Nón lùi xa của tập lồi và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN THỊ NHÂM NÓN LÙI XA CỦA TẬP LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phan Thị Nhâm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:" Nón lùi xa tập lồi ứng dụng " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phan Thị Nhâm Mục lục Mở đầu Kiến thức 1.1 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi Phần tương đối 12 Nón lùi xa tập lồi 13 2.1 Nón lùi xa 13 2.2 Tính không rỗng giao tập đóng 18 2.3 Tính đóng phép biến đổi tuyến tính 28 Ứng dụng vào lý thuyết tối ưu 32 3.1 Sự tồn nghiệm toán tối ưu lồi 33 3.2 Tập nghiệm tối ưu không bị chặn 3.3 Cực tiểu hóa số hàm lồi đặc biệt 37 Kết luận 35 44 Tài liệu tham khảo 45 Ký hiệu R Tập số thực φ Tập rỗng · Chuẩn ∩ Giao ∪ Hợp ∇f (x) A+B ∇2 f (x) AC Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu ngành toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích không gian tuyến tính Đặc biệt việc ứng dụng giải tích lồi vào nghiên cứu lý thuyết toán tối ưu hóa – toán cực trị Như biết, tối ưu hóa lĩnh vực kinh điển Toán học có ảnh hưởng tới hầu hết lĩnh vực khoa học- công nghệ kinh tế - xã hội Trong thực tế, việc tìm giải pháp tồn nghiệm tối ưu cho vấn đề chiếm vai trò quan trọng Với lý kể chọn đề tài " Nón lùi xa tập lồi ứng dụng " làm luận văn Thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu khái niệm nón lùi xa tập lồi dựa vào nghiên cứu tồn nghiệm toán tối ưu Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm nón lùi xa tập lồi không gian hữu hạn chiều ứng dụng phương lùi xa việc nghiên cứu tồn nghiệm toán tối ưu 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nón lùi xa tập lồi không gian Euclid hữu hạn chiều Sau đó, dựa vào lý thuyết nón lùi xa kiến thức tập lồi, hàm lồi khẳng định tồn nghiệm toán tối ưu Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng kiến thức tập lồi, hàm lồi để phát triển kiến thức nón lùi xa ứng dụng vào việc khẳng định tồn nghiệm toán tối ưu Đóng góp Luận văn cố gắng tổng quan khái niệm nón lùi xa tập lồi ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm toán tối ưu Chương Kiến thức Chương trình bày số kiến thức của: tập lồi, hàm lồi, phần tương đối Những kiến thức sử dụng để trình bày khái niệm tính chất quan trọng nón lùi xa ứng dụng tối ưu hóa Các khái niệm ta tìm thấy [1] [3] 1.1 1.1.1 Tập lồi hàm lồi Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi nếu: αx + (1 − α)y ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] (1.1) Chú ý : Quy ước tập φ tập lồi Mệnh đề sau đưa vài phép toán tập lồi Mệnh đề 1.1.1 ( [3], Proposition 1.2.1, p.21): (a) Giả sử Ci ⊂ Rn (i ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi tập ∩i∈I Ci tập lồi (b) Giả sử C1 C2 hai tập lồi Khi tổng vectơ C1 + C2 tập lồi (c) Tập λC tập lồi với tập lồi C với λ thuộc R Ngoài ra, C tập lồi λ1 , λ2 thuộc R+ ta có: (λ1 + λ2 )C = λ1 C + λ2 C (d) Bao đóng phần tập lồi tập lồi (e) Ảnh nghịch ảnh tập lồi hàm affin tập lồi Chứng minh : (a) Lấy x, y ∈ ∩i∈I Ci Khi x, y ∈ Ci với i ∈ I , Ci lồi, cho nên: αx + (1 − α)y ∈ Ci (với α ∈ [0, 1]) ⇒ αx + (1 − α)y ∈ ∩i∈I Ci (1.2) (1.3) Do đó, theo định nghĩa ∩i∈I Ci tập lồi (b) Lấy x1 + x2 y1 + y2 thuộc C1 + C2 ( x1 , y1 ∈ C1 x2 , y2 ∈ C2 ) Khi đó, ta có : α(x1 + x2 ) + (1 − α)(y1 + y2 ) = (αx1 + (1 − α)y1 ) + (αx2 + (1 − α)y2 ) Do C1 C2 lồi, vectơ ngoặc đơn vế phải thuộc C1 C2 suy tổng chúng thuộc C1 + C2 Do C1 + C2 tập lồi (d) Lấy x, y từ bao đóng C dãy {xk } ⊂ C, {yk } ⊂ C cho {xk } → x, {yk } → y Do C tập lồi ta có: ∀α ∈ [0, 1] dãy {αxk + (1 − α)yk } thuộc C hội tụ tới {αx + (1 − α)y} Do {αx + (1 − α)y} thuộc bao đóng C điều chứng tỏ bao đóng C tập lồi Tương tự, ta lấy x, y thuộc phần C xét hình cầu mở có tâm x y có bán kính r đủ nhỏ cho chúng nằm C Với α ∈ [0, 1] xét hình cầu mở với bán kính r xác định tâm {αx + (1 − α)y} Bất kỳ điểm nằm hình cầu n αx + (1 − α)y + z thuộc C , z = 1/2 |zi | < r có i=1 thể biểu thị kết hợp lồi α(x + z) + (1 − α)(y + z) vectơ thuộc C , x + z y + z Do {αx + (1 − α)y} thuộc phần C điều chứng tỏ phần C tập lồi 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.1.2 Cho C ⊂ Rn tập lồi Một hàm f : C → R gọi lồi nếu: f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] (1.4) Một hàm lồi f : C → R gọi lồi ngặt bất đẳng thức (1.4) ngặt với x, y ∈ C x = y , ∀α ∈ [0, 1] Hàm f : C → R gọi lõm , với C tập lồi, −f hàm lồi Định nghĩa 1.1.3 Cho C X hai tập Rn cho C tập không rỗng lồi, C ⊂ X Một hàm f : C → R gọi lồi C (1.4) nghiệm đúng, tức f trở thành hàm lồi miền xác định f hạn chế C Nếu f : C → R hàm γ thuộc R, tập {x ∈ C | f (x) ≤ γ} {x ∈ C | f (x) < γ} gọi tập mức hàm f Nếu f hàm lồi, tất tập mức tập lồi Thật vậy, x, y ∈ C cho f (x) ≤ γ f (y) ≤ γ , C tập lồi với α ∈ [0, 1] ta có: αx + (1 − α)y ∈ C f lồi αγ + (1 − α)γ = γ ta có: f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ≤ γ ⇒ αx + (1 − α)y ∈ {x ∈ C | f (x) ≤ γ} ⇒ {x ∈ C | f (x) ≤ γ} (1.5) Chứng minh tương tự ta có {x ∈ C | f (x) < γ} lồi Lưu ý, tập mức hàm lồi chưa hàm lồi Ví dụ: hàm f (x) = |x| có tập Chứng minh Cho C tích Đề C1 × × Cm xem tập Rm n cho A phép biển đổi tuyến tính ánh xạ vetơ (x1 , , xm ) ∈ Rm n vào x1 + + xm Khi thử lại C đóng lồi Ta có RC = RC1 × × RCm N (A) = {(y1 , , ym ) |y1 + + ym = 0, yi ∈ Rn } Dưới điều kiện cho, ta thu RC ∩ N (A) = {0} Bởi AC = C1 + + Cm , kết suy từ mệnh đề 2.3.1 Kết