PGS, TS NGUYEN VAN VUONG
LY THUYET DAN NHOT
NHA XUAT BAN KHOA HOC VA KY THUAT
Trang 3LỜI NĨI ĐẦU
Hiện nay đất nước ta đang xáy dựng nên cơng nghiệp hĩa mội cách khẩn trương để đến năm 2020 trở thành một nước cơng nghiệp Do đĩ chúng ta đã và sẽ Áp dụng nhiều máy mĩc thiết bị hiện đại, cơng nghệ cao và xây dựng nhiều cơng trình lớn, Vĩnh cửu
Đo đĩ chúng tơi thấy cần giới thiệu một tài liệu mà nĩ nhắc các nhà thiết kế kiểm định khi tính tốn cân lưn tâm đến thời gian tác dụng của tải trọng nhất là cơng trình sử dụng bêtơng, chất dẻo cứng, vật liệu polywme ngay ở nhiệt độ bình thường và những tật liệu như thép, gang ở nhiệt độ cao Đĩ là tài liệu về lý thuyết đàn nhới nằm trong kiến thức ngành cơ học vật rắn biến dạng, nĩi rộng ra là của ngành lưu biến học
Lý thuyết làn nhớt gơm 2 phân: lý thuyết đàn nhới tuyến tính và lý thuyết đàn nhớt phí tuyến:
Trong tài liệu này chúng tơi chỉ trình bẩy phần cơ sở l§ thuyết đàn nhớt tuyến tính ở mơi trường đẳng nhiệt Khi cần tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ sẽ sử dụng nguyên lý cộng tác dụng
Nội dung được trình bày thành 8 chương, một chương phụ và một phụ lục
Chương 1 và 2 Nhắc lại các phương trình cơ bản về chuyển vị, biến dạng
tng suất, quan hệ giấu biến dạng ứng suất và 2 định lHẬI quan trọng của vật thể đàn hồi tuyển tính, đồng nhất, đẳng hương nhằm hệ thống lợi kiến thức để phục vụ các chương sau
Chương 3 và 5 Trình bày vật đàn nhớt khi chịu lực Ì chiều và 3 chiêu Chương 4 Trình bày phương pháp mĩ hình trong lưu biến để xét quy luật đối xử trong vật liệu đàn nhới,
Trang 4Chương 7 Trình bày cách giải quyết bài tốn dàn nhớt theo cách biến dối Laplax.:
Chương 8 Di sảu vào các bai todn séng dé thay su khdc nhaw giita ver the dàn hội và đàn hồi nhới,
Chương phụ Trình bày một vài nẻi về phương pháp moden phức biển diễn vật đàn nhớt
Phụ lục Để cáp phương pháp biên dối Laplax giip déc gid chưa biết phương pháp này cĩ thể năm được nội đụng của phương pháp tính Độc giả cĩ thể đạc phần này trước khí đọc tồn bộ cuốn sách này
gian tới trở thành một giáo trình cho học vién cau hac sau dé che sink viên các ngành xúy đựng, cơ khi
Vi lan đầu tiên biên soạn, chắc cịu nhiêu thiểu sĩt Chúng tái rái cảm ơn và chân thành mong các bạn đồng nghiệp và các đác gid ding gdp y kiên Các ý kiến xim gửi về: Bộ mơn cơ học vật liệu - kết cấu, khoa cơ khí, Trưởng Đại học Bách khoa là Nội và Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật 70 Trần Hưng Đạo, Hà Nội
Trang 5Chương 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG ỨNG SUẤT
Trong các giáo trình cđ học các mơi trường liên tực, lý thuyết đàn hỏi đã trình bày khá đây đủ về những khái niệm, định ngha ve chuyển
vị, biến dang va ting suat
Độc giả cĩ thể xem [1] (2)
Trong chương này chúng tĩi chỉ tĩm Lắt các phương trình cđ bản để độc giá đọc phần san được liên tục
§1 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG
1 Khái niệm về chuyển vị
Xét một vật thể chịu lực và giả sử tại thời điểm È= tụ vật thể chưa
chịu lực cĩ thể tích là V Dưới tác dung của ngoại lực vat thé bi bien
đạng cĩ thể tích là V' (đường chấm chấm hình 1.1) Một điểm M nào đỏ cĩ toa độ x y, 2 ban đầu híc chưa biến đạng, sau khi biến dạng chuyển
đến vị ti mdi M, ¢6 toa dox yz
Goi vecto MM, là chuyển vị của điểm M khi biển dang
Cac thank phan hình chiêu của veeld MM, dược xác định bút các biếu thức sau:
WHz-Z
uv, w- cde thanb phan chuyén vi cha vecto MM, tuong ứng với ene trac x, y 2 Chuyén vị của những điểm khac nhau IA khơng bang
Trang 7Biến đạng dài kèm theo một chỉ số chí phương xét biến dạng hoặc
xét 3 chỉ số như nhau Biến đạng gĩc kèm theo hai chỉ số chỉ mặt phẳng xét biên dạng,
Các phương trình (1.2) gọi là các phương trình động hình hạc, cèn cĩ tên là phương trình cần! (Cauchy)
Cơng thức (1.3) được viết gọn dudi dang ;
3 Trạng thái biến dạng
Trạng thái biến dạng tại một điểm được đặc trưng bởi tenxở biến dạng s„ và được biểu điển bởi các thành phan bién dang sau: Eu Fie S13 Yee ' | 1 } | % 2 mt le | 1 1 | | Ì Si Era Sag i= sw gy gle ừ (1.4) Ị 1 1, | Đại S22 en | l3?» sa eg, J
