Nón lùi xa của tập lồi và ứng dụng

Lí do chọn đề tài Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các ngànhtoán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính.Đặc biệt đó là việc ứng dụn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN THỊ NHÂM

NÓN LÙI XA CỦA TẬP LỒI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Năng Tâm,người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi cóthể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Phan Thị Nhâm

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS NguyễnNăng Tâm, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:" Nón lùi

xa của tập lồi và ứng dụng " được hoàn thành bởi sự nhận thức vàtìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Phan Thị Nhâm

Mục lục

1.1 Tập lồi và hàm lồi 6

1.1.1 Tập lồi 6

1.1.2 Hàm lồi 8

1.2 Phần trong tương đối 12

2 Nón lùi xa của tập lồi 13 2.1 Nón lùi xa 13

2.2 Tính không rỗng của giao các tập đóng 18

2.3 Tính đóng dưới phép biến đổi tuyến tính 28

3 Ứng dụng vào lý thuyết tối ưu 32 3.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lồi 33

3.2 Tập nghiệm tối ưu không bị chặn 35

3.3 Cực tiểu hóa của một số hàm lồi đặc biệt 37

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các ngànhtoán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính.Đặc biệt đó là việc ứng dụng giải tích lồi vào nghiên cứu lý thuyết các bàitoán tối ưu hóa – bài toán cực trị

Như chúng ta đã biết, tối ưu hóa là một trong lĩnh vực kinh điển củaToán học có ảnh hưởng tới hầu hết các lĩnh vực khoa học- công nghệ vàkinh tế - xã hội Trong thực tế, việc đi tìm giải pháp hay là sự tồn tạinghiệm tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quantrọng Với những lý do kể trên tôi đã chọn đề tài " Nón lùi xa của tậplồi và ứng dụng " làm luận văn Thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu khái niệm nón lùi xa của tập lồi

và dựa vào đó nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu khái niệm về nón lùi xa của tập lồi trong không gian hữuhạn chiều và ứng dụng của phương lùi xa trong việc nghiên cứu sự tồn tạinghiệm của bài toán tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về nón lùi xa của tập lồi trong không gian Euclid hữu hạnchiều Sau đó, dựa vào lý thuyết về nón lùi xa và kiến thức cơ bản về tậplồi, hàm lồi khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kiến thức cơ bản của tậplồi, hàm lồi để phát triển kiến thức về nón lùi xa và ứng dụng của nó vàoviệc khẳng định sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu

6 Đóng góp mới

Luận văn sẽ cố gắng là một tổng quan về khái niệm nón lùi xa của tậplồi và ứng dụng của nó vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tốiưu

Chương 1

Kiến thức cơ bản

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản của: tập lồi, hàm lồi,phần trong tương đối Những kiến thức này được sử dụng để trình bày cáckhái niệm và các tính chất quan trọng của nón lùi xa và ứng dụng của nótrong tối ưu hóa Các khái niệm này ta có thể tìm thấy trong [1] và [3]

1.1.1 Tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu:

αx + (1 − α)y ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] (1.1)

Chú ý : Quy ước tập φ là tập lồi

Mệnh đề sau đây đưa ra một vài phép toán trên các tập lồi

nếu C là tập lồi và λ1, λ2 thuộc R+ ta có:

(λ1 + λ2)C = λ1C + λ2C

(d) Bao đóng và phần trong của tập lồi là các tập lồi

(e) Ảnh và nghịch ảnh của tập lồi hàm affin là tập lồi

Chứng minh :

(a) Lấy x, y ∈ ∩i∈ICi Khi đó x, y ∈ Ci với mọi i ∈ I, do Ci lồi, cho nên:

αx + (1 − α)y ∈ Ci(với mọi α ∈ [0, 1]) (1.2)

⇒ αx + (1 − α)y ∈ ∩i∈ICi (1.3)

Do đó, theo định nghĩa ∩i∈ICi là tập lồi

(b) Lấy x1 + x2 và y1 + y2 thuộc C1 + C2 ( trong đó x1, y1 ∈ C1 và

x2, y2 ∈ C2) Khi đó, ta có :

