 1, p ( I ) v u ' C ( I ) thỡ u C1 ( I ) nh lý 1.1.11 Tn ti mt hng s C (ch ph thuc vo I ) cho u C u W1, p ( I ) , u W1, p ( I ) , p Núi cỏch khỏc W1, p ( I ) L ( I ) vi phộp nhỳng liờn tc Hn na nu I b chn thỡ phộp nhỳng W1, p ( I ) C ( I ) l compact H qu 1.1.12 Gi s I khụng b chn v u W 1, p ( I ) , p < , thỡ lim u ( x) = uI , x H qu 1.1.13 Gi s u , v W 1, p ( I ) , p , thỡ uv W 1, p ( I ) (uv= ) ' u 'v + v 'u Hn na ta cú cụng thc tớch phõn tng phn b b a a u '( x)v( x)dx = u (b)v(b) u (a)v(a) u ( x)v '( x)dx , a, b I m, p 1.1.3.2 Khụng gian Sobolev W ( I ) nh ngha 1.1.14 Cho trc s nguyờn m v mt s thc p Ta núi u W m, p ( I ) v ch tn ti m hm g1 , , g n Lp ( I ) cho uD = j (1) j g j , Cc ( I ), j =1, 2, , m Khi u W m , p ( I ) ta xỏc lp cỏc o hm liờn tip ca u nh sau u ' = g1 , (u ') ' = g , cho n cp m, ký hiu ln lt l Du , D 2u , , D mu Khụng gian W m , p ( I ) c trang b chun u Footer Page 10 of 166 = W m, p ( I ) m u p + D (u ) =1 p Header Page 47 of 166 40 Chng minh Theo nh lý 1.3.1 ta cú ( x, ) l hm nguyờn theo bin nờn vi nhit u fi L2 (0, ) , i 1, thỡ F ( ) = fi ( x) ( x, )dx fi cng l hm nguyờn theo bin v nhn giỏ tr thc trờn ng thng thc Chỳng ta chia chng minh thnh bc Bc Tỡm iu kin b < hay b = + Gi s b = , c nh Tn ti in cho F in ( ) , ngc li f F fi ( ) = fi ( x) ( x, )dx , i = 1, 2, trit tiờu Khi ú { fi }i1 l c s ca L2 (0,1) nờn ( x, ) = (mõu thun) Xột biu thc nhit ti u mỳc u fi = (0, t ) G fi (t ) + n F fi (n )e nt n =1 ta cú F fi ( ) l hm nguyờn khụng tm thng, cú cỏc khụng im l cụ lp nờn F fi ( ) khụng i du khong (0, ) Kt hp iu kin '( ) > trờn (0, ) suy F fi ( ) '( ) trờn (0, ) Do ú theo nh lý 1.2.20 hm G fi (t ) l bin i Laplace ca F fi ( ) '( ) v gim ti khụng chm hn bt k hm m no Núi cỏch khỏc lim e t G fi (t ) = vi bt k > suy t lim k ln u fi (0, k ) k + Gi s b < ta cú u (0, t ) = cn e ànt fi fi n =1 v tn ti n cho c suy fi n lim e t u fi (0, t ) = , < < à1 t Do ú lim k Túm li Footer Page 47 of 166 ln u fi (0, k ) k < Header Page 48 of 166 41 lim ln u fi (0, k ) k k < b < , ln u fi (0, k ) 0b= k Do ú ta cú th xỏc nh chớnh xỏc b hu hn hay vụ hn lim k Bc Xỏc nh àn , cnfi , b v hm b < Gi s b < , vỡ ph ca L l ri rc nờn khai trin Fourier tn ti j1 cho c1 i1 Khi ú f fi c1 e à1 + cn e àn e( à1 àn ) k u (0, k + 1) c1 e à1 n =l lim fi1 = lim = = e à1 fi k u (0, k ) k fi fi c1 c1 + cn e( à1 àn ) k fi fi fi n =l Suy u fi1 (0, k + 1) à1 = lim ln k u fi1 (0, k ) Bõy gi vi hm fi bt k, tn ti ớt nht mt n cho cnfi , gi s l l ch s nh nht thỡ fi cl e àl + cn e àn e( àl àn ) k cl e àl u (0, k + 1) n >l lim fi = lim e àl = = fi k u (0, k ) k fi fi cl cl + cn e( àl àn ) k fi fi fi n >l Suy u fi (0, k + 1) lim ln = àl à1 k u fi (0, k ) Do ú giỏ tr riờng th nht xỏc nh nht u fi (0, k + 1) = à1 inf lim