Một số ứng dụng của định lý rolle

Tính cấp thiết của đề tài Trong chương trình toán phổ thông, các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi họcsinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế và các kỳ thi olympic toán sinh viên giữa

Một số ứng dụng của

định lý Rolle

(Khóa luận TN)

MỤC LỤC

Trang bìa phụ……….i

Lời cảm ơn ii

Mục lục……… ……… ii

CHƯƠNG 3 53

BÀI TẬP 53

3.1 Bài tập có lời giải 53

3.2 Bài tập không có lời giải 58

59

Bài 3.2.16 Chứng minh rằng với 59

Bài 3.2.17 Chứng minh rằng , với 59

Bài 3.2.18 Chứng minh rằng 59

KẾT LUẬN 60

Tài liệu tham khảo 61

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương trình toán phổ thông, các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi họcsinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế và các kỳ thi olympic toán sinh viên giữa cáctrường đại học trong nước thì các bài toán liên quan đến tính liên tục, đạohàm của hàm số được xem như là dạng toán khó Phổ biến là các bài toánchứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phương trình,giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Đối với cácdạng bài toán này các định lý về giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng,một công cụ hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán nêu trên

Định lý Rolle và một số mở rộng của nó là các định lý quan trọng về giá trịtrung bình trong giải tích cổ điển Ứng dụng của định lý này cũng rất đa dạng

và phong phú trong chương trình toán trung học phổ thông

Tuy nhiên những ứng dụng của định lý Rolle và một số mở rộng của nótrong các bài toán giải phương trình, bài toán biện luận số nghiệm của phươngtrình, bài toán chứng minh bất đẳng thức còn được nêu hạn chế và mờ nhạt

Vì vậy cần cung cấp cho học sinh đặc biệt là các em học sinh khá giỏi có năngkhiếu và yêu thích toán một tài liệu ngoài những kiến thức cơ bản còn có cácbài tập nâng cao để qua đó thấy được ứng dụng phong phú và tinh tế của địnhRolle và một số định lý mở rộng khác

Với những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài “Một số ứng dụng của

định lý Rolle” cho khóa luận của mình nhằm đưa ra hệ thống kiến thức cũng

như cách vận dụng định lý Rolle và một số mở rộng của nó vào các dạng bàitập về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phươngtrình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức và cảtrong các bài toán khó

2 Mục tiêu khóa luận

Mục tiêu của khóa luận là cung cấp cho học sinh một phương pháp để cóthể xử lý các bài toán về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận sốnghiệm của phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức Qua

đó củng cố kiến thức cho học sinh và giúp học sinh vận dụng thành thạo định

lý Rolle và một số mở rộng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến hàm số, đạo

hàm, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức

- Nghiên cứu ứng dụng của định lý Rolle và một số mở rộng của nó.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo

trình có liên quan đến ứng dụng của định lý Rolle rồi phân hóa, hệ thống hóacác kiến thức

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảotài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trựctiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hìnhthức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Định lý Rolle

- Phạm vi: Một số ứng dụng của định lý Rolle

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh THPT, học sinh tham gia vàocác kỳ thi như đại học cao đẳng, các kỳ thi olympic toán Và là tài liệu giúpgiáo viên ôn tập bồi dưỡng cho học sinh

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành các chương

Chương 1 Kiến thức cơ bản

Nội dung chương này nhằm hệ thống một cách cơ bản các kiến thức vềhàm số, tính liên tục, tính khả vi của hàm số và trình bày một cách cơ bảnnhất định lý Rolle và một số mở rộng của nó cùng một số hệ quả quan trọng

Đây là phần lí thuyết cơ sở để vận dụng cho các bài toán ứng dụng ở chươngsau.

Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Rolle

Đây là nội dung trọng tâm của khóa luận Chương này trình bày một sốứng dụng của định lý Rolle và các định lý mở rộng của nó để giải quyết cácdạng bài tập về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm củaphương trình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức

và khảo sát tính đồng biến, nghịch biến và tính chất lồi, lõm của hàm số khả

vi bậc hai

Chương 3 Bài tập

Chương này đưa ra các bài tập gồm các bài tập có lời giải và các bài tậpkhông có lời giải nhằm vận dụng những kiến thức thu được từ hai chươngtrước để nâng cao kỹ năng lập luận và kỹ năng tính toán cụ thể

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái niệm hàm số

Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp X và Y trong ¡ Hàm số f là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x của tập hợp X với một phần tử f x duy nhất( )

x gọi là biến số hay đối số của hàm f

f x gọi là giá trị của hàm số f tại ( ) x

Ví dụ 1.1 Cho X =Z;Y =R khi đó quy tắc sau là hàm số.

Bảng trên cho ta quy tắc để tìm số phần trăm lãi suất s tùy theo loại kì

hạn k tháng Kí hiệu quy tắc ấy là , f ta có hàm số s= f k( ) xác định trêntập T={1;2;3;6;9;12 }

Định nghĩa 1.2 Giả sử hàm số ( )f x xác định trên tập ( ; ) I a b ⊂R và thỏa

mãn điều kiện Với mọi x x1, 2∈I a b( ); và x1<x2, ta đều có f x( )1 ≤ f x( )2thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu tăng trên ( ; ) I a b

Đặc biệt, khi ứng với mọi x x1, 2∈I a b( ); và x1<x2, ta đều có

f x ≥ f x thì ta nói rằng ( )f x là một hàm đơn điệu giảm trên I(a;b).

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x x1, 2∈I a b( ); v à x1<x2, t a đều có

Ví dụ 1.3 Xét hàm số f x( )=x2 Gọi x và 1 x là hai giá trị tùy ý của đối số.2

Trường hợp 1: Khi x và 1 x thuộc nửa khoảng 2 [0;+ ∞) , ta có

2 2

0≤ < ⇒ <x x x x ⇒ f x < f x Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng [0;+ ∞)

Trường hợp 2: Khi x và 1 x thuộc nửa khoảng 2 (−∞;0], ta có

2 2

x < ≤ ⇒x x > x ⇒x >x ⇒ f x > f x

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên nửa khoảng (−∞;0]

1.2 Giới hạn của hàm số

Định nghĩa 1.3 Giả sử ( )a b là một khoảng chứa điểm ; x và f là một hàm0 số xác định trên tập hợp ( )a b; \{ }x0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số

thực L khi x dần đến x ( hoặc tại điểm 0 x ) nếu với mọi dãy số 0 ( )x trong n

tập hợp ( )a b; \{ }x ( tức là 0 ( )x n ∈( )a b; và x n ≠x0 với mọi n ) mà limx n =x0

Định nghĩa 1.4 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( x b 0; ) ( x0∈R Ta)

nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x ( hoặc tại0điểm x ) nếu với mọi dãy số 0 ( )x trong khoảng n ( x b mà 0; ) limx n =x0, ta đều

Định nghĩa 1.5 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a x ; 0) (x0∈R Ta)

nói hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x (hoặc tại0điểm x ) nếu với mọi dãy số 0 ( )x trong khoảng n (a x mà ; 0) limx n =x0, ta đều

i) Hiển nhiên nếu

0

lim ( )

x x f x L

→ = thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới

hạn bên trái tại x và 0

Tương tự, ta có xlim ( ) lim1 1→0+d x =x→0+ = .

Vì xlim ( ) lim ( )→0+d x ≠x→0−d x nên không tồn tại

Định nghĩa 1.6 Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( )a b và ; x0∈( )a b;

Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x nếu 0

lim ( ) ( )

x x f x f x

Ta có thể định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm như sau :

Định nghĩa 1.7 Cho tập X⊂R, hàm số :f X →R và điểm x0∈X Nếuvới mọi ε >0 cho trước bao giờ cũng tồn tại δ >0 ( phụ thuộc vào ε ) sao

cho với mọi x A∈ mà x x− 0 <δ ta đều có f x( ) − f x( )0 <ε thì ta nói hàm

f liên tục tại điểm x 0

Nếu f liên tục tại mọi điểm x X∈ thì ta nói f liên tục trên X

Nếu f không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại điểm 0 x hay 0 x0

là điểm gián đoạn của hàm f

mọi điểm thuộc tập hợp đó

2 Hàm số f xác định trên đoạn [ ]a b được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó;liên tục trên khoảng ( )a b và lim ( ); x a→ + f x = f a( ), lim ( ) ( )

2 1

y x

x O

Lời giảiHàm số đã cho xác định trên đoạn [−1;1]

i) Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng [a b , ; ) (a b , ; ] [a;+∞) và

(−∞;b] được định nghĩa tương tự như tính liên tục trên một đoạn

ii) Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng ( tức là liên tục tại mọiđiểm thuộc tập xác định của chúng)

Ví dụ 1.9 a) Các hàm y=sin ,x y=cosx xác định và liên tục trên R.

b) Hàm f x( ) =x4 +2x3+1 xác định và liên tục trên R

1.3.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn

Định lý 1.1 Nếu f và g là hai hàm số cùng xác định trên tập X⊂R và liêntục tại điểm x0∈X thì fα +βg (với α và β là những hằng số), f −g ,

g cũng liên tục tại x0 =2.

