EBOOK lý THUYẾT đàn NHỚT PHẦN 2 PGS TS NGUYỄN văn VƯỢNG

Trang 1

Chuong 6

PHUONG PHAP TOAN TU

§1 TRANG THAI UNG SUAT BON

Trước hết ta hãy khảo sát trường hợp trạng thái ứng suất đơn Từ phương nháp mơ hình trên, ta thay phương trình trạng thái của vật đàn nhét tuyên tính đẳng hướng khơng lão hố, quan hệ giữa ứng suất ø(t) và biến đạng s(là tưởng ứng tổng quát cĩ thể biểu điển dưới đạng tốn tử sau: Pio) = Qe) (6.1) Trong đĩ P, Q là các tốn tử ví phân dang: Am A k aie P=p, ae + Daye Am te# Pu= Phản | en ơ & a (6.2) Q= Gp ae Bae ae tHe Dede a | k=0,1,2, m h=0,1.5 n

Đã Đi: Pỹ: Pạ Và qui gi đi g, là những hệ số hằng số, đạo trưng

Trang 2

- Phan tts Niutgn Phương trình trạng thái: ø= aE “Ta cĩ: k=0 pel h=l gs0 qen - Phần tử Maexoen Phương trình trạng thái: 28a, 828 pay So poop de E dt + đt đt T dt suy ra k=1 Dy = E pel [ ta cĩ: h=1 qo= 0 q=E J - Phan ti Voigt - Kelvin Phương trình trạng thái: ơ=Ee†?n— Tất k=O0 pu=1 h=1l q=E qen - Phản tử ba hằng số a) M6 hinh Thomson

Phương trình trang thai:

Trang 3

E, E, 2 gs E, +B, Nz

h=1 qs

§2 TRANG THAI UNG SUAT KHOI

Như đã biết, ở vật thể đàn hồi tuyến tính đẳng hướng tên tại hai

định luật quan trọng sau:

- Định luật biến đổi hình đáng: biểu thức tốn học cĩ đạng:

Sy; = 2Ge,; - Định luậi thé tich a: oy = 8Ke,

hay 6, = 8Kai |

6 vật đàn nhớt tuyến tính đẳng hướng, theo phương pháp tốn tử người ta biểu điễn quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến đạng qua các tốn tử thời gian đưới đạng sau: PS¡@) = 2Qe() (6.9 P’o,(t) = 4Q.e¿(Ð (6.10) Am Am-L ` “Trong đĩ tốn tửứP: P= © sot Pret acy tet Po an a a (6.11) Va Q= 4 + dur - tit Ga at an

Po, Pis Bs Bima V@ do, G1, 4, dn 1a nhiing hé sé hang sé dae trung cho

tính chất vật lý và lưu biến của vật liệu, chúng được xác định từ thực nghiệm Tương tự P' và Q được xác định từ các phương trình: a” amt P= a” +p a” 7 FFP n nà] (6-12) , Ổ , © ; q=ự a FQ am tata

Trong đĩ các hệ số hằng số by, Đị, Ð` Đua đố đi q Ge 1A những

hệ số hàng số đặc trưng cho tĩnh chất vật lý và lưu biên của vật liệu,

chúng được xác định từ thực nghiệm

Trang 4

Trong tính tốn người ta cịn thay biểu (6-10) bằng biểu thức sau: P.0) 5, @) = P;qÐ) e,@) (6.13) P,(D).o(t) = P.(D) 6(¢)

Trong dé a(t) =o, +o, +o, = 6, +6, + 6,= 5; O(t) =e, +e, +e, =e, te, +2, = 8, N PD) = VaD";a MU xÕ i=1/2/3/4 là các tốn tử đạo hàm tuyến tính An p= = a là đạo bàm bậc n theo thời gian ở at" 1à các hệ số hằng số 8o sánh với biểu thức (6-10) ta cĩ: Tốn tử: P,=P P, = 20 ; (6.14) P,=P P,=3Q

Thuan lợi hơn người ta thường viết (6.13) ở đạng liên hệ giữa ứng

suất ơ;, vào biến dạng e„¡

Trang 5

Suy ra

P(D)=1 PAD)=2G PAD)=1 PD) =3K (6.16)

2, Mé hinh Kelvin — Voigt Phương trình trạng thái:

Trạng thái đơn: o=Eet+ ng

Trang thai khéi: $; = 2Ge, + ne, = 2Gle, + te,) (6.17) o; = 8Ke, ĩ ¡„ 7 Trong đĩ = 3G (6.18) Suy ra P\D)=1 PzĐ)=3G(1+£D) P,D)=1 P/D=3K (6.19)

Biểu thức ơø¡ = 3Ke,„ chứng tỏ khi nến hoặc kéo theo 3 phương như nhau, vật thể đàn hổi và vật thể đàn hồi nhớt là như nhau

Tùy từng loại mơ hình người ta cịn dựa vào các hằng số mới là kỷ số các hằng số, Nĩ vẫn thể hiện được tính chất vặt lý và lưu biến của vật

Tiệu

Ví dụ: mơ bình tuyến tính tiêu chuẩn trong phương trình tốn tử Quan hệ giữa ứng suất lệch với biến dạng dang lệch cĩ các tỈ số sau:

Po _«, (6.20) đĩ

Trong đĩ Gạ là mơđun đàn hỏi khi trượt trong quá trình biến dạng

chậm và ta cĩ thể gọi đỏ là mơđun đàn hồi tĩnh khi trượt

PL Q, (6.21)

®

Trong đĩ G, là mêđun đàn hỏi khi trượt trong quá trình biến dạng

nhanh và ta gọi đĩ là mơđun đàn hỏi tức thời khi trượt

Pp = 6.22)

PR (

Trang 6

Pido _ Go _

Pedi (6.23)

+ là đại lượng khơng thứ nguyên thể hién ti sé médun dan hdi tĩnh và tức thài khi trượt, Kí hiệu 1 TỊ=— (6.24) Tt Ta cĩ G Pr Pi yg, = 28 enG,n (6.25) da PoP) t ` Các giá trị n và t thể hiện những thơng số lưu biến đặc trưng cho vật đàn nhớt

Tương tự trong phương trình tốn tử thứ hai của (6.10) quan hệ

giữa tenxơ ứng suất pháp trung bình với tenxø biến đạng pháp trung bình, ta cĩ các tỉ số và ý nghĩa của nĩ ae = By trong 46 By - mơđun thể tích đàn hỏi tinh (6.26) Po TL =B, trong đỏ B,- mỏđun thể tích đàn hồi tức thời (6.37) PL Pent (6.28) Po Pde Bo _ ys (6.29) Pog By Trong dé n’ - thời gian trùng và r là tỉ số mơđun thể tích đàn hỏi tĩnh và tức thời Bụ LP ap on Ty ‘ - =nứawY B; (6.30) Po PoP

Trong tất cả các bài tốn sau này ta sẽ giả thiết là các thơng số

Trang 7

Khi đĩ mơđun đàn hồi thể tích xác định bởi quan hệ: 9 (lav) ` =“G.~ 6.32 Ba ®~ 3v) (6.82) 2 đq+v) -46 6 ‘3 * a= vy 6.88) Trong đĩ v - hệ số poatxơng §3 CAC BIEU THUC CO BAN

1 Phương trình vi phân chuyển động

Phương trình ví phân cân bằng động khi bỏ qua lực thể tích cĩ

dang:

Ẩn

Vân, jã (6.34)

trong đĩ uạ, u›, uạ biểu điễn chuyển vị theo 3 phương vuơng gĩc (trong

kỹ thuật thường ding u, v, w theo huéng x, y, 2)

Thay gid trio, = S, + 0) o) theo (1.17) vào biển thức thứ nhất của (6.34), ta cĩ:

as, , 2, Be, B13 a, ax, ox, ox, = > a? uy 6-88) (6.35

Sử dụng phương trình tốn tử (6.9); (6.10) và phương trinh (1.9)

được thay vào (6.35) Sau khi tính tốn ta cĩ:

Trang 8

com Gen tentead= 3[ 50+ _ \ Ey = OX _ liêu, ơu,Ì ST SN Tây bu ° (6.37) _ tâm “| E,_ = t + - 2) Ox + 1 ifdu, êu, 4| 3 ex, Ấy; a Sau khi tinb to4n ta nhan duge phuorg trinh chuyén déng theo hudéng x:

=2 | z(Pu,)= se a, Ox, 3 - (2 P-Qu, +PQu, i} 6.38) (

Tương tự, ta thay vào phương trình ví phân chuyển động theo

hướng x„ xạ, tổng quát ta nhận được phương trình chuyển động của vật

dan nhát tuyến tính theo chuyển vị cĩ dạng: pp[pếệ | oat? | = | s (PQu,)= _Ể ͧ Đ'Qu; + PQ'u Ì (6.39) ja | ex; bx, ox ox, J] 1=1,2.3

2 Biểu thức đếi với ứng suất

“Theo (1.17) ứng suất ơ¡ ơ; cĩ dang 6, = 8; + 3

a,=8 (6.40)

Nếu sử dụng phương trình tốn tử (6.10) và phương trình (1.9) và

sau khi điều chỉnh từ (6.35) ta nhận được quan hệ:

PPØ, = 2QP°(6¿ - s) + 3PQs (6.41)

Poi = 2Q; (6.42)

i

Trang 9

Bang cach su dung các phương trình động hình hoc (1.2) ta sé xac định được phương trình ứng suất theo chuyển vị

3PQ.uj) + Si | -šP" Qu, + PỢU, J fr OX (6.43) j é.4 = Ư hoặc œ¡; = o.5 = 0 ta 3 Trang thai bién dang phang

Xét trường hợp khi biến đạng €.,4 = €,5

Trang 10

€n=Ei—£ À

=t_a (6.48)

của phương trình động hình học tương ứng thì sau khi tính tốn ta

nhận được phương trình chuyển động cho trang thai bién dang phẳng

của vật đàn nhĩt tuyển tính theo chuyên vị ở đạng sau: ⁄ „cứ 7 = | rau) lạ + &x dê l3 [Fran + Pqu, |) (649) | PP a | 4 ete | Dai vdi ving cuat o;, c;, sau khi tinh toAn cd dang: A ef rg = OP H PP’s;, m @GPQu)+ DI i j1 C3 fa eu Po; =Q my i v3 (6.51) Ứng suất ø¿, tìm được từ các phương trình sau: 1ị vs ` BPG t Gt S53) = QVEn + &,) 8 P [es -16, + Sao =) =29|- Fe a (6 Loại trừ sụ + e.„ Từ (6.47) sau khi tính tốn ta được phương trình tạ +ịPna| ”Q = PQ’ boy Fou) (6.53) 4 Trạng thái ứng suất phẳng

