GIÁO ÁN SỐ ĐH A2 Số tiết TÊN BÀI GIẢNG: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH(TT) MỤC ĐÍCH: - Hiểu vận dụng đònh lý Kronecker-Capelli để giải hệ phương trình tuyến tính - Nắm đònh lý nghiệm hệ phương trình tuyến tính TT NỘI DUNG GIẢNG DẠY TG P.PHÁP 2.2 Đònh lý hệ phương trình sở 15’ Diễn giải Hệ phương trình đại số tuyến tính tương đương với hệ phương trình sở * Giới thiệu hệ phương trình sở: Nếu r (A) = r, chọn đònh thức ~ sở A = [ A | B] , ta có hàng sở tương ứng Hệ gồm r phương trình hệ mà hệ số chưa hệ số hàng sở gọi hệ phương trình sở hệ cho * Chứng minh: + Mọi nghiệm hệ cho hiển nhiên nghiệm hệ sở ~ + Mỗi hàng A tổ hợp tuyến tính hàng sở Như phương trình hệ cho thu phép toán tuyến tính từ hệ sở => Mọi nghiệm hệ sở nghiệm hệ cho 30’ Diễn giải 2.3 Đònh lý Kronecker Capelli: ~ Hệ phương trình AX = B tương thích r (A) = r ( A ) với ~ A = [ A | B] ~ Nếu r (A) = r ( A ) = n: hệ có nghiệm ~ Nếu r (A) = r ( A ) < n: hệ có vô số nghiệm * Chứng minh: i) Điều kiện cần: Cho hệ phương trình tương thích, tức có nghiệm x = c1, x2 = c2, ……, xn = cn, cho: a i1 c1 + a i c + + a in c n = bi ; Suy i = 1, m a1n b1 a11 a12 a b a a 21 22 c1 + c2 + + c n n = a m1 a m a mn bm ~ Như cột cuối ma trận mở rộng A tổ hợp tuyến ~ tính cột trước đó, nên ta bỏ được, ta có r ( A ) = r (A) ~ ii) Điều kiện cần: Cho r ( A ) = r (A), ta tách r cột sở ma trận A; r( ~ ~ A ) = r (A) nên chúng r cột sở A Không giảm tính tổng quát, sử dụng r cột đầu r cột sở Như Giải thích ~ cột cuối ma trận A tổ hợp tuyến tính r cột đầu Do ta tìm số c1, c2,…, cr cho: a11 a12 a1r b1 a a a b 21 22 c1 + c2 + + c r r = a m1 a m a mr bm c1 a i1 + c a i + + c r a ir = bi ; i = 1, m Suy ra: Đặt x1 = c1, x2 = c2, ……, xr = cr, xr+1 = …… = xn = Ta có: c1ai1 + c2ai2 + …… + crair + …… + cnain = bi Nghóa (c1, c2, ……, cr, 0, 0,…, 0) nghiệm hệ cho, hệ số cho tương thích Bây xét hệ phương trình sở ~ a11 x1 + a12 x + + a1n x n = b1 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n a r1 x1 + a r x + + a rn x n = br (*) * Nếu r ( A ) = r (A) = r = n Thì hệ (*) hệ có n phương trình, n ẩn, đònh thức hệ khác nên theo đònh lý Cramer, hệ (*) có nghiện nhất, hệ cho có nghiệm ~ * Nếu r ( A ) = r (A) = r < n Ta có: a11 x1 + a12 x + + a1r x r = b1 − a1( r +1) x r +1 − − a1n x n a 21 x1 + a 22 x + + a r x r = b2 − a ( r +1) x r +1 − − a n x n Hệ (*) ⇔ a r1 x1 + a r x + + a n x r = br − a r ( r +1) x r +1 − − a rn Cho ẩn xr+1,…, xn giá trò cr+1,…, cn ∈ R tùy ý (các ẩn tự do) hệ (*) hệ Cramer có nghiệm x = c1, x2 = c2,…, xr = cr, (những ci, i = 1,n phụ thuộc vào cr+1,…, cn) (c1, c2…, cr, cr+1,…, cn) nghiệm (*), nghiện hệ cho Vì cr+1,…, cn chọn tùy ý nên hệ cho có vô số nghiệm §3 Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 10’ ~ * B1: Thực phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận A = [ A | B] ~ dạng ma trận bậc thang, từ xác đònh r (A) r ( A ) * B2: Dùng đònh lý Kronecker Capelli để xét tương thích hệ Nếu r (A) < r (A’) : kết luận hệ vô nghiệm Nếu r (A) = r (A’) : qua bước * B3: Giải hệ phương trình sở để tìm nghiệm (số hàng khác không) - Các ví dụ 1, 2, giáo trình trang 81, 82, 83 25’ Hướng dẫn - Bài tập: 123, 125, 127, 138, 139, 145, 148 trang 98, 99, 100 60’ giải §4 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có dạng AX = A∈Mmxn, X∈ Mnx1 Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường (0, 0, 0, …, 0) Như hệ phương trình tuyến tính tương thích 4.1 Đònh lý 1: Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm không tầm thường r (A) < n Đònh lý hệ đònh lý Kronecker Capelli Từ đònh lý 1, ta có hệ sau: * Hệ 1: Hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình bé số ẩn có nghiệm khác không * Hệ 2: Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình số ẩn có nghiệm khác không đònh thức hệ (Vì r (A) < n ⇔ det A = 0) 4.2 Đònh lý 2: Nếu vectơ cột C1, C2…, Cn nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = ô«3 hợp tuyến tính C = λC1 + A2C2 +… + AnCn nghiệm hệ Chứng minh: C1, C2…, Cn nghiệm hệ nên ta có: AC1 = AC2 = ……= ACn = Từ suy AC = 0, suy C nghiệm hệ Đònh lý 3: Nghiệm tổng quát hệ phương trình tuyến tính hạng r n ẩn số có dạng λ1C1+ λ2C2 +…… + λCn-r C1, C2…, Cn-r nghiệm riêng độc lập tuyến tính λ1, λ2…, λh-r số thực Các nghiệm C1, C2…, Cn-r gọi hệ nghiệm sở 5’ Diễn giải 10’ Giải thích 5’ 5’ 10’ Giải thích 10’ Giới thiệu tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính Lưu ý r