Chúng ta cĩ thể chia tenxd biến dang này thành tenxở biên dang cầu cộng tenxd biến dạng lệch
Tenxo bién dang cau:
ị? 0 9]
0 s, OF (1.5)
| 0 0 «,]
Trong dé: epién dang dai ty déi trung binh: Em + Ey + Egy _ By +BY FE,
goes Eu , bw + 0a _ Bx vb TP) 3 3 16)
‘
Viết gọn = «, = —# (1.7)
Trang 8Tenxd biên đạng lệch e,; 1 | Py Fy địa Sy T8, Sửa | } ị Sa fay gle L -| i + sĩi (8) i j fa | Đại Cay | Dlx &, 78, | j “ : hay e, (1.9) trong dio: 6, - ký hiệu krưnecke: y=1 nếu (1.10) „=Ũ nếu 4 Liên hệ giữa các thành phần quay cứng với các thành phần chuyển vị
Để hình ảnh hình học về biếp đang tại một thời điểm được đây đủ và để sự tính toắn được đại xứng ta phải đưa thêm vào 3 thành phan quay cúng theo 3 trục Các thành phân quay cứng được xác định theo các biểu thức sai: Lj ow Lay” a | w.= = 3 19) wos | /
wong do: ww &, - các thành phân quay cứng đối với eke rue xy 5 Cac phương trình liên tục
Trang 9vật thể khơng cĩ sự gián đoạn vỏ cùng bé Vật thể sau khi biến đạng
văn là một mỏi trường liên tục Các biểu thức đĩ là:
? -q.12)
Các phương trình này gọi là các phương trình liên tục bay các phương trình tương thích cĩ tên là phương trình Xanh Vơnăng (5aint Venant) Viết gọn: ae ik + @e il joe ee i U ƠN ƠN ƠN, ƠN, ƠN ƠN 2 Oey (1.13) §2 LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
1 Các thành phần ứng suất tại một điểm
Ứng suất tại một điểm M bất kỳ trên mặt cất là một vectơ ký hiệu P- Tổng quát của p cĩ gia tri và phương bất kỳ Đề thuận lại ta phân
ứng suất ra làm hai thành phan:
Thành phản nằm vuơng gĩc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, kí
Trang 10Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp Trong hệ toạ độ vuơng gĩc được phân thành hai thành phần ứng suất tiếp kí hiệu là r kèm theo hai chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ chiều của pháp tuyến ngồi mặt cất, chỉ số thứ hai chỉ phương ứng suất tiếp song song, vi dụ, t„y và +,„ (hình 1.2) Mặt trên đĩ khơng cĩ ứng suất tiếp, ta gọi là mặt chính Ứng suất pháp trên mặt chính gọi là ứng suất chính Tổng quát qua một
điểm bao giờ cũng tìm được 3 mặt chính vuơng gĩc với nhau
Hình 1.2
từng đơi một Ứng suất chính trên 3 mặt chính được kí hiệu ơ, > 0, > Gy vé gia tri dai sd
2 Trạng thải ứng suất tại một điểm
Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi tenxơ ứng suất 5% và được biểu dién bởi các thành phần ứng suất sau:
Sie Tig ca 5, đại Say Ống , = 1 Tye Sa San Say | Tax
w ty
đy tye (1.14)
ty 5;
Trang 11+ Tenxo ứng suất lậch 8;:
(Su Si Si | | Sy 7 So Tay tị; |
(So So Sox p = Tey Gy đụ Tye (1.16)
Sạ Sap Say | | Tay Tey 5, —Sq |
Hay 5; =o, - 3.5, (1.17)
Trong đĩ ø, — ứng suất trung bình ơạ = 7 = Fis, (1.18) Tenxơ ứng suất cầu chỉ gây nên biến dạng thể tích cịn tenxơ ứng
suất lệch chỉ gây ra biến dạng gĩc, nghĩa là gây nên biến đổi hình dáng
3 Phương trình vi phân cân bằng chuyển động trong hệ toạ độ vuơng gĩc
Xét phần tế hình hệp cĩ các cạnh đ„ d,.-đ,„ hình 1.3, được tách ra từ một vật thể chịu tác dung của hệ lực Hệ lực này gồm cĩ các lực bề mặt trên biên vật thế và lực thể tích ở bên trong vật thể Theo nguyên
lý Đalămbe, ở thời điểm t phân tế
Trang 12
Teng madmen cac lực đổi với 3 trục: YM, = 0 ta dude 4, = 1, ) YM, =0 ta dude t,,=1, | I SUM, = 0 ta due ¢,,
Trang 13Chương 2 QUAN HỆ GIỮA CÁC ỨNG SUẤT VÀ BIỂN DẠNG CỦA VẬT THỂ ĐÀN HỒI Chương trên chúng ta đã xét về ứng suất nhằm giải đáp khía cạnh động hực học, tĩnh học của bài tốn và đã xét vẻ chuyển vị, biến đạ nhằm giải đáp bài tốn theo quan điểm động hình học Bản thân hai lý thuyết đĩ khịng đủ để giải các bài tốn vật lý cla co hoc vai rin biên dang dưới tác dụng của các lực ngồi đật lên nĩ Vì giữa ứng suất và biên đạng chưa cá một định luật vật lý nào ràng buộc nhau Trong chương này chủng ta đề cập đến mơi tưởng quan giữa ứng suất và biến
dạng của vật thể đàn hồi tuyến tính một cách sở lược để sau đĩ sẽ trình bày chỉ tiết hơn cho vật thể đàn nhĩt tuyến tính nghĩa là đẻ cập den tính chất vàt lý của bài tốn
§1 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC THÀNH PHẦN ỨNG SUẤT VỚI THẢNH PHAN BIEN DANG © VAT THE DONG NHAT, DANG HUGNG DAN HO!
