sách hệ phương trình đặng việt hùng version 2017 hayyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ VIỆT NAM THẦY ĐẶNG VIỆT HÙNG CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC (Sách quý, tặng không bán) Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HỆ PT – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn x + y + xy = ( x + y )( xy + ) − Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình x + ( x + y ) = + − y Lời giải x + y ≥ ĐK: Ta có: PT (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy + ( x + y ) − y ≤1 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = xy ( x + y − 1) ⇔ ( x + y − 1) = xy ( x + y − 1) 2 ⇔ ( x + y − 1)( x + y − − xy ) = ⇔ ( x + y − 1)( x − 1)( y − 1) = • Với x = ⇒ + y = − y ⇔ y = − x ≤ ⇔ x = −1 • Với y = ⇒ x + x + = ⇔ x + 2x +1 = • Với x + y = ⇒ x + ( x − x + 1) = x + ⇔ ( x − x + 1) = (1 − x ) + x Đặt a = − x; b = x ta có: a + b ≥ ( a2 + b2 ) = a + b ⇔ ⇔ a =b≥0 ( a − b ) = x ≤ 3− Khi − x = x ⇔ ⇔x= x − 3x + = − −1 + Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( −1;1) ; 1; − ; ; 3 2 x+3 = ( x + y )( y − 1) Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình y − + − x = x + 16 Lời giải: y ≥ ;x ≤ ĐK: Khi đó: PT (1) ⇔ x + y − ( y − 1) = ( x + y )( y − 1) x + y ≥ Đặt u = x + y ; v = y − ( u; v ≥ ) Ta có: u − 2uv − 3v = ⇔ ( u + v )( u − 3v ) = ⇒ u = 3v ⇔ x + y = y − ⇔ x = y − Thay vào (2) ta có: 2 x + + − x = x + 16 ⇔ ( x + ) + 16 − 16 x + 16 ( − x ) = x + 16 ⇔ ( − x ) + 16 ( − x ) = x + x Đặt t = ( − x ) ≥ ta có: 4t + 16t = x + x 2t = x ⇔ ( 2t − x )( 2t + x + ) = ⇔ 2t = − x − ( loai ) x ≥ x 4 + 27 ⇔x= ⇒y= Với 2t = x ⇒ ( − x ) = ⇔ 2 18 9 x = 32 Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG y2 2 x − x + x + y = Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình x x2 + y2 = y Lời giải: ( ) ĐK: x ≥ Thế PT(2) vào PT(1) ta có: x − x + x + y = ⇔ x ( ) x −2 + Với x = ⇒ x +y 2 (2 − x ) = ⇔ ( (16 + y ) = y3 Facebook: LyHung95 x ( x2 + y ) ) )( x = x − 2 x − x2 + y = ⇔ 2 4 x = x + y ⇔ (16 + y ) = y ⇔ y − y − 144 = ⇔ y = ± + 657 y2 y2 4 x = x + y x + y = x = x = 0; y = 3 2 Với x = x + y ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ y2 2 x = 1; y = ± 2 x = x = y x = y 3 + 657 Kết luận: Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 0;0 ) ; 1; ± ; 4; ± ( ) ( x + y + 1) xy + y = y ( x + y + 3) Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình x + − y − x − + x + x + y − = ) )( ( (1) (2) Lời giải: x ≥ −1 ĐK: y ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + y + 1) y ( x + 1) = y ( 3x + y + 3) x + x + y − ≥ Đặt a2 3a y = b ( a, b ≥ ) ⇒ + 3b ab = b + 4b ( x + 1) = a; ⇔ ab ( a + 6b ) = b ( 3a + 8b ) ⇔ b ( a + 6ab − 3a 2b − 8b3 ) = ⇔ b ( a − 2b ) ( a − ab + 4b ) = (3) Vì y ≥ ⇒ b = b 15b y > a − ab + 4b = a − + > 2 2 Do (3) ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b ⇒ ( x + 1) = y ⇒ x + = y Thế y = x + vào (2) ta ⇔ ( ( x + − x +1− )( )( x − + ) x + − x − x − + x2 + x − = ) x2 + x + x + − = (4) ( ) ( Do x ≥ ⇒ x + + x − > nên (4) ⇔ ( x + − x + 1) x − + x + x − = ⇔ x − + x2 + x − = x + + x − x + + x −1 ) (5) Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt Facebook: LyHung95 x + + x − = t ( t ≥ ) ⇒ t = x + + x + x − = x + + x + x − ⇒ x + x2 + x − = t = −2 t2 − t2 − Khi (5) trở thành − = t ⇔ t − 2t − = ⇔ 2 t = Do t ≥ nên có t = thỏa mãn ⇒ x + + x − = ⇔ x + = − x − 1 ≤ x ≤ 17 4 − x − ≥ x − ≤ 13 1 ≤ x ≤ 17 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 13 ⇔ x = x = x + = x + 15 − x − x − = 4 ( x − 1) = ⇒ 2y = 13 17 17 13 17 + = ⇒ y = Thử lại ( x; y ) = ; thỏa mãn hệ cho 4 4 8 13 17 Đ/s: ( x; y ) = ; 4 8 1 + ( x − y + 1) = 1+ ( x − y + 1) Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình ( x − y + ) 2 ( x + ) x + y + − y + = − x + y + x + ( ) (1) (2) Lời giải: ĐK: x − y + > 0; x + y + ≥ 0; y + ≥ 0; x + y + x + ≥ (*) Đặt ( x − y + ) = t ≥ Khi (1) trở thành + (t − 2) t = 1+ 3 ⇔ (t − 2) + t − = t + t ⇔ f (t − 2) = f (t ) t −2 (3) Xét hàm số g ( u ) = u + u với u ∈ ℝ có g ' ( u ) = 3u + > 0, ∀u ∈ ℝ t = −1 ⇒ g ( u ) đồng biến ℝ Do (3) ⇔ t − = t ⇔ t = Kết hợp với t ≥ ⇒ có t = thỏa mãn ⇒ ( x − y + ) = ⇔ ( x − y + ) = ⇔ x = y Thế y = x vào (2) ta ⇔ ( x + 2) Đặt (a ( ( x + 2) ( ) 2x + − x +1 = − x + = a; ) 2x + − x + = − 2x2 + 5x + ( x + 1)( x + 3) (4) x + = b ( a, b ≥ ) Khi (4) trở thành − b ) ( a − 2b ) = a − 2b − ab ⇔ ( a + b )( a − b )( a − 2b ) − ( a + b )( a − 2b ) = ⇔ ( a + b )( a − 2b )( a − b − 1) = (5) a = 2b Với x ≥ −1 ⇒ a + b = x + + x + > Do (5) ⇔ a = b + Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • Facebook: LyHung95 x +1 ≥ x + ≥ a = 2b ⇒ x + = x + ⇔ ⇔ ⇔ x=− 2 x + = ( x + 1) x = − 1 ⇒ y = − Thử lại x = y = − thỏa mãn hệ cho 2 • x ≥ −1 x ≥ −1 a = b +1 ⇒ 2x + = x +1 +1 ⇔ ⇔ 2 x + = x + + x + 2 x + = x + x ≥ −1 x ≥ −1 x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −1) ⇔ x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 3;3) x = x +1 = Thử lại ( x; y ) = {( −1; −1) , ( 3;3)} thỏa mãn hệ cho 1 Đ/s: ( x; y ) = ( −1; −1) , ( 3;3) , − ; − 2 x2 + y2 x + xy + y + = x+ y Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình 3 xy − x − = − y + x − + x + y + (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ĐK: x − ≥ 0; x + y + ≥ 0; xy − x − ≥ (*) Khi có ( x + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + y ) ≥ ( x + y ) 2 x2 + y2 x + y ⇒ ≥ ≥0⇒ 2 x2 + y2 1 ≥ x + y ≥ ( x + y) 2 ( x + xy + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ ( x + xy + y ) ≥ ( x + y ) x + xy + y x + y ≥ ≥0⇒ ⇒ Từ (3) (4) ta có (3) x + xy + y 1 ≥ x + y ≥ ( x + y) 2 (4) x2 + y2 x + xy + y + ≥ x + y Dấu " = " xảy ⇔ x = y ≥ Do (1) ⇔ x = y ≥ Thế y = x vào (2) ta x − x − = − x + x − + 3x + ⇔ x − x + = − x + x − + x + (5) x + = a ≥ Đặt ⇒ x − = 2a + b − Khi (5) trở thành 3ab = −2a − b + + b + 4a x − = b ≥ ⇔ b + ( 3a − 1) b + 2a − 4a − = Coi phương trình bậc hai ẩn b với a tham số Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Xét ∆ = ( 3a − 1) − ( 2a − 4a − ) = a + 10a + 25 = ( a + ) • Facebook: LyHung95 − 3a + a + = −a + b = ≥0⇒ b = − 3a − a − = −2a − b = −a + ⇒ x − = − x + ⇔ x − + x + = (6) Với x > ⇒ VT (6) > 2.1 − + 3.1 + = ⇒ Loại Với ≤ x < ⇒ VT (6) < 2.1 − + 3.1 + = ⇒ Loại Với x = vào (6) ta thấy thỏa mãn Do (6) ⇔ x = ⇒ y = Đã thỏa mãn (*) • b = −2a − ⇔ 2a + b + = ⇒ x + + x − + = Phương trình vô nghiệm Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ( x + x ) x − y + = x + x + y + Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình ( x − ) x + x + + ( y + ) y + y + = x + y (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ĐK: x − y + ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + x ) x − y + − ( x + x ) + ( x − y − 1) = ⇔ ( x2 + x ) ( ) x − y + − + ( x − y − 1) = ⇔ ( x + x ) ( x − y + 8) − + x− y +8 +3 ( x − y − 1) = x2 + x ⇔ ( x − y − 1) + 1 = ⇔ ( x − y − 1) x + x + + x − y + = 3+ x − y +8 ( ) (3) 11 Ta có x + x + + x − y + = x + + + x − y + > 2 Do (3) ⇔ x − y − = ⇔ y = x − Thế y = x − vào (2) ta ( x − 2) x2 + x + + ( x − + ) ( x − 1) + ( x − 1) + = x + ( x − 1) ⇔ ( x − ) x + x + + ( x + 1) x − x + = x − Đặt x + x + = a; (4) x − x + = b ( a, b ≥ ) a2 + − b2 a2 + − b2 Khi (4) trở thành a − 2 + b + 1 = a − b 2 ⇔ a ( a − b − 3) + b ( a − b + 3) = ( a − b ) ⇔ ( a − b3 ) + ab ( a − b ) − ( a − b ) − ( a − b ) = ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + ab − − 2a − 2b ) = ⇔ ( a − b ) ( a + b ) − ( a + b ) − 3 = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ⇔ ( a − b )( a + b + 1)( a + b − 3) = (5) a = b Do a, b ≥ ⇒ a + b + > nên (5) ⇔ ( a − b )( a + b − 3) = ⇔ a = − b • x2 + x + ≥ x + x + ≥ 1 a = b ⇒ x2 + x + = x2 − x + ⇔ ⇔ ⇔ x= 2 x + x + = x − x + x = ⇒y= • 1 1 1 − = − Thử lại ( x; y ) = ; − thỏa mãn hệ cho 2 2 2 a = − b ⇒ x + x + = − x − x + ⇒ x + x + = x − x + 11 − x − x + x ≤ 5 − x ≥ ⇔ x2 − x + = − x ⇔ ⇔ 2 8 x + x − = 9 ( x − x + ) = ( − x ) x ≤ x = −1 ⇒ y = −1 − = −2 ⇒ ( x; y ) = ( −1; −2 ) x = −1 ⇔ ⇔ 7 7 1 x = ⇒ y = − = − ⇒ ( x; y ) = ; − x = 8 8 8 Thử lại ( x; y ) = ( −1; −2 ) , ; − thỏa mãn hệ cho 8 1 Đ/s: ( x; y ) = ( −1; −2 ) , ; − , ; − 8 2 Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình ( ) x2 + ( x + y ) x + y − = y y + y − (1) ( x, y ∈ ℝ) ( y + x + ) y + y + = x ( y + x + ) (2) Lời giải: x + y −1 ≥ x + y ≥ ĐK: 3 y − ≥ (*) ⇒ y + x + > 0; y + x + > 0; ⇔ y ≥ y + y + ≥ y + y + > Khi từ (2) ⇒ x > Xét phương trình (1) ta có Với x > y ≥ ( ) ( ) ⇒ VT (1) > y + ( y + y ) y + y − = y y + y − = VP (1) ⇒ Loại Với < x < y ⇒ VT (1) < y + ( y + y ) y + y − = y y + y − = VP (1) ⇒ Loại Với x = y vào (1) ta thấy thỏa mãn Do (1) ⇔ x = y Thế y = x vào (2) ta (x + x + ) x3 + x + = x ( x + 3x + ) (3) Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đặt Facebook: LyHung95 x3 + x + = a + x x +x +4 =a >0⇒ 2 2 x ( x + 3x + 8) = x ( 2a + x ) Khi (3) trở thành a ( a + x ) = x ( 2a + x ) ⇔ x3 − 5ax + 4a x − a = x = a ⇔ ( x − a ) ( 2x − a ) = ⇔ 2 x = a • x ≥ x ≥ x = a ⇒ x = x3 + x2 + ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅ x = x + x + x + = • x ≥ x ≥ x = a ⇒ x = x3 + x + ⇔ ⇔ ⇔ x = 4 x = x + x + ( x − ) ( x + 1) = ⇒ y = ⇒ ( x; y ) = ( 2; ) Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 2; ) x3 + xy − y = x y + y − x, Câu [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2x2 − y + x + = y x + ( ) Lời giải Phương trình thứ hệ tương đương với x3 + xy + x − x y − y − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y + 1) = ⇔ x = y Khi phương trình thứ hai trở thành Đặt x+ x2 + = ⇔ ( x + 2) x2 + = ( x2 + ) x x ( x + 1) x + = u; x = v ( u > 0; v > ) ta thu ( 2v uv = + ) u = ( u + ) v ⇔ uv ( 2v − u ) = ( 2v − u ) ⇔ 2v = u uv = ⇔ x3 + x = ⇔ x + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = x = 2v = u ⇔ x + = x ⇔ x = Phương trình ẩn x có nghiệm S = {1;3} dẫn đến ( x; y ) = (1;1) , ( 3;3) Thử lại nghiệm hệ ban đầu 2 4 x + xy + y + x + y = 2, Câu 10 [ĐVH]: Giải hệ phương trình 8 − x + y = Lời giải Điều kiện x ≤ Phương trình thứ hệ tương đương với 2 x + y = t 2 x + y = t ⇔ (2x + y ) + 2x + y − = ⇔ t + t − = t ∈ {−2;1} x = y = u; u ≥ y = u; u ≥ Xét t = ⇒ y + y = ⇔ ⇔ ⇔ u = ⇒ y =1 ( u − 1) ( u + u + u + ) = 8u + u = Xét t = −2 ⇒ x + y = −2 ⇔ − x = y + ⇒ y + ≥ Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 y = −3 Ta có y + + y − = ⇔ y + + ( y + 3)( y − 3) = ⇔ 8 + ( y − 3) y + = Đặt y + = v, v ≥ ⇒ v3 − 6v + = (1) Xét hàm số f ( v ) = v − 6v + 8; v ≥ ⇒ f ′ ( v ) = 3v − Ta có f ′ ( v ) = ⇔ v = ± Khảo sát hàm số có f ( ) < f ( ) ⇒ f (v) > f (0) = − >0 1 Do (1) vô nghiệm Kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) , ; −3 2 2 xy − y + 3x = y, Câu 11 [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2 2 y − + x + y − = y + 19 x − 28 Lời giải Điều kiện thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x = y xy + 3x − y − y = ⇔ ( x − y ) ( y + 3) = ⇔ ⇔ x= y y = −3 Phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x − + x + 3x − = x + 19 x − 28 ⇔ 2 x − + x + x − = ( x − 3) + x + x − Đặt x − = a; x + 3x − = b ( a ≥ 0; b > ) ta thu a = 2a + b = 8a + b ⇔ 4a + 4ab + b = 8a + b ⇔ a ( a − b ) = ⇔ a = b • a=0⇔ x= −1 − −1 + • a = b ⇔ x − = x + 3x − ⇔ x + x − = ⇔ x ∈ ; Đối chiếu điều kiện thử trực tiếp suy nghiệm x = y = ( x − y + 1) y − + xy + x + = y Câu 12 [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2 9 ( y − 1) − x = ( − y ) x − x + Lời giải Điều kiện y ≥ ;3 x − x + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương ( x − y + 1) y − + xy + x = y − ⇔ ( x − y + 1) y − + ( x − y + 1)( y + 1) = ⇔ ( x − y + 1) ( ) y −1 + y + = ⇔ y = x +1 Phương trình thứ hai trở thành x − x = ( − x ) x − x + ⇔ ( x − 1) + x − = ( − x ) Đặt − 3x = t ; x − x + = y ( − x )(1 − 3x ) − ( x − 1) ( y ≥ ) ta thu hệ phương trình t + x − = ( − x ) y t = y ⇒ t − y = ( − x )( y − t ) ⇔ ( t − y )( t + y + − x ) = ⇔ t + y = x − y + x − = ( − x ) t Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • • Facebook: LyHung95 1 + 13 x ≤ x ≤ t = y ⇔ − x = 3x − x + ⇔ ⇔ ⇔x=− 3 3 x − x + = x − x + 3 x + x − = x ≥ (Hệ vô nghiệm) t + y = x − ⇔ 3x − x + = x − ⇔ 13 x − 16 x + = Vậy phương trình cho có nghiệm x = − 13 + − 13 + ;y= 6 ( x − y + ) x + y + + x ( + x ) = y − 4, Câu 13 [ĐVH]: Giải hệ phương trình x + y − + 15 x + = y − Lời giải Điều kiện x + y ≥ 3; y ≥ 2; x ≥ − 15 Phương trình thứ hệ tương đương với ( x − y + ) x + y + + x2 + x + − y2 = ⇔ ( x − y + 2) x + y + + ( x + 2) − y = ⇔ ( x − y + ) x + y + + ( x + y + )( x − y + ) = ⇔ ( x − y + ) ( x + y + + x + y + ) = ⇔ y = x + 2 Khi phương trình thứ hai trở thành 4 Phương trình cho tương đương với Đặt 2− 2 x − 15 x + 1 + = ⇔ − + 15 + = x x x x x − + 15 x + = x Điều kiện x ≥ 1 = a; 15 + = b ( a ≥ 0; b ≥ ) ta thu hệ phương trình x x a + b = b = − a b = − a ⇔ ⇔ 4 a − 6a + 27 a − 54a + 32 = a + ( a − 3) = 17 a + b = 17 (∗) Ta có ( ∗) ⇔ a − 6a + 9a + 18a − 54a + 32 = ⇔ ( a − 3a ) + 18 ( a − 3a ) + 32 = ⇔ ( a − 3a + )( a − 3a + 16 ) = ⇔ ( a − 1)( a − ) ( a − 3a + 16 ) = ⇒ a ∈ {1; 2} ⇒ Kết luận