ÔN THI HSG TỔ HỢP XÁC SUẤT NHỊ THỨC NEWTON

Tập hợp các bài toán hay và khó phần tổ hợp, xác suất và nhị thức Newton ôn thi học sinh giỏi toán 11 cũng như 12. Các bài toán được lựa chọn và sắp xếp hợp lý, dễ với người dạy và người học. Đây chắc hẳn sẽ là một tài liệu quý để các thầy cô và học sinh tham khảo

TỔ HỢP

A Tóm tắt lý thuyết

1 Hai quy tắc đếm cơ bản

2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

3 Phương pháp giải toán: PP trực tiếp, PP gián tiếp

B Ví dụ

Bài 1 Cho tập A 0,1, 2,3,4,5,6,7  Từ tập A có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và trong 3 chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm phải có một chữ số bằng 1

- Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thỏa mãn yêu cầu có dạng a1a2a3a4a5

Xét 3 trường hợp

TH1: a1 = 1 trong TH này có 4

7

TH2: a2 = 1 trong TH này có 6 3

6

TH3: a3 = 1 trong TH này có 6.6 2

5

Vậy có tất cả 4

7

A + 6 3

6

A +6.6 2

5

A

Bài 2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6

chữ số khác nhau và bắt buộc có mặt ba chữ số 0, 1 và 2

Ta có:

5 cách chọn vị trí cho chữ số 0

5 cách chọn vị trí cho chữ số 1

4 cách chọn vị trí cho chữ số 2

Và 3

7

A cách chọn 3 chữ số từ 7 chữ số 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và sắp xếp chúng vào ba vị trí còn lại Theo QT nhân ta có tất cả 5.5.4 3

7

A số

Bài 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà số tự nhiên đó chia hết cho 3.

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 có dạng n  abc

Xảy ra các TH sau đây:

TH1: Chọn 3 tự nhiên chia hết cho 3 trong các số {0, 3, 6, 9}

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu trong TH này là 4.3.2 = 24 số

TH2: Chọn 3 số tự nhiên chia cho 3 dư 1 trong các số {1;4;7}

Số các số thỏa mãn là 3! = 6 số

TH3: Chọn 3 số tự nhiên chia cho 3 dư 2 trong các số {2;5;8}

Số các số thỏa mãn là 3! = 6 số

TH4: Chọn 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 và 1 số chia hết cho 3

Chọn 1 số chia 3 dư 1 có 3 cách

Chọn 1 số chia 3 dư 2 có 3 cách

Chọn 1 số chia 3 dư 0 có 4 cách

Trong TH này ta có 3.3.4.3! – 3.3.2!=306

Vậy số các số thỏa mãn là 24+6+6+306=342

(BT tương tự: Từ 100 viên bi đánh số từ 1 đến 100 Có bao nhiêu cách chọn ra 3 viên bi mà

tổng các chữ số trên các viên bi đó chia hết cho 3)

Bài 4 Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2017 chữ số sao cho số lần xuất hiện các chữ số 1, 2, 3 là số lẻ.

TH1: Số 1 xuất hiện 1 lần, số 2 xuất hiện k = 2n + 1 lần, thì số 3 xuất hiện 2017- (2k + 2) lần

(k=2n + 1 với n = 1 , , 1007) Trong TH này số chữ số thỏa mãn là:

2017

2015 2016

5 2016

3 2016

1 2016

1 2017 1007

1

1 2

2016

1

C

n

n































TH2: Số 1 xuất hiện 3 lần, số 2 xuất hiện k = 2n + 1 lần, thì số 3 xuất hiện 2017- (2k + 4) lần

(k=2n + 1 với n = 1 , , 1006) Trong TH này số chữ số thỏa mãn là:

2017

2013 2014

5 2014

3 2014

1 2014

3 2017 1006

1

1 2

2014

3

C

n

n































………

TH1007: Số 1 xuất hiện 2015 lần, số 2 xuất hiện 1 lần, số 3 xuất hiện 2017 – (2015+1)=1 lần

Trong TH này, số chữ số thỏa mãn là 2015 1

2017 2

C

Vậy số chữ số thõa mãn yêu cầu là

2017 2012

5 2017 2014

3 2017 2016

1 2017 1

2015 2017 2011

5 2017 2013

3 2017 2015

1

2

1 2

2 2

C

Mặt khác, ta có

2017 2015

2 2017 2016

1 2017 2017

0 2017

1

2017 2015

2 2017 2016

1 2017 2017

0 2017 2017

2 2

2 1

2017 2

2015 2017 2012

5 2017 2014

3 2017 2016

1

2

1

3 2017 

4

3 3 2

3 3 2

2 2

2017 2012

5 2017 2014 3 2017

2016

1

2017

















C

Vậy số kết quả cần tìm là

4

3

3 2017





Bài 5 Có bao nhiêu số tự nhiên có 2017 chữ số mà các chữ số 0 suất hiện chẵn lần.