ln i u fi (0, k ) k Suy c1 = lim e à1k u fi (0, k ) , i = 1, 2, fi k Lp lun tng t trờn ta cú U 2fi (t ) = u fi (0, t ) c1fi e à1t = c n=2 fi n e ànt , i = 1, 2,3, T ú giỏ tr riờng th hai c xỏc nh nht bi cụng thc Footer Page 48 of 166 Header Page 49 of 166 42 U 2fi (k + 1) = à2 inf lim ln i k U 2fi (k ) v c2 = lim e à2kU 2fi (k ) , i = 1, 2, Tng t ta xỏc nh c {à3 , c3fi }, {à4 , c4fi }, fi k Vi à1 , , va tỡm c, t (1.17) ta cú cụng thc xp x n = + O(1) , n àn b suy n b = lim { Ta cú h fi (0,1) } i àn n (2.14) l c s trc chun ca L2 (0,1) nờn n ( x) = (n , fi ) L (0,1) fi ( x) , < x < i =1 ú = ( n , f j ) L2 (0,1) b n ( x) fi ( x)dx = ( x) f ( x= )dx ( , f ) = n i n i ( n , n )cnfi Do ú n ( x) = cnf fi ( x), < x < ( n , n ) j =1 Kt hp vi iu kin n (0) = suy hm riờng n ( x) Hn na ti = n ta xỏc i nh c bc nhy n = Do ú hm ph c xỏc nh Mt hm ( n , n ) riờng u tiờn c xỏc nh trờn (0,1) ta tỡm c h s truyn nhit h = '1 (0) Bc S tn ti ca ph ri rc cho trng hp b = Gi s bc 1) ta xỏc nh c b = Khi b vụ hn ph ca L tn ti phn liờn tc [0, ) v phn ri rc (cú th rng) trờn (, 0) Ta cú khai trin u fi = (0, t ) G fi (t ) + n F fi (n )e nt n =1 v lim G fi (t ) = Nu ph ri rc ca L l rng thỡ u i (0, t ) = G i (t ) , suy f t {lim u t Footer Page 49 of 166 fi (0, t ) } i = {0} f Header Page 50 of 166 43 f Mc khỏc, nu ph ri rc ca L khỏc rng thỡ tn ti mt i1 cho F i (1 ) { Vỡ lim e 1t = nờn lim u fi1 (0, t ) = , hay lim u fi (0, t ) t x t } i Do ú trng hp b = , ta xỏc nh c ph ri rc ca toỏn t L l rng hay khụng f Bc Xỏc nh n , n F i (n ) vi n < b = Gi s b = v ph ri rc ca L l khỏc rng thỡ tn ti mt i1 cho F fi1 (1 ) Khi ú G (k + 1)e1k + 1F fi1 (1 )e + n F fi1 (n )e n e( n ) k fi u (0, k + 1) = lim k u fi (0, k ) k fi n=2 lim G (k )e1k + 1F fi1 (1 ) + n F fi1 (n )e( n ) k fi n=2 = 1F (1 )e e = f 1F (1 ) fi 1 i1 Suy = lim ln k u fi1 (0, k + 1) u fi1 (0, k ) Bõy gi vi fi tựy ý, gi s F fi (1 ) = vi mi n thỡ u fi (0, t ) = G fi (t ) v lim u fi (0, k ) = k f Ngc li tn ti ớt nht mt n cho F i (n ) , gi s l l giỏ tr riờng nh nht s ú thỡ G (k + 1)el k + l F fi (l )e l + n F fi (n )e n e( l n ) k fi u (0, k + 1) = lim k u fi (0, k ) k fi n >l lim G (k )el k + l F fi (l ) + n F fi (n )e( l n ) k fi n >l = l l F (l )e e = f l F (l ) fi l i Do ú u fi (0, k + 1) lim fi = l k u (0, k ) Footer Page 50 of 166 Header Page 51 of 166 44 f Nhng F i1 (l ) ti ớt nht mt l v ch lim u fi (0, k ) = k Do ú giỏ tr riờng th nht cú th xỏc nh nht t cụng thc u fi (0, k + 1) fi u k inf lim ln : lim (0, ) = = f i u i (0, k ) k k Mt giỏ tr riờng th nht c xỏc nh thỡ 1F fi (1 ) cng c xỏc nh 1F f (1 ) = lim e k u f (0, k ) , i = 1, 2, k i i Lp lun tng t ta cú U 2fi (t ) = u fi (0, t ) 1F fi (1 )e 1t =+ G fi (t ) n F fi (n )e nt , (i = 1, 2,3, ) n=2 Chng t