VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1.. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Phương pháp: + Tìm tập xác định của hàm
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
x y
−
=
Hướng dẫn giải:
a) y=4x3−3x4
Tập xác định: D = R
1
x
x
=
=
Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (1 − x) nên ta có bảng biến thiên:
x −∞ 0 1 +∞
y’ + 0 + 0 −
y
1
−∞ +∞
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 tại điểm x = 1 Hàm số không có giá trị nhỏ nhất
b) y=x4+2x2−2
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: 3 ( 2 )
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 +∞
y’ − 0 +
y
+∞ +∞
−2
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng −2 tại điểm x = 0 Hàm số không có giá trị lớn nhất
Cách khác: Ta có 4 2 ( 2 )2
min
c) y= x2+ −x 2
Hàm số xác định khi 2 1 ( ] [ )
2
x
x
≥
≤ −
Đạo hàm: 22 1 0 2 1 0 1
2
x
x x
+
+ −
Bảng biến thiên:
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2x
−∞ −2 1
2
− 1 +∞
y’ − || − 0 + || +
y
+∞ +∞
0 0
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại hai điểm x = −2 và x = 1
x
y
−
=
Do 2 ( )2
Đạo hàm: ( )( )
2
0
2
x
x
=
=
Giới hạn đặc biệt: lim 2 1 0
x
x
→±∞
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y’ − 0 + 0 −
y
0 1
2 1
2
− 0
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 tại x = 2, giá trị nhỏ nhất bằng −1/2 tại x = 0
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) y x2 2
x
2
2
1 1
x x y
x x
− +
=
x
4) y x4 22
x
2
2
1
y x
=
+
DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Phương pháp:
+) Tìm tập xác định của hàm số
+) Tính y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm Giả sử các nghiệm là x1 ; x 2 ; x 3 …
+) Chọn các nghiệm thuộc đoạn [a; b] Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm và tại hai biên a, b
+) Giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được ở trên là GTLN của hàm số, giá trị nhỏ nhất là GTNN của hàm
số
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 – 9x trên [–3; 0] b) y= +x 1−x trên [–1; 0]
c)
2
1
1
x
y
x
+
=
Hướng dẫn giải:
a) y = x3 – 3x2 – 9x trên [–3; 0]
Tập xác định: D = R
3
x
x
= −
=
Trang 3Do tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [–3; 0] nên ta loại nghiệm x = 3
Ta có
( )
( )
( )
y
y
y
− =
=
hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x = −1 và giá trị nhỏ nhất bằng −27 tại x = −3
b) y= +x 1−x trên [–1; 0]
Tập xác định: D= −∞( ;1 ]
x
− −
Ta có
( )
min
y
y
y
= ⇔ =
=
c)
2
1
1
x
y
x
+
=
+ trên [–1; 2]
Đạo hàm:
2
2
1 1
x x x
x
+ + −
+
Ta có
( )
( )
( )
max
min
3 2
5
y
y
y
− =
= ⇔ =
= ⇔ = −
=
y= x+ −x
Hàm số xác định khi 4−x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤ 0 2 x 2 → = −D [ 2; 2 ]
1
2
x
x
=
= −
Ta có
( )
( )
( )
max
min
y
y
y
− =
= ⇔ = ±
=
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) các hàm số sau:
a) y= +x 2 cosx trên 0;π
2
b) y= 2 cos 2x+4sinx trên 0;π
2
Hướng dẫn giải:
a) y= +x 2 cosx trên 0;π
2
Đạo hàm :
π 2π
3π 2
2π 4
= +
= +
Trang 4Do 0;π π.
x∈ → =x
( )
max
min
1
1
π π
y
y
y
=
= + ⇔ =
=
b) y= 2 cos 2x+4sinx trên 0;π
2
Cách 1:
sin
4 2
= → =
Ta có
( )
max
min
π
2 2 π
4
2 2 4
π
2
y
y
y
=
= −
Cách 2:
2
2
Ta có
( )
( )
max
min
2 2
2
2 2 2
y
y
y
=
= −