Xét trang thai ting suat phang s,,=0 6ø, =0; =0,

Trang 11

JP +60) = QEn tem +6) 3 r 1 ĩ 1 Ploy, ~g len =gEu FE a) L 3 1 1 1 (6.54) Pen gen +o.)| 220 {ex “hn + Eno + #4a)| 1 1

Pon “3 Oy +oy) =20|zs ~3 en + Eno tu)

Từ phương trình thứ nhất và thứ 4 loại trừ ơi, +G›; ta nhàn được phương trình biển đạng ø;; được biểu dién qua €,, + e¿; cho bởi phương trình:

lỆPQ + P@'Ìs,.= [-Per + špa) (ey te) (6.55)

là ] 3

Néu sui dung phuong trinh (6.55) thay giá trị s„ vào phương trình

thứ 2, thứ 3 của (6.54), thì sau khi tính tốn ta được hai phương trình

đối với ơ,, và ø„; cá dạng:

(Peay + <pPQ| oye \

= [PQQ + PQQ] ey -[-2Pag +S PAQ}e

“ } (6.56)

(œna + PP Q| oy =

1 Lapag cẬPQ@ Jeu - [sag + SP 38)s, cĩ ÂmoÏ i 1, 4p

Ứng suất ø,„ hoặc ơ;, cho bởi phương trình: fy |

Pow = Pou, = Q| > iyo (6.57

Ox, Ox, | ,

Bằng cách thay vào phương trình vì phân cân bằng động đối với bài tốn phẳng (6.44), sau khi tính tốn ta nhận được phương trình chuyển động cho chuyển vị đối với trạng thái ứng suất phẳng của vật

dan nhĩt tuyến tình, cĩ dạng:

Trang 13

Chuong 7

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN

(phương phớp biến đổi Laplax)

Trên cd sở các phương trình cở bản của cơ học mơi trường liên tục: các phương trình cần bảng Naviê (1.19), hệ các phương trình liên hệ giữa chuyển vị, biến dạng Cauchy(1.9) các phương trình liên tục và các

quan hệ xác định sự liên hệ giữa ứng suất, biến dạng ở các chương chúng ta cĩ thể tính được chuyển vị, ứng suất trong các bài tốn của vật

đàn nhĩt tuyến tính

Cĩ nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp cĩ những ưu điểm riêng và phạm vi sử dụng, trong tài liệu này chỉ trình bày một

phương pháp được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật để giải các bài tốn tinh, dao động Đĩ là phương pháp biến đối Iaplax, Cacxơng Nhờ phép

biến đổi này ta đã khử được yếu tố thời gian trong các phương trình cơ bản nhưng đưa vào thơng số chuyển đối p để nhận được hệ phương trình

ảnh đồng nhất hình thức với vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng "Theo lý thuyết tương ứng, ta suy ra hai bài tốn của vật đàn nhớt, tuyến tính và vật đàn hồi tuyến tính cĩ cùng kích thước, cùng điều kiện biên và ban đầu như nhau thì nghiệm dưới dạng ảnh của bài tốn đàn nhớt tuyến tính sẽ đồng nhất hình thức với nghiệm của bài tốn đàn hồi

tuyến tính Vấn đề cịn lại là từ nghiệm hàm ảnh dùng phép chuyển đổi ngược, ta xác định được nghiệm chuyến vị u(x,t) hay ứng suất ơ,(xt) cần tìm

§1 LÝ THUYẾT CƠ BẢN CỦA SU TUONG UNG

Bang cách biến đổi Laplaxd, Cacxơng, định luật đối xử của vật liệu

đàn nhớt tuyến tính đẳng hướng là đồng nhất hình thức với vật liệu đàn

hồi tuyến tính đẳng hướng

Trang 14

Vi du

Xét vật đàn nhớt tuyến tính được xác đính trong hệ toa độ vuơng

gĩc XỊ, X., X: như hình 7.1 Vật này chịu các lực bể mat Tix, 4) trên phản 8; của mặt § và chịu chuyển vị U (x,; t) trén phan S,, ngồi ra cĩ

thể cĩ những liên kết mà tại đĩ chuyển vị bằng khơng Quá trình tăng

tải S\, S; và thể tích V khơng thay đổi, cĩ nghĩa ta xét trường hợp biến đạng nhé”, Ị? i : a - ' — x0) | 40, | #4) m *% T- x Hình 7.1 Trong trường hợp giới hạn là nhỏ theo các giả thiết cổ điển thì ta cĩ các phương trình cd bản sau: Phương trình chuyển động khi bỏ qua lực thể tích: 60, eu, 7 + Xjp= l ex, iP =P ao (7.1) Phương trình liền hệ giữa các thành phần chuyén vi, bién dang:

Trường hợp biển dạng lớn S¡, S„„ và V sẽ thay đổi theo thời gian trong quả trình tang tải, các bãi tốn như thế thường dẫn đến hê phi tuyến,

Trang 15

Điều kiện kết hợp biến đạng:

ey Me, _ ey : Hey, tra)

ƠXjƠA OK OR, Ox; OK, | Ox, OK

Điểu kiện bề mặt:

T, =o5.x, øụ.n,|,= T;@, Ð (7.4)

tị] = tứ, Ð

Trong đĩ n, là cosm chỉ hướng của pháp tuyển ngồi

Trong các bài tốn động cẩn thiết thoả mãn các điều kiện ban đầu sau: Whee, =£) 75, Pee = Wi) (73) Trong đĩ hàm 0G), g @) Là các hàm đã cho của vật ở trên miễn S¡, 8: hay 8

Các phương trình cø bản trên đúng cho vật thể đàn hồi tuyến tính

hoặc vật đàn nhớt tuyến tính Chúng khác nhau chỉ ở các phương trình

vật lý nêu lên quan hệ giữa ứng suất và biến đạng

a) Vi du, vat dan héi tuyến tính đẳng hướng là hai phương trình sau: 8,= 9Ge, (7.6) 3, = 3Ke,; (7.7) hay o, = K8 (7.8) trong đĩ Š¡ - ứng suất lệch, S, = 45 - 0,.5, eụ - biến dạng lệch, eụ = sự - gọ.ỗy K - médun thé tích 6 - biến dạng thể tích Ø,„ - ứng suất trung bình

£e;- biến đạng dài tỷ đối trung bình Nếu viết biến dạng theo ứng suất, ta cĩ:

1

¬_: 85 (7.9)

Trang 16

1 9= K Sy (7.10) Vật đàn nhĩt tuyến tính đẳng hướng b) Nếu ta sử đụng quan hệ (5.24) thì ta nhàn được hệ hai phương trình vật lý sau: Su = [RŒ- 9.đey (9) (7.19 a(t) = JR Œ- 9.48) 0 hoặc viết biến đạng theo ứng suất, ta cĩ: ‘ e, (= ja (t - 9.dS;(1) oO Ll : a(t) = fm (t - 1).do(t) (7.12) 0

Trang 17

ều; | = Wx (7.17)

t=t, wie) 7.19

Nếu chúng ta khảo sat bài tốn được giải theo ứng suất, thì thay cho áp dụng phép biến đổi Laplatxd- cacxơng (7.11) ta áp dụng phép

biến đổi Laplax- Caexơng với biểu thức (7.12), ta được: ey = 11.85

a= x (7.18)

So sánh các phương trình cơ bản của bài tốn dan nhớt tuyến tính

đẳng hướng với các phương trình ed bản của bài tốn đàn hỗi tuyến tính đẳng hướng ta thấy chúng đồng nhất với nhau về mặt hình thức, do đĩ ta tìm được nghiệm ảnh của bài tốn đàn nhớt như đã tìm nghiệm ở bài

tốn đàn hỏi Nĩi cách khác, khi vặt thể đàn nhĩt tuyến tính đẳng

hướng cùng kích thước, cùng điều kiện biên (cùng điều kiện đầu) với vật

thể đàn hẻi tuyến tính thì nghiệm ảnh của bài tốn đàn nhớt là đẳng nhất về mặt hình thức với nghiệm của bài tốn đàn hồi

Từ nghiệm ảnh của vật dan nhớt tuyến tính, ta dùng phép biến đổi ngược ta sẽ xác định được nghiệm của bài tốn đàn nhất

Để làm rõ thêm ta lày ví đụ về cách giải bài tốn theo phương pháp chuyển vị Trong lý thuyết đàn hỏi tuyến tính, như đã biết xuất phát từ các phương trình cân bằng Naviê (1.19) bằng cách biểu điễn ứng suất qua biến dạng nhà các phương trình Cauchy ta nhận được 3

phương trình chu

dang viét gon sau:

sn động Lamé véi 3 an sé chuyén vi - u, v, w audi 2 & Veu, + (A+ W— +f, = u i tay, : Pat trong đĩ VỶ- tốn tử Laplax, 9 - độ đãn thể tích ty ddi, O=6,, tey, ten =a, +e, +8, f,- thanh phần lực thể tích

ụ, - các thành phân chuyển vị (u, v, w)

Ð - khối lượng riêng

Trang 18

Đối với vật đàn nhát tuyến tính đẳng hướng:

Từ hệ phương trình chuyển động, phương trình liên hệ giữa biến

đạng chuyển vị và sử đụng quan hệ giữa ứng suất và biến đạng theo (6.15) Sau khi tính tốn ta nhận được hệ phương trình chuyển động sau: 9 5 ae P,(D) ¬ „1 3P,(0›.P.Đ)+P,(Đ).P,(Đ) ¿9 +f =p (720) 2.P,(D) 6 P,(D).P,(D) ex, at? i=1,9, 8 Trong đĩ ký hiệu: P,m D)=—— — P,(D).P, (D) - P,(D) P,(D) Tỉ x0 = ThS ha 21 ») 3P,(D).P,(D) (een Biểu thức (7.20) trở thành: w(D).V2u, + (A(D) + (Dy +f, (7.39) Ox,