TUYẾN TÍNH
Trong lý Lhuyết đần hồi tuyên tình, được biết 6 vat thé dong nhat, đẳng hướng thì quan fệ giữa ứng suất, biển đạng được mơ ta bằng định luật Hue, tổng quát cĩ dạng:
+ Đối với biến dang đài:
Ø„=A9 + Que, )
oy, = 20+ Que, + (2.1)
Trang 14
+ Đối với biến dạng trượt:
Tay = HWvS 2MEis Te = Wer = 2HEsv
Toe = BYex = 2p
Hai biểu thức (2.1) và (2.2) cĩ thể viết gọn ở dang sau:
ơ,= Que, + AĐễ, (2.3)
trong đĩ: ơ, - kí hiệu Krénecke;
h, w- cde hang sé Lamé;
6 - d6 bién dang thé tich tỷ đối
® ig
Ta thay 4 vat dan héi tuyến tính đẳng hướng chỉ cĩ hai bằng số
đần hải là độc lập Ví dụ, hai hằng số Lamê ^, u, và tổn tại hai định luật
quan trong 1a:
~ Định luật biến đổi thể tích: “Ứng suất trung bình tại 1 điểm bằng biến đạng tý đối trung bình tại điểm đĩ nhàn với hệ số 3K”
~ Định luật biến đổi bình dạng: “Tenxơ ứng suất lệch tại 1 điểm
bằng tepxơ biến dạng lệch tướng ứng nhân với hệ số 2G”
Biểu thức tốn hạc của hai định luật trên là;
GØ¿= 3K &; (2.4)
$; = 2G 8; (2.5)
trong đĩ: ơạ — ứng suất trung bình;
sọ — biến dạng tý đối trung bình;
s — tenxd ứng suất lậch; K — médun thé tich; G — médun trust
§2 HE THUG GIA CAC HANG 86 DAN HO)
Vật liệu đẳng hướng chỉ cĩ hai hằng số đàn hồi là độc lập, ví dụ,
Trang 15Ta hãy tìm các hệ thức giữa các hằng số nêu trên với hai hằng số Lamé: i, p
4 Madun dan hai khi kéo nén (mddun Young), E
Xét trưởng hợp vật thể đẳng hưởng chịu kéo theo trục X
Trạng thái ứng suất tại mỗi điểm của vật thể là trạng thái đơn được xác định theo biểu thức: 5® ý Oy = On BH ty = | Ht, = 0 Đặt hệ thức này vào (2-1) ta nhận được hệ phương trình: On = 0+ Qe, ) 0 =20+ Spe, 7 (2.6) O =20+ 2pe,, J Cộng theo vế các phương trình trên được: 1 8=— %, (2.7 BA + Qu ) Đặt 6 vào phương trình đầu được: 9 oy =HGA + 2H) &, = Ee,, (2.8) A+ “Từ đĩ suy ra: g= H2 + 24) (9.9) Àèx+ụ 2 Hệ số Poatxơng
Khi kéo tRanh theo phương x chẳng hạn, theo định nghĩa, hệ số
biến đạng ngang được xác định bởi tỷ số âm giữa độ giãn đài theo
phương ngang và phương dọc, biểu thức tốn học cĩ dang:
(2.10)
Trong đĩ: s„„— biến dạng theo phương đọc
Trang 16AO fy = 6,,= —- = -—_" a, (3.11) Qu 3u(3À + 3m) Thay giá trị tại ø,„ theo (3.8) vào (2,11) Ea được: A Eyy = €,, = ——— £y, 2Ĩ +) Vậy hệ số Poatxơng được xác định bới hệ thức: À v= (2.12) ĐĨ + H) 3 Médun thể tích K
Trong trường hợp nén đều về mọi phía trạng thái ứng suất tại 1
điểm được xác định bởi các thành phản sau: (2.18) Thay các giá trị theo (2.13) vào (2.1) ta được 2y)s,, + AO = -p Spe, + AB = -p Qpe,, + 28 = -p Cộng từng về 3 phương trình lại ta cá: (84 + 26 = -3p Suy ra p= -Í2 + Lue =-R8 Trong đĩ mơđun nén rhể tích sẻ là: 3 (2.14) ¡ Mơđun trượt G
Giá sử, hình trụ đài tiết điện chữ nhạt cĩ trục hướng theo lrực x, chịu lựe tiép F tac dung lén méi don vi dé dai earth
Trang 17G Trong đĩ F ” ‹p- gĩc trượt (2.15) Với biến dạng như vậy, mọi thành phần biến dạng bang khơng, ngoại trừ t,, = F Theo (2.1} ta cĩ: Vay Spey, G=p
Trang 18Chương 3
QUAN HỆ GIỮA CÁC THÀNH PHẦN ỨNG SUẤT VÀ
BIEN DANG Ở VẬT LIỆU ĐÂN NHỐT TUYẾN TÍNH Vật liệu ở thể đàn hồi nhĩt cĩ những đặc điểm cơ lý khác vật liệu ở thể đàn hỏi Đặc điểm nổi bật là quan hệ giữa các thành phần ứng suất và biến đạng phụ thuộc vào lịch sử đặt tải, yếu tố thời gian và hai hiện tượng đặc trưng là rão và trùng
Hiện tượng rão: khi ứng suất cĩ giá trị khơng đổi nhưng biến dạng của vật thể vẫn tiếp tục giảm theo thời gian
Hiện tượng trùng (Rêlãcxasj): khi biến dạng cĩ giá trị khơng đổi những ứng suất trong vật thể vẫn tiếp tục giảm theo thời gian
Để xáy đựng qui luật đối xử của vật liệu, trước hết hãy làm một số thí nghiệm eở bản ở trạng thái ứng suất một chiều sau
§1 CAC THI NGHIEM CO BẢN
1 Thí nghiệm rão (từ biển}
