Tập hợp các bài toán hay và khó phần tổ hợp, xác suất và nhị thức Newton ôn thi học sinh giỏi toán 11 cũng như 12. Các bài toán được lựa chọn và sắp xếp hợp lý, dễ với người dạy và người học. Đây chắc hẳn sẽ là một tài liệu quý để các thầy cô và học sinh tham khảo
TỔ HỢP A Tóm tắt lý thuyết Hai quy tắc đếm Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp giải toán: PP trực tiếp, PP gián tiếp B Ví dụ Bài Cho tập A = { 0,1, 2,3, 4,5,6,7} Từ tập A lập tất số tự nhiên có chữ số cho chữ số đôi khác chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm phải có chữ số - Số tự nhiên có chữ số khác thỏa mãn yêu cầu có dạng a1a2 a3a4 a5 Xét trường hợp TH1: a1 = TH có A74 số TH2: a2 = TH có A63 số TH3: a3 = TH có 6.6 A52 số Vậy có tất A74 + A63 +6.6 A52 Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác bắt buộc có mặt ba chữ số 0, Ta có: cách chọn vị trí cho chữ số cách chọn vị trí cho chữ số cách chọn vị trí cho chữ số Và A73 cách chọn chữ số từ chữ số 3, 4, 5, 6, 7, 8, xếp chúng vào ba vị trí lại Theo QT nhân ta có tất 5.5.4 A73 số Bài Có số tự nhiên có chữ số khác mà số tự nhiên chia hết cho Gọi số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho có dạng n = abc Xảy TH sau đây: TH1: Chọn tự nhiên chia hết cho số {0, 3, 6, 9} Số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu TH 4.3.2 = 24 số TH2: Chọn số tự nhiên chia cho dư số {1;4;7} Số số thỏa mãn 3! = số TH3: Chọn số tự nhiên chia cho dư số {2;5;8} Số số thỏa mãn 3! = số TH4: Chọn số chia dư 1, số chia dư số chia hết cho Chọn số chia dư có cách Chọn số chia dư có cách Chọn số chia dư có cách Trong TH ta có 3.3.4.3! – 3.3.2!=306 Vậy số số thỏa mãn 24+6+6+306=342 (BT tương tự: Từ 100 viên bi đánh số từ đến 100 Có cách chọn viên bi mà tổng chữ số viên bi chia hết cho 3) Bài Từ chữ số 1,2,3 lập số tự nhiên có 2017 chữ số cho số lần xuất chữ số 1, 2, số lẻ TH1: Số xuất lần, số xuất k = 2n + lần, số xuất 2017- (2k + 2) lần (k=2n + với n = 1, ,1007 ) Trong TH số chữ số thỏa mãn là: 1007 n +1 1 2015 C 2017 C 2016 + C 2016 + C 2016 + + C 2016 = C 2017 2015 ∑ C 2016 = C 2017 n =1 ( ) TH2: Số xuất lần, số xuất k = 2n + lần, số xuất 2017- (2k + 4) lần (k=2n + với n = 1, ,1006 ) Trong TH số chữ số thỏa mãn là: 1006 n +1 3 2013 C 2017 C 2014 + C 2014 + C 2014 + + C 2014 = C 2017 2013 ∑ C 2014 = C 2017 n =1 ( ) ………………………………………………………………………………… TH1007: Số xuất 2015 lần, số xuất lần, số xuất 2017 – (2015+1)=1 lần 2015 Trong TH này, số chữ số thỏa mãn C 2017 Vậy số chữ số thõa mãn yêu cầu 2015 S = C 2017 2015 + C 2017 2013 + C 2017 2011 + + C 2017 = [ 1 2015 C 2017 2016 + C 2017 2014 + C 2017 2012 + + C 2017 2 ] Mặt khác, ta có 2017 ( + 1) 2017 = C 2017 2017 + C 2017 2016 + C 2017 2015 + + C 2017 (1) ( − 1) 2017 2017 = C 2017 2017 − C 2017 2016 + C 2017 2015 + − C 2017 (2) 2015 2017 2016 + C 2017 2014 + C 2017 2012 + + C 2017 + C 2017 Từ (1) (2) suy C 2017 2015 C 2017 2016 + C 2017 2014 + C 2017 2012 + + C 2017 = = 2017 − 2017 − 3 2017 − ⇒S= 2017 − Vậy số kết cần tìm S = Bài Có số tự nhiên có 2017 chữ số mà chữ số suất chẵn lần Nếu chữ số xuất 2n lần số số thỏa mãn yêu cầu 1008 Vậy số số thỏa mãn S= ∑C n =0 2n 2016 2n C 2016 2017 −2 n với n = 0,1,2, , , ,1008 2016 2017 −2 n = 2017 + C 2016 2015 + C 2016 2013 + + C 2016 2016 = C 2016 2017 + C 2016 2015 + C 2016 2013 + + C 2016 ( 2016 = C 2016 2016 + C 2016 2014 + C 2016 2012 + + C 2016 Xét tổng Từ (1) (2) suy Do đó: ) 