skkn các KIẾN THỨC cơ bản về tổ hợp

QUI TẮC NHÂN The Multiplication – MP Giả sử có 1 quá trình có thể chia thành m giai đoạn liên tiếp nhau có thứ tự , Với 1 kết hợp lại là phân biệt Thế thì số kết quả kết hợp lại của toàn

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP

QUI TẮC ĐẾM

QUI TẮC CỘNG ( The Addition Priciples- AP) :

số cách để chọn 1 đối tượng từ 1 trong m tập hợp là n1 + +n2 +n m.

QUI TẮC NHÂN (The Multiplication – MP)

Giả sử có 1 quá trình có thể chia thành m giai đoạn liên tiếp nhau có thứ tự , Với

1

kết hợp lại là phân biệt Thế thì số kết quả kết hợp lại của toàn bộ quá trình là

là 1,2,….9.Vì các chữ số là phân biệt nên :

-Có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị

-Có 8 cách chọn chữ số hàng ngàn.( khác 0 và khác chữ số đơn vị )

- Có 8 cách chọn chữ số hàng chục ( khác chữ số đơn vị và hàng ngàn).-Có 7 cách chọn chữ số hàng trăm

Ta phân chia bài toán thành 6 trường hợp riêng biệt : x2+y2 =0;1;2;3; 4;5.

Với mỗi i=0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ta đặt S i ={ (x y; )/ ;x y Z x∈ ; 2 +y2 =i} .

21

i i

GIẢI :

Trước hết ta chú ý rằng 600= 23× × 3 51 2 Khi đó 1 số nguyên dương m là

ước số của 600 nếu và chỉ nếu m có dạng : m= × × 2a 3b 5c với

a,b,c∈Z :0≤a≤3 ; 0≤b≤1 ; 0≤c≤2 Như vậy số ước số là 4.2.3= 24

nguyên dương của 1099là một bội số của 1088

GIẢI :

Ước số của 1099có dạng 2 5 0 a;b 99;a,b Za b ≤ ≤ ∈ .Có 100 cách chọn a , 100

phải thỏa mãn bất đẳng thức 88≤a ;b ≤99, a,b ∈Z ; Nên có 12 cách chọn

a, và 12 cách chọn b Do đó xác suất sẽ là :

12 12 9

nguyên tố của n.Thì sẽ có (2 α 1 + 1 2) ( α 2 + 1 2) ( αk+ 1)cặp số nguyên (a ;b)

phân biệt có thứ tự sao cho BCNN(a ;b) là n

ta có :

99 1 328350.

S = + + =

lưới vuông 10×10 sau (10 điểm , 9 ô)

Nhưng phần khó khăn là các hình vuông có cạnh không song song với đường biên của lưới Mỗi hình vuông này sẽ nội tiếp bên trong 1 quartet Cho nên ta chỉ cần đếm tất cả các quartet và các hình vuông nội tiếp nó Không khó khăn gì ta được trong 1 k×k quartet có k hình vuông nội tiếp ,

kể cả nó Ví dụ khi k=4 ta được hình vẽ bên

Như vậy ta được :

được tạo thành từ 3 trong số các que đó ?

giác.Vậy A3 = 0 Bây giờ ta giả sử rằng k≥4.

Ta xét 2 trường hợp :

Trường hợp 1 : Trong trường hợp này , ta giả sử rằng k chẳn, tức là k=2m ; m∈Z ; m≥2 Bởi vì x<y nên x+y>2x Chú ý rằng x+y> z Ta xét 2x≤z và 2x> z nghĩa là 1≤x≤m ; và m <x

≥x( thỏa điều kiện y>x) Cho nên bất kỳ y nằm giữa k-x+1 và z-1= k-1 như vậy ta có (k-1)-(k-x+1) +1 =x-1 giá trị mà y có thể nhận được Khi m<x , bất đẳng thức đầu cho ta x+y>2x >2m=z ( thỏa điều kiện), Bất kỳ y nằm giữa x+1 và k-1 như thế sẽ có(k-1)-(x+1)+1= k-x-1=

=2m-x-1 giá trị mà y có thể nhân được Bởi vậy cho nên ; khi k=2m

Chú ý rằng công thức này vẫn đúng khi m=1 nghĩa là khi k=2.