luận chương Chương trình bày số kiến thức nón lùi xa: Phương lùi xa Tập tuyến tính Tính không rỗng giao tập đóng Tính đóng phép biến đổi tuyến tính 31 Chương Ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Sự tồn nghiệm tối ưu toán tối ưu lồi phân tích cách sử dụng lý thuyết nón lùi xa phát triển chương Một hàm lồi mô tả xét mặt đồ thị mà đồ thị tập lồi Nón lùi xa đồ thị sử dụng để thu phương với hàm đơn điệu giảm Những kiến thức lấy từ [3] Mệnh đề 3.0.3 ( [3], Proposition 2.3.1, p.93) Cho f : Rn → (−∞, ∞] hàm lồi thật đóng xét tập mức Vγ = {x | f (x) ≤ γ}, γ thuộc Rn Khi đó: (a) Tất tập mức không rỗng Vγ có nón lùi xa, xác định RVγ = y | (y, 0) ∈ Repi(f ) đó, Repi(f ) nón lùi xa đồ thị f (b) Nếu tập mức không rỗng Vγ compact, tất tập mức Vγ compact Chứng minh (a) Cố định γ cho Vγ không rỗng Cho y vectơ nón lùi xa RVγ Khi đó, ta có f (x + αy) ≤ γ với x ∈ RVγ α ≥ 0, (x + αy, γ) ∈ epi(f ) với α ≥ Theo đó, sử dụng mệnh đề 2.1.1(b),(y, 0) ∈ Repi(f ) , 32 RVγ ⊂ y | (y, 0) ∈ Repi(f ) Ngược lại, cho (0, y) ∈ Repi(f ) , chọn vectơ (x, γ) ∈ epi(f ) Ta có (x + αy, γ) ∈ epi(f ) với α ≥ 0, f (x + αy) ≤ γ (x + αy) ∈ Vγ với α ≥ Theo mệnh đề 2.1.1(b) suy y ∈ RVγ Do RVγ ⊃ y | (y, 0) ∈ Repi(f ) (b) Từ mệnh đề 2.1.1(c), tập mức không rỗng Vγ compact nón lùi xa RVγ chứa phương khác Theo phần (a), tất tập mức không rỗng Vγ có nón lùi xa, số chúng compact tất chúng compact Định nghĩa 3.0.1 Cho hàm lồi thật f : Rn → (−∞, ∞], nón lùi xa tập mức khác rỗng Vγ = {x | f (x) ≤ γ}, với γ ∈ R gọi nón lùi xa f, kí hiệu Rf Mỗi y ∈ Rf gọi phương lùi xa f 3.1 Sự tồn nghiệm toán tối ưu lồi Ta thảo luận cách sử dụng phương nón lùi xa việc khẳng định tồn nghiệm toán tối ưu hóa lồi Từ kiến thức phương nón lùi xa đóng vai trò quan trọng việc tìm đặc trưng tồn nghiệm toán tối ưu lồi Mệnh đề 3.1.1 ( [3], Proposition 2.3.2, p.96) Cho tập X lồi đóng tập Rn cho hàm f : Rn → (−∞, ∞] hàm lồi đóng cho X ∩ dom(f ) = φ Tập điểm cực tiểu f X không rỗng compact X hàm f có chung phương lùi xa khác không 33 Chứng minh Cho X ∗ kí hiệu tập điểm cực tiểu f X Trước hết ta chứng minh kết cho trường hợp đặc biệt X = Rn Sau ta sử dụng kết trường hợp đặc biệt để chứng minh kết cho trường hợp tổng quát X = Rn Giả sử X = Rn Ta phải X ∗ không rỗng compact f có phương lùi xa khác Thực sự, X ∗ không rỗng compact, ta có X ∗ = {x | f (x) ≤ inf f (x), x ∈ Rn } nón lùi xa X ∗ f trùng nhau, bao gồm vectơ không X ∗ compact [mệnh đề 2.1.1(c)] Ngược lại, f có phương lùi xa khác không, tất tập mức không rỗng {x | f (x) ≤ γ} compact, X ∗ không rỗng compact theo định lý Weierstrass Xét trường hợp tổng quát X = Rn Ta đưa vào hàm f : Rn → (−∞, ∞] xác định f (x) = f (x), x ∈ X ∞, x ∈ /X Hàm đóng lồi, lồi thật đồ thị X ∩ dom(f ), không rỗng theo giả thiết Hơn nữa, tập điểm cực tiểu hóa f Rn X ∗ Theo kết trường hợp đặc biệt X = Rn , X ∗ không rỗng compact f có phương lùi xa khác không Thông qua đẳng thức sau X f có phương lùi xa khác không, với γ thuộc R, ta có x | f (x) ≤ γ = X ∩ {x | f (x) ≤ γ} thế, nón lùi xa hàm f , tập X hàm f có liên quan qua công thức Rf = RX ∩ Rf 34 3.2 Tập nghiệm tối ưu không bị chặn Chúng ra tập nghiệm tối ưu không không rỗng mà compact Trong phần ta điều kiện đảm bảo để đạt cực tiểu tập không bị chặn Mệnh đề 3.2.1 ( [3], Proposition 2.3.4, p.98) Cho tập X lồi đóng tập Rn , cho hàm f : R → (−∞, ∞] hàm lồi đóng cho X ∩ dom(f ) = φ kí hiệu f ∗ = inf x∈X f (x) Tập điểm cực tiểu f X không rỗng điều kiện sau: (1) RX ∩ Rf = LX ∩ Lf (2) RX ∩ Rf ⊂ Lf X định rõ ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính X = {x | aj , x ≤ bj , j = 1, , r} aj vectơ Rn bj thuộc R (3) f ∗ > −∞ , hàm f có dạng f (x) = x, Qx + c, x X có dạng X = {x | x, Qj x + aj , x + bj ≤ 0, j = 1, , r} Q Qj ma trận nửa xác định dương n × n, c aj vectơ Rn , bj thuộc R Dưới điều kiện (1), tập điểm cực tiểu có dạng X + (LX ∩ Lf ) X không rỗng tập compact Chứng minh Ta chọn dãy {γk } thuộc R cho γk ↓ f ∗ ta xét tập mức ( không rỗng) 35 Vk = {x ∈ Rn | f (x) ≤ γk } Dưới điều kiện (1)-(3), ta tập cực tiểu f X , X∗ = ∞ k=1 (X ∩ Vk ) không rỗng Cho điều kiện (1) cố định Các tập X ∩ Vk không rỗng, đóng, lồi lồng Hơn nữa, chúng có nón lùi xa RX ∩ Rf , tập tuyến tính LX ∩ Lf , giả định, RX ∩ Rf = LX ∩ Lf Theo mệnh đề 2.2.1 X ∗ không rỗng có dạng X ∗ = X + (LX ∩ Lf ) X không rỗng compact Cho điều kiện (2) cố định Các tập Vk lồng giao X ∩ Vk không rỗng với k Hơn nữa, tập Vk có nón lùi xa Rf tập tuyến tính Lf , giả định RX ∩ Rf ⊂ Lf X rõ ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Từ mệnh đề 2.2.2 suy X ∗ không rỗng Cho điều kiện (3) cố định Các tập Vk có dạng Vk = {x ∈ Rn | x, Qx + c, x ≤ γk } γk hội tụ đến f ∗ thuộc R Hơn nữa, X rõ bất đẳng thức lồi toàn phương, giao X ∩ Vk không rỗng với k Theo mệnh đề 2.2.3 suy X ∗ không rỗng Mệnh đề 3.2.2 ( [3], Proposition 2.3.5, p.101) Cho f : Rn → R hàm toàn phương có dạng f (x) = x, Qx + c, x Q ma trận nửa xác định dương n × n c vectơ Rn Cho X tập không rỗng có dạng 36 X = {x | Ax ≤ b} A ma trận m × n b vectơ Rm Ba điều sau tương đương (i) f đạt cực tiểu X (ii) f ∗ > −∞ (iii) Với y cho Ay ≤ y ∈ N (Q), ta có c, y ≥ Chứng minh Dễ thấy (i) kéo theo (iii) Ta (ii) kéo theo (iii) Với x ∈ X, y ∈ N (Q) với Ay ≤ α ≥ 0, ta có x + αy ∈ X f (x + αy) = x + αy, Q (x + αy) + c, x + αy = f (x) + α c, y Nếu c, y < 0, lim f (x + αy) = −∞ cho f ∗ = −∞, điều α→∞ mâu thuẫn với (ii) Do đó, (ii) kéo theo c, y ≥ với y ∈ N (Q) với Ay ≤ Ta (iii) kéo theo (i) Thật vậy, ta có RX = {y | Ay ≤ 0} Hơn nữa, y ∈ Rf , ta phải có y ∈ N (Q) c, y ≤ [ từ y ∈ N (Q) , f trở thành tuyến tính dọc phương y , f (x + αy) = f (x) + α c, y với x ∈ Rn α ∈ R ] Do Rf = N (Q) ∩ {y | c, y ≤ 0} cho RX ∩ Rf = {y | Ay ≤ 0} ∩ N (Q) ∩ {y | c, y ≤ 0} Trong điều kiện (iii), suy y ∈ RX ∩ Rf , ta có c, y = 0, f không đổi phương y Do đó, RX ∩ Rf ⊂ Lf f đạt cực tiểu X 3.3 Cực tiểu hóa số hàm lồi đặc biệt Trong phát triển lý thuyết cực tiểu, thường gặp hàm mà thu từ việc tối thiểu hóa phần hàm khác Cụ 37 thể, bắt đầu với hàm F : Rn+m → [−∞, ∞] có hai vectơ x ∈ Rn z ∈ Rm , ta xem xét hàm F : Rn → [−∞, ∞] cho f (x) = infz∈Rn F (x, z) Sau đó, thật hữu ích để kết luận tính chất f tính lồi tính đóng, từ tính chất tương đương F Mệnh đề 3.3.1 ( [3], Proposition 2.3.6, p.102) Cho F : Rn → [−∞, ∞] hàm lồi Khi hàm f cho f (x) = infz∈Rm F (x, z), x ∈ Rn lồi Chứng minh Nếu f (x) = ∞ với x ∈ Rn , đồ thị f rỗng lồi, f lồi Giả sử epi(f ) = φ cho (x, ω) (x, ω) hai điểm epi(f) Khi đó, f (x) < ∞, f (x) < ∞ tồn dãy {zk } {zk } cho F (x, zk ) → f (x), F (x, zk ) → f (x) Sử dụng định nghĩa f tính lồi F , ta có với α ∈ [0, 1] k , f (αx + (1 − α) x) ≤ F (αx + (1 − α) x, αzk + (1 − α) zk ) ≤ αF (x, zk ) + (1 − α)F (x, zk ) (3.1) (3.2) Cho vượt qua giới hạn k → ∞, ta f (α¯ x + (1 − α) x) ≤ αf (x) + (1 − α)f (x) ≤ αω + (1 − α)ω Kéo theo điểm α (x, ω) + (1 − α) (x, ω) thuộc epi(f ) Do đó, epi(f ) lồi, kéo theo f lồi 38 Không cần thiết tính đóng F kéo theo tính đóng f Lý tập mức {x | f (x) ≤ γ} hình chiếu tập mức F Rn : với γ ∈ Rn dãy {γk } với γk ↓ γ , ∞ {x | f (x) ≤ γ} = k=1 {x | ∃ (x, z) , F (x, z) ≤ γk } (3.3) tập vế phải hình chiếu không gian x tập mức {(x, z) | F (x, z) ≤ γk } Mệnh đề 3.3.2 ( [3], Proposition 2.3.7, p.103) Cho F : Rn+m → (−∞, ∞] hàm lồi, đóng lồi thật xét hàm f xác định f(x) = infx∈Rm F (x, z), x ∈ Rn Giả sử tồn vectơ x ∈ Rn γ thuộc R cho tập {z | F (x, z) ≤ γ} không rỗng compact Khi f lồi, đóng lồi thật Hơn nữa, với x ∈ dom(f ), tập điểm đạt cận F (x, ·) Rm không rỗng compact Chứng minh Trước hết ta lưu ý từ mệnh đề 3.3.1, f lồi Xét tập mức không rỗng compact Vγ = {(x, z) | F (x, z) ≤ γ} Mỗi phương lùi xa V γ có dạng (0, y) phương lùi xa tập mức Vγ = {(x, z) | F (x, z) ≤ γ} phải thỏa mãn F (x, z + αy) ≤ γ, ∀α ≥ 39 Từ đó, giả thiết, tập {z | F (x, z) ≤ γ} compact , kéo theo y = Do đó, phương khác không nón Vγ có dạng (0, y) Ta lưu ý không gian không phép chiếu không gian x [ ánh xạ (x, z) → x] tập vectơ có dạng (0, y), không gian không không chứa phương khác không Vγ Do ta sử dụng mệnh đề 2.3.1(a) khẳng định hình chiếu tập mức Vγ không gian x đóng Cuối cùng, ta ∀x ∈ dom(f ), hàm F (x, ·) có phương lùi xa khác không, suy tập điểm đạt cận F (x, ·) không rỗng compact Do đó, f (x) hữu hạn với x ∈ dom(f ) Hơn nữa, f (x) ≤ γ suy x f (x) hữu hạn Do đó, f lồi thật Mệnh đề 3.3.3 ( [3], Proposition 2.3.8, p.104) Cho F : Rn → (−∞, ∞] hàm lồi thật đóng xét hàm f cho f (x) = infz∈Rm F (x, z), x ∈ Rn Giả sử tồn vectơ x ∈ Rn γ thuộc R cho tập {z | F (x, z) ≤ γ} không rỗng nón lùi xa tương đương với tập tuyến tính Khi đó, f lồi, đóng lồi thật Hơn nữa, với x ∈ dom(f ), tập điểm đạt cận F (x, ·) Rn không rỗng Chứng minh Chứng minh tương tự mệnh đề Trước hết lưu ý theo mệnh đề 3.3.1, f lồi Xét tập mức không rỗng Vγ = {(x, z) | F (x, z) ≤ γ} Mỗi phương lùi xa Vγ có dạng (0, y) phương lùi xa tập mức 40 Vγ = {(x, z) | F (x, z) ≤ γ} [theo mệnh đề 3.0.3] phải thỏa mãn F (x, z + αy) ≤ γ, ∀α ≥ Do đó, (0, y) phương lùi xa F (x, ·), theo giả thiết, phương lùi xa F (x, ·) không đổi Kéo theo (0, y) thuộc tập tuyến tính Vγ Kết luận, ta phương lùi xa Vγ có dạng (0, y) nằm tập tuyến tính (0, y) Do đó, ta sử dụng mệnh đề 2.3.1(a) khẳng định hình chiếu tập mức Vγ không gian x đóng, với (3.3) suy f đóng Cuối cùng, sử dụng mệnh đề 3.2.1 khẳng định tập điểm đạt cận F (x, ·) không rỗng với x ∈ dom(f ) Cụ thể, điều kéo theo f (x) hữu hạn với tính đóng f suy f lồi thật Mệnh đề 3.3.4 ( [3], Proposition 2.3.9, p.105) Cho F : Rn+m → (−∞, ∞] hàm có dạng F (x, z) = F (x, z), ∀ (x, z) ∈ C ∞, ∀ (x, z) ∈ /C F¯ : Rn+m → (−∞, ∞] hàm lồi thật lồi đóng Rn+m C tập Rn+m định rõ bất đẳng thức tuyến tính C = {(x, z) | aj , (x, z) ≤ bj , j = 1, , r} Xét hàm f cho f (x) = infz∈Rm F (x, z), x ∈ Rn Giả sử tồn vectơ x ∈ dom(f ) cho phương lùi xa hàm F (x, ·) phương hàm F (x, ·) không đổi Khi f lồi, đóng lồi thật Hơn nữa, với x ∈ dom(f ) , tập điểm đạt cận F (x, ·) Rm không rỗng 41 Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh hai mệnh đề Theo mệnh đề 3.3.1 suy f lồi Để f đóng, trước hết lưu ý tập mức F cho Vγ = C ∩ (x, z) | F (x, z) ≤ γ Khi đó, ta phương lùi xa tập mức không rỗng Vγ có dạng (0, y) tập tuyến tính tập mức (x, z) | F (x, z) ≤ γ Khi đó, ta sử dụng mệnh đề 2.3.1(b) khẳng định hình chiếu tập mức Vγ không gian x đóng, với (3.3) suy f đóng Cuối cùng, sử dụng mệnh đề 3.2.1 khẳng định tập điểm đạt cận F (x, ·) không rỗng với x ∈ dom(f ) Cụ thể, điều kéo theo f (x) hữu hạn với tính đóng f suy f lồi thật Mệnh đề 3.3.5 Cho F : Rn+m → (−∞, ∞] hàm có dạng F (x, z) = F (x, z), ∀ (x, z) ∈ C ∞, ∀ (x, z) ∈ /C F¯ : Rn+m → (−∞, ∞] hàm lồi thật lồi đóng Rn+m C tập Rn+m định rõ bất đẳng thức toàn phương C = {(x, z) | (x, z) , Qj (x, z) + aj , (x, z) + bj ≤ 0, j = 1, , r} Xét hàm f cho f (x) = infz∈Rm