2016 ( + 1) 2016 = C 2016 2016 + C 2016 2015 + C 2016 2014 + + C 2016 (1) 2016 ( − 1) 2016 = C 2016 2016 − C 2016 2015 + C 2016 2014 + + C 2016 (2) (C 2016 ) 2016 2016 + C 2016 2014 + C 2016 2012 + + C 2016 = 10 2016 + 2016 10 2016 + 2016 S = Bài Với chữ số a, b, 1, đôi khác nhau, lập 18 số có ba chữ số đôi khác Biết tổng 18 chữ số 6440 Tìm a b Số tự nhiên có chữ số khác có dạng n = a1 a a3 Nếu a ≠ 0; b ≠ từ chữ số a, b, 1, ta lập A43 = 24 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, hai chữ số a b phải có số 0, giả sử b = Khi đó, từ chữ số a, 0, 1, ta lập 18 số có chữ số đôi khác nhau(trong có 3! = số không chứa chữ số 0, suy có 18 – = 12 số có chữ số khác có chứa chữ số 0) Trong 18 số đó, vị trí a1 chữ số a, 1, số xuất lần Ở vị trí a2 chữ số xuất 12/2 = lần, số a, 1, xuất 12/3 = lần Ở vị trí a3 chữ số xuất 12/2 = lần, số a, 1, xuất 12/3 = lần Vậy, tổng tất 18 chữ số lập ∑a a a = 6(a + + 2).10 + 4(a + + 2).101 + 4(a + + 2).10 = (a + + 2).644 Theo giả thiết, tổng tất số lập 6440 nên (a + + 2).644 = 6440 ⇒ a = Vậy hai số cần tìm Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác nhau, có chữ số lẻ chúng đứng cạnh Số tự nhiên có chữ số thỏa mãn yêu cầu có dạng n = a1 a a3 a a5 TH1: Hai chữ số lẻ hai vị trí a1a2 - Chọn hai chữ số lẻ ba chữ số lẻ 1, 3, xếp chúng theo thứ tự vào hai vị trí a1, a2 ta có A32 = cách - Chọn a3 a a5 có A43 = 24 cách Theo QT nhân ta có 6.24 = 144 số TH2: Hai chữ số lẻ hai vị trí a2a3 - Chọn hai chữ số lẻ ba chữ số lẻ 1, 3, xếp chúng theo thứ tự vào hai vị trí a1, a2 ta có A32 = cách - a1 có cách chọn - Chọn a4a5 có A32 = cách Theo QT nhân ta có 6.3.6 = 128 số TH3: Hai chữ số lẻ hai vị trí a3a4 hai vị trí a4a5 Tương tự TH3: TH có 128 số Vậy có tất 144 + 3.128 = 528 số Bài Có cách phân phối 2017 sách toán giống cho 100 cửa hàng bán sách cho cửa hàng Sắp xếp 2017 sách thành hàng ngang, hai có khoảng trống, có 2016 khoảng trống 2017 sách Đặt 99 bút vào 99 2016 khoảng trống trên, khoảng trống búy Khi cách đặt cách phân chia sách cho 100 cửa hàng cho cửa hàng 99 Vậy số cách phân phối C 2016 cách Bài Cho x, y, z, t số tự nhiên dương Phương trình: x + y + z + t = 2017 có nghiệm Sắp xếp 2017 chữ số lên hàng ngang, hai số có khỏng trống, 2017 chữ số có 2016 khoảng trống tạo Đặt bút vào 2016 khoảng trống trên, khoảng trống bút Gán tổng chữ số hai bút(hoặc từ bút trước bút thứ sau) cho biến x, y, z, t (theo thứ tự đó) ta nghiệm phương trình Do số nghiệm phương trình số cách đặt ba bút vào 2016 khoảng trống Vậy số nghiệm PT C 2016 Bài 10 (HSG Thanh Hóa 2009- 2010) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số chữ số Cách 1: *) Xét số có chữ số khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có dạng n = abcd Có cách chọn a, có A53 cách chọn bcd Theo QT nhân, ta có 5.A53 = 300 số *) Xét số có chữ số có dạng n = abcd mà hai chữ số không đồng thời có mặt TH1: Số n = abcd không chứa hai chữ số Trong TH có 3.3! = 18 số TH2: Số n = abcd chứa chữ số không chứa chữ số TH2a: a = Khi có A43 = 24 số TH2b: a ≠ Có cách chọn a, có cách chọn vị trí cho chữ số 2; có A32 = cách chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí lại Vậy TH này, ta có 3.3.6 = 54 số Theo QT cộng TH2, ta có 24 + 54 = 78 số TH3: Số n = abcd chứa chữ số không chứa chữ số Tương tự TH2 ta có 76 số Theo QT cộng, ta có 18 + 2.78 = 174 số Vậy số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu 300 – 174 = 126 số Cách 