α(x1 + x2) + (1 − α)(y1 + y2) = (αx1 + (1 − α)y1) + (αx2 + (1 − α)y2)

Do C1 và C2 là lồi, những vectơ trong ngoặc đơn vế phải lần lượt thuộc

C1 và C2 suy ra tổng của chúng thuộc C1+ C2 Do đó C1+ C2 là tập lồi.(d) Lấy x, y từ bao đóng của C và dãy {xk} ⊂ C, {yk} ⊂ C sao cho

{xk} → x, {yk} → y

Do C là tập lồi ta có: ∀α ∈ [0, 1] dãy {αxk + (1 − α)yk} thuộc C hội tụtới {αx + (1 − α)y} Do đó {αx + (1 − α)y} thuộc bao đóng của C điềunày chứng tỏ bao đóng của C là tập lồi

Tương tự, ta lấy x, y thuộc phần trong của C và xét các hình cầu

mở có tâm là x và y có bán kính r đủ nhỏ sao cho chúng nằm trong

C Với mọi α ∈ [0, 1] xét hình cầu mở với bán kính r được xác địnhtâm tại {αx + (1 − α)y} Bất kỳ điểm nào nằm trong hình cầu này như

αx + (1 − α)y + z thuộc C, trong đó kzk =

nếu (1.4) nghiệm đúng, tức là f trở thành hàm lồi khi miền xác định của

mức là lồi nhưng nó không phải hàm lồi.

Hàm lồi giá trị thực suy rộng

Nói chung chúng ta muốn giải quyết những hàm lồi có giá trị thực vàxác định trên toàn bộ không gian Rn Tuy nhiên, trong một vài trườnghợp do sự phát sinh của tối ưu hóa và tính đối ngẫu, chúng ta sẽ gặp phảinhững phép toán trên những hàm có giá trị thực từ đó hình thành nhữnghàm giá trị thực suy rộng Hơn nữa, chúng ta sẽ gặp phải những hàm f

là lồi trên một tập lồi con C và không thể suy rộng được ra những hàm

có giá trị thực và lồi trên không gian Rn Trong những tình huống này cóthể sẽ thuận tiện hơn để mở rộng miền tới không gian Rn thay vì giới hạnmiền của f nên tập con C, trong đó f lấy những giá trị thực, nhưng chophép f lấy các giá trị vô hạn

Do vậy ta đưa vào các hàm giá trị thực suy rộng Những hàm này được

mô tả bằng việc sử dụng các khái niệm về trên đồ thị và miền hữu hiệu.Trên đồ thị của hàm f : X → [−∞, ∞] , trong đó X ⊂ Rn , kí hiệu là

epi(f ) được xác định như sau:

epi(f)={(x, ω) ∈ X × R | f (x) ≤ ω}

Miền hữu hiệu của f , kí hiệu là dom(f), được xác định như sau:

dom(f)={x ∈ X | f (x) < ∞}

Có thể thấy rằng :

dom(f ) = x | tồn tại ω ∈ R sao cho (x, ω) ∈ epi(f )

Vậy, dom(f ) là hình chiếu trên Rn của epi(f )

Hàmf được gọi là lồi thật nếudom(f ) 6= φ vàf (x) > −∞với mọix ∈ X

Định nghĩa 1.1.4 Cho C ⊂ Rn là tập lồi Một hàm suy rộng giá trị thực

f : C → [−∞, ∞] được gọi là lồi nếu epi(f ) là tập con lồi của Rn+1

Có thể dễ dàng thấy rằng, theo như định nghĩa ở trên, tính lồi của hàmf

kéo theo miền hữu hiệu và tập mức{x ∈ C | f (x) ≤ γ}và{x ∈ C | f (x) < γ}

là các tập lồi với mọi γ thuộc R Hơn nữa, nếu f (x) < ∞ với mọi x, hoặc

mà không sử dụng đến các hàm giá trị thực suy rộng Điều ngược lại cũngđúng, các hàm giá trị thực suy rộng có thể được chọn như là tiêu chuẩn.Nhìn chung, các hàm mà có giá trị thực trên toàn bộ Rn thuận tiện hơntrong các thuật toán tính toán và cũng trong sự phân tích tối ưu hóa trong

