Khoá giải đề đặc biệt – Thầy : Đặng Thành Nam Đề 050 +4/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2x + m − (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để điểm I(3;2) thuộc đường thẳng Δ , biết Δ đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm phía bên trái trục Oy đồ thị hàm số (1) Câu (1,0 điểm) 3π ⎞ cos a ⎛ a) Cho tan a = 2, ⎜ π < a < ⎟⎠ Tính A = ⎝ 1+ cot a b) Cho số phức z thoả mãn z + 2i = (3 − i)2 Tìm phần ảo z Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình 32 x+1 − 3x+2 + < π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1+ cos x)dx Câu (0,5 điểm) Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác thành lập từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để chọn số có tổng chữ số số chẵn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x + y + z = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (1; ;0) vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3y − 2z + = , tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a Hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy (ABCD) trung điểm H AC, góc mặt bên (SAD) mặt đáy (ABCD) 60 Gọi M trung điểm SA Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn, AC > AB Đường phân giác ! cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm E(-4;-4) (E khác A) Gọi D(1;1) điểm góc BAC cạnh AC cho ED = EC , tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai F(4;0) Tìm toạ độ đỉnh A,B,C 1 ⎧ ⎪ (2x − y )3 + (5x − y )3 = 8y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ (x, y ∈!) ⎪ 2 ⎩ x − 3y (x + 2) + 17 = 13 − 3x Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x,y,z khác thoả mãn x − y ≥ , x(yz + 4z − 4y) = 4yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức 16 16 2(x − y − z) P = (x − y) 1+ 2 + z + − x y z 10 -HẾT Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2x + m − (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để điểm I(3;2) thuộc đường thẳng Δ , biết Δ đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm phía bên trái trục Oy đồ thị hàm số (1) Học sinh tự giải ⎡x = Ta có: y' = x − 4x; y' = ⇔ ⎢ ⎣ x = ±2 Suy điểm cực đại A(0;m-1), điểm cực tiểu B(-2;m-5) C(2;m-5) Vậy đường thẳng Δ AB !!!" Ta có, AB = (−2;−4) / /(1;2) ⇒ Δ : 2x − y + m − = Vì I(3;2) thuộc Δ nên 2.3 − + m − = ⇔ m = −3 Câu (1,0 điểm) 3π ⎞ cos a ⎛ a) Cho tan a = 2, ⎜ π < a < Tính A = ⎟ ⎝ ⎠ 1+ cot a b) Cho số phức z thoả mãn z + 2i = (3 − i)2 Tìm phần ảo z 3π −1 / 1 ⇒ cos a < ⇒ cos a = − ⇒ A = =− a) Ta có: cos a = = , π < a < 2 27 1+ tan a 1+ b) z + 2i = (3 − i)2 = − 6i ⇒ z = − 8i ⇒ z = 64(1− i)2 = −128i Vậy z có phần ảo -128 Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 32 x+1 − 3x+2 + < Bất phương trình tương đương với: 3.32 x − 9.3x + < , đặt t = 3x > Bất phương trình trở thành: 3t − 9t + < ⇔ < t < ⇔ < 3x < ⇔ < x < log Vậy tập nghiệm S = (0;log 2) π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1+ cos x)dx π π π 1+ cos 2x 14 I = ∫ x(1+ cos x)dx = ∫ x(1+ )dx = ∫ x(3 + cos 2x)dx 20 0 ⎧du = dx ⎧u = x ⎪ Đặt ⎨ ⇒⎨ ⎩dv = + cos 2x ⎪v = 3x + sin 2x ⎩ π π 1 14 3π Suy ra: I = x(3x + sin 2x) − ∫ (3x + sin 2x)dx = + 2 20 64 Câu (0,5 