2: Gọi số có chữ số thỏa mãn yêu cầu Số n = abcd TH1: a = Có cách chọn vị trí cho chữ số 4; có A42 = 12 cách chọn chữ số lại xếp vào hai vị trí lại Theo QT nhân ta có 3.12 = 36 số TH2: a = Tương tự TH ta có 36 số TH3: a ≠ 2, a ≠ Có cách chọn vị trí cho chữ số 2; có cách chọn vị trí cho chữ số 4; có cách chọn a; có cách chọn chữ số lại Theo QT nhân, ta có 3.2.3.3 = 54 số Theo QT cộng, ta có tất 36 + 36 + 54 = 126 số Bài 11 (HSG Thanh Hóa 2014-2015) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập số tự nhiên có chữ số, mà chữ số đôi khác hai chữ số kề không số lẻ? Gọi số A = a1a2 a3 a4 a5 a6 Từ giả thiết suy A có hoặc chữ số lẻ TH1: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Số số A C51P5 = 600 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Số số A 4.(C51C44 ) P5 = 2400 Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số số A có chữ số lẻ TH2: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 chẵn Vậy số số A 5.5.(C41C43 ) P4 = 9600 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí không kề hai số lẻ a2 a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 4.(C52 6.P2 ) A43 = 11520 Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số số A TH3: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có cách chọn hai vị trí không kề hai số lẻ a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 5.5.(C42 3.P2 ) A42 = 10800 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn vị trí không kề số lẻ a2 a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 4.(C53 1.P3 ) A42 = 2880 Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số số A Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số số A Bài 12 Từ chữ số 1, 2, 3, lập số tự nhiên có 2015 chữ số, phải có mặt đủ chữ số 1, 2, 3, ĐA (42015- 4.32015) CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển xác suất Các QT cộng xác suất, nhân xác suất Bài Có thư phong bì ghi rõ địa chỉ, bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì Tính xác suất để có thư bỏ địa Ta có 6! Cách bỏ thư vào bì thư Do Ω = 6!= 720 Gọi A biến cố có ba thư bỏ địa Chọn ba thư bỏ địa ta có C cách Xét TH ba thư thứ nhất, thứ hai, thứ ba bỏ địa chỉ, ba thư thứ 4, thứ 5, thứ bỏ sai địa Khi có hai cách bỏ thỏa mãn yêu cầu Suy Vậy P( A) = Ω A = 2C 63 = 40 40 = 720 18 Bài Trong lần cứu trợ thiên tai, tỉnh bạn cứu trợ cho tỉnh Quảng Ngãi 20 lương thực, có gạo; bột mỳ; ngô UBND tỉnh chia số lương thực cho 20 xã khó khăn nhất, xã nhận khác loại, loại Hai xã Nghĩa An Nghĩa Phú 10 xã Tính xác suất để lương thực mà xã Nghĩa An nhận giống với lương thực mà xã Nghĩa Phú nhận Gọi x, y, z số Xã nhận số lương thực Gạo bột Mỳ, bột Mỳ Ngô, Ngô Gạo Ta có x + y = x = y + z = ⇔ y = z + x = z = Số cách chia 20 lương thực cho xã nhận lương thực khác loại C102 C85 C33 ⇒ Ω = C102 C85 C 33 Gọi A biến cố cần tìm xác suất Ta xét Th sau đây: TH1: Hai Xã Nghĩa An Nghĩa Phú nhận hai loại Gạo Bột Mỳ Khi số cách phân phối C85 C33 TH2: Hai Xã Nghĩa An Nghĩa Phú nhận hai loại Bột Mỳ Ngô Khi số cách phân phối C83 C52 C 33 TH3: Hai Xã Nghĩa An Nghĩa Phú nhận hai loại Ngô Gạo Khi số cách phân phối C81 C 75 C 22 Do Ω A = C85 C33 + C83 C52 C 33 + C83 C52 C33 Suy P(A)=… Bài Tính xác suất để lập số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số có mặt lần,chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần Số tự nhiên có chữ số có dạng a1a2a3a4a5a6a7 Ta có Ω = 9.10 Gọi A biến cố