đó một phương pháp tính toán theo định hướng dựa trên sự khác nhauđược thừa nhận Điều này là trường hợp điển hình trong sự tối ưu hóa

không lồi, trong đó đẳng thức phi tuyến tính và ràng buộc bất đẳng thứckhông lồi thì liên quan đến nhau.

Tính nửa dưới liên tục và tính đóng của hàm lồi

Một hàm giá trị thực suy rộng f : X → [−∞, ∞] được gọi là nửa dướiliên tục tại x ∈ X nếu f (x) ≤ lim infk→∞f (xk) với mọi dãy {xk} ⊂ X với

xk → x Nếu f là nửa dưới liên tục tại mọi x trong tập U ⊂ X, ta nói f

là nửa dưới liên tục trên U

Mệnh đề 1.1.2 ( [3], Proposition 1.2.2, p.27)

Cho hàm f : X → [−∞, ∞], ba phát biểu sau là tương đương:

(a) Tập mức {x | f (x) ≤ γ} là đóng với mọi γ thuộc R

(b) f là nửa dưới liên tục

(c) epi(f) đóng

Mệnh đề 1.1.3 ( [3], Proposition 1.2.3, p.28)

Cho hàm f : X → [−∞, ∞] nếu dom(f) đóng và f là nửa dưới liên tụctrên dom(f), khi đó f đóng

Các đặc trưng của hàm lồi khả vi

Mệnh đề 1.1.4 ( [3], Proposition 1.2.5, p.31) Cho C ⊂ Rn là tập lồi

(b) Nếu ∇2f (x) là xác định dương với mọi x ∈ C thì f là lồi ngặt trên C.(c) Nếu C mở và f lồi trên C thì ∇2f (x) là nửa xác định dương với mọi

x ∈ C

Định nghĩa 1.2.1 Tập C ⊂ Rn được gọi là tập affin, nếu

(1 − λ)x + λy ∈ C (∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R)

Định nghĩa 1.2.2 Tương giao của tất cả các tập affin chứa tập C ⊂ Rn

được gọi là bao affin của C và kí hiệu là af f (C)

Định nghĩa 1.2.3 Phần trong tương đối của tập C ⊂ Rn là phần trongcủa C trong af f (C), kí hiệu là ri(C)

Các điểm thuộc ri(C) được gọi là điểm trong tương đối của tâp C

Định lý 1.2.1 Giả sử C là tập lồi trong Rn, x ∈ ri(C), y ∈ A Khi đó

Chương 2

Nón lùi xa của tập lồi

Trong chương này chúng ta sẽ phát triển một vài kiến thức về tính lồiquan trọng mà có ích trong bài toán tối ưu hóa

Trước hết, ta giới thiệu các khái niệm trong phần này : phương của nónlùi xa và tập con tuyến tính Sau đó ta sẽ trình bày hai tính chất:

(a) Tính không rỗng của giao các tập đóng

(b) Tính đóng dưới phép biến đổi tuyến tính

Điều này cho thấy những vấn đề trên là những câu hỏi rất quan trọngliên quan đến sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hóa lồi, lý thuyết cựctiểu hóa Những kiến thức này được lấy từ trong [3]

Định nghĩa 2.1.1 Cho C là tập con lồi không rỗng của Rn , một vectơ

y là phương lùi xa của C nếu x + αy ∈ C với mọi x ∈ C và α ≥ 0

Định nghĩa 2.1.2 Tập tất cả phương lùi xa của C được gọi là nón lùi

xa của C và được kí hiệu là RC

Ví dụ 2.1.1 C = (x, y) : x > 0, y > 1x ⇒ RC = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}.Mệnh đề 2.1.1 ( [3], Proposition 1.5.1, p.50)

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng

(a) Nón lùi xa RC là nón lồi đóng.

