Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+10 −3x + x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến Δ (H), biết Δ có hệ số góc -7 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình (1− cos x)(1+ cot x) = b) Tìm nghiệm phức z1 có phần ảo dương phương trình z − z + = Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình log (x − 1) + > log x π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (x + tan x)dx Câu (0,5 điểm) Một ngân hàng đề thi gồm 50 câu hỏi khác nhau, có 60% số câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu, 30% số câu hỏi mức độ vận dụng, 10% số câu hỏi mức độ vận dụng cao Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi xây dựng từ ngân hàng đó, câu hỏi đánh số từ đến 50 Tính xác suất để xây dựng đề thi mà câu hỏi đề xếp theo mức độ khó tăng dần ( Nhận biết, thông hiểu – Vận dụng – Vận dụng cao) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;-2;-5) đường thẳng Δ có x −1 y +1 z phương trình = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với đường thẳng −1 Δ Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng Δ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C Gọi H trung điểm AB Biết SH ⊥ (ABC),SC = a 3, BC = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A(1;2), C(4;6) Gọi M,N hình chiếu vuông góc A lên BC,CD Viết phương trình đường thẳng MN, biết trực tâm H tam giác AMN có hoành độ dương nằm đường thẳng x + y + = , MN = ⎧⎪ x x − 3y − = 3y y + (x, y ∈!) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ⎪⎩ 3x + 2y − xy + 3y = y + 2 ⎪⎧a + b = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a,b,c,d thoả mãn điều kiện ⎨ ⎩⎪c + d = Tìm giá trị lớn biểu thức P = b(c − 1) − d(a − 1) -HẾT Khoá giải đề đặc biệt 2015 – Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Trang 1/5 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN −3x + Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến Δ (H), biết Δ có hệ số góc -7 Học sinh tự giải −7 −3m + Giả sử tiếp điểm M (m; ), m ≠ −2 Hệ số góc tiếp tuyến M k = y'(m) = (m + 2)2 m+2 ⎡ m = −1 ⎡ M (−1; 4) + Theo giả thiết ta có: − = −7 ⇔ (m + 2)2 = ⇔ ⎢ ⇒⎢ (m + 2) ⎣ m = −3 ⎣ M (−3;−10) + Với M(-1;4) ta có tiếp tuyến y = −7(x + 1) + = −7x − + Với M(-3;-10) ta có tiếp tuyến y = −7(x + 3) − 10 = −7x − 31 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình (1− cos x)(1+ cot x) = b) Tìm nghiệm phức z1 có phần ảo dương phương trình z − z + = a) Điều kiện: sin x ≠ Phương trình tương đương với: 1− cos x π (1− cos x) = ⇔ =1⇔ = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ , k ∈! sin x (1− cos x)(1+ cos x) 1+ cos x ⎡ ⎢z = 3 b) Ta có: z − z + = ⇔ (z − )2 = − = ( i)2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢⎣ z = Vì z1 có phần ảo dương nên z1 = + − i i + i 2 Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình log (x − 1) + > log x Điều kiện: x > Bất phương trình tương đương với: log (x − 1) + > log x ⇔ log [ 3(x − 1)] > log x ⇔ 3(x − 1) > x ⇔ x > ⎛3 ⎞ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎜ ;+∞ ⎟ ⎝2 ⎠ π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (x + tan x)dx π π ⎛ x2 ⎞ π2 π Ta có: I = ∫ (x + − 1)dx = ⎜ − x + tan x ⎟ = − + cos x 32 ⎝ ⎠ 0 Câu (0,5 điểm) Một ngân hàng đề thi gồm 50 câu hỏi khác nhau, có 60% số câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu, 30% số câu hỏi mức độ vận dụng, 10% số câu hỏi mức độ vận dụng cao Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi xây dựng từ ngân hàng đó, câu hỏi đánh số từ đến 50 Tính xác suất để xây dựng đề thi mà câu hỏi đề xếp theo mức độ khó tăng dần ( Nhận biết, thông hiểu – Vận dụng – Vận dụng cao) Khoá giải đề đặc biệt 2015 – Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Trang 2/5 Không gian mẫu số đề xây dựng từ 50 câu hỏi ngân hàng đề thi, có n(Ω) = 50! Gọi A biến cố câu hỏi đề xếp theo mức độ khó tăng dần ( Nhận biết, thông hiểu – Vận dụng – Vận dụng cao) + Số câu hỏi mức độ nhận biết, thông hiểu 50.60% = 30 câu; xếp câu hỏi từ vị trí câu số đến câu số 30 có 30! cách + Số câu hỏi mức độ vận dụng 50.30% = 15 câu; xếp câu hỏi từ vị trí số 31 đến 45 có 15! Cách + Số câu hỏi mức độ vận dụng cao 50.10% = câu, xếp câu hỏi từ vị trí số 46 đến 50 có 5! Cách Vậy có tất 30!.15!.5! thành lập đề thoả mãn, tức n(A) = 30!.15!.5! n(A) 30!.15!.5! = ! 