Trường hợp 2 : Trong trường hợp này ta giả sử k lẻ , nghĩa là k=2m+1 với k là số nguyên , m≥2

như thế k-x >x Như trước đó , y có thể lấy các giá trị nguyên nằm giữa k-x+1 và k-1 , như thế sẽ có (k-1)- (k-x+1) + 1= x-1 giá trị mà y có thể nhận

y có thể nhận được Bởi vậy , cho nên khi k= 2m+1

Bây giờ ta bắt đầu giải bài toán

Nếu n lẻ : n=2p+1 ( với p là số nguyên không âm nào đó )> Ta có :

phải nhớ mật mã khóa của tủ , Hai trong các bộ 3 cặp số của mật mã là 17

và 24 , nhưng anh ta không nhớ được cặp số thứ ba Và không nhớ được thứ tự của 3 cặp số Có 40 khả năng của cặp số thứ ba Trong 10 giây , thì có thể nhớ được tất cả các khả năng xảy không ?

chữ số Có bao nhiêu bằng lái xe được tạo thành nếu o và 0 không dùng cùng 1 lúc

GIẢI :

Gọi S1 là tập hợp các bằng lái không có số 0

S2 là tập hợp các bằng lái không có chữ o.

S3 là tập hợp các bằng lái không có số 0và không có chữ o

Ta có : S1 + S2 − S3 = 26 93 3+ 25 103 3− 25 93 3 = 17047279.

số 1 trong cách viết thập phân

GIẢI :

CÁCH 1 :

Gọi S S S1 ; ; 2 3là tập hợp các số nguyên dương có 1 , 2, 3 chữ số

Với i=1 ;2 ;3 đặt A i ⊂S i chứa đúng các chữ số đó và có ít nhất 1 chữ số 1.

Ta có thể phân chia tập hợp như sau : Gọi S’ là tập hợp những số nguyên

không âm nhỏ hơn 1000 không chứa chữ số 1 Nghĩa là

B + B = S =

Ta có B2 = 9.9.9 729 = Nên B1 = 1000 729 271 − = .

mát mẻ , phải có ít nhất 1 lỗ thông hơi làm việc suốt thời gian Hỏi có baonhiêu cách thực hiện

GIẢI:

Ta gọi các lỗ thông hơi là v v v1 ; ; ; ; 2 3 v15 Ta có mỗi lỗ thông hơi có 2b lựa chọn là on hay off Ta sử dụng ký tự n cho on, và f cho off Ta đánh dấu

tính huống , nhưng tình huống fffff….f bị loại vì tất cả các lỗ thông hơi

function) từ tập hợp A đến tập B ( viết là f:A→ B) đánh dấu mỗi phần

tử a∈A với đúng một phần tử b∈B ( viết là f(a)=b) b là ảnh của a Với

a∈A’ Nếu f(A)= B thì f được gọi là toàn ánh (surjective- onto)nghĩa là ,

có ảnh khác nhau thì f được gọi là đơn ánh ( injective- one to one) Nếu

f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh thì f là song ánh( bijective– one-to-one

có : ( 1) ( 2 ) ( 1) ( )!

!

m n

Đặc biệt là khi m=n thì được gọi là hoán vị của n phần tử, Số hoán vị của

n phần tử là P n =n!.