(b) Một vectơ y ∈ RC khi và chỉ khi tồn tại một vectơ x ∈ C sao cho

x + αy ∈ C với mọi α ≥ 0

(c) RC chứa phương khác phương không khi và chỉ khi C không bị chặn.(d) Nón lùi xa của C và ri(C) là trùng nhau

(e) Với D là tập lồi đóng sao cho C ∩ D 6= φ, ta có

RC∩D = RC ∩ RD.Tổng quát hơn, với mọi tổ hợp các tập lồi đóng Ci, i ∈ I với I là tập chỉ

có x + αy ∈ C Điều đó có nghĩa, y ∈ RC và RC là đóng

(b) Nếu y ∈ RC, với mọi vectơ x ∈ C ta có tính chất cần tìm theođịnh nghĩa của RC Ngược lại, cho y sao cho tồn tại một vectơ x ∈ C với

x + αy ∈ C, với mọi α ≥ 0 Không mất tính tổng quát, ta giả sửy 6= 0 Ta

cố định x ∈ C và α > 0 ,ta biểu diễn x + αy ∈ C Nó là đủ để x + y ∈ C,

ta giả sử α = 1 , trong trường hợp tổng quát α > 0 có thể rút gọn trườnghợp α = 1 bằng cách thay thế y bằng y/α

Cho

do vậy bằng cách kết hợp các mối quan hệ trước, ta cóyk → y Vectơx+yk

nằm giữa x và zk trên đoạn thẳng x và zk (∀k) sao cho kzk − xk ≥ kyk,

vì tính lồi của C, ta có x + yk ∈ C với k đủ lớn Bời vì x + yk → x + y và

C là đóng, kéo theo x + y phải thuộc C

(c) Giả sử RC chứa phương khác 0 dễ dàng suy ra C là không bị chặn.Ngược lại, giả sử rằng C là không bị chặn, ta sẽ chỉ ra rằng RC chứaphương khác 0 Chọn x ∈ C và bất kỳ dãy không bị chặn {zk} ⊂ C Xétdãy {yk}, trong đó

yk = zk− x

kzk− xk.

và cho y là giới hạn của dãy {yk} Cho bất kỳ cố định α ≥ 0, vectơ

x + αyk nằm trong x và zk trên đoạn thẳng nối giữa x và zk (∀k) sao cho

kzk − xk ≥ α Do tính lồi của C, ta có x + αyk ∈ C với k đủ lớn Bởi vì

x + αy là một điểm giới hạn của {x + αy}và C là đóng, ta cóx + αy ∈ C

Do đó, cũng như trong phần (b) suy ra vectơ y khác 0 là một phương lùixa

(d) Nếu y ∈ Rri(C), khi đó cố định x ∈ ri(C) và với mọi α ≥ 0, ta có

x + αy ∈ ri(C) ⊂ C Do đó, theo (b), ta có y ∈ RC

Ngược lại, nếu y ∈ RC, với bất kỳ x ∈ ri(C) , ta có x + αy ∈ C với mọi

α ≥ 0 Điều đó kéo theo x + αy ∈ ri(C) với mọi α ≥ 0, vậy y ∈ Rri(C).(e) Từ định nghĩa nón lùi xa, y ∈ RC∩D kéo theo x + αy ∈ C ∩ D vớimọi x ∈ C ∩ D và với mọi α ≥ 0 Theo phần (b), điều này suy ra rằng

y ∈ RC và y ∈ RD , sao cho RC∩D ⊂ RC ⊂ RD Ngược lại, theo địnhnghĩa nón lùi xa, nếuy ∈ RC∩ RD vàx ∈ C ∩ D, ta cóx + αy ∈ C ∩ D vớimọi α ≥ 0, vì thế y ∈ RC∩D Do đó, RC ∩ RD ⊂ RC∩D Lập luận tương

và giả sử V khác tập rỗng Khi đó, V là đóng và lồi, và nón lùi xa của nó

là RC ∩ N (A), trong đó N (A) là không gian con không của A Hơn nữa,

V là compact khi và chỉ khi

RC ∩ N (A) = {0}.Chứng minh Ta lưu ý V = C ∩ V, trong đó V là tập

¯

V = {x ∈ Rn| Ax ∈ W }

nó là đóng và lồi bởi vì nó là nghịch ảnh của tập lồi đóng W dưới sự biếnđổi tuyến tính liên tục A Do đó, V là đóng và lồi