cần tìm xác suất Ta có C 63 cách chọn ba vị trí cho ba chữ số 0; Có C 42 cách chọn vị trí cho hai chữ số 3; Chọn hai chữ số 1,2,4,5,6,7,8,9 xếp chúng vào hai vị trí lại, ta có A82 cách 2 Theo QT nhân ta có Ω A = C C A8 Vậy P(A) = C 63 C 42 A82 / 9.10 Bài Một nhóm tập khiêu vũ gồm có nam nữ Người ta chọn người để ghép thành cặp Tính xác suất để có ba cặp mà cặp gồm có nam nữ 2 2 2 Số cách chọn người phân làm ba cặp từ 15 người C15 C13 C11 ⇒ Ω = C15 C13 C11 Gọi A biến cố cần tìm xác suất Chọn nam nam ta có C 73 cách; chọn nữ nữ ta có C83 ; phân thành cặp 3 cho cặp có nam nữ ta có 3! Cách Suy Ω A = C C8 3! Vậy P(A) = C 73C83 !/ C152 C132 C112 Bài Cho tập E={1,2,3,4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên , số gồm chữ số đôi khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số có số có chữ số Cách Ta có A53 cách viết chữ số thứ nhất, có A53 cách viết chữ số thứ hai ta có ( A53 )2 = 3600 ⇒ Ω = 3600 Gọi A biến cố cần tìm xác suất Từ E tạo A42 số có chữ số khác có mặt chữ số có A43 số chữ số ⇒ Ω A = 2.(3 A42 A43 ) = 1728 ⇒ P( A) = 1728 = 0.48 3600 Cách Số cách viết số tự nhiên lên bảng là: A35 cách Số cách viết số tự nhiên lên chữ số lên bảng là: A34 cách Gọi A , B biến cố số thứ , số thứ chữ số ⇒|A|=|B|=A34⇒P(A)=P(B)=A34/A35=2/5 ⇒P(A¯)=P(B¯)=1−2/5=3/5 Gọi C biến cố số có chữ số ⇒C=A⋂B¯⋃A¯⋂B Vì A⋂B¯ A¯⋂B xung khắc, A¯ B ; A B¯ độc lập nên: P(C)=P(A⋂B¯)+P(A¯⋂B) =P(A).P(B¯)+P(A¯).P(B) =2/5.3/5+3/5.2/5 =12/25 = 0.48 Cách Số số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là: 5.4.3 = 60 Trong số số mặt chữ số 4.3.2=24, số số có mặt chữ số 60 − 24 = 36 Gọi A biến cố “hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5”, B biến cố “hai số viết lên bảng mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có: 1 C C36 C24 C24 13 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 36 + = 1 1 C60C60 C60C60 25 Suy xác suất để hai số có số có chữ số P = − P ( A ∪ B ) = − 13 12 = 25 25 Bài Bốn xạ thủ A, B, C, D bắn1 bia Biết xác suất trúng người A, B, C xác suất trượt người D Tính xác suất trúng người A để xác suất trúng người bắn trúng cao nhất? Gọi xác suất bắn trúng A, B, C x xác suất bắn trúng D – x Khi xác suất bắn trúng người f(x) = x3(1-x) với ≤ x ≤ Ta càn tìm x để f(x) lớn Bài Một người bán chim chào mào, biết chim nhốt vào lồng có trống mái Có hai người đến mua chim, người thứ mua con, người thứ hai mua hai con.Người bán bắt bầt kì để bán người mua phải châp nhận cách bán Tính xác suất để người thứ hai mua trống mái Gọi A biến cố người thứ mua trống người thứ hai mua trống mái B biến cố người thứ mua mái người thứ hai mua trống mái C biến cố người thứ hai mua trống Ta có A B hai biến cố xung khắc C = A ∪ B ⇒ P(C ) = P( A) + P( B) C 31 C 41 C 21 C 41 C 31 C 31 C 41 C 31 C 31 C 41 C 31 C 31 + Trong P( A) = ; P( B) = ⇒ P(C ) = P( A) + P( B) = C7 C6 C7 C6 C C 62 C C 62 Bài Có 15 hành khách tàu điện, tàu có toa Tính xác suất để toa có người số người toa bé toa toa bé toa 3? 