Nếu chữ số 0 xuất hiện 2n lần thì số các số thỏa mãn yêu cầu là C2n 2017 2n

2016 9 

với

1008

,

,

2

,

1

,

0



n

2016 2013

4 2016 2015

2 2016 2017

1008

0

2 2017 2

C

n

n n

















 2016 

2016 2012

4 2016 2014

2 2016 2016

0 2016

1 2016 2016 2013

4 2016 2015

2 2016 2017

0 2016

9 9

9 9

9

9 9

9

C C

C C

C C

C C





















Xét các tổng   2016

2016 2014

2 2016 2015

1 2016 2016

0 2016 2016

9 9

9 1

9  C C C  C (1)   2016

2016 2014

2 2016 2015

1 2016 2016

0 2016 2016

9 9

9 1

9  C  C C  C (2)

Từ (1) và (2) suy ra  

2

8 10

9 9

9

2016 2016 2016

2016 2012

4 2016 2014

2 2016 2016

0 2016











C

Do đó: S = 9

2

8

10 2016  2016

Bài 6 Với 4 chữ số a, b, 1, 2 đôi một khác nhau, lập được 18 số có ba chữ số đôi một khác

nhau Biết tổng của 18 chữ số đó là 6440 Tìm a và b

Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có dạng n  a1a2a3

Nếu a 0 ;b 0 thì từ 4 chữ số a, b, 1, 2 ta lập được 3 24

4 

A số tự nhiên có ba chữ số khác nhau,

do đó trong hai chữ số a và b phải có một số bằng 0, giả sử b = 0

Khi đó, từ 4 chữ số a, 0, 1, 2 ta lập được 18 số có 3 chữ số đôi một khác nhau(trong đó có 3! = 6

số không chứa chữ số 0, suy ra có 18 – 6 = 12 số có 3 chữ số khác nhau có chứa chữ số 0)

Trong 18 số đó, ở vị trí a1 các chữ số a, 1, 2 mỗi số xuất hiện 6 lần

Ở vị trí a2 chữ số 0 xuất hiện 12/2 = 6 lần, mỗi số a, 1, 2 xuất hiện 12/3 = 4 lần

Ở vị trí a3 chữ số 0 xuất hiện 12/2 = 6 lần, mỗi số a, 1, 2 xuất hiện 12/3 = 4 lần Vậy, tổng tất cả 18 chữ số lập được là

  6 (  1  2 ) 10 2  4 (  1  2 ) 10 1  4 (  1  2 ) 10 0  (  1  2 ) 644

3

2

các số lập được là 6440 nên (a 1  2 ) 644  6440  a 7.

Vậy hai số cần tìm là 0 và 7

Bài 7 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ

số đôi một khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và chúng đứng cạnh nhau.

Số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu có dạng n  a1a2a3a4a5

TH1: Hai chữ số lẻ ở hai vị trí a1a2

- Chọn hai chữ số lẻ trong ba chữ số lẻ 1, 3, 5 và sắp xếp chúng theo một thứ tự vào hai vị trí a1, a2 ta có 2 6

3 

A cách

- Chọn a3a4a5 có 3 24

4 

Theo QT nhân ta có 6.24 = 144 số

TH2: Hai chữ số lẻ ở hai vị trí a2a3

- Chọn hai chữ số lẻ trong ba chữ số lẻ 1, 3, 5 và sắp xếp chúng theo một thứ tự vào hai vị trí a1, a2 ta có 2 6

3 

A cách

- a1 có 3 cách chọn

- Chọn a4a5 có 2 6

3 

Theo QT nhân ta có 6.3.6 = 128 số

TH3: Hai chữ số lẻ ở hai vị trí a3a4 hoặc ở hai vị trí a4a5

Tương tự như TH3: mỗi TH này có 128 số

Vậy có tất cả 144 + 3.128 = 528 số

Bài 8 Có bao nhiêu cách phân phối 2017 cuốn sách toán giống nhau cho 100 cửa hàng bán sách sao cho mỗi cửa hàng được ít nhất một cuốn.