Kéo một mẫu vật liệu pơme hay nén một mẫu hình trụ bằng bê tầng sẽ thấy: giữ tải trọng khơng đổi nhưng biến đạng vẫn tiến triển theo thời gian mặc dù giá trị lực đặt vào bé hơn giá trị lực phá huỷ (vật liệu đảo là giới hạn chây, vật liệu đàn hỏi là giới hạn bền), thậm chí lực đặt vào cịn nằm đưới giới hạn ty lệ Sự tiến triển biên đạng cịn phụ thuộc vào lịch sử đặt tải, vận tốc đặt tải và cất Lãi,
Chúng ta hãy xét một trường hợp đặc biệt về lịch sử đặt tải đơn giản được định nghĩa như sau:
Trang 19“Tại thời điểm t < tạ vật ở trạng thái khơng tải ø = Ị, đến khi t > tụ ng suất eĩ bước nhảy về biên độ øu, nghĩa là:
ơ() = ơn.h @ ~ tà (3.1)
Trong đĩ: h —~ hàm Hêv¡side”' (hình 3.1)
Quan sát sự tiên triển của biến đạng e theo thời gian, sẽ thấy: + Khit<t¿ thì s= 0
+ Khit=t„ thình lnh s cố bước nhảy bằng giá trị biến dạng đàn hổi của vật liệu
+ Khit> t„ biến đạng s tăng theo thời gian,
Để đơn giản người ta viết sự tiến triển của e là hàm cuả thời gian
dưới đạng sau:
e(t) = o.d(ty, t, on) (3.2) Trong đĩ:
Jit, t,o) =Okhit<t,
đít, t, o,) tang theo t khit > t,
Thí nghiệm này gọi là thí nghiệm rão (từ biến) thực hiện ở thời điểm tụ hàm J tương ứng gọi là hàm rão
0 t > t 0 | —" t, > t
a} b)
Hình 3.1, Thi nghiệm rão ở thời điểm tạ
a) bước nhấy ứng suất;
Trang 202 Thí nghiệm trùng (Rêlăcxasi) “Thật là tự nhiên khi nghĩ đến một thí nghiệm “đối ngẫu” đổi với thí nghiệm trên “tại thời điểm t„ biến dạng cĩ bước nhảy về biên độ z„ Biểu thức tốn học của nĩ cĩ đạng: e(t) = & hit — t,) (3.3) Trong đĩ: h— hàm Hêviside Quan sát lời giải của ứng suất, ta thấy: : + Khit < t„ Ứng suất bằng 0,
+ Rhit= tạ ứng suất cĩ bước nhảy tưởng ứng với ứng suất dàn hỗi
của vật liệu sau do né giam dẫn theo thời gian
Bản chất ở đây tương tự như ở (3.2) Biểu thức tốn học của ơ tiến triển là hàm của thời gian, cĩ đạng:
a(t) = by Reto, t, 6.) trong đĩ: Ra, t, &))=O khit < ta
R biểu dién bước nhấy khi t = ty
Ra ham giam dan theo thai gian khit > t,
aj b)
Hình 3.2, Thi nghiệm trùng ở thời điểm to
a) bước nhay bién dang; b) lời giải của ứng suất
Thí nghiệm này gọi là thí nghiệm trùng thực hiện ả thời điểm t„ với biến dạng cĩ biển độ s., hàm R gọi là hàm trùng tương ứng
Trang 213 Thí nghiệm về sự phục hồi (thí nghiệm bỏ tải) Khit =t, ta bat dau be tai (cất tai tite thai)
Biểu thức ứng suất cĩ đạng:
G(t = ơi [h (tt) — hự - E)] bist (3.5) Quan sát biến đạng ta thấy:
+ Khit<t, dé thi giống hình 3.L (thí nghiệm rão)
+ Khít= t¿ nĩ cĩ bước nhẩy xuống một giá trị biên độ bằng bước
nhấy khi t = tạ nếu tính đàn hỗi vức thời của vật liệu khơng đối
+ Khit> t; biến đạng tiếp tục giảm như hình 3.3
Quá trình này gọi là sự phục hỏi Biến dạng cịn lại là biến dạng dư Trở lai tức thời Sư phúc hồi a] bị Hình 3.3 Thí nghiệm về sự phục hối 4) đổ thị của ứng suất; b đồ thị quá trình biến dạng 4 Thí nghiệm về sự xố ứng suất
Đây là một thí nghiệm “đối ngẫu” với thí nghiệm về sự phục hồi, “Tiếp tục quan sát thí nghiệm sau tác dụng
Trang 22a(t) = sạTh (t— tạ) — hŒ — t] t<t, (3.6)
cĩ nghĩa là tai thai điểm tị, ta cho biến đạng s nhẩy một bước xuống giá
trị cụ = Ớ Quan sát Ứng suat tiếp tục biến đổi theo thời gian ta thấy: + Khi t < t, để thị của ứng suất theo thời gian như hình 3.45 (thí
nghiệm trùng)
+ Khit= t, giá trị ứng suất nhấy xuống một giá trị bằng giá trị
khi nhấy lên lúc t = t; nếu vật liệu bị biến dạng đàn hồi khơng bị biến điệu Lãe này ứng suất bị thay đổi dấu (hình 3.4b) + Khi t> t¡ người ta nhận thây rằng giá trị tuyệt đối của ứng
suất giảm đản (hình 3.4b) Đĩ thực chất là sự xố ứng suất (nĩ cĩ thể là tổng thể hay từng phần) Ứng suất cịn lại trong vật liệu gợi là ứng suất đư 3 : \ ị ï i i ty fe ' Lư t a) b) ` Hinh 3.4 Thí nghiệm về sự xố ứng suất» a) đỗ thị biến dạng; b) dé thi ứng suất
§2 BAN NHOT TUYEN TINH
Trang thai ting suat mat chiéu (trang thai img suat don)
Nĩi một cách tổng quát, qui luật đổi
bằng phiếm hàm tương ứng giữa l
của vật liệu được thể hiện
ạ sử của ứng suất và lịch sử của
biên dang Trong trường hợp ứng suất một chiều (rạng thái ứng suất