toán có nghiệm x = 1; y = ∈ {−14;1} ⇒ x = x xy ( x − y ) + x + y = Câu 14 [ĐVH]: Giải hệ phương trình: 4 x + 3x + y = ( x + y − ) + x + y Lời giải x + y > Điều kiện: 3 x + y ≥ xy 2 (1) ⇔ ( x + y ) − + − ( x + y ) = ⇔ ( x + y − 1) ( x − y ) + x + y = ⇔ x + y = (Do x + y > ) x+ y Thay vào (2) ta 2x − x + = x − 24 x + 29 ⇔ x + − = x − 24 x + 27 ⇔ = ( x − 3)( x − ) 2x + + x = ⇒ y = − ⇔ = x − ( *) x + + Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Do x − y ≥ ⇒ x − y + ≥ > nên (3) ⇔ ( x + 1) Facebook: LyHung95 + x2 − y + x = x + y + y + ≥ y ≥ −1 y ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 2 2 x + x = y + y ( x − y )( x + y + 1) = ( x + 1) + x − y = ( y + 1) (4) 2 x − y + ≥ 2 x − y + ≥ Từ (1) (2) ta có x + y − ≥ ⇒ x + y − ≥ 3 x + 3y − > x + 3y − > ⇒ ( x − y + 1) + ( x + y − ) + ( x + y − 3) > ⇒ ( x + y ) > ⇒ x + y + > > y ≥ −1 y ≥ −1 Do (4) ⇔ ⇔ x − y = y = x Thế y = x vào (2) ta + x − = 3 x − 3b − a= 1 + 2a = 3b Đặt a = x − ≥ 0; b = x − ⇒ ⇔ 4a − 3b = 4 3b − − 3b3 = b = 3b − 3 Ta có − 3b ⇔ 13b − 9b + 6b = ⇔ b = b = Với b = ⇒ a = − ⇒ Loại a ≥ Với b = ⇒ x − = ⇔ x = ⇒ y = Với b = ⇒ x − = ⇔ x = 11 11 ⇒y= 4 11 11 Thử lại ( x; y ) = (1;1) , ; thỏa mãn hệ cho 4 11 11 Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) , ; 4 x +1 2 x + 3x − y = x + y + Câu 28 [ĐVH]: Giải hệ phương trình x − + y − = + xy − y + Lời giải: x ≥ 1; y ≥ ĐK: xy − x + ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ x + 3x − y = x + y + x + ⇔ x + 3x − y − x + y + x + 3x − y − x − = ⇔ x2 − x − y − y2 x + 3x − y + x + y + x − 2y x + 3x − y + x + =0 Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x + y −1 ⇔ ( x − 2y) + = (1) x + 3x − y + x + y x + 3x − y + x + Do x ≥ 1; y ≥ : (1) ⇔ x = y vào PT (2) ta có: y −1 + y − = 1+ y2 − y + y − = y = ( loai ) y − ⇒ a + b = + ab ⇔ ( a − 1)( b − 1) = ⇔ ⇔ y − = y = 3; x = Vậy x = 6; y = nghiệm PT cho Đặt a = y − 1; b = x + + y + = y Câu 29 [ĐVH]: Giải hệ phương trình 2 x + − y + = x Lời giải: Ta có: PT ( ) ⇔ x + − x = y + ⇔ = y2 + ⇔ x2 + + 2x = x +1 + x ⇒ x2 + = y2 + + y2 + vào PT(1) ta có: y2 + + y2 + y +3 = 3y y ≥ ⇔ ( y + 3) + = y y + ⇔ y + 19 = 12 y y + ⇔ 4 25 y + 190 y + 361 = 144 y + 432 y ⇔ y = ⇒ x = nghiệm HPT cho x − y + y = x + y Câu 30 [ĐVH]: Giải hệ phương trình y − + x + + y + y = 10 Lời giải: y ≥ 1; x ≥ −1 ĐK: Khi đó: 2 x + y ≥ PT (1) ⇔ ( x − y ) + Do y ≥ ⇒ y − 2x = ⇔ ( x − y ) 1 − =0 y + x + y y + 2x + y y + 2x + y ≤ 1 = nên PT (1) ⇔ x = y vào PT(2) ta có: 3+ y − + y + + y + y = 10 ⇔ y −1 −1 + y + − + y2 + y − = ⇔ ( y − 2) + + y + = ⇔ y = ⇒ x = nghiệm PT y −1 +1 y +1 + Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 8; ) TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐẶC SẮC VỀ HÌNH PHẲNG OXY Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng cho đường tròn (C ) : x + y − x − y = điểm A(−1; 3) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) có diện tích 10 Lời giải: Tâm I (1; 2); R = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C) tâm I nên I giao điểm đường chéo AC BD Suy C(3;1) Gọi α góc hợp đường chéo AC BD suy S ABCD = AC.BD.sin α = 10 ↔ 5.2 5.sin α = 10 ↔ sin α = ↔ α = 90 Nên ABCD hình vuông Phương trình AC : x + 2y – = Suy phương trình BD 2x – y = x = 2 x − y = y = 2x y = Tọa độ B D nghiệm hệ phương trình ↔ ↔ 2 x = x + y − 2x − y = 5 x − 10 x = y = Vậy tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD (3 ;1) ; (0 ;0) (2 ;4) Câu [ĐVH]: Cho hai đường tròn (C1 ) : x + y − x − y − 14 = 0, (C2 ) : x + y − x + y − 20 = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C1) A, B cắt (C2) C, D cho AB = 7; CD = Lời giải: Xét đường tròn ( C1 ) ( C2 ) ta dễ dàng tìm d ( I1 ; ∆ ) = d ( I ; ∆ ) = nên có trường hợp ( ∆ ) sau: TH1: đường thẳng ( ∆ ) song song với I1 I cách I1 I khoảng =3 Phương trình I1 I 2x + y – = Suy phương trình ( ∆ ) 2x + y + m = d ( ∆; I1 I ) = m = − ⇒ ( ∆ ) : x + y + − = =3↔ m = −3 − ⇒ ( ∆ ) : x + y − − = m+3 TH2 : đường thẳng ∆ qua trung điểm I1 I khoảng cách từ I1và I2 đến ∆ =3 3 M ;0 trung điểm I1 I 2 3 Phương trình ( ∆ ) qua M : a x − + by = 2 d ( I1 ; ∆ ) = a − +b a +b 2 =3↔ 35 a + ab + 8b = ( vô nghiệm a b không đồng thời =0) Vậy có đường thẳng ∆ thỏa mãn x + y + − = x + y − − = Đ/s: x + y + − = 0; x + y − − = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu [ĐVH]: Cho