15 Mỗi người ba toa ⇒ Ω = Ta xét TH sau TH1: Toa có khách ⇒ P1 = ( C15 C142 + C143 + C144 + C145 + C146 315 ( C152 C133 + C134 + C135 + C136 TH2: Toa có khách ⇒ P2 = 315 ( TH3: Toa có khách ⇒ P3 = C153 C124 + C125 315 TH4: Toa có khách ⇒ P4 = C154 C115 315 ) ) ) Xác suất cần tìm p1+p2+p3+p4 Bài Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm bề giống hệt có hai mở cửa kho Anh ta thử ngẫu nhiên chìa (chìa không trúng bỏ khỏi chùm chìa khóa) Tìm xác suất để lần thử thứ ba mở cửa? Xác suất để lần thứ không mở p1 = 9 Xác suất để lần thứ hai không mở cửa p = Xác xuất để lần thứ mở cửa p = = Bài 10 Có ba bình: bình A đựng viên bi xanh bi đỏ, bình B đựng viên bi xanh viên bi đỏ bình C đựng viên bi xanh viên bi đỏ Người ta chọn ngẫu nhiên bình từ ba bình cho, từ bình chọn lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy viên bi đỏ Gọi A, B, C biến cố lấy bi đỏ bình A, bình B, bình C Ta có, xác suất chọn bình A, bình B hay bình C Xác suất chọn bi đỏ bình A, bình B, bình C P ( A) = , P ( B ) = , P (C ) = 15 15 P ( D ) = P( A) + P ( B ) + P (C ) = Gọi D biến cố cần tìm xác suât, + + = 0.54 27 45 45 Bài 11 Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời, có phương án Một thí sinh chọn ngẫu nhiên câu trả lời Hỏi xác suất thí sinh đạt điểm cao nhất, biết câu trả lời điểm trả lời sai không điểm Mỗi câu có xác suất trả lời 0.25 xác suất trả lời sai 0.75 Gọi x số điểm thí sinh đạt xác suất để đạt x điểm Px = 0.25 x.0.7510− x Ta cần tìm x để Px đạt giá trị lớn Ta có Px = C10x 0.25 x.0.7510− x = C10x 0.2510.310− x = 0.2510.C10x 310− x Px lớn C10x 310− x lớn Ta lập bảng x C 310 Kết luận… x 10 10 − x 10.39 … 10 Bài 12 Gọi E tập hợp 100000 số nguyên dương Chọn ngẫu nhiên số từ E, tính xác suất để số chọn có chứa chữ số 1, chữ số chữ số Ta có Ω = 100000 Gọi n số tự nhiên thuộc tập E thỏa mãn yêu cầu Xét Th sau TH1: n có dạng n = abc , TH có 3! = số TH2: n có dạng n = abcd ,nếu a = 1, 2, trường hợp có A32 số, TH có A32 = 126 số TH3: n có dạng n = abcde ,tương tự TH2, ta có 3.7.7 A42 = 1764 số Theo quy tắc cộng ta có + 126 + 1764 = 1896 số Gọi A biến cố cần tính xác suất, ta có Ω A = 1896 ⇒ P ( A) = 1896 100000 Bài 13 Cho A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên từ tập A số, tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số hàng đơn vị Số tự nhiên có chữ số có dạng n = abcde a ≠ Có tất 9.104 số ⇒ Ω = 9.10 Tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho có chữ số hàng đơn vị 10000 ≤ n = abcde = k ≤ 99999 ⇔ 1428 ≤ k ≤ 14285 n có tận nên k có tận có tất 14283 − 1433 1286 + = 1286 số ⇒ Ω A = 1286 ⇒ P( A) = =0.01428889 10 9.10 Bài 14 Từ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chử số, chử số có mặt lần, chữ số lại có mặt không lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn nhẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Số tự nhiên có chữ số thỏa mãn có dạng n = abcde , Số có mặt ba lần nên có C53 = 10 cách chọn vị trí cho chữ số 3, Có A42 = cách chọn xếp chữ số lại Theo QT nhân ta có Ω = 10.6 = 60 Gọi A biến có số chọn chia hết cho Vì n = abcde có mặt ba chữ số nên n chia hết cho tổng hai chữ số lại chia hết cho 3, mà chữ số 1, 2, 4, có bốn cắp (1, 5); (2, 4); (1;2) (4,5) có tổng chia hết chi 3, ứng với cặp ta thành lập hai số n = abcde chia hết cho Do Ω A = 2.4 = ⇒ P( A) = 15 Bài 15 Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc tập A Tính xác suất để số chọn chia hết cho Số tự nhiên có chữ số đôi khác có dạng: N = a1a a9 Có tất 9.9! số tự nhiên có chữ số đôi khác ⇒ Ω = 9.9! N chia hết cho a1+a2 + … +a9 chia hết cho Mà + 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 chia hết cho 3, để thành lập số tự nhiên N chia hết cho có chữ số khác từ 10 chữ số 0, 1, 2, …., ta chọn chữ số có tổng chia hết cho 3, tức số lại phải chia hết cho xảy Th sau TH1: a1, …a9 ∈ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9} TH ta thành lập 9! Số TH2: a1, …a9 ∈ { 0,1,2,4,5,6,7,8,9} , { 0,1,2,3,4,5,7,8,9} , { 0,1,2,3,4,5,6,7,8} Th ta lập 8.8! số Gọi A biến cố cần tìm xác suất Theo quy tắc cộng, ta có Ω A = 9!