Trang 23đơn) chính là sự tương ứng giữa lịch sử của ứng suất ø và lịch sử của
biến dang E
Vậy tại thời điểm t, biến dạng s() phụ thuộc vào lịch sử ứng suất ø mà biểu thức tốn học cĩ thể viết ä dạng
e(Ð =£, [ø]„ (3.7)
1 Định nghĩa
Đối xử vạt liệu là tuyến tính nếu phiếm hàm tương ứng giữa lịch sử của ứng suất ø và của biến đạng £ thuộc dạng (3.7) là tuyến tính 2 Tính chất của vật liệu đàn nhớt tuyển tính
"Từ định nghĩa trên ta suy ra một số tính chăt sau của vật liệu đàn nhớt tuyến tính
+ Đối với thí nghiệm rão thực hiện ở thời điểm tụ Lời giải s(Đ) là ty lệ với øạ hay nĩi một cách khác hàm rão dt, tụ, ø;) là độc lập với ø„ Cĩ nghĩa: ~ Nếu lực tác động là: a(t) Thi ta cĩ lời giải e(t) Gy h(t — ty) (3.8) Sy I(t — tụ) (3.9) Điều này tương tự với thí nghiệm trùng Hàm tring Rita, t sa) là độc lập với s¿ cĩ nghĩa:
— Nếu lực tác động là e(t) = egh (t ~ t,) (3.10) “Thì lời giải là o(t) = 5, R(t — t,) (8.119) + Cộng tác đụng hai lịch sử ta được kết quả là cộng tác dụng của hai lời giải
a(t) = f[o"” (2) +o (ĐỲ = flo" ha + flo” OF x (3.12)
Tất nhiên ta cĩ các cơng thức tương tự khi hốn vị vai trị của ơ
vag
Trang 24§3 QUAN HE GIUA UNG SUAT VA BIẾN DẠNG (CƠNG THỨC BƠIZØMAN)
Ta biết, sự tuyến tính đối xử cho phép mê tả tất cả lời giải của lịch
sử tác động (ứng suất hay biến đạng) kể từ khi biết được hàm rão hoặc hàm trùng That „ xét một vật thể chịu một ứng suất ø(t) là hàm của thời gian như hình 3.5 Ung sua? 6 iF | | | ag = 280 | | | — } — TH“ _—_ *Ƒ E—— At’ Thổigian Hình 3.5
Ứng suất này cĩ thể xem như tăng nhiều phần tử Aø khĩng đổi tác đụng dưới dạng bước nhảy khơng đổi:
Trang 25Dưới tác đụng của mỗi bước nhảy, ví du, Ac(t,) sé gây ra biến dạng phần tử là:
Ae(t,) = đự - t) Aøứ) (a)
Ta thây biến đạng này chỉ là hàm của thời gian (È - t) và nĩ khơng
bị ảnh hưởng bởi gia số ứng suất nào trước và sau nĩ
Theo đĩ ta cĩ:
a(t) = Jt -t) Aolt) + Jit - 1) Aott, + + d(b-4,) Asib) dhì
Khi cho At = (t - 1) dan tdi 0, ta cé thé viét (b) dudi dang sau: ‘
a(t) = pac ~ tì đø().dĩ (38.13
Cơng thức( 3.13) cũng cĩ thể viết đưới đạng tích phân:
ett) = [I(t - +)øte).dr (3.14)
Bởi vì: dơ@ = 2Œ ty s œ().ấy
đt
Trang 26g(t) = ơ@).JŒ,E) - fay eta (3.19) CT 6 "Trong các cơng thức này ——(+,t) thế hiện như lời giải quan sát ở a thời điểm t do xung đơn vị thực hiện ở thời điểm r < t Đĩ chính là một hàm số trên tất cả khoảng tích phần Làm tưởng tự bằng cách hốn vị vai trị của ơ và s ta nhận được: sŒ)= [R(Œ.t).cŒ).dt (3.20) Và đối voi mot lich ett bat ddu d thai điểm tạ là: ot) = JR(,Ð.cŒ).dr (3.21) Ổ thời điểm bạn đầu (-: Ĩ là sứ) : [=œ) RŒ Đất 23 ư Bằng cách lấy tích phân từng phần biểu thức (3.20), (3.21), (3.22) ta được:
o(t) = e(t), Rit,t) se) t9 dị en (3.23) ott) =e) Rett) ~ fe() Bte,ty.ae to or (3.24)
‘ oR
đ(Ð = s().RŒ,D ~ ] sứ ứt).d (3.25
Những cơng thức (3.17), (3.18), (3.19) và (3.23), (3.24), (3.35) nĩi
lên rằng quan hệ giữa biến dạng và ứng suất (hay giữa ứng suất và biến dạng) ở trong trạng thái ứng suất một chiếu của vật đàn nhớt tuyến tính, cĩ tên là biểu thức Bơizgman
Trang 27§4 VAT LIEU DAN NHOT TUYEN TINH KHONG LAO HOA
1 Định nghĩa
Đối xử vật liệu gọi là khơng lão hố khi bản chất è học của vật liệu khơng tiến triển với thời gian Nĩi cách khác về mặt tốn học bản chất cơ học của vật liệu là bất biến với thời gian, cĩ nghĩa lời giải ở thời điểm t do tác động ở thời điểm tụ cũng giống như lời giải ở thời điểm t + t
do tac động ở thời điểm r + E„ 2 Tính chất Sự bất biến do tịnh tiến kéo theo hàm rão và hàm trùng đt, t) va R(t¿, Ð chỉ là hàm một biến, "Thực vậy ta cĩ: Itty, Ð = J(0, t— bạ) bất biến với sự tịnh tiến (3.36) Cĩ nghĩa là: I(t, ty = f(O, t— tụ) (3.37) Trong đĩ: f(t) = Onéut <0, Cũng vậy: Rit, Ð = gữ — tạ (3.38) Trong đĩ: g(t) = D nếu t < 6 Do đĩ những cơng thức (3.14), (3.20) và những cơng thức