Tìm số từ có 5 ký tự sao cho các ký tự được tạo thành từ tập E; và ký tự đầu và cuối là các nguyên âm phân biệt , các ký tự còn lại là các phụ âm phân biệt

{1;3;5;7} Sao cho không có chữ số nào lặp lại Tìm

trong S1 là 1+3+5+7 =16 Trong S2 có A31 số mà các chữ số đơn vị tương

các chữ số hàng đơn vị của các số trong S4, là A33(1 3 5 7) 96 + + + = .

số trong mỗi cặp này là 8

và tổng của 2 số trong mỗi cặp này là 88

m n

n C

Cách 1: Dùng công thức.

Cách 2: Dùng Tổ hợp

Mỗi cách lấy đó sẽ có phần tử “1” hoặc không có phần tử “1”

r n

r n

số số hạng trong xâu Đôi khi một xâu như thế có thể viết là (a a1 ; ; ; 2 a n) Một xâu k-aray có thể được gọi là xâu nhị phân ( binary) , Xâu tam phân ( ternary) hay tứ phân ( quarternary) khi k=2 , 3, 4

Ví dụ :

{(0 ;0 ;0) ; (0 ;0 ;1) ;(0 ;1 ;0) ;(1 ;0 ;0) ;(0 ;1 ;1) ;(1 ;0 ;1) ;(1 ;1 ;0) ;(1 ;1 ;1) }

là tập hợp tất cả 8 xâu nhị phân có độ dài là 3

n n

Trước hết ta xếp 3 số 0 vào 3 trong 7 vị trí của chuỗi

Sau đó xếp 4 số 1 vào 4 vị trí còn lại

Vậy có C C73 44 chuỗi thỏa điều kiện

gồm 4 thầy giáo và 7 học sinh, nếu :

a/ Không có yêu cầu về cách lựa chọn

b/Ủy ban phải bao gồm đúng 2 thầy giáo

c/ Ủy ban phải bao gồm ít nhất 3 thầy giáo

d/ Đặc biệt 1 thầy giáo và 1 học sinh không thể cùng nằm trong ủy ban.GIẢI:

a/C115 = 462

b/ C C42 73 = 210.

c/C C43 72+C C44 17 = 91.

d/ Gọi T là người thầy đặc biệt, S là học sinh đặc biệt Ta tìm số cách lập

thỏa điều kiện là C115 −C93 = 378.

vòng đầu tiên, họ chia thành 4 cặp để thi đấu Hỏi số cách sắp xếp

Gọi A là 1 tập hợp gồm 2n phần tử Một ghép đôi của A ( A pairing ) là

1 sự phân chia tập hợp A thành các tập con 2 phần tử rời nhau tức là 1 hợp của các tập con 2 phần tử rời nhau tạo thành A Thí dụ : Nếu

(2n-1)(2n-3)… 5.3.1

Có (2n)! cách sắp xếp Vì thứ tự của các phần tử trong mỗi tập con 2 phần tử và thứ tự các phần tử trong n tập con là không quan trọng nên số

cách theo yêu cầu là :

( )2 ! ( )2 ! 2!2! 2! ! ! 2n n

Bài toán trên có thể mở rộng theo cách sau: Cho A là một tập hợp có kn phần tử phân biệt (k,n∈N) 1 sự ghép k-phần tử của A là một phân hoạch

A thành các tập con k phần tử tức là phân chia A thành các tập con k phần tử đôi một rời nhau

nó là phân biệt và lấy từ các chữ số {1;2;3;4;5}

GIẢI:

Cách 1:

Ta chia thành các loại:

- Số các có 5 chữ số mà chữ số hàng chục nghìn có thể là 1 trong các số 3,4,5:

làA P13 4.