Gia thiét cdc diéu kién ban đầu là bằng khéng u(x, s) = uy(x,s) = 0, sau khi tién hanh phép chuyén déi Laplat — xo déi với các phương trình

(7.19), (7.22), ta nhận được các phương trình sau: Từ (7.19), ta cĩ: u.V?u, teu ee sh = pp ui (7.23) ox ' và từ (7.35), ta được: 26 Ríp).V?uU¡ +(10) + hp) + fi — pp?ui (7.24) ex,

trong đĩ: À, tỏ phương trình (7.23) là các hãng so Lamé

Con trong phương trình (7.33, 2p) wtp) la cde bam số của p:

Pip) Đạp) ~ Pat) Pulp)

¬— ` `

Trang 19

Ta thấy nhờ phép biến đổi Laplax, các phương trình chuyển động ở

vật đàn nhớt tuyến tính đẳng hướng khơng lão hố là đồng nhất hình

thức với vật liệu đàn hỏi tuyến tính đẳng hướng Sự khác nhau giữa

chúng chỉ ở gid tri A, pw

De đĩ khi hai vật thể cùng kích thước, cùng các điểu kiện biên ban đầu, cùng chịu tải trọng ngồi như nhau nghiệm ảnh của bài tốn vật thé dan nhét sé giống như nghiệm của bài tốn đàn hồi

Nếu trong vật đàn nhớt, ta sử dụng biểu thức liên hệ giữa ứng

suất và biến đạng theo (5.52) thi Jam tương tự như trên, ta nhận được hệ phương trình chuyển động sau:

e A?

J aŒ-t)-2 Vu, +[b@~+a@œ- 0T S de+f, =p——t (7.25) 5 ot At ox ‘

Sau khi tiến hành phép chuyển đổi Laplax, với các điều kiện ban đầu bằng khơng, ta nhận được hệ phương trình cĩ dạng:

wp) V2 ai + A(p) + Hoy +f = ppui

trong đĩ

u(p) = p.b(p) (7.26) n(p) = p.a(p) 7.27)

§2 TINH CAC GIA TRI ECP), G(P), v(P) VA K(P)

1 Tinh gia tri E(p)

Trong nhiều bài tốn kỹ thuật, người ta thưởng sử dụng hang sé

médun đàn hồi khi kéo E Để thuận tiện sử dụng sau này ta tìm quan hệ giữa E(p) với các gia tri A(p), u(p)

Xuất phát từ định luật Huc ở trạng thái đơn ta cĩ:

+ Đối vải vật thể đàn hải:

ø¿= Ee,= po

ox

Sau khi tiến hành phép chuyển đổi Laplax, ta cĩ:

Trang 20

Êu(x, bì

GŒ pb)= B sĩc p) = BE a

(x, p) e (x, p) ox (ay

+ Cồn ở vật đàn nhĩt cĩ dang:

os, p)= Eip.8 (x, p)= Be) S&P tỳ

Sự khác nhau ở chỗ: đối với vật đàn hồi tuyến tính, mâđưn đàn hồi E Ja hang sé cha vật liệu Cịn E() trong biểu thức (b) là hàm số của

thơng số p

Để xác định giá trị E (p) ta dựa vào điều kiện sau:

Ứng suất ở trạng thái don gid sti lA a

Đối với vật thế đàn hỏi ta cĩ:

Oy, = Oy, = EL 8s Gag = Og, F Ops = Gry = Sy, =O

Đối với vật đàn nhớt theo phương trinh (2.1), sau khi thue hiện

phép biến đổi Laplax ta cĩ:

Ø®) = A(p).ð + 30(B).£n(p)

Ø„;Íp) = À(p).6 + 2u(p).ss›(p) = 0 ©

Sah) = X(p).6 + 2n(p).em(p) = 0

Cộng từng về của phương trình trên ta được:

Gulp) + Øø(p) + Gaa(p) = 6, = |B.A(p) + 2n(p)] B(p) (a)

Suy ra: O(p) = oP) (e) 3À@) + 3p) Thay (e) vào phương trình thứ nhất của (c) ta được: #Œ)|3X@) + 30c t@ A(p) + wip) Bp = Mesh) A(p) + pp) + 260) 498)

"Thay các giá trị A(p), u(p) theo cdc cong thite (7.21), ta được giá

tri E(p) tinh theo P,(p), Pp) P.(p), P.(p):

Trang 21

3P,0).P,0œ)

E 1) = SB pyP p) To tw) « Pp) Pap)

2 Tinh các gia tri G(p), vip) va K(p)

Cac gia tri Gp), víp), Kap) lý luận tương tự và sau khi thực hiện

phép biến đổi Laplax ta được: G@œ) - nữ) (7.30) vip) = —— (130 p)- a@)} (7.382) Kp) = a(ph + §3 CAC Vi DU

Vide I: Uén thuan tuy một thanh hình trụ, Két bài tốn uốn thuần tuý như hinh 7.2 Hình 7.2 Memen uỏn tập trung đặt ở thời điểm È.và giữ khơng đái: M(t) = M% - tà

ov, oz It hệ trục quan tinh chính trung tam Mémen udn nam trong mat phang chinh trung tam xoy Vat liéu dan nhĩt tuyến tinh đồng nhất đẳng hướng Tìm su phan bé ting suat teén mat cdt ngang chuyển vị là hàm của toạ độ x, yz va that gian