Bơlzơman khi thay đứ, Ð và Ríc, Ð theo biểu thức (3.37), (3.28) bằng các
hàm f và g cĩ đối số (t - t) ta được cơng thức Boizơman: + Choe: ‘ e(t) = o(t).£(0) + fom.ttt —1).dt (3.29) + Choo: a(t) = eft) @(0) + js(0 @ —).dr (3.30)
Như đã nĩi, các hàm f và g cĩ giá tri R* f0) va g(0) biéu dién bude nhấy của ham ở gốc, Ý và g là những hàm trên tất cá khoảng lấy tích
Trang 28oS Ry uc (§3), Mặt khác những lịch sử
eT (T
phan như những đạo hàm
cling và e cĩ giá trị giới hạn bên trái: kích động là bằng khong 4 thai
gianr= -+ và bất đầu ä thời điểm hữu hạn
Ta thấy, biểu thức (3.29), cĩ thể biểu điển s như là tích chập (của Rieman) * cla ham o va dao ham cua £ Theo nghĩa các hầm suy rộng kí hiệu * là tích chập” ta cĩ; c=f*œ šf*ø) (3.31) Tích chập này cũng được gọi là tích chập SHIHe của hàm f va của œŒ, Tương tự, xuất phát từ cáng thức (3.30), ta cĩ: =g*£ Gườn) (3.32)
Trang 29Từ những cịng thức (3.31), (3.39), ta thấy rằng F và g là nghịch dao trong tich chap Rieman: pe ease (3.33) trong dé: 6 - ham Dirac - Delta fỶg=f*g =hứI (3.84) h(f) - ham Héviside * Ham Birac ~ Delta “4 & (thy 1 khơ» ch h 1 | 1 ấtt, h)= —[h() - hữ—h)|= Sits Hh = 2Íhdj ~ pet] jon +0 khí E < 0 = h ——> |khit>h 9 t Hình 2”
như hính 2“ nều xem ä#,hj như mĩt lực cĩ gường
a6 ; tac dung trong thar gan 0 <t <h, thi lute nay tao nén mot xung bằng 1
" h
[se hat = — h t
os
Xung nay ludn luén bang 1 với moi h
Cho h — 0, thao ly thuyết giải tich cd điển hàm ä{t, h) khơng dẫn tới một giới hạn nào
cả, Tuy vay Dirac coi như ä (1, h) cĩ giới han là hãm ä (1) và được định nghĩa như sau 7 L0 khit< 0 [sen = BO) 2 khít =0 vi [seh đt < 1 với mọi tị nên lập luận của Đưac dẫn tới hà quả sự " (thị, đt = j Im ä{t,h).dt + 1 9
V mát vật ly ham At) c6 thể cơi nhữ mốt lực cĩ cường đơ vỏ cùng lớn khi L = 0 v3 triết liêu với mọt t = Ơ lực này tao nên một xung bằng đơn vi
Các lính chất (khơng chứng minh) khác
ai Nếu spit) Ja mat ham hén tue thi fowsdy dt = (9)
dh(t} _ at é(t)
Ham Birac, ham Oirac - Delta đã đưa vào một cáoh khơng phù hợp với lơgle tồn hoc
Tuy vậy sử dụng nĩ trong các bai tốn vắt ly, kỹ thuật lam đơn giản rất ni
Trang 30Chương 4
PHƯƠNG PHÁP MƠ HÌNH
Người ta thường sử dụng các mơ hình lưu biến như một sự hễ trợ
trong việc cĩng thức hố cách đối xử đàn nhớt tuyến tính đơn trục Lợi ích của phương pháp này là dàn đến việc cơng thức hố định
luật đối xử mà nĩ thoả mãn một cách tự động các nguyên lý của nhiệt động học
Ở đây chỉ đưa ra một vài chỉ dẫn về những mơ hình đàn nhĩt khơng lão hố liên quan đến việc áp dụng cho tính tốn kết cấu trong kỹ
thuật
Đàn nhớt tuyển tính khơng lão hố là sự hợp thành từ hai mơ
hinh co ban: dan héi tuyến tính hình 4.1a và nhớt tuyến tính hình 4.1b
b)
Rình 4.1
a) mơ hình đàn hồi tuyến tính (đặc trưng bởi một lị xo]; b) mơ hình nhớt tuyến tỉnh (đặc trưng bởi một giảm chấn)
P - (nay ø) lực tác động lên phần tử
š - (hay s) chuyển vị (hay độ dãn) của phần tử
§1 CÁC LOẠI MƠ HỈNH 1 Mơ hình đàn hổi
Mê hình vật liệu đàn hỏi tuyệt đối tuyến tính được đặc trưng bởi một lị xo hình 4.1a gọi là phần tử đàn hồi (hay vật Hue)
Trang 31Nếu xem lị xo cĩ tính chất đàn bồi tuyệt đối thì tải trọng và độ địch chuyển của lị xo là tỷ lệ với nhau Rhi tải trọng thơi tác dụng thì độ dịch chuyển sẽ trẻ lại vị trí ban đầu, vật thể tuân theo định luật Huc:
5=kP (4.1)
trong đĩ: ơ - đỏ địch chuyển của vật thể theo phương tải trọng tác dụng;
P - tai trong tác dụng lên vật thể:
k, - hằng số tỷ lệ phụ thuộc vào từng loại vật liệu
Bay gid déi từ địch chuyển sang độ biến đạng tỷ đối, lực sang ứng
suất pháp ø và thay hằng số kị = 7 ta cĩ định luật Huc ở trạng thái ứng suất đơn: (4.2) hay o=EBe (4.3) trong a6: E — médun dan héi khi kéo hoặc nén, nĩ đặc trưng cho độ cứng của vật liệu
2, Mơ hình lỏng (mơ hình nhớt — Niutơn)
Mơ hình lỏng được đặc trưng bởi một giảm chấn hình 4.1b gợi là