- Số các có 5 chữ số mà chữ số hàng chục nghìn có thể là số 2 và chũ số hàng nghìn là 1 trong các số 3,4,5 là A P31 3

-Số các có 5 chữ số mà chữ số hàng chục nghìn có thể là 2 và chữ số hàngnghìn là 1 là P3

(i) không có 3 điểm nào của S là thẳng hàng ,

(ii) Với bất kỳ điểm P thuộc S , có ít nhất k điểm thuộc S cách đều P.Chứng minh rằng

1 2 2

k< + n

IMO 1989

GIẢI:

Để thuận lợi , ta gọi 1 đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ của S là cạnh Gọi l

là số cạnh trong mp Trước hết , vì có n điểm phân biệt và bất kỳ 2 điểm

theo điều kiện (ii) có thể vẽ được 1 đường tròn tâm P(C(P)) sao cho đường tròn đó chứa ít nhất k điểm của S Rõ ràng rằng mỗi điểm của S

hợp S thì tổng số cạnh ít nhất là nC k2 ( có đếm lặp lại) Bây giờ ta thấy rằng , các cạnh được đếm nhiều hơn 1 lần 1 cạnh được đếm nhiều hơn 1 lần khi và chỉ khi cạnh đó là dây cung chung của ít nhất 2 đường tròn Vì

2 đường tròn có nhiều nhất 1 dây cung chung cho nên n đường tròn , số

dây cung chung được đếm lặp lại nhiều nhất C n2 Cho nên :

(1) Trong chứng minh trên , đại lượng l được dẫn ra từ đầu và nó được đếm ước lượng bằng 2 cách suy nghĩ, bằng các cách ấy dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh Đó là 1 kỹ thuật hay sử dụng trong tổ hợp

(2) Từ chứng minh trên ta thấy rằng điều kiện (i) là không cần thiết vì nếuA,B,C thẳng hàng thì 3 đoạn thẳng AB,AC,BC cũng được xem như là 3 cạnh phân biệt

HOÁN VỊ LẶP LẠI :

Một cách sắp xếp m phần tử của n phần tử phân biệt ( mỗi phần tử có thể lặp lại hữu hạn lần )được gọi là hoán vị lặp lại của m phần tử từ n phần tử.Số hoán vị lặp lại là n m

lặp lại tương ứng là n n1 ; ; 2 n n m: 1 + + +n2 n m =n , tất cả các hoán vị của n

phần tử được gọi là tất cả các hoán vị của các đối tượng phân biệt không đầy đủ , ta có số hoán vị loại đó là

k

n A

=

.Chứng minh :

Gọi f là số hoán vị thỏa mãn bài toán Nếu ta trao đổi các phần tử trong cùng một loại và sắp xếp lẩn nhau từng nhóm thì ta sẽ có n n1 ! ! ! 2 n k

hoán vị Theo qui tắc nhân số tất cả các hoán vị của n phần tử phân biệt bằng f n n ! ! ! 1 2 n k

Cách thứ hai biểu diễn bởi b b b1 3 3 Đó là hoán vị của {2 ×b b3 ; 1} .

Chú ý rằng tổng của các chỉ số trong mỗi bộ đều bằng 7

GIẢI:

Từ minh họa trên , ta thấy số cách yêu cầu bằng với số hoán vị của một vài số b isao cho tổng của các chỉ số của b ilà 7 Ta có 8 trường hợp bao gồm các khả năng sau đây:

với mỗi số tự nhiên n.GIẢI:

Một lựa chọn không thứ tự m phần tử từ n phần tử đã cho phân biệt ( mỗi phần tử có thể lặp lại hữu hạn lần ) được gọi là tổ hợp lặp Số tổ hợp lặp

m

n m

Cho M= {∞ ; ; ; ;a1 ∞a2 ∞a n} là 1 multi-set với n ∈N

Một multi-set của dạng {m a m a1 ; 1 2 ; ; 2 m a n. n} với m i là các số nguyên không âm, được gọi là một (m1 +m2 + + m n) -phần tử của multi-subset cua

multi-subset của M

nhà hàng Một người muốn đặt trước 6 sandwich Giả sử rằng không giớihạn việc cung cấp sandwich trong mỗi loại , Hỏi có bao nhiêu cách đặt phần ăn trên?