Định lý 1.2 Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b thì nó bị chặn trên đoạn;đó

Chứng minh

Giả sử phản chứng f liên tục trên ( )a b nhưng không bị chặn trên;đoạn đó Khi đó, với∀ ∈n ¥ tồn tại * x n∈[ ]a b; sao cho f x( )n >n Dãy

{ }x n n là dãy bị chặn, theo nguyên lí Bolzano – Weierstrass nó chứa có một

dãy con { }x n k k hội tụ đến x Vì a0 ≤x n k ≤b với mọi k, nên cho k→ ∞ ta suy

f x → f x (k → ∞) Mặt khác f x( )n k ≥n k, vì thế f x( )n k → +∞

(k → ∞) , ta đi đến mâu thuẫn Vậy hàm f phải bị chặn trên [a;b].

Ví dụ 1.11 Xét hàm số f x( ) = 1−x2 Dễ thấy đây là hàm số liên tục trênđoạn [ ]0;1 Mặt khác ta có 0≤ f x( ) ≤1 với ∀ ∈x [ ]0;1

Vậy f là hàm bị chặn trên [ ]0;1

Định lý 1.3 Nếu hàm f liên tục trên [ ]a b thì nó đạt cận trên đúng và cận;dưới đúng trên đó, tức là tồn tại hai số ' [ ]

Theo định lý trên hàm f bị chặn trên [ ]a b vì thế tồn tại;

0

( )'( ) lim

ii) Số x∆ không nhất thiết phải mang dấu dương

iii) x∆ và y∆ là các kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: x∆ là tích của số ∆

với x , y∆ là tích của ∆ với y

Ví dụ 1.12 Tính đạo hàm của hàm số y =2x+1 tại điểm x0 =2

Lời giải

∆ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f

tại x kí hiệu là 0 f x'( )0+ .

Tương tự, xét hàm số f:(a x; 0] →R Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

∆ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f

tại x kí hiệu là 0 f x'( )0− .

ii) Ngược lại nếu hàm số f xác định trên khoảng ( )a b có đạo hàm bên phải;

và đạo hàm bên trái tại x sao cho 0 f x'( )0+ = f x'( )0− = f x'( )0 thì nó cũng cóđạo hàm tại điểm x 0

Ví dụ 1.13 Xét hàm số f x( )=x2 ta thấy hàm số có đạo hàm tại x =3, do đó

nó có đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái tại x=3 và

Như vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số f tại x0 =0.

1.5 Định lý Rolle

Định nghĩa 1.10 Cho tập mở U ⊂R và hàm số :f U →R Ta nói rằng hàm

đạt cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) tại x0∈U nếu tồn tạimột số δ >0 sao cho (x0 −δ, x0 +δ ) U⊂ và f x( )≤ f x( )0 (tương ứng

f x ≥ f x ) với mọi x∈( x0−δ,x0 +δ)

Điểm x mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa0

phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm f

Định lý 1.4 (Định lý Fermat) Cho tập mở U ⊂R và hàm :f U →R Nếu

điểm c U∈ là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại '( ) f c thì '( ) 0 f c = .

Định lý 1.5 (Định lý Rolle) Giả sử hàm số f : ;[ ]a b →R có các tính chất:

Hai trường hợp có thể xảy ra là:

1) Hàm f là hằng số trên [ ]a b tức là ; f x( ) = f a( ) = f b( ) = hằng số Khi

i) Định lý Rolle nói chung sẽ không còn đúng nếu trong khoảng ( )a b có;

điểm c mà tại đó f c không tồn tại Chẳng hạn, xét hàm '( ) f x( ) 2= − 3 x2,

lý Rolle

ii) Điều kiện liên tục trên đoạn [ ]a b đối với hàm ; f x cũng không thể thay( )

bởi điều kiện f x liên tục trong khoảng ( ) ( )a b Chẳng hạn, xét hàm ;

Ox (tức là song song với đường thẳng đi qua hai điểm (a f a và ; ( ) ) (b f b; ( ) )

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số f x có đạo hàm trên khoảng ( ) ( )a b và phương;trình f x( ) =0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( )a b thì phương trình;

Giả sử phương trình f x( ) =0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng

( )a b đã được sắp thứ tự ; x1< < <x2 x n Khi đó áp dụng định lý Rolle cho1

n− đoạn [ ; ]x x 1 2 [ ; ] [x x2 3 x n−1; ]x n thì phương trình f x'( ) =0 có ít nhất1

n− nghiệm thuộc n−1 khoảng (x x , 1; 2) ( x x1; 2), ,( x n−1;x n) Gọi n−1

Tiếp tục lý luận trên, sau k bước phương trình f( )k ( ) 0x = có ít nhất

n k− nghiệm phân biệt trên khoảng ( )a b ;

Hệ quả 1.2 Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ a b và có đạo hàm trên; ]khoảng ( )a b Khi đó, nếu phương trình '( ) 0; f x = có không quá n−1nghiệm phân biệt trên khoảng ( )a b thì phương trình ( ) 0; f x = có không quá

n nghiệm phân biệt trên khoảng đó.

Chứng minh

Giả sử phương trình ( ) 0f x = có nhiều hơn n nghiệm phân biệt trên

khoảng ( )a b chẳng hạn là n + 1 nghiệm, thế thì theo hệ quả 1.1 phương; ,

Hình 1.4

trình '( 0f x) = có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng ( )a b Điều này trái với;giả thiết Vậy phương trình ( )f x = 0 có không quá n nghiệm trên khoảng

( )a b ;

Hệ quả 1.3 Cho hàm số ( )f x thoả mãn đồng thời các tính chất sau đây:

i ) ( )f x xác định và có đạo hàm cấp n ( n ≥ 1) liên tục trên đoạn [a;b];

i i ) ( )f x có đạo hàm cấp n+1 trong khoảng (a; b);

⊂ sao cho f b = 0 Lại kết hợp với điều kiện '( )2 f "( )a =0 và tiếp tụcáp dụng định lý Rolle ta có f b = 0 với '''( )3 b3∈( ; )a b2 ( ; )⊂ a b

Tiếp tục như vậy, đến bước thứ n, tồn tại b n∈( ;a b n−1) ( ; )⊂ a b sao cho

n n

1.6 Một số mở rộng của định lý Rolle

Định lý 1.6 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f : ;[ ]a b →R có các tính

chất

Hàm F liên tục trên [ ]a b khả vi trong ; ( )a b và ; F b( ) =F a( ) = 0 Theo

định lý Rolle tồn tại c∈( )a b; sao cho F c'( ) f c'( ) f b( ) f a( ) 0

b a

−

suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét 1.4 Từ định lý Rolle ta có thể chứng minh định lý Lagrange hay

định lý Lagrange là một hệ quả của định lý Rolle Thế nhưng chính định lýRolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lý Lagrange,trường hợp f a( ) = f b( )

Hệ quả 1.4 Giả sử hàm số :[ ; ]f a b →R liên tục trên đoạn [a;b] và khả vi

trong khoảng ( )a b Khi đó :;

a) Nếu '( ) 0f x = với mọi x∈( ; )a b thì f là một hằng số trên [ ]a b ;;

b) Nếu f x'( ) 0> ( f x'( ) 0< ) với mọi x∈( ; )a b thì f tăng ( giảm ) thực sự trên [a;b].

Do '( ) 0f x = với mọi x∈( ; )a b nên '( ) 0f c = , từ đó suy ra f x( )1 = f x( )2

Vì x1, x là những giá trị bất kì 2 x1, x2∈[ ]a b; nên suy ra

f x = f x = f x ∀ ∈x a b Vậy hàm f là một hằng số.

b) Nếu '( ) 0f x > ( f x'( ) 0< ) với mọi x∈( ; )a b , giả sử a x≤ < ≤1 x2 b từ 1.1

Hình 1.5

Nếu hơn nữa '( ) 0g x ≠ với mọi x∈( ; )a b thì ( )g b −g a( ) 0≠ vì nếu

không sẽ tồn tại ξ ∈( ; )a b sao cho '( ) 0g ξ = , trái với giả thiết Khi đó từ (1.2)

ta suy ra (1.3)

Nhận xét 1.5 Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchy

với giả thiết ( )g x = x

Định lý 1.8 (Định lý rolle trên khoảng vô hạn)

Giả sử hàm số f x liên tục trên ( ) [a;+∞) có đạo hàm trong khoảng (a;+∞)

và lim ( )x→+∞ f x = f a( ) Khi đó ∃ ∈c (a;+∞) sao cho f c'( ) =0

Chứng minh

Nếu f x( ) = f a( ) với mọi x a> thì lấy c là một số bất kỳ lớn hơn a.