mơ hình Niutơn (phan tử Niutơn) Nếu xem pittơng địch chuyển trong chat ling chita trong xilanh thì tếc độ địch chuyển tý lệ với lực tác dung Biểu thức tốn học cĩ đạng: dỗ — =kạP at 2 (4.4) (4.4 trong đĩ: k, - hằng số tỷ lệ phụ thuộc vào từng loại chất lỏng; dễ, tếc độ chuyển địch: dt P - lực tác động
Chuyển từ chuyển địch sang độ biến đạng dài tỷ đối c, từ lực sang ứng suất pháp ø Và thay hằng số tỷ lệ k; = 1 (trong đĩ n - hệ số độ
n
nhĩt của chất lỏng) Biểu thức (4.4) trở thành:
Trang 32de Le (4.5) dt on de hay o=n.— (4.6) at 3 Mơ hình Macxoen
Để iim quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật đàn nhớt tuyển tính đẳng hướng Macxoen đưa ra mơ hình hai thơng số bằng cách mắc nối tiếp hai mỏ hình: mơ hình vật thể đàn bối tuyến tính và mơ
bình chất lơng Niutan như hình 4.2
4
ann] —>+>
E n
Hình 4.2
Tinh chat eda mo hình: lực tác động lên hai phần tử là như nhau,
độ dich chyển tồn phần bằng tổng các dịch chuyển của phần tử đàn hơi
by, và độ địch chuyển của phân tử giảm chấn ả„ Dưới tác đụng của lực P
cĩ ngay chuyển địch õ„„ Khi bỏ lực P thì biến dạng đàn hỏi khơi phục
Biến dang nhĩt cịn lại Tính đàn hồi và tính nhớt ở đây: đều là tuyến
tính
Trang 33ay ae dt dt + kạP (7)
Chuyển từ độ địch chuyển ơ sang độ biến đạng đài tỷ đối e, từ lực
P sang ứng suất pháp ơ và thay các hàng sé k, k, bang: k, ==: va 1 : k; = —, ta nhận được phương trình trạng thải dang: 1 đ 1 dư ø lập Edt n (4.8) Phan tử Maecxoen cĩ những tính chất sau: 3.2 Tinh réo
Phần tử chịu ứng suất khơng đổi ø(Ð = ơu = hằng số, đường cong
rio eft) dude tinh nhw sau: do Thay giá trị — = 0 va ¥ gia tr) at ° phương trình (48), phương trình trạng thái trở thành: des a =o OO fod Tich phan hai vé biéu thức (e), ta được: Hình 4.3 Đường thẳng rão cua phan tir n Maecxoen Suy ra G a(t) = “24 te, "1 Đường rão c(Œ) là một đường thẳng, hình 4.3 1.3 Tính tring
hi phần tử chịu biến đạng s() = su = hàng số, Tìm đường thẳng Ao cua phản tử Macxoen, đường cong tring a(t)
Tu diéu kién s(t) = ¢, suy ra 3 = 0 thay giá trị này vào phương d
Trang 341 dơ ø = + 50 Edt y ) “Tích phân biểu thức (ej với điều kiện đầu t = 0, (0) =o, ta dude: - [tị G=ø.exp |~—— £4.10) Lt, |
Trong dé: t, ~ thdi gian tring, te z €1
Thời gian trùng chính là thời gian cần thiết để ứng suất ban đấu
Gr, giảm đi một lượng e = 9,718 lần
Ứng suất trùng giảm theo qui luật hàm số mũ, hình 4.4 ˆ Se e Hình 4.4 Đường cong trùng của phần tử Macxoen,
Can chú ý hai trường hợp thực tế thường xẩy ra là: ở giai đoạn đầu
tốc độ tăng tải khơng đổi cho tới khi ứng suất đạt được một giá trị xác định, hoặc ở giai đoạn đầu tốc độ tang bién dang khịng đổi cho tới khi biến đạng đạt tới một giá trị xác định Trong khoảng thời gian này hiện
tượng rão và trùng chưa xảy ra khi đĩ phương trình trạng thái cĩ dạng như @ sau:
1.4 Khi tốc dé (ang tai khong ddi
V,= 5 = hằng số (f}
Ty () ta suy ra t= = sau khi lay tích phân phương trình trạng thái (4.8) đối với e và chủ ý đến giá trị Vụ ở trên ta được phương trình trang thái biểu điển quan hệ giữa biến dạng và ứng suất, hình 4.5:
Trang 35o ke E | 2EV., (4.13) g ores
Ta thấy khi tếc độ tăng tải càng
nhanh đường cong càng gần đường thẳng ø = E s Vì vậy E được gọi là
médun đàn hải tức thời artgE
43.5 Tĩc đĩ táng biên dạng V„ khơng đối E di ` ¿
V, x = hing sé Hình 4.8
Thay giá trị V, = hằng số vào phương trình trạng thái (4.8) Tích phân phương trình đối với ơ ta tìm được: ø=V.nl1l-e % (4.18) ) a - Và ““-E.e de (4.14) Ta thay tương tự trưởng hợp trên, tại gốc toa độ đường cong tiếp xúc với đường thẳng ø= B.s
4 M6 hinh Kelvin- Voigt
4.1 Phương trinh trạng thái
Mo hinh Kelvin — Voigt là mơ hình loại
hai hang số, được mắc song song của hai E + "
phần tử Hue và nhớt Niutơn như hình 4.6 xã Tính chất của mơ hình là độ chuyển
đời của phản tử ư bằng độ chuyển đời của P phần tử lị xo 5y, và cũng bằng độ chuyển đời