điểm) Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác thành lập từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để chọn số có tổng chữ số số chẵn Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Không gian mẫu số chữ số có chữ số khác thành lập từ tập E = {1,2, 3, 4,5,6, 7,8,9} có n(Ω) = A95 Gọi A biến cố số chọn có tổng chữ số số lẻ, để tính số kết thuận lợi cho A ta tìm số số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ Vậy số có hoặc chữ số lẻ +) Số có chữ số khác nhau, gồm chữ số lẻ thành lập từ E C51 C44 5! = 600 +) Số có chữ số khác nhau, gồm chữ số lẻ thành lập từ E C53 C42 5! = 7200 +) Số có chữ số khác nhau, gồm chữ số lẻ thành lập từ E C55 5! = 120 Vậy n(A) = 600 + 7200 + 120 = 7920 n(A) 7920 11 Xác suất cần tính P(A) = = = n(Ω) A9 21 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x + y + z = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (1; ;0) vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3y − 2z + = tiếp xúc với mặt cầu (S) ! +) Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến n = (a;b;c),a + b + c > , mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến (0;3;-2) ! 3 b ⇒ n(a;b; b) 2 +) Phương trình (P) có dạng: a(x − 1) + b(y − ) + bz = ⇔ (P) : 2ax + 2by + 3bz − 2a − b = 2 Do (P) vuông góc với (Q) nên 3b − 2c = ⇒ c = +) Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), bán kính d(O;(P)) = ⇔ Do (S) tiếp xúc với (P) nên −2a − b 4a + 4b + 9b =1 ⎡b = ⇔ (2a + b) = 4a + 13b ⇔ 4b(a − 3b) = ⇔ ⎢ ⎣ a = 3b +) Nếu b = , chọn a=1 ta có (P) : x − = +) Nếu a = 3b , chọn a = 3,b = ta có (P) : 6x + 2y + 3z − = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a Hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy (ABCD) trung điểm H AC, góc mặt bên (SAD) mặt đáy (ABCD) 60 Gọi M trung điểm SA Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) 2 Ta có: SABCD = 2a , gọi N trung điểm AD, suy HN//CD nên HN ⊥ AD ! = 60 Lại có, AD ⊥ SH ⇒ AD ⊥ (SHN ) ⇒ SNH Tam giác vuông SHN có, HN = Vì VS.ABCD = CD = a ⇒ SH = HN = a a 2a 3 SH SABCD = 2a = (đvtt) 3 + Tính d(M;(SBC) Ta có: MH//SC, suy MH//(SBC) Vì d(M;(SBC)) = d(H;(SBC)) Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Gọi I trung điểm BC, kẻ HK ⊥ SI (K ∈SI ) Ta có, BC ⊥ HI, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SHI ) ⇒ BC ⊥ HK Do HK ⊥ (SBC) ⇒ HK = d(H;(SBC)) Tam giác vuông SHI có, HK = SH HI SH + HI = a.a 3a + a = a a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn, AC > AB Đường phân giác ! cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm E(-4;-4) (E khác A) Gọi D(1;1) điểm góc BAC cạnh AC cho ED = EC , tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai F(4;0) Tìm toạ độ đỉnh A,B,C Vì E điểm cung nhỏ BC nên EB = EC Mặt khác theo giả thiết có, ED = EC Từ suy EB = ED (1) Tam giác ECD cân có, ! = EDC ! ⇒ ADE ! = 180 − ECD ! = 180 − ACE ! ECD Lại có tứ giác ABEC nội tiếp nên ! + ABE ! = 180 ⇒ ABE ! = 180 − ACE ! ACE ! = ABE ! (2) Suy ra: ADE Vậy d(M;(SBC)) = Từ (1),(2) suy AE trung trực AD, AE ⊥ BD (3) ! = ABF ! (cùng chắn cung AF) Xét tam giác DCF có, DCF ! = ADB ! (đối đỉnh), ADB ! = ABF ! (tam giác ABD cân