Trang 22

Lời giải

Để giải bài tốn này chúng ta cĩ thể sử dụng lý thuyết của sự tương ứng Theo lý thuyết đản hồi nghiệm bài tốn này là đuy nhất và

được viết như sau:

- Đối với những ứng suất:

O = ay các ting suat khac oj = 0 - Đối với những biến dạng «oT vụ byy = vagy các biến dạng khác s¡ = 0 - đốc quay của mật cắt ngang x =Ý đối với mặt cắt x = 0 gia định là ngàm chặt là; Độ cong của đường trục thanh: *F ĐI

Trang 23

- Đối với các chuyển vị: ~_ M4 U =-—yx EI g.Al EI 2 < yM z.-y EI 4 w-oM,y EI - Gác quay của mặt cắt ngang x = 1 déi với mặt cắt x = 0 giả định ]à ngàm chặt là: = Mi oO3; =-= EI Độ cong của đường trục thanh =_—M x=-=— EI Trong dé: Ki hiéu (— ) 4 trén 1A anh của đại lượng theo phép biến đổi Cacxơng Ta cĩ thể trở lại hàm gốc (hàm của thời gian 9) khơng khĩ khăn bằng các chú ý sau: + Hàm gốc của M = M; hay M =M,.h@) + Hàm gốc của — là f() + Hàm gốc của = là m(Œ).ft) iÍ<l mị| = Trong dé: f(t) A ham rao mŒ) là tỷ số Poatxơng, mŒ) = —

“Trong các thí nghiệm rão kéo hay nến đơn (trong đĩ chỉ ứng suất @u khác khơng) Chỉ số này thường được giái thiết là hằng số m(t, 0) = v

Trang 24

Thay vào, ta nhận được các biểu thức là hàm của thời gian: M° + Ứng suất: o,,= >: y.hŒ) các ứng suất khác ø,(t) = 0 + Các biến dạng: M? &,,(t) = - -y-f(t) 6 en(t) = ex) = yw = veut + Chuyén vi: 0 u(t) = a „y.x.fŒ) ũ wit) = wy -2.V £0) + Gée quay cla mat cat ngang x = 1 déi vdi mat cdt x = 0: 6 0, = XE } RÐ 1 + Độ cong đường trục thanh: Me d= FM)

Hàm rão f() được xác định từ thí nghiệm rão khi kéo nén đơn, Nếu chọn vật liệu theo một mơ hình nào đĩ thì ta sẽ lấy hàm rão của mơ

hình đĩ

Ví dụ, chọn mơ hinh Thomson thi ham rao:

f(t) = Kê! mỆ Ì

Trang 25

a \

fs (ty)

£,(t) = €,(t) = -—.y.v EE poet]

Vi du 2 Dao động doc

Xét phương trình đao động đọc của thanh cĩ tiết điện khơng đổi

làm từ vật liệu đàn nhĩt tuyến tình khơng lấp hố đẳng hướng, chịu tải

trọng phân bế dọc thanh chịu cường độ q(, t) Bài giải Tách từ thanh ra một phân tố dx (hình 7.3) Trên phân tế cĩ các lực tác dụng sau: qúx, ).Fdx Hình 73 + Lực đọc: N, =6,.F nN? ale, + SeaxlF &x |} + Luc tac động: q(x, t).F.dx + Lue quan tinh - p.—.F dx êt

Tổng hình chiếu các lực xuống phương x sau khi tính tốn ta nhận được phương trình chuyển động:

(a)

trong đĩ: ø, - ứng suất pháp

 - điện tích mặt cất ngang

p - khối lượng riêng

U - chuyển vị theo phương x

Trang 26

Phương trình (a) đúng cá cho vật thể đàn hồi và đàn nhớt Giá

thiết điều kiện ban đầu là: u(x, 0) = f(x) w(x, 0) = gfx) ®) Tiến hành phép chuyển đối Laplax cho phương trình (a), ta được: —= 5 .nsẽ Trong đĩ:

+ Đối với vật thể đàn hổi: 2, p)=E.ẽ(,p)=E sứ yp @

B~ mơđun đàn hồi kéo — nén la hang sé

“Thay (đ) vào (c) ta nhận được phương trình: cá (SP) -p”u(,p)= ha + pf(x)+g(x) dx? P Trong đĩ c= ° Pp + Đối với vật đàn nhớt: = Ba =) du,

o(x, p) = E(p).e & p) = E(p) xo p) (e)

Eq) la ham số của thời gian p

Trang 27

Phuong trinh (g) hồn tồn tương tự phương trình đao động đọc du a rT của thanh từ vật liệu đàn hải, sự khác nhau chỉ ở chỗ hệ số của dx vật thể đàn hỏi hệ số C? = ° là hằng số, cịn trong vật đàn nhát tuyến p

tính khơng lão hố thì C?@) là hàm của thơng số p Da đĩ phương pháp giải bài tốn đao động đọc ở vật đàn nhớt tuyến tính, về mặt tốn bọc được nghiên cứu tương tự như vật đàn hồi tuyến tính với các điều kiện

