Khoá giải đề đặc biệt Thầy: Đặng Thành Nam Đề 050+3/2015 −2x + x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (H) hai điểm phân biệt có tổng hoành độ dương Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin 2x = cos x + 1− sin x b) Cho biết z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z + 2z + = Tính A = z12 − z1 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình (log x − 1).log 9x = log x − Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1− e x )dx Câu (0,5 điểm) An Bình tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia , thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc An Bình đăng ký thêm môn tự chọn khác môn ( Hoá Học, Vật Lý, Sinh học ) hình thức trắc nghiệm để có điều kiện xét tuyển vào Đại học – Cao đẳng Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có mã đề thi khác nhau, mã đề thi môn khác khác Tính xác suất để An Bình có chung môn thi tự chọn mã đề thi Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;-1;4) đường thẳng Δ có x −1 y +1 z phương trình = = Tìm toạ độ điểm M thuộc Δ cho AM = 13 , M có hoành độ nguyên Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc với Δ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, gọi E trung điểm cạnh CD Biết tam giác SAE vuông cân S, mặt phẳng (SAE) vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm I(-2;1), gọi H(-1;-1) chân đường cao hạ từ đỉnh A, M trung điểm cạnh BC, N điểm đối xứng M qua I Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC D, đường thẳng CD cắt AH điểm E(0;2) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết B có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x( x + − x − 1)3 ≤ Câu 10 (1,0 điểm) Cho biết a,b,c số thực thuộc đoạn [1;2], thoả mãn điều kiện 2a + 2b − c + 2b + 2c − a + 2c + 2a − b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 8a + (b + c)2 + 8b + (c + a)2 + 8c + (a + b)2 -HẾT PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN −2x + Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (H) hai điểm phân biệt có tổng hoành độ dương Học sinh tự giải −2x + 1 Phương trình hoành độ giao điểm: = x + m ⇔ x + (2m + 5)x + 2m − = (1) x +1 Để d cắt đồ thị (H) hai điểm phân biệt nằm có tổng hoành độ dương (1) có hai nghiệm ⎧ Δ = (2m + 5)2 − 4(2m − 2) > phân biệt S > ⇔ ⎨ ⇔m Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình sin 2x = cos x + 1− sin x b) Cho biết z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z + 2z + = Tính A = z12 − z1 a) Phương trình tương đương với: 2π ⎡ x=± + k2π ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ cos x = − π ( sin x − 1)(2 cos x + 1) = ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ x = + k2π , k ∈! ⎢ ⎢sin x = ⎢ 3π ⎢⎣ + k2π ⎢x = ⎣ ⎡ z = −1+ 2i b) Ta có: (z + 1)2 = −4 = (2i)2 ⇔ ⎢ ⇒ z1 = −1− 2i ⎣ z = −1− 2i Vì vậy, A = (−1− 2i)2 − (−1− 2i) = (−3 + 4i) + (1+ 2i) = −2 + 6i Câu (0,5 điểm) Giải phương trình (log x − 1).log 9x = log x − Điều kiện: < x ≠ Phương trình tương đương với: 1− log x (log x − 1)(2 + log x) = log x Đặt t = log x , phương trình trở thành: 1− t ⇔ (t − 1)(2 + t + ) = ⇔ (t − 1)(t + 1)2 = t t ⎡x = ⎡t = −1 ⎡ log x = ⇔⎢ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣t = ⎣ log x = −1 ⎢ x = ⎣ (t − 1)(2 + t) = Vậy nghiệm phương trình x = ; x = 2 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x(1− e x )dx 2 x x Ta có: I = ∫ x dx − ∫ xe dx = − ∫ xe dx = − ∫ xe x dx 1 1 2 x 2 2 x +) ∫ xe dx = ∫ xd(e ) = xe − ∫ e dx = 2e2 − e − e x = e2 1 1 Vậy, I = − e2 Câu (0,5 điểm) An Bình tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia , thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc An Bình đăng ký thêm môn tự chọn khác môn ( Hoá Học, Vật Lý, Sinh học ) hình thức trắc nghiệm để có điều kiện xét tuyển vào Đại học – Cao đẳng Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có mã đề thi khác nhau, mã đề thi môn khác khác Tính xác suất để An Bình có chung môn thi tự chọn mã đề thi Không gian mẫu số cách chọn môn tự chọn số mã đề thi nhận An Bình + An có C32 cách chọn môn tự chọn, có C61 C61 mã đề thi nhận cho môn tự chọn An x x x + Bình có C32 cách chọn môn tự chọn, có C61 C61 mã đề thi nhận cho môn tự chọn Bình Vậy n(Ω) = (C32 C61 C61 )2 = 11664 Gọi A biến cố để An Bình có chung môn thi tự chọn mã đề thi Để tính số kết thuận lợi cho A, ta mô tả cách chọn môn tự chọn An Bình cách nhận mã đề thi thoả mãn yêu cầu toán + Cặp gồm tự chọn mà cặp có chung môn thi cặp gồm, Cặp thứ nhất: (Hoá học, Vật lý) (Hoá học, Sinh học); Cặp thứ 2: (Vật lý, Hoá học) (Vật lý, Sinh học); Cặp thứ 3: (Sinh học, Hoá học) (Sinh học, Vật lý) Suy ra, số cách chọn môn thi An Bình thoả mãn C31 2! = + Trong cặp để mã đề An Bình giống An Bình mã đề môn chung, với cặp có cách nhận mã đề An Bình C61 C61 1.C61 = 216 Suy ra, số cách chọn môn nhận mã đề An Bình thoả mãn 216.6 = 1296 n(A) 1296 = = Vậy n(A) = 1296 , xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 11664 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;-1;4) đường thẳng Δ có x −1 y +1 z phương trình = = Tìm toạ độ điểm M thuộc Δ cho AM = 13 , M có hoành độ nguyên Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vuông góc với Δ Vì, M ∈Δ ⇒ M (1+ t;−1+ 2t;t) ⇒ AM = (t − 1)2 + 4t + (t − 4)2 ⎡t = 2 2 Theo giả thiết, ta có: (t − 1) + 4t + (t − 4) = 13 ⇔ 6t − 10t + = ⇔ ⎢ ⎢t = ⎣ Vì M có hoành độ nguyên nên M(2;1;1) + Vì (P) vuông góc với Δ nên (P) nhận véc tơ phương Δ làm véc tơ pháp tuyến, !" ! nP = (1;2;1) Suy (P) qua M(2;1;1) có vtpt (1;2;1) nên có phương trình x + 2y + z − = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, gọi E trung điểm cạnh CD Biết tam giác SAE vuông cân S, mặt phẳng (SAE) vuông góc với mặt đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) Ta có: SABCD = 4a Gọi H trung điểm AE, tam giác SAE vuông cân S nên SH ⊥ AE Mặt khác, (SAE) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Tam giác vuông ADE SAE có, AE a AE = AD + DE = a 5,SH = = 2 1 a 2a 4a = Vì vậy, VS.ABCD = SH SABCD = 3 Gọi F giao điểm AE BD, theo Talets ta có: FE DE FA = = ⇒ FA = 2FE ⇒ FA = AE ⇒ = FA AB FH FA d(H;(SBD)) = 4d(H;(SBD)) (1) FH Gọi O tâm hình vuông ABCD, kẻ HI//AC cắt BD I, ta có HI ⊥ BD Kẻ HK ⊥ SI (K ∈SI ) , BD ⊥ (SHI ) ⇒ BD ⊥ HK , HK ⊥ (SBD) HK = d(H;(SBD)) (2) Vì vậy, d(A(SBD)) = HI FH AO a = = ⇒ HI = = AO FA 4 1 a 55 = + = + ⇒ HK = (3) Tam giác vuông