Giả sử tồn tại b > a sao cho f b( ) ≠ f a( ) chẳng hạn f b( ) > f a( ) Gọi µ là

một số thực bất kỳ thuộc ( f a f b , theo định lý Bolzano-Cauchy, tồn tại( ); ( )) ( )a b;

α ∈ sao cho f ( )α =µ Vì lim ( )

→∞ = f a < μ nên tồn tại d > b sao( )

cho f d < μ Do ( ) f x liên tục trên ( ) [a;+∞) nên theo định lý Cauchy tồn tại β ∈( )b d; sao cho ( )f β = =µ f( )α , do đó theo định lý Rolle,tồn tại c∈( ; )α β sao cho f c'( ) =0

Bolzano-CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ROLLE 2.1 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phương trình

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụngcác định lý sau

Định lý 2.1 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và ( ) F x là một

nguyên hàm của ( )f x trong đoạn đó Nếu tồn tại các số thực x x1; 2∈[ ]a b;với x1< x2 sao cho F x( )1 =F x( )2 thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong

đoạn [x x (hay có nghiệm trong đoạn [a; b] ).1; 2]

Chứng minh

Giả sử phương trình ( )f x = 0 vô nghiệm trên đoạn [x x Vì ( )1; 2] f x

liên tục nên suy ra hoặc f x( ) 0,< ∀ ∈x [x x1; 2] hoặc f x( ) 0,> ∀ ∈x [x x1; 2]

N ế u f x( ) 0,< ∀ ∈x [x x1; 2] t h ì ( )F x là hàm số nghịch biến trên đoạn

Kết quả trên được phát biểu dưới dạng định lý tương đương sau đây

Định lý 2.2 Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [a;b] Nếu tồn tại các

Ví dụ 2.1 Cho f là một hàm liên tục trên [0;1], khả vi trên (0;1), f ( )1 =0.

Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;1 sao cho ( ) 1 '( ) 0

2002

Lời giảiXét hàm g x( ) =x2002.f x( )

Dễ thấy ( )g x là hàm liên tục trên [0;1] và khả vi trên (0;1) và

Vậy ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 2.1: Với giả thiết trên ta có thể chứng minh được bài toán tương tự:

cho f là một hàm liên tục trên [0;1], khả vi trên (0;1), f ( )1 =0 Chứng minh

rằng tồn tại c∈( )0;1 sao cho f c( ) 1 'c f c( ) 0

α+ = , α là số thực bất kì

Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý, phương trình

os3 +b os 2 +c cos +sin = 0

a c x c x x x luôn có nghiệm thuộc đoạn [0;2π]

Lời giảiXét hàm số ( ) 1 sin 3 +1 sin 2 sin cos

Ta thấy ( )f x liên tục có đạo hàm trên R và

'( ) os3 +b os2 +c cos +sin

Nhận xét 2.2: Bài toán trên có dạng tổng quát

Cho hàm số f x liên tục trên ( ) [ ]a b Chứng minh rằng phương trình;

f x = luôn có nghiệm trên ( )a b ;

Phương pháp giải:

Xét hàm số F x thỏa mãn: ( ) F x liên tục trên ( ) [ ]a b , ; F x'( ) = f x g x( ) ( )

với mọi x thuộc ( )a b , ; g x vô nghiệm trên ( ) ( )a b và ; F a( ) =F b( ) Ápdụng định lý Rolle suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.3 Cho f x liên tục trên đoạn 0;( )

Ta có g x'( ) = f x'( ) (sinx+cosx) + f x( ) (cosx−sin x)

Vậy g c'( ) = ⇔0 ( f c'( ) + f c( ) ).cosc =( f c( ) − f c'( ) ).sin c ( )2.2Nếu f c( ) − f c'( ) =0thì từ (2.2) suy ra f c'( ) + f c( ) =0

Vậy f c'( ) = f c( ) =0, mâu thuẫn

Chia cả 2 vế của (2.2) cho ( f c( ) − f c'( ) )cosc≠0 ta được (2.1)

Ví dụ 2.4 Cho f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 , khả vi trên khoảng ( )0;1 saocho f ( )0 = f ( )1 =0 Chứng minh rằng tồn tại c∈( )0;1 để f c'( ) = f c( )

Lời giải

Xét hàm g x( ) = f x e( ) −x,∀ ∈x [ ]0;1

Hàmg x liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 , khả vi trên ( )0;1 và g( )0 =g( )1 =0