Sắp xếp 2017 cuốn sách trên thành một hàng ngang, giữa hai cuốn có một khoảng trống, do đó

có 2016 khoảng trống giữa 2017 cuốn sách trên Đặt 99 cây bút vào 99 trong 2016 khoảng trống trên, mỗi khoảng trống một cây búy Khi đó mỗi cách đặt như vậy là một cách phân chia các cuốn sách trên cho 100 cửa hàng sao cho mỗi cửa hàng được ít nhất một cuốn

Vậy số cách phân phối là 99

2016

C cách

Bài 9 Cho x, y, z, t là các số tự nhiên dương Phương trình: x + y + z + t = 2017 có bao nhiêu nghiệm.

Sắp xếp 2017 chữ số 1 lên một hàng ngang, giữa hai chứ số 1 có 1 khỏng trống, do đó giữa

2017 chữ số 1 có 2016 khoảng trống được tạo ra Đặt 3 cây bút vào 3 trong 2016 khoảng trống trên, mỗi khoảng trống một cây bút Gán tổng các chữ số 1 ở giữa hai cây bút(hoặc từ cây bút đầu tiên về trước hoặc cây bút thứ 3 về sau) cho các biến x, y, z, t (theo thứ tự đó) ta được nghiệm của phương trình trên Do đó số nghiệm của phương trình trên là số cách đặt ba cây bút vào 3 trong 2016 khoảng trống Vậy số nghiệm của PT là 3

2016

Bài 10 (HSG Thanh Hóa 2009- 2010) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 2 và chữ số 4.

Cách 1:

*) Xét các số có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có dạng n  abcd

Có 5 cách chọn a, có 3

5

A cách chọn bcd Theo QT nhân, ta có 5.A53 = 300 số

*) Xét các số có 4 chữ số có dạng n  abcd mà hai chữ số 2 và 4 không đồng thời có mặt

TH1: Số n  abcd không chứa hai chữ số 2 và 4 Trong TH này có 3.3! = 18 số

TH2: Số n  abcd chứa chữ số 2 và không chứa chữ số 4

TH2a: a = 2 Khi đó có 3

4

A = 24 số TH2b: a 2 Có 3 cách chọn a, có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 2; có 2 6

3 

A cách chọn hai chữ

số và sắp xếp vào hai vị trí còn lại Vậy TH này, ta có 3.3.6 = 54 số

Theo QT cộng thì trong TH2, ta có 24 + 54 = 78 số

TH3: Số n  abcd chứa chữ số 4 và không chứa chữ số 2 Tương tự như TH2 ta cũng có 76 số

Theo QT cộng, ta có 18 + 2.78 = 174 số

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là 300 – 174 = 126 số

Cách 2: Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn yêu cầu là Số n  abcd

TH1: a = 2 Có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 4; có 2 12

4 

A cách chọn 2 chữ số còn lại và sắp xếp vào hai vị trí còn lại Theo QT nhân ta có 3.12 = 36 số

TH2: a = 4 Tương tự TH trên ta cũng có 36 số

TH3: a 2 ,a 4 Có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 2; có 2 cách chọn vị trí cho chữ số 4; có 3 cách chọn a; và có 3 cách chọn chữ số còn lại Theo QT nhân, ta có 3.2.3.3 = 54 số

Theo QT cộng, ta có tất cả 36 + 36 + 54 = 126 số

Bài 11 (HSG Thanh Hóa 2014-2015) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số

kề nhau không cùng là số lẻ?

Gọi số đó là A a a a a a a 1 2 3 4 5 6 Từ giả thiết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ

TH1: A có 1 chữ số lẻ

+) a1 lẻ: Số các số A là 1

5 5 600

C P 

+) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 Số các số A là 1 4

5 4 5

4.(C C P ) 2400

Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số các số A trong đó có đúng một chữ số lẻ.

TH2: A có 2 chữ số lẻ

+) a1 lẻ: Có 5 cách chọn a1 Có 5 cách chọn a2 chẵn

Vậy số các số A là 1 3

4 4 4

5.5.(C C P ) 9600

+) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 Có 6 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong

2

a a3 a4 a5 a6 Vậy số các số A là 2 3

5 2 4

4.(C .6 ).P A 11520

Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số các số A.

TH3: A có 3 chữ số lẻ

+) a1 lẻ: Có 5 cách chọn a1 Có 5 cách chọn a2 Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau của hai số lẻ trong a3 a4 a5 a6 Vậy số các số A là 2 2

4 2 4

5.5.(C .3 ).P A 10800

+) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong a2 3

a a4 a5 a6 Vậy số các số A là 3 2

5 3 4

4.( 1 ).C P A 2880

Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số các số A.

Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số các số A.