A) Và CDF ! = CDF ! ⇒ ΔCDF cân F, FD = FC , lại có: ED = EC Từ suy ra: DCF Nên EF trung trực CD, suy EF ⊥ AD (4) Từ (3),(4) suy D trực tâm tam giác AEF Áp dụng giải tích Phương trình đường thẳng AC qua D vuông góc EF 2x + y − = Phương trình đường thẳng AE qua E vuông góc DF 3x − y + = ⎧2x + y − = Toạ độ điểm A nghiệm hệ ⎨ ⇒ A(−1;5) ⎩ 3x − y + = Gọi H giao điểm EF AD, H trung điểm CD ⎧2x + y − = Toạ độ điểm H nghiệm hệ ⎨ ⇒ H (2;−1) ⇒ C(3;−3) ⎩ x − 2y − = Phương trình đường thẳng BF qua D,F x + 3y − = Gọi G giao điểm BF AE G trung điểm BD, toạ độ G nghiệm hệ ⎧ x + 3y − = ⇒ G(−2;2) ⇒ B(−5; 3) ⎨ ⎩ 3x − y + = Vậy A(-1;5), B(-5;3) C(3;-3) Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 1 ⎧ ⎪ (2x − y )3 + (5x − y )3 = 8y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ (x, y ∈!) ⎪ 2 ⎩ x − 3y (x + 2) + 17 = 13 − 3x Điều kiện: < y < x 13 ≤ 2 y6 y6 Phương trình thứ hệ tương đương với: + = 3 (2x − y ) (5x − y ) Đặt t = y2 > , phương trình trở thành: x t3 t3 + = (*) 3 (2 − t) (5 − t) t3 t3 Xét hàm số f (t) = , với t>0, ta có: + (2 − t)3 (5 − t)3 t3 t3 f (t) = u + v,u = > 0,v = > (2 − t)3 (5 − t)3 6t 15t u' v' > 0,v' = > ⇒ f '(t) = + >0 (2 − t) (5 − t) u v Vì f(t) đồng biến (0;2) Do (*) ⇔ f (t) = f (1) ⇔ t = ⇔ x = y Ta có: u ' = Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x − 3x − 6x + 17 = 13 − 3x Nhận thấy x=2 nghiệm kép phương trình nên tiến hành liên hợp nghiệm kép sau: (−6x + 13 − 13 − 3x ) + (x + 1)(x − 2)2 = ⎛ ⎞ 39 ⇔ (x − 2)2 ⎜ + x + 1⎟ = ⎝ −6x + 13 + 13 − 3x ⎠ ⎛ ⎛ 39 13 ⎤⎞ ⇔ x = ⎜ + x + > 0,∀x ∈ 0; ⎥ ⎜⎝ ⎦⎟⎠ ⎝ −6x + 13 + 13 − 3x Vậy x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; ) Bình luận: Ta tìm x = y , cách sau: 1 1 Cách 2: ghép liên hợp: ( − 3)+( − 3)= 3 y 8y (2x − y ) (5x − y ) Cách 3: Sử dụng đánh giá: Nếu x > y ⇒ VT < = VP 8y Nếu x < y ⇒ VT > > VP 8y Nhận thấy x = y ⇒ VT = VP Vậy phương trình đầu hệ tương đương với: x = y ⎧ f (x0 ) = + Dấu hiệu ghép liên hợp nghiệm kép ⎨ Ngoài hoàn toàn ghép liên hợp số ⎩ f '(x0 ) = sau: Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 (x − 3x − 6x + 16) + (1− 13 − 3x ) = ⎡ 3(x + 2) ⇔ (x − 2) ⎢ x − x − + 1+ 13 − 3x ⎣ ⎤ ⎥=0 ⎦ ⇔ (x − 2) ⎡ x + 2x − + (x − x − 8) 13 − 3x ⎤ = ⎣ ⎦ Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x,y,z khác thoả mãn x − y ≥ , x(yz + 4z − 4y) = 4yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức 16 16 2(x − y − z) P = (x − y) 1+ 2 + z + − x y z 10 ! ⎛ 1⎞ ! Xét hai véc tơ u = (x − y; ⎜ − ⎟ );v = (−z;− ) ⎝ y x⎠ z ! ! ! ! Sử dụng bất đẳng thức: u + v ≥ u + v (*), ta có: ⎛ 1⎞ 16 16 16 (x − y) 1+ 2 + z + = (x − y)2 + 16 ⎜ − ⎟ + z + ⎝ y x⎠ x y z z 2 ⎛ 1 1⎞ ⎛ xz − y(x + z) ⎞ ≥ (x − y − z) + 16 ⎜ − − ⎟ = (x − y − z)2 + 16 ⎜ ⎟⎠ ⎝ y x z⎠ ⎝ xyz = (x − y − z)2 + 1 − x − y y x z(y − x) Dấu xảy (1) = = −z xy − z 2 t ≥ f (7) = Đặt t = x − y − z , ta có: P ≥ f (t) = t + − 10 10 Dấu xảy x − y − z = (2) Từ (1),(2) kết hợp với x(yz + 4z − 4y) = 4yz , ta có (x; y; z) = (4;−1;−2) Vậy giá trị nhỏ P 10 Bình luận: + Bất đẳng thức (*) phát biểu dạng đại số sau: Với số thực p,q,m,n ta có p + q + m + n ≥ (m + p)2 + (q + n)2 Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202