rng nu lim U 2fi (k ) = k vi i bt k thỡ L khụng cú cỏc giỏ tr riờng no khỏc v ph ri rc ca L ch gm mt giỏ tr riờng Ngc li, giỏ tr riờng th hai tn ti v xỏc nh nht bi cụng thc U fi (k + 1) U i (k ) inf lim ln f : lim U 2f (k ) = = i k i k v F fi (2 ) = lim e2kU 2fi (k ) , i = 1, 2,3, Rừ rng bng cỏch quy ngi ta cú k th xỏc nh c cỏc cp {3 , F fi (3 )} , {4 , F fi (4 )} , , nu nú tn ti T y ta xỏc nh c tng F n =1 = G fi ( k ) n fi (n )e nt v ú xỏc nh c n =1 f k '( )d u fi (0, k ) n F fi (n )e n k e F i ( )= Bc Xỏc nh F fi ( ) '( ) , > v hm ph b = Gi s b = , vỡ q L1 (0, ) theo (1.36) thỡ ( x, ) Ce x im vi C l hng s Do ú vi dng ( x, ) b chn bi C, kộo theo F fi ( ) C f i , > T (1.58) suy '( ) Footer Page 51 of 166 Header Page 52 of 166 45 Túm li, ta cú F f ( ) '( ) L (0, ) Khi ú F f ( ) '( ) , > , l bin i Laplace ngc ca i i = G fi (t ) u fi (0, t ) n F fi (n )e nt n =1 vi t = 1, 2,3, p dng bin i Laplace ngc nh lý 1.2.21 ta khụi phc (1) k nkt fi = F ( ) '( ) lim n e u (0, nk ) n F fi (n )e n nk , > n (k 1)! = k 1= k fi Núi cỏch khỏc F fi ( ) '( ) , > , thit lp mt cỏch nht t h u fi (0, k ) , k = 1, 2,3, Mt khỏc h thc f ( x) ( x, )dx = F i fi ( ) , ch rng vi > , hng s F f ( ) , i l h s Fourier khai trin ca i ( x, ) thnh chui Fourier tng quỏt vi c s = ( x, ) ( , fi ) L2 (0,1) fi ( x) = { fi }i1 trờn (0,1) , tht vy x) ( x, ) f i ( x)dx fi ( = = k 1= k f ( x) F = k i fi ( ) Do ú ( x, ) '( ) = F f ( ) '( ) fi ( x) , < x < , > i k =1 Vỡ th mt F ( ) '( ) c xỏc nh vi mi > v vi i bt k ta khụi phc ( x, ) '( ) trờn (0,1) Hn na vi (0, ) = ta xỏc nh c '( ) S dng k thut tng t bc 2) ta tỡm c cỏc n ng vi n < , qua fi khai trin n ( x) = n ,n c fi n i =1 fi ( x),0 < x < ú f ( x) ( x)dx n c = fi n n ( x)dx l h s Fourier ca khai trin fi ( x) theo cỏc hm riờng fi ( x) = cnfi n ( x) n =1 Footer Page 52 of 166 Header Page 53 of 166 46 T ú hm n =1 (= ) H ( ) '( )dt + n H ( n ) vi n = n xỏc nh trờn c ng thng Bc Xỏc nh q, h v H + Vi b = hm ph c xỏc nh bc 5) vi b = , ta ỏp dng lý thuyt ph ngc ca Gelfand Levitan khụi phc hm q, h t + = max(0, ) ú T ( x) = cos( x ) d ( ) + Theo (1.70) thỡ T ( x) xỏc nh tt, hn na T ( x) kh vi nờn 1 T ( x + y) + T ( x y) 2 kh vi, t ú suy nghim ca phng trỡnh tớch phõn Fredholm F ( x, y= ) x F ( x, y ) + K ( x, y ) + K ( x, t ) F (t , y )dt = , (0 < y x < ) K ( x, y ) kh vi p dng nh lý 1.3.24 v 1.3.25 ta tỡm c q( x) = d K ( x, x ) , dx v h = K (0, 0) + Vi b < , xỏc nh q ( x), H T {àn , n } tỡm c bc 2) ỏp dng nh lý 1.3.25 ta xỏc nh c hm = F ( x, y ) 1 cos à1 x cos à1 y + cos àn x cos àn y cos nx cos ny n=2 n Gii phng trỡnh tớch phõn x K ( x, y ) + F ( x, y ) + K ( x, t ) F (t , y )dt = 0, y x b tỡm c hm K ( x, y ) , suy q( x) = Khi ú hm riờng Footer Page 53 of 166 d K ( x, x ) , dx Header