Bài 12 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2015 chữ số, trong đó

phải có mặt đủ các chữ số 1, 2, 3, 4 ĐA (42015- 4.32015)

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT

1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

2 Các QT cộng xác suất, nhân xác suất

Bài 1.Có 6 lá thư và 6 phong bì đã ghi rõ địa chỉ, bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào các phong bì Tính xác suất để có đúng 3 lá thư bỏ đúng địa chỉ

Ta có 6! Cách bỏ 6 lá thư vào 6 bì thư Do đó   6  ! 720

Gọi A là biến cố có đúng ba lá thư bỏ đúng địa chỉ

Chọn ba lá thư bỏ đúng địa chỉ ta có C63 cách Xét TH ba lá thư thứ nhất, thứ hai, thứ ba bỏ đúng địa chỉ, khi đó ba lá thư thứ 4, thứ 5, thứ 6 bỏ sai địa chỉ Khi đó có hai cách bỏ thỏa mãn yêu cầu Suy ra A 2C63 40

1 720

40 )

(A  

P

Bài 2 Trong một lần cứu trợ thiên tai, một tỉnh bạn đã cứu trợ cho tỉnh Quảng Ngãi 20 tấn

lương thực, trong đó có 5 tấn gạo; 7 tấn bột mỳ; 8 tấn ngô UBND tỉnh đã chia đều số lương thực ấy cho 20 xã khó khăn nhất, mỗi xã chỉ nhận được 2 tấn khác loại, mỗi loại một tấn Hai xã Nghĩa An và Nghĩa Phú là 2 trong 10 xã đó Tính xác suất để 2 tấn lương thực mà xã Nghĩa An

đã nhận được giống với 2 tấn lương thực mà xã Nghĩa Phú đã nhận được

Gọi x, y, z lần lượt là số Xã nhận được số lương thực là Gạo và bột Mỳ, bột Mỳ và Ngô, Ngô và Gạo Ta có



























3 2 5

7

z y x

z z y y x

Số cách chia 20 tấn lương thực sao cho mỗi xã nhận được 2 tấn lương thực khác loại là

3 3 5 8 2 10 3

3

5

8

2

10 C .C C .C .C

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất Ta xét 3 Th sau đây:

TH1: Hai Xã Nghĩa An và Nghĩa Phú cùng nhận được hai loại là Gạo và Bột Mỳ Khi đó số cách phân phối là 3

3

5

8.C

C

TH2: Hai Xã Nghĩa An và Nghĩa Phú cùng nhận được hai loại là Bột Mỳ và Ngô Khi đó số cách phân phối là 3

3

2 5

3

8 C .C C

TH3: Hai Xã Nghĩa An và Nghĩa Phú cùng nhận được hai loại là Ngô và Gạo Khi đó số cách phân phối là 2

2

5 7

1

8 C .C

C Do đó A = 3

3

5

8.C

3

2 5

3

8 C .C

3

2 5

3

8 C .C

C Suy ra P(A)=…

Bài 3 Tính xác suất để có thể lập được một số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó

Số tự nhiên có 7 chữ số có dạng a1a2a3a4a5a6a7 Ta có   9 10 6

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

Ta có 3

6

C cách chọn ba vị trí cho ba chữ số 0;

Có 2

4

C cách chọn vị trí cho hai chữ số 3;

Chọn hai trong 8 chữ số 1,2,4,5,6,7,8,9 và sắp xếp chúng vào hai vị trí còn lại, ta có 2

8

A cách

8 2 4 3

6 C .A C

A 

8

2 4

3

6 C .A / 9 10

Bài 4 Một nhóm tập khiêu vũ gồm có 7 nam và 8 nữ Người ta chọn ra 6 người để ghép thành 3

cặp Tính xác suất để có ba cặp mà mỗi cặp gồm có một nam và một nữ

Số cách chọn 6 người và phân làm ba cặp từ 15 người trên là 2

11 2 13 2 15 2

11 2 13 2

15 C .C C .C .C

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

Chọn 3 nam trong 7 nam ta có 3

7

C cách; chọn 3 nữ trong 8 nữ ta có 3

8

C ; phân thành 3 cặp sao cho mỗi cặp có một nam và một nữ ta có 3! Cách Suy ra 3 3 !

8 3

7C C

A 

Vậy P(A) = 3 3

8

3

7C

11

2 13

2

15 C .C

Bài 5 Cho tập E={1,2,3,4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên , mỗi số gồm 3 chữ số

đôi một khác nhau thuộc tập E Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.