SHI có, 2 HK SH HI 5a a 22 2a 55 Từ (1),(2),(3) suy ra: d(A;(SBD)) = 11 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), gọi H(-1;-1) chân đường cao hạ từ đỉnh A, M trung điểm cạnh BC, N điểm đối xứng M qua I Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC D, đường thẳng CD cắt AH điểm E(0;2) Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC biết B có hoành độ dương Ta chứng minh E trung điểm AH Kẻ đường kính AA’, tứ giác ANA’M hình bình hành nên AN//A’M, suy A' M ⊥ AD Theo Talets ta có, ! ! Suy ra, BAD = BA' M (1) Xét hai tam giác ABD A’BM có !=! DAB MBA' ( phụ với ! ABC ) (2) Từ (1),(2) suy ΔABD đồng dạng với ΔA' BM Suy ra, BA.BM = BD.BA' ⇒ BA.BC = 2BD.BA' Gọi J điểm đối xứng B qua D, ta có: BA.BC = BJ.BA' ⇒ ΔBAJ đồng dạng với ΔA' BC ! ! ! ! ! ! Mặt khác, BA'C = 180 − BAC Suy ra: BAJ + BAC = 180 ⇒ A, J ,C thẳng hàng Do BAJ = BA'C Xét tam giác BJC có BD//AH D trung điểm BJ nên E trung điểm AH (đpcm) Áp dụng giải tích: Vì E trung điểm AH nên A(1;5) Phương trình đường thẳng BC qua H vuông góc với AH x + 3y + = 2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (x + 2) + ( y −1) = 25 ⎧⎪(x + 2)2 + ( y −1)2 = 25 ⎡ x = 2, y = −2 ⎪⎧ B(2;−2) ⇔⎢ ⇒ ⎪⎨ Toạ độ điểm B,C nghiệm hệ ⎪ ⎨ ⎢ x = −7, y = ⎪C(−7;1) ⎪⎪⎩ x + 3y + = ⎪⎩ ⎣ Vậy A(1;5), B(2;-2) C(-7;1) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x( x + − x − 1)3 ≤ Điều kiện xác định: x ≥ ⎧⎪a = x + ⎧⎪a + b = 2x Đặt ⎨ ,(a > b ≥ 0) ⇒ ⎨ ⎩⎪a − b = ⎩⎪b = x − Bất phương trình trở thành: a2 + b2 (a2 − b2 ) ( a − b )3 ≤ 32 ⇔ 16 ( a + b ) a − b ≤ ( a + b ) 2 ⇔ ⎡⎣( a + b ) + ( a − b ) ⎤⎦ a − b ≤ ( a + b ) ⎛ a−b ⎛ a − b⎞ ⎞ ⇔ 8⎜ + ⎜ ≤5 ⎝ a + b ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ a+b a−b ≤ ⇔ 2(a − b) ≤ a + b ⇔ a ≤ 3b a+b ⇔ ⎡5 ⎞ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ ;+∞ ⎟ ⎠ ⎣ Vì x + ≤ x − ⇔ x + ≤ ( x − 1) ⇔ x ≥ Chú ý Lời giải vế trái hàm đồng biến với t = Cách 2: Với x ≥ , ta có: x +1 + x −1 = , x +1 − x −1 a−b a+b 4x = ( x + + x − 1) + ( x + − x − 1) = + ( x + − x − 1)2 ( x + − x − 1)2 Vì vậy, bất phương trình tương đương với: ⎡ 2⎤ ⎢ ( x + − x − 1)2 + ( x + − x − 1) ⎥ ( x + − x − 1) ≤ ⎣ ⎦ ⇔ ( x + − x − 1)5 + 4( x + − x − 1) − ≤ ⇔ x +1 − x −1 ≤1 ⇔ x +1 ≤ x −1 +1 ⇔ x +1 ≤ x + x −1 ⇔ x −1 ≥1 ⇔ x ≥ ⎡5 ⎞ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ⎢ ;+∞ ⎟ ⎠ ⎣4 Câu 10 (1,0 điểm) Cho biết a,b,c số thực thuộc đoạn [1;2], thoả mãn điều kiện 2a + 2b − c + 2b + 2c − a + 2c + 2a − b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 8a + (b + c)2 + 8b + (c + a)2 + 8c + (a + b)2 Ta chứng minh 8c + (a + b)2 ≥ 2b + 2c − a + 2c + 2a − b Thật vậy, bình phương hai vế bất đẳng thức ta được: 2c + ab ≥ (2b + 2c − a )(2c + 2a − b ) ⇔ (2c + ab)2 ≥ (2b + 2c − a )(2c + 2a − b ) ⇔ 4c ab ≥ 2a c + 2b c − 2(a − b )2 ⇔ (a − b )2 ≥ (ac − bc)2 ⇔ (a − b)2 ⎡⎣(a + b)2 − c ⎤⎦ ≥ ⇔ (a − b)2 (a + b + c)(a + b − c) ≥ Bất đẳng thức cuối đúng, a + b − c ≥ 1+ 1− = Dấu xảy a = b a + b = c Tương tự, ta có: 8b + (c + a)2 ≥ 2b + 2c − a + 2a + 2b − c , 8a + (b + c)2 ≥ 2a + 2b − c + 2a + 2c − b Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: P ≥ 2( 2a + 2b − c + 2b + 2c − a + 2c + 2a − b ) = 12 Dấu xảy a = b = c =