Trang 28

Trường hợp vật khơng nén khi dé K > x vav= tole Biểu thức (Œ) trở thành: tứ _ BC tp = Ea +E?p) = Œ,(1+ p) Đ Pp p Trong đĩ C — tốc độ lan truyền sĩng trong vật thể đàn hỏi tuyến tính 0 Đặt YẠ=d„C? và pạ= tot Thi ———————— pe +a? C?(p) p® + 2pB,y, +75

Sau khi tiến hành phép biến đổi Laplax nghịch () ta tìm được giá tri u(x, t) cé dang:

— [sina du ]ae,D.e f9t°9 sinfy, fi =B, tt ð]Ret

0 ũ

Lsm|y, taÏï- Ba | fre sina, £dé +

=1 sin| t.ự1-} } lo, sina, £.d&

we), 1-B2 > 90

7

Ví dự 3 Dao động ngang của đầm

Xết phương trình đao động ngang của đầm cĩ tiết điện khơng đổi

Trang 30

Phương trình (a) đúng cho cA vat thé dan héi và vật thể đàn nhát Tiên hành phép biến đổi Laplax với các điểu kién ban dau y(x, 0); y¥ (x, 0), ta duge: + Vật đàn hỏi: edly + pty _ axt) ax! m + Vat dan nhút: Chi can thay e(p) JA mét ham của thơng số p, khi đĩ ta cĩ phưdng trinh: (b) + py (x 0) + #ÚX,Ơ aly _ ep) Y+pty =4 qĨc BEEP) yn ex, 0) + ¥(x.0) (ec) x m Trong dé “ I e(p) = El (dy m Bt ).|3A(p)+ 92 7 Ew) = Hp Ríp.BA4m) + 29] mm] ta +) + Hứ) Ví dụ

Cho dam cĩ chiều đài 1, chịu đao động cưỡng bức với lực kích thích

phan tố q(x, 0), điều kiện ban dau y(x, 0) = f(x); ¥ (x 0) = g(x) Tim gia trị vœ.Ð

Bài giải

Để giải phưảng trình (e) cĩ nhiều cách, ở day ta sẽ sử đụng phương pháp thơng dung trong kỹ thuật Giá sử các hàm y(x, p): ï gỚI tử

Trang 31

Trồng dé ham y,(x) la cac ham trực giao được xác định từ phương trình sau: ay, ax* ~Aty,=0 ( Trong dé: Thay gia tri (£) vao (c) ta duge: [e*(p) M4, + p?.F„@0) = pip) + pf + Bn Từ đĩ: -p, (p) + Pf, +8, lz|— F(p) = cŠ(p).À} +pP ®)

Thay (h) vào phương trình đầu của (e) ta được:

s y(X.p) = và 21p AT + x 1 PạŒœ) + pí, +8 Se Sa EEE ETO yuÉ @ : Hoặc viết: 1 Le ya(®)| q(9,p) y(u),du yixp) =— >) -0 mad c'{p) AA +p? y,(x)|p jee ).¥,(u).du + Jato, y,(u) | + ơ_- * c?(pỡ.AĐ +pŸ

Trang 32

Thay vao ta dude:

0 ep) = = = tr

8+ +E att py) +9

Thay (k) vao 0) và tiến hành phép biến đổi Laplax nghịch ta tìm

dude ham y(x, t)

Trường hợp vật khĩng nén, khi d6 k > x» thi y= s

Gid tri c°(p) dua vé dang: ¢(p) = SIG 4 tp) @® m Thay giá trị 3G = E ta được: 3) EI a e(p) = — (1 + tp) m (m) Thay (m) vào 0) sau khi thực hiện phép biến đối Laplax nghịch, ta được: T1 [r.v, (u).du oO | sin| rat 1-B, +0, |e Yn y(x, t) = Sy, (x) sin( yt y1- pe le ị nel art Yn (1-B2) 9 sin] (t= +) ý1<f; Lát to Yn(O = [vata 1).e Priel “| ) Yat y 3 OF 2 =———;¿ † =Œa ¿ tọa = aret, É, = TT: Ta =5 ys @ oe (0)

Nghiệm bài tốn đàn hồi tuyến tính tìm được bằng cách cho t = 0 trong hệ phương trình (o)

Trang 33

Ví dụ 4 Dao động của tấm

Phương trình vi phân đao động của tăm mỏng hình chữ nhật làm từ vật liệu đàn nhớt tuyến tính, khơng lão hố, đẳng hưởng, chịu tải trọng kích thích phản tế cĩ cường độ q(y Ð)

Tach tit tim ra mét phân tế (hình 7.5) Phân tố chịu tác động của các thành phần nội lực, ngoại lực sau:

+M,, M, - màmen uốn trên một đơn vị chiều dài

+ M,, M - mơmen xoắn trên một đơn vị chiều dai

Trang 34

Xét sự cân bằng của phần tố, làm tương tự như đối với vật thể đàn

hải, sau khi tính tốn ta nhận được phương trình vì phản chuyển động Sau: ^> é ate

D.Viwix, y, t) + ph fs a(x, y t) (a)

Các nội lực được xác định bằng các biểu thức sau: ơ w(x,y) wx, y) — OF Mts, y) = - ox ey M@&, y) = -D M, =M =-DQ -v) ơ w@y) w(x y) v ê*w(x,y} Q=-D ‘ ox xây” 7 ` ° ey" ox ey trong đĩ w(x, y, Ð - chuyển vị của mặt nào đĩ trên mặt trung gian; - “ Eh? D- độ cứng trụ của tấm, D = ee, dw) h - bể đày tam mang v- hệ số biến đạng ngang ø - khối lượng riêng vie fy xẻ éx* ơx?ây? — ây!