+3.8.8!= 33.8!⇒ P( A) = 33 = 0.4074 81 Bài 16 (HSG Thanh Hóa 2011- 2012) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số chẵn có chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để chọn số lớn 2012 Bài 17 (HSG Thanh Hóa 2013-2014) Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Bài 18 Cho tập A = { 1, 2,3, , 2015} , từ tập A chọn ngẫu nhiên hai số Tìm xác suất để giá trị tuyệt đối hiệu hai số chọn lớn 2 Số cách chọn số 2015 số tập A C2015 Ω = C2015 Gọi A biến cố cần tính xác suất Khi A biến cố hai số chọn có hiệu Các cặp có giá trị tuyệt đối hiệu hai số (1;2), (2;3),(3;4), ,(2014,2015), có tất 2014 cặp Vậy Ω A = 2014 ⇒ P( A) = − 2014 2014 2014 C2015 ⇒ P ( A ) = − = 2 C2015 C2015 C2015 Bài 19 Có hai hộp đựng bi, viên mang mầu trắng đen Lấy ngẫu nhiên hộp viên a) Biết hộp thứ có 20 viên có viên đen, hộp có 15 viên có 10 viên đen Tính xác suất để lấy hai viên đen b) Biết tổng số bi hai hộp 20 xác suất lấy hai viên đen 55/84 Tính xác suất để lấy hai bi trắng (Chưa tìm lời giải) Bài 20 Cho đa giác n đỉnh (n>3) Gọi M tập hợp tất tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác từ M, biết xác suất để chọn tam giác cân không 18 Tìm n (Xét hai TH n lẻ n chẵn) 91 NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton Các trường hợp đặc biệt Các dạng toán: - Tìm hệ số, hệ số lớn - Chứng minh đẳng thức tổ hợp - Tính tổng biểu thức tổ hợp Phương pháp: - Sử dụng đẳng thức tổ hợp kC nk = nC nk−−11 , C nk−−11 + C nk−1 = C nk , tổng - Sử dụng p2 đạo hàm n Bài Cho ( x + x + 1) = a0 + a1 x + a x + + a n x n Tìm n biết a1 + 2a + + 2n.a n = 324 HD Từ a1 + 2a + + 2n.a n = 324 định hướng cho ta sử dụng p2 đạo hào để gải Bài Tìm hệ số x khai triển đa thức 1 − + x x n+5 mãn biết n số tự nhiên thỏa C 20n +1 + C 21n +1 + C 22n +1 + + C 2nn +1 = 1024 Ta có C 20n+1 = C 22nn++11 , C 21n+1 = C 22nn+1 , C 22n+1 = C 22nn+−11 , , C 2nn+1 = C 2nn++11 Do C 20n +1 + C 21n +1 + C 22n +1 + + +C 2nn +1 = 1024 ⇔ C 22nn++11 + C 22nn+1 + C 22nn+−11 + + C 2nn++11 = 1024 ⇒ C 2nn++11 + C 2nn++21 + + C 22nn++11 = 1024 ⇒ C 20n +1 + C 21n +1 + C 22n +1 + + C 22nn++11 = 2.1024 = 211 ⇔ n = 211 ⇒ n = 11 có 1 − + x x n+5 = (x +x−2 x 16 ) 16 Hệ số x7 khai triển hệ số x 23 khai triển ( x + x − 2) 16 Lại có (x + x−2 ) 16 [ = x + ( x − 2) ( ) ] 16 Ta ( ) = C160 x 16 ( ) ( ) + + C169 x ( x − 2) + C1610 x ( x − 2)10 ( ) ( ) + C1611 x ( x − 2)11 + C1612 x ( x − 2)12 + C1613 x ( x − 2)13 + + C1616 ( x − 2)16 Do hệ số x23 khai triển C169 C 97 (−2) + C1610 C105 (−2) + C1611 C113 (−2) + C1612 C121 (−2)1 Vậy hệ số x7 C169 C97 (−2) + C1610 C105 (−2) + C1611 C113 (−2) + C1612 C121 (−2)1 1 2 2015 2016 C2016 + 2C2016 C2016 + 3C2016 C2016 + + 2016C2016 C2016 Bài Tính tổng S = C2016 - Tổng S gợi cho ta xét đến tích hai khai triển (x+1) 2016 [(1+x) 2016 ]’ theo hai cách khác k từ đồng hệ số x theo hai cách khai triển - Ta có ( x + 1) 2016 = 2016 ∑C k =0 ⇒ ( x + 1) 2016 k 2016 x ∑ ∑ iC k =0 i = k +1 [ , (1 + x ) [( x + 1) ] = ∑ ∑ iC 2016 2016 2016 ' k =0 i =1 Suy hệ số x 2015 2016 2016−k k 2016 2016 ] 2016 ' k 2016 ' 2016 i 2016 i = ∑ C2016 x i = ∑ iC 2016 x i −1 i =1 i =0 i C2016 x 2015−k +i ứng với i = k+1, tức hệ số x 2016 khai triển i 1 2 2015 2016 