F (x, z), x ∈ Rn Giả sử tồn vectơ x ∈ dom(f ) cho −∞ < f (x) < ∞ Khi f lồi, đóng lồi thật Hơn nữa, với x ∈ dom(f ) , tập điểm đạt cận F (x, ·) Rm không rỗng 42 Chứng minh Chứng minh tương tự ba mệnh đề trên, ta sử dụng mệnh đề 3.3.1 để khẳng định f lồi, sử dụng mệnh đề 2.3.1(c) để khẳng định hình chiếu tập mức Vγ không gian x đóng Nó kéo theo f đóng thường theo giả thiết tồn x cho f (x) hữu hạn Ta sử dụng 3.2.1 khẳng định tập điểm đạt cận F (x, ·) không rỗng với x ∈ dom(f ) Kết luận chương Chương trình bày ứng dụng nón lùi xa vào lý thuyết tối ưu cụ thể là: Sự tồn nghiệm toán tối ưu lồi Tập nghiệm tối ưu không bị chặn Cực tiểu hóa số hàm lồi đặc biệt 43 Kết luận Luận văn cố gắng hệ thống số vấn đề nón lùi xa tập lồi không gian hữu hạn chiều số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu cụ thể sử dụng phương nón lùi xa khẳng định tồn nghiệm toán tối ưu lồi Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 44 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kĩ thuật [2] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] D P Bertsekas (2003), Convex Analysis and Optimization, Springer [4] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press 45 [...]... chặn của W bởi vì Ay = 0 Do đó, từ V = C ∩ V , V không rỗng, C và V là đóng và lồi Theo mệnh đề 2.1.1(e), nón lùi xa của V là RC ∩ N (A) Bởi vì V là đóng và lồi, theo mệnh đề 2.1.1(c) điều đó kéo theo V là compact khi và chỉ khi RC ∩ N (A) = {0} Tập con tuyến tính Tập con của nón lùi xa của tập lồi C được gọi là tập con tuyến tính của tập C , nó được kí hiệu là LC Nó được xác định gồm những phương lùi. .. nón lùi xa: 1 Phương lùi xa Tập con tuyến tính 2 Tính không rỗng của giao các tập đóng 3 Tính đóng dưới phép biến đổi tuyến tính 31 Chương 3 Ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Sự tồn tại nghiệm tối ưu của các bài toán tối ưu lồi có thể được phân tích bằng cách sử dụng lý thuyết của nón lùi xa đã được phát triển trong chương 2 Một hàm lồi có thể được mô tả xét về mặt đồ thị mà đồ thị là một tập lồi Nón lùi. .. Định nghĩa 3.0.1 Cho hàm lồi thật f : Rn → (−∞, ∞], nón lùi xa của tập mức khác rỗng Vγ = {x | f (x) ≤ γ}, với γ ∈ R được gọi là nón lùi xa của f, và được kí hiệu là Rf Mỗi y ∈ Rf được gọi là phương lùi xa của f 3.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lồi Ta sẽ thảo luận về cách sử dụng phương của nón lùi xa trong việc khẳng định sự tồn tại nghiệm của các bài toán tối ưu hóa lồi Từ những kiến thức... tập rỗng Khi đó, V là đóng và lồi, và nón lùi xa của nó là RC ∩ N (A), trong đó N (A) là không gian con không của A Hơn nữa, V là compact khi và chỉ khi RC ∩ N (A) = {0} Chứng minh Ta lưu ý V = C ∩ V , trong đó V là tập V¯ = {x ∈ Rn | Ax ∈ W } nó là đóng và lồi bởi vì nó là nghịch ảnh của tập lồi đóng W dưới sự biến đổi tuyến tính liên tục A Do đó, V là đóng và lồi Nón lùi xa của V là N (A) Dễ thấy N... quan trọng liên quan đến sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hóa lồi, lý thuyết cực tiểu hóa Những kiến thức này được lấy từ trong [3] 2.1 Nón lùi xa Định nghĩa 2.1.1 Cho C là tập con lồi không rỗng của Rn , một vectơ y là phương lùi xa của C nếu x + αy ∈ C với mọi x ∈ C và α ≥ 0 Định nghĩa 2.1.2 Tập tất cả phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được kí hiệu là RC Ví dụ 2.1.1 C = (x,... về nón lùi xa, tập con tuyến tính và cấu trúc của các tập Ck Mệnh đề 2.2.1 ( [3], Proposition 1.5.5, p.57) Cho {Ck } là dãy con lồi, đóng không rỗng của Rn sao cho Ck+1 ⊂ Ck với mọi k Cho Rk và Lk tương ứng là nón lùi xa và tập con tuyến tính của Ck , và cho R= ∞ k=0 Rk , L= ∞ k=0 Lk Giả sử rằng R = L Khi đó giao ∞ k=0 Ck là không rỗng và có dạng ∞ k=0 Ck = L + C trong đó C là tập không rỗng và. .. gian con không của A Mệnh đề 2.1.4 ( [3], Proposition 1.5.4, p.56) Cho C là tập con của Rn lồi đóng và không rỗng Khi đó, với mọi không gian con S chứa trong tập con tuyến tính LC , ta có C = S + (C ∩ S ⊥ ) 2.2 Tính không rỗng của giao các tập đóng Những khái niệm của nón lùi xa và tập con tuyến tính có thể sử dụng để tổng quát hóa một vài tính chất cơ bản của tập compact tới các tập lồi đóng Một tính... phương của nón lùi xa đóng một vai trò quan trọng trong việc tìm ra những đặc trưng sự tồn tại nghiệm của các bài toán tối ưu lồi Mệnh đề 3.1.1 ( [3], Proposition 2.3.2, p.96) Cho tập X lồi đóng là tập con của Rn và cho hàm f : Rn → (−∞, ∞] là hàm lồi đóng sao cho X ∩ dom(f ) = φ Tập các điểm cực tiểu của f trên X không rỗng và compact khi và chỉ khi X và hàm f có chung phương lùi xa khác không 33 Chứng... tính của C và ri(C) là trùng nhau (c) Nếu D là tập lồi đóng sao cho C ∩ D = φ, ta có LC∩D = LC ∩ LD Tổng quát hơn, với mọi tổ hợp các tập lồi đóng Ci , i ∈ I với I là tập chỉ số bất kỳ và i∈I Ci khác rỗng, ta có L i∈I Ci = i∈I LCi (d) Cho W là lồi và compact là tập con của Rm , và cho A là ma trận m × n Nếu tập 17 V = {x ∈ C | Ax ∈ W } là không rỗng, thì nó là đóng và lồi và tập con tuyến tính của. .. tập lồi đóng khác rỗng 13 (a) Nón lùi xa RC là nón lồi đóng (b) Một vectơ y ∈ RC khi và chỉ khi tồn tại một vectơ x ∈ C sao cho x + αy ∈ C với mọi α ≥ 0 (c) RC chứa phương khác phương không khi và chỉ khi C không bị chặn (d) Nón lùi xa của C và ri(C) là trùng nhau (e) Với D là tập lồi đóng sao cho C ∩ D = φ, ta có RC∩D = RC ∩ RD Tổng quát hơn, với mọi tổ hợp các tập lồi đóng Ci , i ∈ I với I là tập