Phương trình (a) đứng cho cả vật đàn hi và đàn nhái Áp đụng phếp biến đối Laplax đối với phương trình (a)

Với điều kiện ban đầu W(x, y,0) =fx,v) — W@X,y,0)= g(x, y) Ta được:

Trang 35

Hoặc pW + pW —pftg= —

el

Đối với vật thể đàn hỏi tuyến tính D là hằng số con Đối với vật

đàn nhớt tuyến tính thì D là hàm của thơng số p Giá trị D(œ) được tính như sau: + Ổ vật đần hồi p=_—Ph „2Ø hí 1381-v?) (1~v) 12 4 p= EGA 2H) vì vày 26 4 Ath ry ve A BL 2(A +p) X+_ụ q-v) A^+2u + Ở vật đàn nhớt, ta thay các giá trị D và v là hàm của thơng số p áp dụng tưng tự ta được: = D(p) = 4u(p) Pte) ~ Mp) +A) OMT) + Bute) W@=_——MÐ_ — afin + ney] Nếu tính quan hệ giữa ứng suất biến dạng theo (6.15) thì ta cĩ: Dw) = bY P.(p) 2P, (p) P, (p) +P, (p) Py (p) 12 P@œ) P;@œ).P,í) + 3P;(p).Pạ() - Tị0).P,@) - P;(@).P; 0) 2P, (p).P,(p) + P,(p) Pa (p) víp)

Nếu tính quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo (5.52) thì ta cĩ:

Trang 36

vị ab 5 J [aE NP) Wye Gn) d5-dy + oo He nộ W,„„(, n) đề, dn + Ígem ẤW„„„ (6,1) đề dn (g) Trong dé:

(x, y) là hàm trực giao được xác định từ phương trình:

VAW,-A2„W,¿„=Ơ num ¥¥ am (hy

Wm

(@®

Thực hiện phép biến đổi Laplax nghịch phương trình (g) ta nhận được gia tri W(x, y, t)

Vi du

Nhằm minh hoạ đơn giản ta xét trường hợp vật khơng nén Œ -> œ;

al Y= 5) Rhi ds, theo (e): Dip) = = Pp h® 2P,(p) 6 vat Voigt — Kelvin, thay vào ta được: 4 8 Dip) = SEG + tp) =a + ep) Trong đĩ D là độ cứng trụ của tấm đàn hồi khi v ¬ Trường hợp này ta cĩ: Mam CCD) = £°(P) = Ogg (1 + tp) (m)

dum là tần số dao động riêng của vat dan héi khi v =1,

Thay (m) vào (g) sử đụng phương pháp déi Laplax nghich, sau khi tính tốn ta được:

Trang 38

Chuong 8

SU LAN TRUYEN SONG TRONG VAT DAN NHOT

§1 SỰ LAN TRUYEN SONG HINH SIN DOC TRONG THANH MONG TỪ

VAT LEU DAN NHOT

Chúng ta đã biết về su Jan truyén séng hinh sin doc trong thanh 6 vật liệu đàn hồi, trong phần này ta chủ yếu xét ảnh hưởng của sự tán

sắc trong vật liệu đàn nhớt,

Giá thiết thanh rất mảnh và ứng suất là bé để cĩ thể bế qua sự thay đổi hình dáng, VỊ trí mặt cắt ngang của thanh được xác định bởi toạ độ x, chuyển vị của tiết điện là uŒœ,Щ, (hình 8,1) y+ 2 a Ro mm * Be ey : 6+ a F (5+ 5 #5) t me ett

Hình 8.1 Biến dạng của thanh mỏng gây nên bởi sĩng đọc Kí hiệu như sau:

# - diện tích mặt cắt ngang

ø - ứng suất pháp

ø - khối lượng riêng

Trang 39

Phương trình cần bằng chuyển động của một phản tế chiếu trên

trục x cĩ dạng:

(81)

Suy ra (8.2)

Đối với các vật liệu cĩ những quan hệ giữa ứng suất, biến dạng

Trang 40

eH 3 _ [te % 2 | , +“ Yeo L 4 œ6 ° ? |r L—] Ì | aw 8 H 2 3 + 5 6

Hình 8,2 Sự phụ thuộc tốc độ và hệ số của mé hinh Kelvin-Voigt

Đối với sĩng hình sin cĩ biên độ ban đầu la A, tan số là = thì Qn nghiệm phương trình (8.6) cĩ đạng: x) u(x, t) = A.e™.exp io _— | (8.7) Nữ trong đĩ b - hệ số giảm chấn; c - tốc độ pha của sĩng