Trong mỗi trường hợp , ta thấy việc sắp thứ tự của 6 loại sandwich tương ứng với một chuỗi nhị phân có độ dài là 8 vói 6 ký tự 0 và 2 ký tự 1 , thứ

tự khác nhau dẫn đến chuỗi nhị phân khác nhau Ta thấy có 1 song ánh giữa tập hợp các cách sắp xếp với tập hợp chuỗi nhị phân như trên Cho nên ta có , H63 =C82.

Cho M= {∞ ; ; ; ;a1 ∞a2 ∞a n} là 1 tập con với n ∈N.Số r-phần tử của M là

=

.Chứng minh :

Số cách lấy n1 từ n phần tử là n1

n

C

1 2

( )! ( )!

!

! ! ! ! ! !

!

! ! !

k k

cột cờ đã đánh số Hỏi có bao nhiêu ký hiệu phân biệt từ các cây cờ đó.GIẢI:

Số ký hiệu phân biệt là :

9!

1260 3!2!4! =

GIẢI:

Cách 1:

Số cách lấy 6 người từ n người : C n6

6 người này phân chia thành 3 nhóm , mỗi nhóm có đúng 2 người , số

theo yêu cầu là:

Số cách lấy 6 người từ n người : C n6

Với 6 người , có C62 chọn ra 2 người, với 4 người còn lại có C42cách chọn

ra 2 người Cuối cùng có C22 chọn ra 2 người còn lại , Nhưng 3 cặp này

HOÁN VỊ VÒNG TRÒN CỦA CÁC PHẦN TỬ PHÂN BIỆT:

Nếu ta sắp xếp n phần tử phân biệt trên 1 đường tròn thì hoán vị được gọi

là hoán vị vòng tròn của n phần tử, Số hoán vị vòng tròn của n phần tử

Gọi A là một tập hợp gồm n phần tử phân biệt Với 0≤r≤n , số hoán vị

b/ Nam B1 và nữ G1 không ngồi kề nhau

c/ không có nữ nào ngồi kề nhau

GIẢI:

a/ Đáp số : 7!

b/ 5 nam và 2 nữ ( không tính G1) có thể có (7-1)! Cách xếp G1 có 5 cách ngồi không kề với B1 Vậy có 6!×5=3600 cách xếp

COMLEMENTATION-CP)

Nếu A là tập con của X thì X A\ = X − A

Số cách xếp 5 nam và 3 nữ trong đó B1 và G1 ngồi cạnh nhau là : 6!.2!

=1440

Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là : 7!- 1440=3600

c/ Trước hết ta xếp 5 nam vào bàn , có (5-1)! Cách xếp

Lần lượt có 5 cách để xếp G1; 4 cách để xếp G2; và 3 cách để xếp G3.Vậy có tất cả 4!×5×4×3=1440 cách xếp

tròn sao cho :

a/ Nam và nữ ngồi luân phiên

b/ Mỗi Nữ ngồi kề với chồng của mình

CHÚ Ý : Một bài toán khó hơn và nổi tiếng liên hệ với bài tập trên là:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho n cặp vợ chồng (n≥3) quanh 1 bàn tròn sao chon nam và nữ ngồi xen kẽ nhau nhưng vợ không ngồi cạnh chồng ?

Bài toán này lần đầu tiên được giới thiệu bởi nhà toán học Pháp Francis Edward Anatole Lucas (1842-1891)

(1) 5+1 (2) 4+2 (3) 3+3.

1 mỗi bàn Số cách xếp 5 người vào 1 bàn là (5-1)! và 1 người vào bàn còn lại là 0! Theo qui tắc nhân , ta có : C65× × = 4! 0! 144.

2 vào mỗi bàn Số cách xếp 4 người vào 1 bàn là (4-1)! và 2 người vào bàn còn lại là 1! Theo qui tắc nhân , ta có : C64× × = 3! 1! 90.