Page 54 of 166 47 x = ( x, ) cos x + K ( x, t )cos tdt , Theo nh lý 1.3.26 ta tỡm c H= '1 (b) (b) nh lý c chng minh { } Chỳ ý Quan sỏt u fi (0, t ) i , t (0, T ) ta xỏc nh c q, h, H v b nht f Tht ra, u i (0, t ) l hm gii tớch trờn Re t > nờn t s m rng liờn tc ca f f hm u i (0, t ) trờn (0, T ) ngi ta cú th xỏc nh c u i (0, t ) ti bt k t > v ú cú th ỏp dng nh lý 2.3 THUT TON Gi s {fi }i l c s trc chun ca khụng gian L2 (0,1) v quan sỏt {u fi (0, n)}i , n = 1, 2, Bc Nu ln u f1 (0, k ) < 0, k thỡ b < , i ti bc Ngc li b = i ti bc lim k Bc Vi b < , giỏ tr riờng th nht c xỏc nh bng cụng thc u fi (0, k + 1) = à1 inf lim ln , i k u fi (0, k ) v c1fi cú th c thit lp t cụng thc c1fi = lim e à1k u fi (0, k ) , i = 1, 2, k t = U 2fi (t ) u fi (0, t ) c1fi e à1t , i = 1, 2,3, Khi ú giỏ tr riờng th hai c xỏc nh t cụng thc U fi (k + 1) = à2 inf lim ln fi i k U (k ) v c2fi = lim e à2kU 2fi (k ) , i = 1, 2,3, k Lp li quỏ trỡnh trờn ta xỏc nh c {à3 , c3fi } , {à4 , c4fi } , T ú xỏc nh c bc nhy n Footer Page 54 of 166 Header Page 55 of 166 48 n = lim cnf fi ( x) , < x < , i x + j =1 hm ph = ( ) H ( ) n n =1 n v nh c di n b = lim àn n , n bc Bc Vi b = , nu {lim u k f1 (0, k ) } i = {0} , thỡ phn ph ri rc ca L l rng nh ngha G f (k ) = u f (0, k ) v sang bc Ngc li, phn ph ri rc ca L l khỏc rng Khi ú giỏ tr riờng th nht cú th c xỏc nh nh cụng thc i u fi (0, k + 1) u i (0, k ) i inf lim ln : lim u f (0, k ) , = f i k k i v 1F f (1 ) = lim e k u f (0, k ) , i = 1, 2, x i i Gi s = U 2fi (t ) u fi (0, t ) 1F fi (1 )e 1t , i = 1, 2,3, nu {limU (k )} f1 k i = {0} , thỡ khụng cú giỏ tr riờng no khỏc ca toỏn t L, v ph ri rc ca toỏn t L ch bao gm mt giỏ tr riờng Ngc li giỏ tr riờng th hai tn ti v c xỏc nh bi cụng thc U 2fi (k + 1) fi , inf lim ln : lim ( ) U k = i U 2fi (k ) k k v F f (2 ) = lim e kU 2f (k ) , k i i i = 1, 2,3, Tip tc ta xỏc {3 , F fi (3 )} , {4 , F fi (4 )} , , nu nú tn ti Ta thu c hm = G fi (k ) u fi (0, k ) n F fi (n )e n k n =1 v i ti bc Bc Vi b = xỏc nh '( ) F f ( ) qua bin i Laplace i Footer Page 55 of 166 nh c Header Page 56 of 166 49 (1) k nkt fi '( ) F ( ) = lim n e G (nk ) , > , i = 1, 2, n k =1 ( k 1)! fi Suy '( ) = lim n F f ( ) '( ) fi ( x) , > i x + T ú khụi phc c hm ph i =1 (= ) H ( ) '(t )dt + n H ( n ) , < < n =1 i n bc Bc Vi b = , xỏc nh = T ( x) cos( x ) d ( ) + v 1 T ( x + y) + T ( x y) 2 F ( x, y= ) tỡm K ( x, y ) , t ú suy d K ( x, x) v h = K (0, 0) dx Vi b < , gii bi toỏn giỏ tr u ''( x) q( x)1 ( x) = à11 ( x), q( x) = = (0) 1,= ''( x) h V cui cựng tỡm c H= ''(b) (b) 2.4 XC NH DI b BNG MT PHẫP O Gi s chỳng ta ch quan tõm n vic xỏc nh di ca l hu hn hay vụ hn v nu hu hn thỡ cú di bng bao nhiờu? Khi ú vi vic chn nhit u f1 thớch hp chỳng ta ch cn thc hin mt phộp o {u f1 (0, k )}k >0 , t bc 1) ta cú lim k lim k Footer Page 56 of 166 ln u f1 (0, k ) k ln u f1 (0, k ) k (a ) , ú = (a) max q c ( ) a , (q + L1 (0, a ) + 2 a + h) L1 (0, a ) , v c( ) = t cos tdt Vi n ln, h s Fourier cn , t bc 2) ngi ta cú th tỡm c cỏc giỏ tr riờng àn tng ng S giỏ tr riờng c sp theo th t tng àm , àm+1 , , àm+ k , ú m (m c) l s cỏc tr riờng nh hn (a) T (2.14) ta suy kt qu sau nh lớ 2.3.2 di b c tớnh t gii hn b = lim k k àm+ k Chng minh T cụng thc (2.14) suy b = lim k m+k àm+ k Thay dóy cỏc giỏ tr riờng àn bng dóy àm+ k cng cho ta di b Tht vy k m+k k m+k k = b lim lim lim = lim= k k k k m+k àm+ k àm+ k m + k àm+ k Chng minh nh lý 2.3.1 Khụng mt tớnh tng quỏt gi s n (0) = 1, 'n (0) = h v (1.14) ta cú Footer Page 57 of 166 Header Page 58 of 166 51 h cos n x + n ( x) = Vi àn > q L1 (0, a ) àn sin ( sin n x + ) x àn àn ( x t ) q(t ) n (t )dt (2.16) ta cú ỏnh giỏ n L (0, a ) 1+ h n + àn q L (0, a ) L1 (0, a ) àn Suy h 1+ n L (0, a ) àn q (2.17) L (0, a ) àn T (2.16) v (2.17) suy n ( x) cos àn x h àn n + L (0, a ) q L1 (0, a ) àn h 1+ àn h + q q L1 (0,a ) àn àn = àn q L1 (0, a ) q +h , x (0, a ) , x (0, a ) L1 (0, a ) , x (0, a ) L1 (0, a ) àn Nhõn x v ly tớch phõn hai v hai bt phng trỡnh trờn ta c a a x n dx x cos àn xdx àn = àn q L1 ( , a ) q q +h a x dx L (0 ,a ) àn + h a +1 q L1 (0 ,a ) + L1 ( , a ) àn p dng nh lớ giỏ tr trung bỡnh th hai ta cú a àn Footer Page 58 of 166 x cos xdx (a àn ) c a àn cos xdx 2(a àn ) (2.18) Header Page 59 of 166 52 t c( ) = t cos tdt , vi (1 / 2, 0) ta cú ỏnh giỏ c( ) x cos xdx = n +1 a +1 àn a n àn = +1 àn t cos tdt +1 àn t cos tdt a àn 2a àn t cos tdt (2.19) Kt hp (2.18), (2.19) v (2.15) ta c c( ) a q L1 (0,a ) + h a n cn +1 + q +1 àn àn L (0,a ) àn Vỡ c( ) > nờn cn nu c( ) a q L1 (0,a ) + h a > + +1 q +1 àn L (0,a ) àn àn Suy àn a q L1 (0,a ) + h a > + q +1 c( ) L (0,a ) n tha iu ny thỡ àn > max q Footer Page 59 of 166 c ( ) a + , (q L (0, a ) +1 a + h L1 (0, a ) Header Page 60 of 166 KT LUN Da vo [13] tỏc gi trỡnh by bi toỏn nhit theo hng a bi toỏn v dng yu m s tn ti v tng ng ca nghim yu v nghim ca bi toỏn ban u cú th c kim chng qua nh lý Hille Yosida Do ú gii bi toỏn gc ta kho sỏt bi toỏn biờn Sturm Liouville x) 0, x b , u xx ( x) + [q ( x) ]u (= u ) 0, = 0, Vb (= u x (0) hu (0) u ( x,0) = f ( x) ú V= u x (b) + Hu (b) b < b (u ) Vic chn tiờn nghim q L(0, ) , dng, b = giỳp bi toỏn ri vo trng hp gii hn im nờn khụng cn iu kin biờn ti im x = v hm ph cú phn liờn tc trờn khong (0, ) Vic tỡm hm ph bng cỏch thay i nhit u lm chỳng ta phi i mt vi d liu ri rc Trong quỏ trỡnh ny chỳng ta s dng mt bin i Laplace ngc (1) j njt e g (nj ) = (1 e ) f (t + 0) + e f (t 0) , j =1 ( j 1)! lim n n cho phộp ta khụi phc hm f L (0, ) bit giỏ tr ca hm g ti nhng