tam giác ABC biết đường cao trung tuyến xuất phát từ A 6x – 5y – = x – 4y + = Tính diện tích tam giác ABC biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành đường cao từ đỉnh B qua E(1; –4) Lời giải: Dễ dàng tìm tọa độ điểm A ( 2;1) G ( xG ;0 ) trọng tâm tam giác, mà G thuộc trung tuyến suy tọa độ G ( −2;0 ) 1 Gọi M trung điểm BC ta có: AG = 2GM ⇒ tọa độ M −4; − 2 1 M −4; − ∈ BC Ta có: ⇒ BC : x + y + 23 = 2 BC ⊥ AH : x − y − = Giả sử: B ( 6t − 1; −3 − 5t ) , C ( −7 − 6t ;5t + ) ⇒ BE = ( − 6t ;5t − 1) , AC = ( −9 − 6t ;5t + 1) t = −1 Mà BE AC = ⇔ ( − 6t )( −9 − 6t ) + ( 5t − 1)( 5t + 1) = ⇔ 61t + 42 − 19 = ⇔ 19 t = 61 +) Với t = −1 ⇒ B ( −7; ) , C ( −1; −3) ⇒ BC = 61 ⇒ S ABC = 1 5.2 + 6.1 + 23 39 d ( A, BC ) BC = 61 = 2 61 +) Với t = 19 99 53 278 541 217 ⇒ B ;− ; ,C − ⇒ BC = 61 61 61 61 61 61 ⇒ S ABC = 1 5.2 + 6.1 + 23 99 3861 d ( A, BC ) BC = = 2 61 61 122 Đáp số: S ABC (1) = 39 3861 ; S ABC ( ) = 122 Câu [ĐVH]: Cho tam giác ABC có M(1; –2) trung điểm AB, trục Ox phân giác góc A, đỉnh B, C thuộc đường thẳng qua N(–3; 0) P(0; 2) Tìm A, B, C diện tích tam giác Lời giải: Điểm A thuộc Ox, gọi tọa độ A ( a; ) B, C thuộc đường thẳng qua N ( −3; ) & ( 0; ) → pt BC : x − y + = Giả sử tọa độ B ( 3b; 2b + ) , mà M (1; −2 ) trung điểm AB nên ta có hệ: a + 3b = a = 11 ↔ ⇔ ⇒ A (11;0 ) & B ( −9; −4 ) 2b + = −4 b = −3 Gọi phân giác góc A AD, từ M kẻ đường thẳng d cắt AD AC E F: ⇒ pt ( d ) : x = 1, E = ( d ) ∩ AD → E (1; ) ⇒ F (1; ) ( M F đối xứng qua E) Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Suy phương trình AC là: x + y − 11 = ( A, F ∈ AC ) 28 Từ ta xác định tọa độ điểm C nghiệm AC BC: C ; 13 13 1 2.11 − 3.0 + 40 560 Diện tích tam giác ABC là: S ABC = d ( A; BC ) BC = = 2 13 13 13 560 28 Đáp số: A (11; ) , B ( −9; −4 ) , C ; , S ABC = 13 13 13 Câu [ĐVH]: Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d1 : 2x + y – = qua điểm M(1; –1) cắt đường thẳng ( d ) : x − y − = A, B cho AB = Lời giải: Gọi I tâm đường tròn ( C ) cần tìm, I ∈ ( d1 ) ⇒ I ( t ; − 2t ) Vì đường tròn ( C ) cắt ( d ) : x − y − = theo dây cung AB = nên ta có: ( d( I / ( d2 ) ) ) 9t − 30t + 39 AB R = R − ⇔ = ( ∗) 2 Mặt khác đường tròn ( C ) qua M (1; −1) → (1 − t ) + ( 2t − ) = R ↔ 5t − 22t + 26 = R ( ∗∗) Từ ( ∗) & ( ∗∗ ) ⇒ t = 9t − 30t + 39 = 5t − 22t + 26 ⇔ t = 13 Vậy có đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề là: ( x − 1) + ( y − ) = / ( x − 13) + ( y + 22 ) = 585 2 2 Câu [ĐVH]: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1; -1) cắt đường tròn tâm I(4; 0) bán kính R = A, B cho MA = 3MB Lời giải: Gọi n = ( a; b ) VTPT đường thẳng d qua M (1; −1) ⇒ pt ( d ) : a ( x − 1) + b ( y + 1) = ↔ ax + by − a + b = Vì P( M / (C )) = IM − R = −15 < ⇒ điểm M nằm dường tròn Mà: P( M / (C )) = MA.MB = −15 ⇒ − MA.MB = −15 ⇔ 3MB.MB = 15 ⇔ MB = ⇒ MA = ⇒ AB = MA + MB = Vậy ta viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn tâm I ( 4; ) & R = cho theo dây cung AB = 3a + b a = −2b AB Do AB = ⇒ d ( I / ( d )) = R − = 5⇔ = 5⇔ a + b2 b = a 2 +) Với a = −2b, chọn b = −1 → a = ⇒ pt ( d ) : x − y − = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Với b = 2a, chọn a = → b = ⇒ pt ( d ) : x + y + = Đáp số: ( d1/2 ) : x − y − = 0; x + y + = Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A ngoại tiếp (C ) : x + y = Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết điểm A thuộc tia Ox Lời giải: ( C ) có O ( 0;0 ) , r = Điểm A thuộc tia Ox suy A ( a; ) , a > Từ O hạ OI vuông góc AB, ta tính được: OA = OI r = =2 o sin 45 sin 45o Ta có: OA2 = ⇔ a = ⇔ a = ±2 ⇒ A ( 2;0 ) AB/AC qua A ( 2;0 ) nên AB/AC có dạng: a ( x − ) + by = 0, a + b ≠ b Mặt khác: cos ( AB / AC , Ox ) = cos 45o = a +b 2 = ⇔ a = ±b Nên giả sử: AB : x + y − = 0; AC : x − y − = Kẻ OA cắt BC H ( k ,0 ) OH = r ⇔ k = ± Mà AH ⊥ BC = { H } ⇒ B, C ∈ x = ± +) TH1: B, C ∈ x = suy ra: B ( ( ) ( 2; − , C 2; − ) ( +) TH2: B, C ∈ x = − ⇒ B − 2; + , C − 2; −2 − ) ) Vậy có tọa độ đỉnh tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu là: ( ) ( A ( 2;0 ) , B ± 2; ∓ , C ± 2; −2 ± ) (C1 ) : x + y − x + y − = Câu [ĐVH]: Cho hai đương tròn có tâm I J Gọi H tiếp điểm 2 (C2 ) : x + y − 10 x − y + 30 = (C1) (C2) Gọi d tiếp tuyến chung không qua H (C1) (C2) Tìm giao điểm K d IJ Viết phương trình đường tròn qua K tiếp xúc với (C1) (C2) H