Theo định lý Rolle ∃ ∈c ( ) ( )0;1 : 'g c =0 Mà g x'( ) = f x e'( ) −x − f x e( ) −x Vậy g c'( ) = f c e'( ) −c − f c e( ) −c ⇔ f c'( ) = f c( )

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.5 Chứng minh rằng tồn tại số thực x∈( )0;1 sao cho

t

h t

=+ + + là hàm liên tục trên [ ]0;1 Viết phương trình đã cho dưới dạng

g x =x h t dt∫ Hàm g x khả vi trên ( ) ( )0;1 , liên tục trên đoạn

[ ]0;1 , và g( )0 =g( )1 =0 Theo định lý Rolle, ∃ ∈c ( ) ( )0;1 : 'g c =0 hay

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.6 Cho a, b, c tùy ý và m là số dương thỏa mãn biểu thức

Rõ ràng hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên R Ta có

Vậy phương trình ax2 +bx c+ = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

Cách 2 (Áp dụng định lý đảo tam thức bậc hai)

Ta xét hai trường hợp sau:

Nếu b = 0 thì từ (2.4) ta có c = 0 Khi đó, phương trình ax2 +bx c+ =0

nghiệm đúng với mọi x ∈ R , suy ra phương trình có nghiệm thuộc (0;1).

 + ÷

  =

2 2

ma

−+ + < 0 (do a ≠ 0 , m > 0).

Có hai khả năng xảy ra

Vì ( )f x liên tục trên R nên tồn tại x 1 ∈ 0;

( 1)

m m

Như vậy với giả thiết đã cho, phương trình ax 2 + bx + c = 0 luôn có

nghiệm trong khoảng (0;1)

rằng phương trình a.ln2x b+ lnx c+ =0 luôn có nghiệm

2) Từ lời giải của bài toán ta dễ ràng nhận thấy rằng trong cách 1 bằng việc ápdụng định lý Rolle thì ngắn gọn hơn tránh được những sai sót trong quá trìnhtính toán cũng như trong quá trình biến đổi Tuy nhiên cách giải này có thể làhay đối với bài toán này nhưng lại chưa hẳn là hay đối với bài toán khác Vìvậy tùy vào từng bài toán cụ thể mà ta chọn cách giải cho phù hợp

Ta xét bài toán tổng quát hơn

Ví dụ 2.7 Cho n+1 số thực c c0, , ,1 c thỏa mãn n 0 1

c +c α + +c α = (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2.8 Cho , ,a b c≠0 thỏa mãn 0

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.9 Cho f x xác định và liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b sao cho;

Vì g a( ) =g x( ) =g b( ) =0 nên theo định lý Rolle, g t triệt tiêu tại ít nhất 2'( )

điểm c1∈( )a x; và c2∈( )x b; Lại theo định lý Rolle, g t triệt tiêu tại ít"( )

nhất một điểm z z x= ( ) (∈ c c1; 2) ( )⊂ a b;

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.10 Cho hàm số ( )f x có '( ) f x là hàm đồng biến trên đoạn [a;b],

ngoài ra

1

21

− Do ( )f x liên tục trên [a;b] nên g(x)

liên tục trên đoạn [a;b] Ta có

Suy ra g(a).g(b) = − −(a b)2 < 0 Khi đó ∃x 0∈ (a;b) sao cho g(x 0) = 0 hay

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm ( )f x trên [a x : ; 0] ∃α ∈(a x sao cho; 0)

Từ (2.6) ta suy ra α,β,γ đôi một khác nhau

Ví dụ 2.11 Chứng minh rằng phương trình 105 2 230 3 3 2 2 1 0

2 x − 3 x + x + x+ =

có nghiệm trong khoảng (0;2)

Lời giảiCách 1

1 (0;1)

x

∃ ∈ và ∃ ∈x2 (1;2), sao cho f x( )1 = f x( )2 =0

Vậy phương trình ( )f x = 0 luôn có 2 nghiệm thuộc khoảng (0;2).

Nhận xét 2.4 Cách 2 của bài toán trên cho ta kết quả mạnh hơn yêu cầu của

bài toán và rõ ràng cách giải cũng ngắn gọn hơn Như vậy, việc lựa chọnphương pháp phù hợp cho từng bài trong quá trình giải toán là một vấn đề vôcùng quan trọng cần được lưu ý trong quá trình giảng dạy, học tập và nghiêncứu

Ví dụ 2.12 Cho các số thực a, b, c và các số nguyên dương n thỏa mãn điều

kiện 6( ).

5( 2)

a b c

n

+

= −

+