im nguyờn khụng ph thuc vo t Mt xỏc nh c hm ph, bi toỏn nhit ngc c gii theo lý thuyt ph ngc Gelfand Levitan, hm q v cỏc giỏ tr h, H xỏc nh v nht Phn cui ca lun a cụng thc xỏc nh di hu hn b bng cỏch chn nhit u f ( x) = x [0,a ] vi (1 2,0) Dự ó c gng nhng s hiu bit cũn hn ch khụng trỏnh nhng sai sút rt mong nhn c nhng phn hi t quý Thy (Cụ) v cỏc anh ch hc viờn Footer Page 60 of 166 Header Page 61 of 166 TI LIU THAM KHO Ting Vit ng ỡnh ng, T L Cng, H B Lõn, N V Nhõn, P H Quõn (2007), Bin i tớch phõn, Nxb Giỏo dc, H Ni Haùm Brezis, Ngi dch: Nguyn Thnh Long, Nguyn Hi Ngha (2002), Gii tớch hm lý thuyt v ng dng, Nxb HQG TP HCM, HCM Ting Anh N I Akhiezer and I M Glazman (1993), Theory of linear operators in Hilbert space, Dover Publications, New York A Boumenir and V K Tuan (2010), An inverse problem for the heat equation, American Mathematical Society 138 (2), 39113921 A Boumenir and V.K Tuan (2010), Recovery of a heat equation by four measurements at one end, Numerical Functional Analysis and Optimization 31 (2), 155163 M Carter, B V Brunt (2000), The Lebesgue Stieltjes integral a practical introduction, Springer, USA V Isakov (2006), Inverse problems of partial differential equations, Springer, USA B M Levitan (1987), Inverse Sturm Liouville problems, VNU Science Press BV, Great Britain B M Levitan, I S Sargsjan (1975), Introduction to spectral theory selfadjoint ordinary differential operators, American Mathematical Society, Moscow 10 V A Marchenko (1986), Sturm Liouville operators and applications, Operator Theory Advances and Applications 22, Germany 11 E L Post (1930), Generalized differentiation, Trans Amer Math Soc 32, 723 781 12 E C Titchmarsh (1962), Eigenfunction expansions associated with secondorder differential equations Part 1, Clarendon press, Oxford, Great Britain 13 V K Tuan, F Al Musallam (2011), Determination of the internal heat source for a half-buried rod, Acta Mathematica Vietnamica 36 (2), 517 535 14 A M Wazwaz (2011), Linear and nonlinear integral equations methods and applications, Springer, USA 15 D.V.Widder (1946), The Laplace transform, Princeton University Press, Princeton Footer Page 61 of 166 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM MINH TRÍ XÁC ĐỊNH NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG CỦA THANH BỊ CHÔN MỘT PHẦN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... có phần liên tục, đặc biệt không cho phép thay đổi hệ số truyền nhiệt h Do xác định hai tập giá trị riêng xác định q từ hai phổ Hướng tiếp cận lại tiệm cận nhiệt độ biên, x = , vô cực để xác định. .. KHÔI PHỤC NGUỒN NHIỆT NỘI CHO THANH BỊ CHÔN .36 2.1 Biểu diễn nghiệm đầu mút u f (0, t ) 36 2.2 Sự tồn tính nghiệm .39 2.3 Thuật toán .47 2.4 Xác định độ