1, 369.10 −18 Xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 50! Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;-2;-5) đường thẳng Δ có x −1 y +1 z phương trình = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với đường thẳng −1 Δ Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng Δ ! Đường thẳng Δ có véc tơ phương u = (2;−1;2) , (P) vuông góc với Δ nên (P) nhận véc tơ !" ! phương Δ làm véc tơ pháp tuyến, nP = (2;−1;2) Suy phương trình (P) 2x − y + 2z + = ⎧ x = −1 ⎧ x −1 y +1 z = = ⎪ ⎪ + Gọi H giao điểm (P) Δ , toạ độ điểm H nghiệm hệ: ⎨ −1 ⇔ ⎨ y = ⎪⎩2x − y + 2z + = ⎪ z = −2 ⎩ Vì A’ điểm đối xứng A qua Δ , nên H trung điểm AA’ A’(-3;2;1) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C Gọi H trung điểm AB Biết SH ⊥ (ABC),SC = a 3, BC = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Vì tam giác ABC vuông cân C nên BC CH = = a ⇒ SABC = CH BC = a 2 Tam giác vuông SHC có SH = SC − CH = (a 3)2 − a = a a 2 a3 a = Vì vậy, VS.ABC = SABC SH = 3 + Ta có, d(A;(SBC)) = 2d(H;(SBC)) (1) AC a = 2 Kẻ HK vuông góc SM K HK ⊥ (SBC) ⇒ HK = d(H;(SBC)) (2) Gọi M trung điểm CB, ta có HM//AC nên HM ⊥ AC , HM = 1 1 a 10 = + = + ⇒ HK = (3) 2 HK SH HM 2a a a 10 Từ (1),(2),(3) suy d(A;(SBC)) = 10 Tam giác vuông SHM có, Khoá giải đề đặc biệt 2015 – Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Trang 3/5 Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A(1;2), C(4;6) Gọi M,N hình chiếu vuông góc A lên BC,CD Viết phương trình đường thẳng MN, biết trực tâm H tam giác AMN có hoành độ dương nằm đường thẳng x + y + = , MN = Ta có HM//NC vuông góc với AN Và NH//MC (cùng vuông góc AM) Do HMCN hình bình hành Suy HN / /MC, HN = MC (1) Gọi F hình chiếu vuông góc C lên AD Ta có AMCF hình chữ nhật, AF = CM (2) Từ (1),(2) suy AFNH hình bình hành Vì FN / /AH ⇒ FN ⊥ MN 2 Tam giác vuông FNM có, FN = FM − MN = AC − MN = 16 ⇒ AH = FN = Gọi H(a;-a-1), với a>0 ta có: ⎡a = (a − 1)2 + (a + 3)2 = 16 ⇔ ⎢ ⇒ H (1;−2) ⎣ a = −3 Khi gọi K tâm hình bình hành MHNC, K trung điểm HC Vì K(5/2;2) Phương trình đường thẳng MN qua K vuông góc AH y − = ⎧⎪ x x − 3y − = 3y y + (1) (x, y ∈!) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ⎪⎩ 3x + 2y − xy + 3y = y + (2) ⎧x x − = Điều kiện: x ≥ , y=0 hệ trở thành: ⎨ ⇔ x = ⇒ (x; y) = (1;0) ⎩⎪ 3x = Xét với y ≠ , lấy (1)-y.(2) ta được: x x − 3y − = y(3x + 2y − xy + 3y) ⇔ x x − 3xy + xy − y = y + 3y + 3y + ⇔ ( x − y)3 = (y + 1)3 ⇔ x − y = y + ⇔ x = 2y + ⇒ y ≥ − Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3(2y + 1)2 + 2y − 3(2y + 1)y + 3y = y + ⇔ 8y + 12y + = y + ⇔ 8y + 12y + 3(1− y + 1) = ⎛ ⎞ 3 ⇔ y ⎜ 8y + 12 + > 0,∀y ≥ − ) ⎟ = ⇔ y = 0(do8y + 12 + 2 1+ y + ⎠ 1+ y + ⎝ Đối chiếu với điều kiện trường hợp ta có vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;0) 2 ⎪⎧a + b = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a,b,c,d thoả mãn ⎨ ⎪⎩c + d = Tìm giá trị lớn biểu thức P = b(c − 1) − d(a − 1) ⎧⎪a = sin α ,b = cos α Đặt ⎨ ⎪⎩c = sin β ,d = cos β Khi đó: Khoá giải đề đặc biệt 2015 – Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Trang 4/5 P = cos α ( sin β − 1) − cos β ( sin α − 1) = − cos α + cos β + 10 cos α sin β − 10 sin α cos β Sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz ta có: − cos α + cos β + 10 cos α sin β − 10 sin α cos β ≤ (2 + cos β + 10sin β + cos β )(cos α + 1+ cos α + 2sin α ) = Dấu xảy − cos β 10 sin β cos β = = = cos α cos α − sin α Với (a;b;c;d)=(-1;-1;-1;2) P Vậy giá trị lớn P Ý nghĩa hình học: Với điểm A(1;0), cho hai đường tròn có phương trình (C1 ) : x + y = 2; (C2 ) : x + y = Tìm điểm B thuộc (C1), điểm C thuộc (C2) cho tam giác ABC có diện tích lớn Khoá giải đề đặc biệt 2015 – Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 Trang 5/5