C2016 = C2016 C 2016 + 2C2016 C 2016 + 3C2016 C2016 + 2016C2016 C2016 2016 2016 Mặt khác, ta lại có ( x + 1) [( x + 1) ] ' = 2016(1 + x ) 4031 4031 2016 k = ∑ 2016C 4031 x k suy hệ số x k =0 2016 khai triển 2016 C4031 1 2 2015 2016 2016 C 2016 + 2C 2016 C 2016 + 3C 2016 C 2016 + 2016C 2016 C 2016 = 2016 C 4031 Vậy C 2016 Bài Biết đa thức − x + x − x + + x 2014 − x 2015 viết thành dạng a + a1y + a y + + a 2015 y 2015 với y = x + , số thực Hãy tính tổng S = a 20 −a 21 + a22 − + a 2014 − a2015 - Ta thấy − x + x − x + + x 2014 − x 2015 tổng 2016 số hạng cấp số nhân với số hạng công bội q = - x - Tổng S = a − a + a − + a 2 2 2014 −a 2015 quyen thuộc với dạng Ta có − x + x − x + + x 2014 − x 2015 = 2015 = ∑ (−1) k =0 k +1 k C2016 y 2016−k y ∑ (−1) (C ) k − (− x) 2016 − x 2016 − ( y − 1) 2016 = = − (− x) 1+ x y 2015 k = ∑ (−1) k +1 C2016 y 2015−k k =0 2015 2014 2015−i , a1 = −C2016 , = ( −1) 2016−i C2016 , , a2015 = −C2016 Do đó: a0 = C2016 i =0 i i k 2015 2014 2013 ) − (C2016 ) + (C2016 ) − + (C2016 ) − (C2016 ) (*) Suy S = a 20 − a 21 + a22 − + a 2014 − a2015 = ( C2016 Việc lại tính tổng (*) Bài Tìm số hạng chứa x12 khai triển Niu – Tơn ( + 2x ) , biết n số nguyên dương 2n 11 thỏa mãn C2 n + 3C2 n + 5C2 n + + ( 2n + 1) C2 n = 7.2 Ta có C20n + 3C22n + 5C24n + + ( 2n + 1) C22nn = 7.211 ⇔ ( C20n + 2C22n + + 2nC22nn ) + ( C22n + C 24n + + C22nn ) = 7.211 (*) Mà C22n + C24n + + C22nn = (C20n + C22n + C24n + + C22nn ) − = 2 n−1 − Và 3n C 20n + 2C 22n + + 2nC 22nn = C20n + 2nC21n−1 + 2nC23n−1 + + 2nC22nn−−11 = C20n + 2n(C21n−1 + C23n−1 + + C22nn−−11 ) = C20n + 2n(C21n−1 + C23n−1 + + C22nn−−11 ) = + 2n.2 n−2 Do (*) ⇔ 2 n−1 + 2n.2 n−2 = 7.211 ⇔ (n + 1)2 n−1 = 7.211 ⇔ n = Từ ta có kq 2 n n Bài Tìm n nguyên dương thoả mãn: Cn + 2Cn + 6C n + + ( n − n + ) C n = 403 , với Ckn số tổ hợp chập k n phần tử Ta có ( k − k + k )Cnk = k (k − 1)Cnk + k C nk = n(n − 1)Cnk−−22 + k Cnk với ĐK k ≥ Do 6.Cn2 = n(n − 1)Cn0−2 + 2 Cn2 …………………………… (n − n + n )Cnn = n(n − 1)Cnn−−22 + n Cnn Vậy C0n + 2C1n + 6Cn2 + + ( n − n + n ) C nn = 403 [ ] ⇔ (Cn0 + 21 Cn1 + 2 Cn2 + + n C nn ) + n(n − 1) C n0−2 + C n1−2 + + Cnn−−22 = 403 ⇔ 3n + n(n − 1).2 n−2 = 403 ⇔ 3n + n(n − 1) n−2 = 35 + 5.(5 − 1)25−2 ⇔ n = Bài Đặt f ( x) = (1 + x + x + x ) = a0 + a1 x + a x + + a 28 x 28 a) Tính: a) Ta có ( a3 f ( x) = + x + x + x b) Tính : ) = [(1 + x) + ( x P = 3a0 – 4a1 + 5a2 - … + 31a28 + x4 ) ] = C 70 (1 + x) + C 71 (1 + x) ( x + x ) + C 72 (1 + x ) ( x + x ) + + C 77 ( x + x ) Trong hạng tử có hai hạng tử C 70 (1 + x) ; C 71 (1 + x) ( x + x ) có chứa x3; Trong đó, hệ số x3 hạng tử C 70 (1 + x) C 70 C 73 hệ số x3 hạng tử C 71 (1 + x ) ( x + x ) C 71 C 61 Vậy a3 = C 70 C 73 + C 71 C 61 b) Cách Ta có x f ( x) = x (1 + x + x + x ) = a0 x + a1 x + a x + + a 28 x 31 ⇒ x (1 + x + x + x ) + x (1 + x + x )(1 + x + x + x ) = 3a x + 4a1 x + 5a x + + 31a 28 x 30 Thay x = -1 vào ta P = 3a0 – 4a1 + 5a2 - … + 31a28 = 3.27+35.26 = 41.26 Cách Ta có P = 3a0 – 4a1 + 5a2 - … + 31a28 = 3(a0 – a1 + a2 - … + a28) - (a1 – 2a2 + 3a3 - … 28a28) = 3P1 – P2 Trong P1 = f(-1) = 27; P2 = f’(-1) = -35.26 Do P = 41.26 Bài Tính tổng : a) S = C n1 + 2C n2 + 3C n3 2 + + nC nn n−1 b) S = 2.1.C n2 + 3.2.C n3 + 4.3.C n4 + + n(n − 1)C nn 2015 2014 + 2 C 2015 2013 + C 2015 2012 + + 2015 C 2015 c) S = 12 C 2015 d) S = 2C n0 + 2 23 2 n +1 n C n + C n + + Cn n +1 e) S = (C n1 ) + 2(C n2 ) + 3( C n3 ) + + n(C nn ) 2 Giải: a) Cách 1: Ta có kC nk = nC nk−−11 , đó: S = C n1 + 2C n2 + 3C n3 2 + + nC nn n−1 = n(C n0−1 + 2C n1−1 + 2 C n2−1 + + n −1 C nn−−11 ) = n.3 n−1 Cách 2: USE đạo hàm b) Ta có Cách ( S = 2.1.C n2 + 3.2.C n3 + 4.3.C n4 + + n(n − 1)C nn = n 1.C n1−1 + 2.C n2−1 + 3.C n3−1 + + (n − 1)C nn−−11 ( ) = n.