BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ ANH XÂY DỰNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN THẾ ANH XÂY DỰNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Mục lục MụC LụC Mở ĐầU KIếN THứC CƠ Sở 1.1 Một số ký hiệu 1.1.1 Một số không gian hàm 1.1.2 Một số hàm số 1.2 Phép biến đổi Laplace 10 1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) 10 1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) 10 1.2.3 Định lý (Lerch) 10 1.2.3 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace ngược) 11 1.2.5 Chú ý 11 1.2.6 Một số tính chất phép biến đổi Laplace 11 1.2.7 Một số tính chất phép biến đổi Laplace ngược 12 1.2.8 Bổ đề 12 1.3 Hàm Green cho phương trình Parabolic 15 1.3.1 Định nghĩa 15 1.3.2 Định lý 15 1.3.3 Nhận xét 15 1.4 Phép tính ngẫu nhiên 16 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên 16 1.4.2 Chuyển động Brownian hay trình Wiener 18 1.4.3 Bộ lọc cho chuyển động Brownian 18 1.4.4 Công thức Itô - Doeblin 18 PHƯƠNG TRÌNH BLACK - SCHOLES 21 2.1 Sơ lược thị trường quyền chọn 21 2.2 Xây dựng phương trình Black- Scholes 22 2.3 Công thức Black- Scholes định giá quyền chọn 26 XÂY DựNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES 27 3.1 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên bị chặn 27 3.2 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet 36 3.3 Xây dựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp 39 KẾT LUẬN 46 TÀI LIệU THAM KHảO 47 Mở đầu Nội dung nghiên cứu luận văn tìm hiểu cách thiết lập phương trình Black- Scholes cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes số điều kiện biên khác Phương trình Black - Scholes luận văn thiết lập từ việc xem xét trình ngẫu nhiên tài giá quyền chọn kiểu Châu Âu Cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black - Scholes dựa điều kiện biên Kỹ thuật dựa tích hợp phương pháp biến đổi Laplace phương pháp biến thiên số Luận văn gồm ba chương Chương trình bày số kiến thức cần sử dụng cho phần sau luận văn Phần thứ ký hiệu không gian hàm hàm số cần sử dụng Phần thứ hai liên quan đến đến Phép biến đổi Laplace: định nghĩa, tính chất cần sử dụng phần sau Trong phần này, kết phép biến đổi Laplace đưa Bổ đề (1.2.8) kết quan trọng sử dụng trực tiếp cho Chương người viết tìm hiểu bổ sung Phần thứ ba nội dung liên quan Lý thuyết hàm Green Phần người viết trình bày định nghĩa, định lý hàm Green cho phương trình Parabolic nội dung liên quan trực tiếp đến hàm Green cho phương trình Black Scholes Các kết dược chứng minh [7] Phần cuối liên quan đến Phép tính ngẫu nhiên gồm: Khái niệm trình ngẫu nhiên, chuyển động Brownian, lọc cho chuyển động Brownian, công thức Itô - Doeblin cho chuyển động Brownian Công thức Itô - Doeblin cho trình Itô Chương có nội dung trọng tâm giới thiệu cách xây dựng phương trình Black - Scholes Phần thứ nhất, sơ lược thị trường quyền chọn, trình bày khái niệm quyền chọn, sơ lược trình phát triển thị truường quyền chọn gới Phần thứ hai, xây dựng phương trình Black - Scholes, xét quyền chọn quyền chọn cổ phiếu Xem giá quyền chọn cổ phiếu trình ngẫu nhiên Sử dụng công thức Itô-Doeblin cho trình ngẫu nhiên số nguyên tắc tài dẫn đến phương trình Black-Scholes Phần cuối công thức nghiệm phương trình Black - Scholes Trong chương phần lớn nội dung người viết tổng hợp từ cách xây dựng tác giả Steven E.Shreve [15] Chương nội dung trọng tâm giới thiệu cách xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes với điều kiện biên khác Phần thứ nhất, xây dựng hàm Green cho phương trình Black - Scholes với điều kiện cuối có dạng tổng quát điều kiện phương trình Black- Scholes xét chương Phần thứ hai, xây dựng hàm Green phương trình Black - Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet Phần thứ ba, xây dựng hàm Green phương trình Black - Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp Nội dung chương tổng hợp từ báo tác giả M Y Melnikov, Y A Melnikov [12] Người viết bổ sung cách giải nghiệm phương trình Blach - Scholes cách áp dụng hàm Green để đến công thức Black-Scholes Mặc dù có nhiều cố gắng trình viết luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định, người viết mong nhận ý kiến quý báu Thầy cô bạn đọc quan tâm Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TS Đặng Đức Trọng Người viết xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Thầy Thầy định hướng nghiên cứu, tạo môi trường nghiên cứu bước hướng dẫn hoàn thành luận văn Người viết xin tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, giảng dạy cung cấp nhiều kiến thức bổ ích trình học tập Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi trình học tập trường Người viết xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Cao học Giải tích K21 trường Đại học Sư phạm, nhóm Seminar Toán Tài trường Đại học Khoa học Tự nhiên giúp người viết nhiều trình học tập nghiên cứu Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy cô Bộ môn Toán, Thầy cô Khoa Tự nhiên, Phòng Tổ chức, BGH trường CĐSP Nha Trang trao đổi, góp ý, kuyến khích tạo nhiều điều kiện thuân lợi thời gian học Cuối cùng, người viết xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình người thân, người động viên, giúp đỡ sống trình học tập nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn TP Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng năm 2013 Trần Thế Anh Chương Kiến thức sở 1.1 Một số ký hiệu 1.1.1 Một số không gian hàm Cho U tập mở R k C= (U ) {u : U → R ∣ u liên tục U } (U ) {u : U → R ∣ C= u li e n tuc tr e n U } C k= (U ) {u : U → R ∣ u khả vi U } C k= (U ) {u : U → R ∣ u khả vi cấp k U } C ∞= (U ) {u : U → R ∣u lhả vi vô hạn lần U } Cc (U ), Cck (U ), Cc∞ (U ) hàm C (U ), C k (U ), C ∞ (U ) có giá compact 1.1.2 Một số hàm số Hàm đặc trưng 1, 0, Hàm đặc trưng tập E , ký hiệu χ E , χ E ( x) = Hàm Delta Dirac hàm bước Heaviside x ∈ E, x ∉ E Hàm Delta Dirac, ký hiệu δ ( x) , hàm suy rộng thỏa mãn ∞ ∫ φ ( x)δ ( x)dx = φ (0) −∞ ∞ Khi theo định nghĩa với x0 ta có φ ( x ) ∫ φ ( x)δ ( x − x )dx = 0 −∞ x Vì gọi H ( x) = ∫ δ (t )dt hàm H ( x) định nghĩa −∞ 0, H ( x) = 1, x < 0, x ≥ Ta gọi hàm $H(x)$ hàm bước Heaviside x Theo trên, H ( x) = ∫ δ (t )dt , ta có δ ( x) = −∞ dH ( x) dx 1.2 Phép biến đổi Laplace 1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) Cho hàm số f thỏa mãn tính chất [i.] f đo (0, ∞) , [ii.] f tăng không nhanh hàm mũ τ → ∞ , nghĩa ∃α , ∃M > 0, f (τ ) ≤ Meατ ,τ > Hàm f có tính chất (i), (ii) gọi hàm gốc Số α = inf α gọi số tăng f 1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) Với hàm gốc f (τ ) với số tăng α , hàm số +∞ − sτ F : C → C , s F (s) = ∫ e f (τ )dτ xác định miền Re( s ) > α gọi phép biến đổi Laplace, kí hiệu L( f ) = F L( f (τ )) = F ( s ) L( f (τ ))( s) = F ( s) 1.2.3 Định lý (Lerch) Cho f, g liên tục [0, ∞) Nếu L{ f } = L{g} f = g (Xem [14, tr 24]) 10