Trường hợp 3: Ta chú ý trường hợp này Số cách để chia 6 thành 2 nhóm

3 và 3 là

3 6

1

3 6

1 2! 2! 40

có ít nhất một phần tử ( ký hiệu là s(r;n)).Các số s(r;n) được gọi là số Stirling loại 1, mang tên nhà toán học James Stirling ( 1692- 1770) Ví

GIẢI:

Để đơn giản , ta gọi r phần tử phân biệt là 1,2,….r Xét phần tử “1” , với bất kỳ cách sắp xếp các phần tử , hoặc là :

(i) 1 chỉ là 1 phân tử trong 1 đường tròn

(ii) 1 trộn với các phần tử khác trong 1 đường tròn

Trong trường hợp thứ nhất có s(r-1;n-1) cách xếp

Trong trường hợp thứ hai có s(r-1;n) cách xếp các phần tử 2;3;…r vào n đường tròn , khi đó 1 có thể đặt vào 1 trong r-1 khoảng trống phân biệt đến “ immediate right “ của r-1 phần tử tương ứng Theo qui tắc nhân , trường hợp này có (r-1).s(r-1;n) cách sắp xếp

Suy ra đpcm

Sử dụng các giá trị ban đầu: s(0;0)=1 ; s(r;0)=0 ; s(r;1)= (r-1)! Với r≥1ta

có thể tìm được các giá trị s(r;n) với r,n khá nhỏ

SỐ XÂU CHUỖI HẠT:

Giả sử 1 xâu chuỗi hạt bao gồm n hột được sắp xếp trên 1 đường tròn thế

2 n− n≥

CHỨNG MINH :

Nếu n=1 hay n=2 thì số xâu chuỗi là 1

Giả sử n ≥3, bởi vì 1 xâu chuỗi có thể quay hay lật ngược lại mà không làmthay đổi gì , nên số xâu chuỗi bằng ½ số hoán vị vòng tròn

tròn sao cho có ít nhất 2 người nam đứng giữa bất kỳ 2 người nữ

GIẢI:

Trước hết với mỗi người nữ , ta coi như 2 người bạn nhảy nam của cô ấy

là 1 người đứng ở bên trái và 1 người đứng ở bên phải Vì có 6 người nữ

cách Kế đến , mỗi người nữ và 2 bạn nhảy nam của mình được xem như

là 1 nhóm , mỗi phần dư lại 15-12=3 người nam cũng xem như là 1 nhóm

Như vậy tổng cộng có 9 nhóm , mà ta có thể hoán vị vòng tròn nên sẽ có8! Cách Theo qui tắc nhân ta có :

12 15

Ở đây x1 là số đường tròn “O” ở bên trái dấu / thứ nhất, x i+1là số đường

bên phải dấu / thứ m-1 Vì tương ứng trên là 1-1 , nên số nghiệm của phương trình bằng số hoán vị của n đường tròn “O” và m-1 dấu/ tức là

x + +x +x =n m n N∈ bằng số tổ hợp lặp lại của việc lấy m phần tử

từ n phần tử ( mỗi phần tử có thể có hữu hạn lần lặp lại)

m n

C −− CHỨNG MINH :

Đặt y i = −x i 1(i=1;2 ; )m Khi đó ta có : (1) ⇔ + +y1 y2 +y m = −n m.(2)

Số nghiệm dương của (1) bằng số nghiệm không âm của phương trình (2)

đó trong vòng tròn thì có (6-1)!=5! cách Người lảnh đạo của mỗi nhóm

là 1 nữ và vị trí của nó được xác định 15 nam ngồi trên đường tròn có 15! cách Theo qui tắc nhân ta có số hoán vị thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Số nghiệm của (1) bằng số nghiệm của (2) tức là bằng C10 3 13 1−+ − =C122 nhưng

trừ đi 5 nghiệm sau : (11;0;0) ; (10;1;0) ;(10;0;1); (1;10;0); (1;0;10) vậy

có tất cả :

2

12 5 61.