(n − 1) C n0−2 + C n1− + + C nn−−22 = n(n − 1).2 n − Cách 2: USE đạo hàm cấp 2 2015 2014 + 2 C 2015 2013 + C 2015 2012 + + 2015 C 2015 c) S = 12 C 2015 USE phân tích : k C nk = k [ (k − 1) + 1]C nk = k (k − 1)C nk + kC nk d) Sử dụng tích phân công thức k k −1 C n = C n −1 n k e) S = (C n1 ) + 2(C n2 ) + 3(C n3 ) + + n(C nn ) = C n0−1C n1 + C n1−1C n2 + C n2−1C n3 + + C nn−−11C nn1 2 2 ) Đến ta nghĩ đến tích hai khai triển (1+ x)n-1 (x + 1)n Bài Tính S = 12 ( C n1 ) + 2 ( C n2 ) + ( C n3 ) + + n ( C nn ) 2 (1 − x + x Bài 10 Cho khai triển: 2 − x + − x 2015 ) 2016 (Bài tập) = a + a1 x + a x + + a 4062240 x 4062240 a) Tính a0 + 2a1 + 3a + + 4062241a 4062240 (HD: vận dụng đạo hàm) 2016 a 2016 + C 2015 a 2015 + + C 2016 a = −2016 (Dạng khai thác đề thi HSG b) CMR: C 2016 Thanh Hóa 2013) n Bài 11 Tìm hệ số x4 khai triển (1 + x + 3x ) biết C n6 + 3C n7 + 3C n8 + C n9 = 2C n8+2 (*) Viết lại VT (*) thành tổng hợp lý áp dụng liên tiếp đẳng thức tổ hợp C nk−−11 + C nk−1 = C nk a) Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển 661 Tìm số hạng có hệ số 2n lớn b) Biết hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất, tìm n Bài 13 Có hạng tử số nguyên khai triển Bài 14 Cho khai triển 3lo x + 2lox ( −3 ) 64 n Biết tổng hệ số khai triển 512 Tìm x biết số hạng thứ 28.3n - Tổng hệ số khai triển ứng với x = ⇒ n = 512 ⇒ n = - Số hạng thứ khai triển ứng với k = Bài 15 Tìm hệ số x18 khai triển ( x + 2) 13 ( x − x + 4) 10 Ta có ( x + 2) 13 ( x − x + 4) = [( x + 2)( x − x + 4)] ( x + 2) = ( x + 8) ( x + 2) 10 10 10 k 30 − k k 30 4 18 5 15 6 12 10 10 Mà ( x + 8) = ∑ C10 x = C10 x + + C10 x + C10 x + C10 x + + C10 10 10 k =0 10 Và ( x + 2) = x + x + 12 x + Do hệ số x18 khai triển ( x + 2) 13 ( x − x + 4) 8.8 C104 + C104 = (C104 + C105 ) = C115 2 2 C C1 C Cn C n +1 − Bài 16 CMR: n + n + n + n = n+ 2 (*) (n + 1) n +1 Ta có (k + 1)C k +1 n +1 C nk C nk++11 = (n + 1)C ⇒ = , k = 0, n k +1 n +1 k n C1 C C C n +1 (C ) + (C n2+1 ) + (C n3+1 ) + + (C nn++11 ) Do VT(*) = n+1 + n+1 + n+1 + n +1 = n +1 ( n + 1) n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 2 2 2 2 Vấn đề lại tính tổng tren tử(Đây BT quyen thuộc) Bài 17 Chứng minh đẳng thức sau: (C ) − (C ) + (C ) 2016 2016 2 2016 ( ) 2016 = C 2016 − + C 2016 1008 2016 x 2016 + C 2016 x 2015 + C 2016 x 2014 + + C 2016 Xét khai triển ( x + 1) 2016 = C 2016 k 2016 2016 (1 − x ) 2016 = C 2016 − C 2016 x + C 2016 x + + ( −1) k C 2016 x k + + C 2016 x ( ⇒ hệ số x2016 khai triển ( x + 1) 2016 (1 − x ) 2016 C 2016 2016 2016 Mặt khác ( x + 1) (1 − x ) = (1 − x ) 2016 Bài 18 Cho khai triển đa thức ( − x ) = 2016 ∑C k =0 2013 k 2016 ) − (C ) + (C ) 2 2016 = ao + a1 x + a2 x + + a2013 x 2013 Lời giải Ta có: ( x(1 − x) 2013 ) ′ = a0 + 2a1 x + 3a2 x + + 2014a2014 x 2013 2013 − 4026 x(1 − x) 2012 = a + 2a1 x + 3a x + + 2014a 2013 x 2013 (*) k k Nhận thấy: ak x = ak (− x) thay x = −1 vào hai vế (*) ta có: S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 = 1343.32213 ( 2016 − + C 2016 1008 (−1) k x k có hệ số x2016 C 2016 Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + + 2014 a2013 ⇔ (1 − x ) 2 2016 )