của phần tử nhớt Š„ Hình 46
Š “ơn,
=é, (a)
Trang 36tại thoi điểm t thì bằng tổng giá trị lực tác đệ xo va gid trị lực tác động vào giảm chấn, ta cĩ: PE=P, +P, (by trong đĩ: P - giá trị lực tác động: Pha, giá trị lực tác động vào phần tử đàn héi > P,,, = Pa, na; P, - gia trị lực tác động vào phản tử nhĩt, Thay giá trị Pa, ¿, theo (4-1), giá trị P„ theo (4.4) vào (b) cĩ chú ý đến (a), ta cĩ: +.L đồ (4.14) Chuyển từ lực chuyển đời sang ứng suất, biến dạng và các hệ số 1 ĩ 5 kị, kạ sang si — một cách tưởng ứng ta nhận được phương trình trạng q thái cho mo hinh Kelvin — Voigt là: ceEet ne (4.15) at 4.2 Tinh rdo Rhi phần tử chịu ứng suất ø(Ð) = o, = hang sé, ham rao e(t) duse tính từ biểu thức: de E đ, — +e = {c) đt oy hay de+ Heat = So at (d) MÌ n với các điều kiện tại L= 0, e= 0, và sau khi lấy tích phân, ta được: “£ TỒN ø tị t)= — - exp| = 4.1 sí) = [: en : J (4.18)
trong đĩ: 1, — thời gian rão, tr= ” (417) ham rao f(t) = ett) 4| 1— axp|— (4.18)
ø bị \
Mơ hình Kelvin — Voigt phản ánh được tính rão của vật liệu, khi biến dạng khơng đổi thì khang xây ra hiện tượng trùng
Trang 374.3 Tính khĩi phục
Nếu tại thời điểm t, ta cất nhanh tải trọng thì độ biển đạng giảm dan theo thời gian, khơi phục đản kích thước bạn đầu theo hình 4.7:
1- đường cong ráo thuận theo phương trình: £ % ụ - oo(-4| (LI9A) e(t) = 8 93- đường cong rão nghịch theo phương trình: / a(t) = €,.exp] — \ (419B) Hình 4.7 ¿ 4.4 Tĩc dụ tứng suát khơng đối Va dc - hằng số dt Đạo hàm phương trình (4.15) một lần thes thời gian, thay giá trị a aT = V„ ta nhận được phương trình: d (e) (4.20)
Ta thay đường cong tiếp xúc Lại gốc toa dé va khi V¿ tăng nĩ tiên đản tới trục
ø, hình 1.8
Hình 48
Trang 384.5, Tĩc đọ tăng biên dạng khơng doi
va cÝ (fy
Khi tốc độ tăng biến dạng khơng đổi, phương trình trạng thái (4.15) cĩ đang:
œ=Bz + Vin (4.22) quan hệ giữa ø và e là đường thẳng, hình (1.9) khi Vị tăng thi độ cứng
của phản tử tăng
Hai mơ hình Macxeen va
Kelvin la hai mơ hình cơ bản được
nghiên cứu eho vật đàn nhát Hình 4.9
Trang 395.4 Mo hinh Thomson
5.1.1 Phuong trinh trang thai
Mơ hinh Thomson gêm vật thể đàn hồi được mắc nối tiếp với vật Relvin-Voigt như hình 4.10a Trong mơ hình này khoảng cách giữa các điểm đặt lực P sẽ bằng tổng độ đãn õ, của lị xo 1 va dé dan dai 8, cha là xo 2 hay là độ chuyển đồi ã„ của các giảm chấn 3 6=8, +5; (a) Dao ham (a) theo thai gian, ta cĩ: d& đơ, dd, —=—t 2 ) dt cất “Tất ° Quan hệ giữa các chuyển vị ơ; và õ¿ và lực tác dụng P lên mơ hình như sau: để, _ ma đt Trong đĩ: lực P bằng lực P\ tác đụng lên là xo 1 và cũng bằng tổng lực P; ä,=kịP: ơ;=kẹP; @) tác đụng lên là xo 3 và lực P, tác dụng lên giảm chấn 3 Ta cĩ: P=P,=Py+P, hayP=P,,„+P, (đ) Thay biểu thức (c) vào Œ) và chú ý đến biểu thức (đ), khi đĩ ta được: k Bak + "` Py) =k e+ ey P Tẩy đt dt dt đt kỹ k, ka.ky =KIẾT +kPT Ct@~ o = ki TC + KP = <i §+ "1p dt ky dt ky ky Tu dé aP ky) tho) po 1 đỗ + ky ky 6 (4,23) at kk, k, dt k,
Chuyén ta dé chuyén déi 4 va lực P sang biến dạng ¢ va tng suato
Trang 40
E, +E, »
Trong đĩ a= Pith pote ; E=E, (4.25)
n n
Từ (4.34) ta thấy trong trường hợp đặt tải rất nhanh khi đĩ đạo
hàm theo thối gian của ứng suất và biến đạng là đại lượng đủ lớn so với thừa số ø và s Trong (4.24) mỗi về ta cĩ thể bỏ qua số hạng thứ hai so
với thứ nhất phương trình (4.24) cĩ thể viết: da de ——==E (4.26 dt đt ‘ ) Suy ra a= Ee (4.27)
Do 4 dai ludng E due goi lA médun dan héi fic thời
fTrong trương hợp tải trọng tăng rất chậm khi đĩ đại lượng = và de là nhé eo với đại lượng ø và e, ta cĩ thể bỏ qua và phương trình , 5 ys » ⁄ THỂ kẻ à a (4.2 1) cĩ thể viết: To đĩ đại lượng EB được gọi là mảđun đàn hi lâu đài a "từ (4.27) ta thấy rằng 8 < 1 nên mâđun đàn bồi lầu đài rẻ 4 hon a médun dan hai tite thai 5.1.3 Tính rão Cho oft) =a, = hang 26, xét quá trình biến đạng c(t)
Nghiệm của phương trình vi phần