Nón lùi xa của V là N (A) Dễ thấy N (A) ⊂ RV; nếu y /∈ N (A) nhưng

y ∈ RV, khi đó với mọi x ∈ V, ta phải có

Ax + αAy ∈ W, với mọi α > 0

nó mâu thuẫn tính bị chặn của W bởi vì Ay 6= 0 Do đó, từ V = C ∩ V,

V không rỗng, C và V là đóng và lồi Theo mệnh đề 2.1.1(e), nón lùi xacủa V là RC ∩ N (A) Bởi vì V là đóng và lồi, theo mệnh đề 2.1.1(c) điều

đó kéo theo V là compact khi và chỉ khi RC ∩ N (A) = {0}

Tập con tuyến tính này thừa hưởng một số các tính chất của nón lùi xa

mà ta đã trình bày ở hai mệnh đề trước

Mệnh đề 2.1.3 ( [3], Proposition 1.5.3, p.54)

Cho C là tập con của Rn lồi đóng và không rỗng

(a) Tập con tuyến tính của C là không gian con của Rn

(b) Tập con tuyến tính của C và ri(C) là trùng nhau

(c) Nếu D là tập lồi đóng sao cho C ∩ D 6= φ, ta có

LC∩D = LC ∩ LD.Tổng quát hơn, với mọi tổ hợp các tập lồi đóng Ci, i ∈ I với I là tập chỉ

V = {x ∈ C | Ax ∈ W }.

là không rỗng, thì nó là đóng và lồi và tập con tuyến tính của nó là LC ∩

N (A), trong đó N (A) là không gian con không của A

Mệnh đề 2.1.4 ( [3], Proposition 1.5.4, p.56)

Cho C là tập con của Rn lồi đóng và không rỗng Khi đó, với mọi khônggian con S chứa trong tập con tuyến tính LC, ta có

C = S + (C ∩ S⊥)

Những khái niệm của nón lùi xa và tập con tuyến tính có thể sử dụng

để tổng quát hóa một vài tính chất cơ bản của tập compact tới các tậplồi đóng Một tính chất đó là sự giao của các dãy lồng nhau của các tậpcompact không rỗng là không rỗng và compact Một tính chất khác đó làảnh của tập compact dưới một phép biến đổi tuyến tính là compact.Trong những kiến thức tiếp theo trong phần này chúng ta sẽ tổng quáthóa những tính chất của các tập compact liên quan tới các tập lồi đóng.Trong các mục tiếp theo chúng ta sẽ chuyển đổi những tính chất này thànhnhững kết quả quan trọng mà liên quan tới sự tồn tại nghiệm của bài toántối ưu trong lý thuyết cực tiểu Lưu ý rằng một tập các điểm cực tiểu củamột hàm thì tương đương với giao chính các tập mức không rỗng của nó,

vì vậy câu hỏi cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hóa giảm thiểuxuống còn là câu hỏi về tính không rỗng của một tập giao

Chúng ta xem xét một dãy lồng nhau Ck của các tập lồi đóng khôngrỗng và trong các mệnh đề sau ta sẽ dẫn ra một vài các điều kiện thay thế

mà giao T∞

k=0Ck là không rỗng Những điều kiện này liên quan tới một

dãy các giả thiết về nón lùi xa, tập con tuyến tính và cấu trúc của các tập

trong đó eC là tập không rỗng và compact

Chứng minh Bởi vì các tập Ck lồng nhau, tập con tuyến tính Lk cũnglồng nhau Vì mỗi một Lk là không gian con suy ra với mọi k đủ lớn, ta

có Lk = L Do đó, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Lk = L, với mọi k