Cách 1

Ta có 3

5

A cách viết chữ số thứ nhất, có 3

5

A cách viết chữ số thứ hai do đó ta có ( 3

5

A )2 = 3600

3600





Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

Từ E có thể tạo ra được 3 2

4

A số có 3 chữ số khác nhau có mặt chữ số 5 và có 3

4

A số không có chữ số 5 2 ( 3 3 ) 1728 ( ) 17283600

4

2





Cách 2

Số cách viết một số tự nhiên lên bảng là: A3

5 cách Số cách viết một số tự nhiên lên không có

chữ số 5 lên bảng là: A 3

4 cách

Gọi A , B lần lượt là biến cố số thứ nhất , số thứ 2 không có chữ số 5

⇒|A|=|B|=A3

4⇒P(A)=P(B)=A 3

4 /A 3

5 =2/5 ⇒P(A¯)=P(B¯)=1−2/5=3/5 Gọi C là biến cố đúng một số có chữ số 5

⇒C=A⋂B¯⋃A¯⋂B

Vì A⋂B¯ và A¯⋂B xung khắc, A¯ và B ; A và B¯ là độc lập nên:

P(C)=P(A⋂B¯)+P(A¯⋂B) =P(A).P(B¯)+P(A¯).P(B) =2/5.3/5+3/5.2/5 =12/25 = 0.48

Cách 3

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 5.4.3 60

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là 60 24 36  

Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5” Rõ ràng A,B xung khắc Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:

13 25

Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là 1   1 13 12

25 25

Bài 6 Bốn xạ thủ A, B, C, D cùng bắn1 cái bia Biết xác suất trúng của 3 người A, B, C là như

nhau và bằng xác suất trượt của người D Tính xác suất trúng của người A để xác suất trúng của

4 người đều bắn trúng là cao nhất?

Gọi xác suất bắn trúng của A, B, C là x thì xác suất bắn trúng của D là 1 – x

Khi đó xác suất bắn trúng của 4 người là f(x) = x 3 (1-x) với 0 x 1

Ta chỉ càn tìm x để f(x) là lớn nhất.

Bài 7 Một người đi bán 7 con chim chào mào, biết 7 con chim được nhốt vào một cái lồng

trong đó có 4 con trống và 3 con mái Có hai người đến mua chim, người thứ nhất mua 1 con, người thứ hai mua hai con.Người bán bắt bầt kì để bán và người mua luôn phải châp nhận cách bán trên Tính xác suất để người thứ hai mua được một trống một mái

Gọi A là biến cố người thứ nhất mua được con trống và người thứ hai mua được một con trống

và một con mái

B là biến cố người thứ nhất mua được con mái và người thứ hai mua được một con trống và một con mái C là biến cố người thứ hai mua được một con trống và một con cái Ta có A và B

là hai biến cố xung khắc và C AB P(C) P(A) P(B)

Trong đó 2

6

1 3

1 3 1 7

1 4 2

6

1 3

1 3 1 7

1 4 2

6

1 2

1 4 1 7

1 3 2

6

1 3

1 3 1 7

1

.

)

( ) ( ) (

) (

;

) (

C

C C C

C C

C C C

C B P A P C P C

C C C

C B P C

C C C

C A

Bài 8 Có 15 hành khách đi tàu điện, trên tàu có 3 toa Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 người và số người ở toa 1 luôn bé hơn toa 2 và toa 2 luôn bé hơn toa 3?

Mỗi người có thể ở trên một trong ba toa   3 15

Ta xét các TH sau

15

6 14

5 14

4 14

3 14

2 14

1 15 1

3

C



15

6 13

5 13

4 13

3 13

2 15 2

3

C



15

5 12

4 12

3 15 3

3

.C C C



TH4: Toa 1 có 4 khách 15

5 11

4 15 4

3

.C

C

P 



Xác suất cần tìm là p1+p2+p3+p4

Bài 9 Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài giống hệt nhau trong đó chỉ có

hai chiếc mở được cửa kho Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào không trúng thì bỏ ra khỏi chùm chìa khóa) Tìm xác suất để lần thử thứ ba thì anh ta mới mở được cửa?

Xác suất để lần thứ nhất không mở được là p1 97

Xác suất để lần thứ hai không mở được cửa là .86

9

7

2 

p

Xác xuất để lần thứ 3 mới mở được cửa là .72 61

8

6 9

7





p

Bài 10 Có ba bình: bình A đựng 4 viên bi xanh và 5 bi đỏ, bình B đựng 8 viên bi xanh

và 7 viên bi đỏ và bình C đựng 6 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ Người ta chọn ngẫu nhiên ra một bình từ ba bình đã cho, rồi từ bình đã chọn lấy ngẫu nhiên ra một viên bi Tính xác suất để viên

bi lấy ra là viên bi đỏ

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố lấy được bi đỏ ở bình A, bình B, bình C