Lời giải: Nhận xét: ( C1 ) có tâm I ( 2; −1) & R1 = ( C2 ) có tâm J ( 5;3) & R1 = Ta có: IJ = = R1 + R2 Suy ( C1 ) & ( C2 ) tiếp xúc với Mà H tiếp điểm đường tròn: 19 x = H 2 ( xI − xH ) = −3 ( xJ − xH ) 19 ↔ HI = −3HJ ⇔ ⇔ ⇒H ; 5 2 ( yI − yH ) = −3 ( yJ − yH ) y = H K giao tiếp tuyến chung d IJ nên ta có: Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x = 11 2 ( xI − xK ) = ( xJ − xK ) ⇔ KI = 3KJ ↔ ⇔ K ⇒ K (11;11) yK = 11 2 ( yI − yK ) = ( yJ − yK ) K thuộc đường tròn ( C ) ( C ) tiếp xúc ( C1 ) & ( C2 ) H nên tâm M ( C ) trung điểm KH 2 37 31 37 31 ⇒ M ; , R(C ) = MH = ⇒ pt ( C ) : x − + y − = 36 5 5 2 37 31 Đáp số: K (11;11) , ( C ) : x − + y − = 36 5 Câu [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm (C ) : x + y − x + y + = Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt (C) hai điểm B C cho AB = BC Lời giải: Gọi B(m, n) Do A nằm (C) AB = BC nên dễ thấy B trung điểm AC Ta có: (C ) : x + y − x + y + = hay ( x − 3) + ( y + 1) = ⇒ I ( 3, −1) , R = 2 ⇒ IA = ( −2, ) = ( −1, ) ⇒ nIA = ( 2,1) ⇒ ( IA ) : ( x − 1) + y − = : x + y − = Gọi M, N giao điểm IA với (C) Hoành độ giao điểm M,N nghiệm hệ y = − 2x 2 x + y − = y = − x ⇔ ⇔ 2 2 5 x − 30 x + 41 = ( x − 3) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( − x ) = 15 + 5+4 ,y=− x = 15 + 5 + 15 − −5 + 5 ⇒ M ⇔ ,− , ; N 5 5 15 − −5 + ,y= x = 5 Ta có: AB AC = AM AN = 16 ⇒ AB = 16 ⇒ AB = ⇒ ( m − 1) + ( n − 3) = ⇒ m + n − 2m − 6n + = 2 Mà B nằm (C) nên ta có hệ n = 1, m = 2 m + n − 2m − 6n + = m = 2n + ⇒ ⇒ 2 m + n − 6m + 2n + = 5n − 6n + = n = , m = B ( 3,1) ⇒ C ( 5, −1) ⇒ d : x + y − = ⇒ 7 1 13 B , ⇒ C , − ⇒ d : x + y − 10 = 5 5 Vậy đường thẳng cần tìm: x + y − = , x + y − 10 = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu 10 [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình: x + y − x + 12 = I(8; 5) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (T) đồng thời đường thẳng AB qua I (A, B hai tiếp điểm) Lời giải: (T ) : x + y − x + 12 = ⇒ J ( 4, ) , R = Gọi M ( 0, m ) ⇒ MJ = ( 4, − m ) ⇒ ( AB ) : ( x − ) − m ( y − ) = Ta có: M ( 0, ) m = 4 R2 = d ( J / ( AB ) ) = = ⇔ −16 + 5m = ⇔ ⇔ 12 12 2 m = IM M 0, 16 + m 16 + m −16 + 5m • IM = + 42 = M ( 0, ) ⇒ ⇒ thỏa mãn −7 = < IM ( AB ) : x − y − = ⇒ MH = d ( M / ( AB ) ) = 2 • 12 34 IM = 42 + = 5 12 M 0, ⇒ 5 12 ( AB ) = x − y − 20 = ⇒ MH = d ( M / ( AB ) ) = 12 + 20 5 ⇒ 161 = > MI 34 12 42 + 5 loại Đ/s: M(0; 4) d1 : x + y + = Câu 11 [ĐVH]: Cho đường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm I giao d : x − y = điểm d1 d2 đồng thời cắt d3 AB cho AB = Lời giải: • • xI = − x + y + = I 1 I ⇒ ⇒ I − , I = d1 ∩ d ⇒ 2 xI − y I + = y = I d ( I / d3 ) = − − 2 + 22 = ⇒ R = ( d ( I / d3 )) 2 AB 101 + = 20 7 1 101 Suy phương trình đường tròn cần tìm là: x + + y − = 2 2 20 2 7 101 Đ/s: x + + y − = 2 2 20 Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 (C1 ) : ( x − 1) + y = Câu 12 [ĐVH]: Cho đường tròn Viết phương trình đường thẳng (d) (C ) : ( x − )2 + ( y − 2) = tiếp xúc với đường tròn (C1) cắt đường tròn (C2) theo dây cung có độ dài 2 Lời giải: 1 (C1 ) : ( x − 1) + y = ⇒ I (1,0 ) , R1 = (C ) : ( x − )2 + ( y − 2)2 = ⇒ J ( 2, ) , R = 2 Gọi ( d ) : ax + by + c = • a+c = R1 = d ( I / d ) = ⇔ a + b = ( a + c ) (1) 2 a +b • 2 2 2a + 2b + c R2 − = = d (J / d) = a2 + b2 2 Suy d ( J / d ) = 2d ( I / d ) ⇒ 2a + 2b + c a + b2 a+c =2 a2 + b2 ⇒ 2a + 2b + c = a + c 2a + 2b + c = 2a + 2c 2b = c ⇔ ⇔ 2a + 2b + c = −2a − 2c 4a + 2b + 3c = • ( d ) : − x + y + = a = −b a = −b, c = 2b 2b = c ⇒ (1) : a + b = ( a + 2b ) ⇔ a + 8ab + 7b = ⇔ ⇒ ⇒ a = −7b a = −7b, c = 2b ( d ) : −7 x + y + = • c = −2a c = −2a, b = a 2 4a + 2b + 3c = ⇒ (1) : 4a + ( 4a + 3c ) = ( a + c ) ⇔ 12a + 8ac + c = ⇔ ⇔ c = −6a c = −6a, b = a ( d ) : x + y − = ⇔ ( d ) : x + y − = Vậy ( d ) : − x + y + = ; −7 x + y + = ; x + y − = ; x + y − = Câu 13 [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : x − y = 0; d : x + y − = 0; d3 : x − y = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A ∈ d1; C ∈ d2 ; B, D ∈ d3 Lời giải: Gọi A ( 3a, a ) , C ( c,5 − 2c ) , I tâm hình vuông ⇒ I trung điểm AC thuộc BD 3a + c a + − 2c , I ⇒ 2 ⇒ 3a + c = a + − 2c ⇔ 2a + 3c = (1) x = y I I Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3a + c a + − 2c , I Ta có: ⇒ 2 ⇒ 3a + c = a + − 2c ⇔ 2a + 3c = (2) x = y I I Từ (1) (2) suy ra: a = 1, c = ⇔ A ( 3,1) ; C (1, 3) ⇒ I ( 2, ) ⇒ IA = ⇒ ( I ) : ( x − ) + ( y − ) = 2 Tọa độ giao điểm B,D nghiệm hệ phương trình: x − y = x = y x = y = B ( 3, 3) , D (1,1) ⇔ ⇔ ⇒ 2 ( I ) : ( x − ) + ( y − ) = ( x − ) = x = y = B (1,1) , D ( 3,3) Vậy A ( 3,1) ; C (1,3) , B ( 3,3) , D (1,1) A ( 3,1) ; C (1,3) ; B (1,1) , D ( 3,3) Câu 14 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A( −1; 2) ; C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, BM đường thẳng vuông góc với CE M ; N trung điểm của BM P giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM: x − y − = Tìm tọa độ điểm P Lời giải Gọi I tâm hình vuông ta có I (1;0 ) , AC = ( 4; −4 ) suy phương trình BD: x − y − = Do IA = IB = IC = ID = AC = 2 ⇒ B, D ∈ ( C ) : ( x − 1) + y = x = y + B ( −1; −2 ) , D ( 3; ) Tọa độ B, D thỏa mãn ⇔ ( x; y ) = ( −1; −2 ) , ( 3; ) ⇒ 2 D ( −1; −2 ) , B ( 3; ) ( x − 1) + y = Lại có BM: x − y − = nên chọn B ( 3; ) , D ( −1; −2 ) ; N trung điểm BM nên AN song song với CE T ọa độ trung điểm E ( −1;0 ) ⇒ ( CE ) : x + y + = ; (AN): x + 2y −3 = 7 6 M ∈ ( CE ) : M ( −2m − 1; m ) BM CE = ⇔ m = − ⇒ M ; − ⇒ DM : x − y − = 5 5 x − 3y − = 19 Tọa độ điểm P thỏa mãn ⇒ P ;− 5 x + y − = Câu 15 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ Biết điểm M(–3; –1) N(2; –1) thuộc cạnh BC, Q thuộc cạnh AB, P thuộc cạnh AC, đường thẳng AB có phương trình x − y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải Ta có MN = ( 5;0 ) ⇒ ( BC ) ≡ ( MN ) : y = −1 , suy (MQ) qua M vuông góc với BC: x = −3 Q ∈ ( AB ) : x − y + = ⇒ Q ( −3; ) ; B ∈ ( AB ) ⇒ B ( −6; −1) (NP) qua N vuông với (BC): x = ; (PQ) qua Q song song với (BC): y = ⇒ P ( 2; ) x + y − = 9 (AP) qua P vuông góc với (AB): x + y − = ⇒ A : ⇔ A − ; 2 x − y + = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 9 C = ( AP ) ∩ ( BC ) ⇒ C ( 5; −1) Vậy ta có A − ; , B ( −6; −1) , C ( 5; −1) 2 Câu 16 [ĐVH]: Trong mặt phẳng vớ i hệ t ọa độ vuông Oxy, cho đường tròn (C ) : x + y − x + y − 11 = đường thẳng d : x − y + = Gọi A; B hai điểm thuộc đường 22 11 thẳng d, C điểm thuộc đường tròn (C) Biết điểm H ; giao điểm AC với đường 5 7 tròn (C) , điểm H − ; trung điểm cạnh AB Xác định tọa độ điểm A, B, C biết diện tích 5 tứ giác AHIK 24 hoành độ điểm A dương Lời giải Đường tròn (C) có tâm I ( 2; −1) , R = Ta có 12 16 IH = ; nên IH song song với d, 5 IH : x − y − 11 = Ta có d ( I ; AB ) = nên d tiếp xúc với (C), suy d ( K ; IH ) = d ( H ; AB ) = 1 1 S AHIK = S IHK + S AHK = R.d ( K ; IH ) + AK d ( H ; AB ) = 24 ⇔ 4.4 + AK = 24 ⇔ AK = 2 2 4 x − y + = 4 x − y + = 2 6 7 39 18 39 A ( x; y ) ; x > ⇒ x + + y − = 64 ⇒ y ∈ ; −5 ⇒ A ; Suy B ( −6; −5) 5 5 5 5 x > x > 26 17 22 11 Phương trình đường AC: x + y − 33 = ⇒ C ; − C ; 5 5 Câu 17 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1; 0) đường tròn (C1 ) : x + y = (C2 ) : x + y = Tìm tọa độ điểm B C nằm (C1) (C2) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất, với xB < Lời giải: Nhận thấy diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn O trực tâm tam giác ABC Và ta có: OC ⊥ AB , OA ⊥ BC Khi gọi B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) xB = xC OA ⊥ BC Ta lại có: AB = ( xB − 1; yB ) , OC = ( xB ; yC ) , OB = ( xB ; yB ) , AC = ( xC − 1; yC ) Mặt khác: CO ⊥ AB ⇔ AB.CO = ⇔ xB ( xB − 1) + yB yC = ⇔ yB yC = xB − xB2 ⇔ yB2 yC2 = xB4 − xB3 + xB2 ( ∗) 2 2 xB + y B = yB = − xB Và ⇒ 2 xC + yC = yC = − xB Thay vào ( ∗) ta có: ( − x )( − x ) = ( x B B (− ) < xB < − xB2 ) ⇔ xB3 − xB2 + 10 = ⇔ ( xB + 1) ( xB2 − xB + 5) = ⇔ xB = xC = −1 B Khi tọa độ điểm B C cần tìm là: B ( −1; ±1) , C ( −1; ±2 ) Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Câu 18 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có BAD = 600 Trên cạnh AB, BC lấy điểm M, N cho MB + NB = AB Biết P ( ) 3;1 thuộc đường thẳng DN đường phân giác góc MDN có phương trình d : x − y + = Tìm toạ độ đỉnh D hình thoi ABCD Lời giải: Giả thiết: BAC = 60o ⇒ ∆ABD & ∆CBD tam giác Theo ta có: AM = BN , BM = CN DAM = DBN = 60o Ta có: AD = BD ⇒ ∆ADM = ∆BDN ⇒ ADM = BDN AM = BN Tương tự ta có: ∆BMD = ∆CND ⇒ NDC = MDB Từ suy MDN = 60o Gọi Q điểm đối xứng P qua đường phân giác: d : x − y + = Suy điểm Q thuộc DM Suy tam giác PDQ tam giác ⇒ DP = PQ = 2d ( P, ( d ) ) = Điểm D ∈ ( d ) : x − y + = ⇒ D Ta có: ⇒ PD = ( ) ( ( 3d − 6; d 3d − − + d − ) xP − y P + =6 ) ( ( ) d = 3 + D + 3;3 + = 36 ⇔ ⇒ D − 6;1 d = ( ) ( Vậy có điểm D thỏa mãn yêu cầu toán là: D + 3;3 + , D ) ) − 6;1 Câu 19 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x − y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu B xuống 9 2 đường chéo AC Biết M ; ; K(9; 2) trung điểm AH CD Tìm toạ độ đỉnh 5 5 hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn Lời giải: Ta có: B ∈ d1 ⇒ B ( b; 2b + ) , C ∈ d ⇒ C ( c; c − )( c > ) Gọi E điểm đối xứng B qua C nên → E ( 2c − b; 2c − 2b − 12 ) Trong tam giác ABE, CK đường trung bình nên K trung điểm AE Trong tam giác AHE có M, K trung điểm AH AE nên MK trung bình tam giác: 72 76 72 16 ⇒ HE = MK = ; ⇒ H 2c − b − ; 2c − 2b − 5 5 72 86 27 Ta có: CK = ( − c; c + ) , BC = ( c − b; c − 2b − ) , BH = 2c − 2b − ; 2c − 4b − , MC = c − ; c − 5 5 Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lại có: BH vuông góc AC ( H ∈ AC ) , CK vuông góc BC: b = 2c − 3bc + 23b − 23c + 49 = CK BC = ⇔ ⇔ ⇔ c = ( L ) 126 594 4c − 6bc + b − 46c + = c = BH MC = ⇒ B (1; ) , C ( 9; ) , mà K trung điểm CD ⇒ D ( 9;0 ) Mặt khác, C trung điểm BE, E (17; ) , KA = KE ⇒ A (1;0 ) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật là: A (1;0 ) , B (1; ) , C ( 9; ) , D ( 9;0 ) Câu 20 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): ( x − 5) + ( y − 6) = 32 Biết đường thẳng AC AB qua điểm M(7; 8) N(6; 9) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD Lời giải: I ( 5; ) Đường tròn ( C ) : 10 I ( 5;6 ) tâm hình thoi: R = Ta có: AC qua I (5;6), M (7;8) ⇒ u AC ( 2; ) ⇒ AC : x − y + = Đường thẳng BD qua I ( 5;6 ) vuông góc với AC nên phương trình BD : x + y − 11 = Gọi n AB = ( a; b ) ⇒ AB : a ( x − 6) + b( y − 9) = 0, Mặt khác R = d ( I ; AB ) ⇒ ( a2 + b2 ≠ ) a + 3b 32 = ⇔ ( 9a − 13b )( 3a + b ) = a + b2 +) Với 9a = 13b chọn a = 13, b = ⇒ AB :13 x + y − 159 = 13 x + y − 159 = 75 86 35 46 Khi tọa độ điểm A = AB ∩ AC : ⇒ A ; ⇒ C ; 11 11 11 11 x − y +1 = 35 46 Phương trình đường thẳng CD / / AB qua C ; ⇒ CD :13 x + y − 79 = 11 11 13 x + y − 79 = Khi tọa độ điểm D = BD ∩ CD : ⇒ C ( −5;16 ) ⇒ D (15; −4 ) x + y − 11 = +) Với 3a = −b chọn a = 1, b = −3 ⇒ AB : x − y + 21 = x − y + 21 = Khi tọa độ điểm A = AB ∩ AC : ⇒ A ( 9;10 ) ⇒ C (1; ) x − y +1 = Phương trình đường thẳng CD / / AB qua C (1; ) ⇒ CD : x − y + = x − 3y + = Khi tọa độ điểm D = BD ∩ CD : ⇒ C ( 7; ) ⇒ D ( 3;8 ) x + y − 11 = Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Kết luận: Vậy có hình thoi thõa mãn yêu cầu toán Câu 21 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1) (O2) có bán kính cắt A(4;2) B Một đường thẳng qua A N(7; 3) cắt đường tròn (O1) (O2) D C Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD biết đường thẳng nối tâm O1, O2 có phương trình x − y − = diện tích tam giác BCD 24 Lời giải: qua A ( 4; ) ⇒ CD : x − y + = Phương trình đường thẳng CD u = ( 3;1) Mặt khác A,B, đối xứng qua đường thẳng d: x − y − = AB.ud = (với I trung điểm AB) Gọi B ( a; b ) ⇒ I ∈ d ( a − ) + ( b − ) = a = ⇒ ⇒ B ( 5;1) Ta có: a + b + − − = b = S BCD = 1 24 12 CD.d ( B; CD ) = CD = ⇒ CD = 10 2 5 10 Mặt khác nhận thấy ∆BCD cân B BCD = BDC ( chứa cung AB đường tròn nhau) Gọi K hình chiếu vuông góc B lên CD ta có: K ( 3t − 2; t ) ⇒ BK ( 3t − 7; t − 1) ⇒ BK uCD = ⇒t = 11 23 11 ⇒K ; 5 41 17 u = ⇒ C (1;1) ⇒ D ; 33 11 72 ⇒ Gọi C ( 3u − 2; u ) ⇒ KC = 3u − + u − = 5 17 41 17 ⇒ C ; ⇒ D (1;1) u = 5 2 41 17 41 17 Kết luận: B ( 5;1) C (1;1) , D ; B ( 5;1) , C ; , D (1;1) 5 5 5 Câu 22 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x − + ( y − 1) = Xác 4 định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh B C thuộc đường tròn (C), đỉnh A D thuộc trục Ox Lời giải: ( C ) : tâm 5 I ;1 , R = 4 Phương trình đường thẳng d trung trực AD, BC xác định: Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 5 Qua I ;1 vuông góc với Ox ⇒ d : x = 4 Ta có: d ( I ; AD ) = < R = AD cắt (C) Đặt độ dài cạnh hình vuông m ta có: d ( I ; BC ) = m − < R m = 2 m2 BC Mặt khác + ( m − 1) = ⇔ ⇒m=2 + d ( I ; BC ) = R ⇒ m = −2 Với m = ta có: A ( 0;0 ) , D ( 2;0 ) , B ( 0; ) , C ( 2; ) A ( 2;0 ) , D ( 0;0 ) , B ( 2; ) , C ( 0; ) Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO – S Toán 2017 – Tự tin chinh phục kì thi THPT Quốc Gia 2017!