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra bằng phản chứng với mọi giá trị k đủ lớn, ta có

Rk ∩ L⊥ = {0} Thật vậy, giả sử rằng điều đó không đúng Khi đó vìcác Rk lồng nhau, với mỗi k tồn tại yk ∈ Rk ∩ L⊥ sao cho kykk = 1 Do

đó, tập {y | kyk = 1} ∩ Rk ∩ L⊥ là không rỗng, và vì nó cũng compact,giao {y| kyk = 1} ∩ (T∞

k=0Rk) ∩ L⊥ là không rỗng Giao đó tương đương

{y| kyk = 1} ∩ L ∩ L⊥, từ đó, bằng giả thiết ta có T∞

k=0Rk = R = L.Nhưng điều đó mâu thuẫn bởi vì L ∩ L⊥ = {0} Không mất tính tổngquát, ta có thể giả sử rằng

Rk ∩ L⊥ = {0}, với mọi k

Từ mệnh đề 2.1.1 (e), với mỗi k , nón lùi xa của Ck ∩ L⊥ được xác địnhbởi

RCk∩L⊥ = Rk ∩ RL⊥

và từ RL⊥ = L⊥ và Rk ∩ L⊥ = {0} suy ra

RCk∩L⊥ = {0}, với mọi k

Do đó, từ mệnh đề 2.1.1(c), các tập Ck ∩ L⊥ là compact cũng như lồngnhau, để cho giao của chúng

e

C = \∞

k=0(Ck ∩ L⊥) (2.1)không rỗng và compact, điều này kéo theo giao T∞k=0Ck là không rỗng.Hơn nữa, bởi vì L là tập con tuyến tính với mọi tập Ck, nó cũng là tậpcon tuyến tính của T∞

k=0Ck ( mệnh đề 2.1.3 ) Vì thế, theo mệnh đề 2.1.4,

ta có

T∞ k=0Ck = L + (T∞

k=0Ck) ∩ L⊥.kéo theo, bởi (2.1) thì T∞

k=0Ck = L +Ce

Lưu ý rằng trong trường hợp đặc biệt thì T∞

k=0Rk = {0}, mệnh đề trêntrình bày rằng giao T∞

Chứng minh Cố định một điểm x ∈ Rn và lấy v ∈ Rn một cách tùy ý.Chúng ta sẽ chỉ ra rằng v ∈ RX nếu và chỉ nếu

RX = {v ∈ Rn | Qiv = 0, hci, vi ≤ 0 i = 1, , m} (2.3)Thật vậy, nếu v ∈ RX thì

hx + tv, Qi(x + tv)i + hci, x + tvi + αi ≤ 0, ∀i = 1, , m, ∀t ≥ 0

(2.4)

Vì Qi là các ma trận nửa xác định dương nên từ (2.4) chúng ta có

hci, x + tvi + αi ≤ 0, ∀i = 1, , m, ∀t ≥ 0 (2.5)Nhân cả hai vế của các bất đẳng thức hci, x + tvi + αi ≤ 0 trong (2.5) với

t−1, t > 0, và chot → +∞, chúng ta đạt được hci, vi ≤ 0vớii = 1, , m.Tiếp theo, chúng ta nhân cả hai vế của các bất đẳng thức trong (2.4) với

t−2, t > 0 và cho t → +∞, chúng ta có hv, Qivi ≤ 0 Vì hv, Qivi ≥ 0,chúng ta suy ra hv, Qivi = 0, tức là x = v là một nghiệm của bài toán tối

ưu không có ràng buộc

min{ϕi(z) := hz, Qizi | z ∈ n}

Theo quy tắc Fermat chúng ta có ∇ϕi(v) = 0; do vậy Qiv = 0

Ngược lại, nếu (2.3) thỏa mãn, khi đó với bất kỳ t > 0