skkn các KIẾN THỨC cơ bản về tổ hợp

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP QUI TẮC ĐẾM QUI TẮC CỘNG ( The Addition Priciples- AP) : Nếu có n1 đối tượng khác tập hợp thứ , n2 đối tượng khác tập hợp thứ hai ,…… nm đối tượng khác tập hợp thứ m, Thế số cách để chọn đối tượng từ m tập hợp n1 + n2 + + nm Cách phát biểu khác: Cho A1 ; A2 ; Am m tập hợp hữu hạn , k≥1.Nếu tập hợp đôi rời , nghĩa Ai I Aj = ∅ ( i; j = 1; ; m; i ≠ j ) : m m i =1 i =1 U Ai = ∑ Ai QUI TẮC NHÂN (The Multiplication – MP) Giả sử có trình chia thành m giai đoạn liên tiếp có thứ tự , Với n1 kế khác giai đoạn thứ , n2 kết khác giai đoạn thứ hai ,…… nm kết khác giai đoạn thứ m, kết kết hợp lại phân biệt Thế số kết kết hợp lại toàn trình n1.n2 nm Cách phát biểu khác : m Cho ∏ A = A × A × × A = { ( a ; a ; ; a ) / a ∈ A ; i = 1; ; m} i =1 i m m i i tích Decarste CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT tập hợp hữu hạn A1 ; A2 ; Am Khi , ta có m m i =1 i =1 ∏ Ai = A1 × A2 × × Am = ∏ Ai MỘT SỐ VÍ DỤ : Có cách để chọn số nguyên dương x1 ; x2 ; x3 ; x4 từ tập hợp S={1 ;2 ;… ;499 ;500} cho x1 ; x2 ; x3 ; x4 cấp số nhân tăng công bội chúng số nguyên dương GIẢI : Gọi a1; a1q; a1q ; a1q (a1; q ∈ N ; q ≥ 2) số cần chọn , ta có : a1q ≤ 500 ⇒ q ≤ Cho nên : 500 ≤ 500 a1 2≤q≤7  500  ≤ a1 ≤    q  Điều có nghĩa số cấp số nhân với  500    công bội q  q  Theo qui tắc cộng , số cấp số nhân thỏa điều kiện :  500  = 62 + 18 + + + + = 94  q =2   ∑ q Có số tự nhiên lẻ có chữ số phân biệt ? GIẢI : Một số có chữ số thứ tự chữ số ( chữ số không đứng đầu) Vì số cần đếm số lẻ nên chữ số đơn vị 1,3,5,7,9 Chữ số hàng chục trăm có 0,1,2,….9 chữ số hàng ngàn 1,2,….9.Vì chữ số phân biệt nên : -Có cách chọn chữ số hàng đơn vị -Có cách chọn chữ số hàng ngàn.( khác khác chữ số đơn vị ) CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT - Có cách chọn chữ số hàng chục ( khác chữ số đơn vị hàng ngàn) -Có cách chọn chữ số hàng trăm Vậy có 5.8.8.7= 2240 số cần chọn Tìm số cặp có thứ tự (x ;y) số nguyên x,y cho x2 + y ≤ GIẢI : 2 Ta phân chia toán thành trường hợp riêng biệt : x + y = 0;1; 2;3; 4;5 Với i=0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ta đặt Si = { ( x; y ) / x; y ∈ Z ; x + y = i} Dễ kiểm tra : S0 = 1; S1 = 4; S = 4; S3 = 0; S = 4; S5 = 8; Vậy ∑S i =0 i = 21 Tìm số ước số dương 600 , bao gồm 600 GIẢI : Trước hết ta ý 600= × × Khi số nguyên dương m a b c ước số 600 m có dạng : m = × × với a,b,c∈Z :0≤a≤3 ; 0≤b≤1 ; 0≤c≤2 Như số ước số 4.2.3= 24 MỞ RỘNG: Nếu số tự nhiên n có dạng phân tích thừa số nguyên tố( The k k k prime decomposition) : n = p1 p2 pm pi số nguyên tố m m phân biệt ki ∈ Z + Thế số ước số dương n ∏( k i =1 i + 1) (AIME 1988)Tính xác suất để chọn ngẩu nhiên ước số 99 88 nguyên dương 10 bội số 10 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT GIẢI : a b 99 Ước số 10 có dạng ≤ a;b ≤ 99;a,b ∈ Z Có 100 cách chọn a , 100 99 cách chọn b, nên có 100×100 ước số 10 Tương tự , bội số 10 88 phải thỏa mãn bất đẳng thức 88≤a ;b ≤99, a,b ∈Z ; Nên có 12 cách chọn 12 12 = a, 12 cách chọn b Do xác suất : 100 100 625 Xác định số cặp số có thứ tự (a ;b) cho bội chung nhỏ 13 a b 11 GIẢI : a = x y11z  s t u 13 11 Cả a,b ước nên b = 11 13 Vì 11 BCNN a,b nên max{x ;s}=3 ; max{y ;t}=7 ; max {z ;u}=13 Bằng cách liệt kê ta có cách chọn cặp (x ;s) ; 15 cách chọn (y ;t) ; 27 cách chọn (z ;u) Theo qui tắc nhân , ta 7×15×27=2835 cặp số (a ;b) thỏa điều kiện MỞ RỘNG : α α α Nếu n số nguyên dương n = p1 p2 pk phân tích thành thừa số k nguyên tố n.Thì có ( 2α1 + 1) ( 2α + 1) ( 2α k + 1) cặp số nguyên (a ;b) phân biệt có thứ tự cho BCNN(a ;b) n Cho X={1 ;2… ;100} đặt S= { ( a; b; c ) / a, b, c ∈ X , a < b ∧ a < c} Tính S GIẢI: Bài toán chia thành trường hợp phân biệt xét a=1;2;….;99 Với a=k∈{1;2;….;99} số cách chọn b 100-k c 100-k , Thế số số (a;b;c) cần tìm ( 100 − k ) Vì k lấy giá trị 1,2,….,99 nên CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT ta có : S = 992 + + 12 = 328350 Hãy xác định số hình vuông mà đỉnh điểm lưới vuông 10×10 sau (10 điểm , ô) GIẢI: Ta nói điểm n×n quartet ( nhóm ) chúng đỉnh hình vuông n×n mà cạnh song song với đường biên lưới Ta nói hình vuông với đỉnh quartet quartet square Ta có 81= quartet 1×1 Ta có : quartet 2×2 lưới 3×10 có lưới 3×10 lưới 10×10 Vậy , có quartet 2×2 lưới 10×10 Tương tự ta có : quartet 3×3 lưới Nghĩa , k∈{1 ;2 ;… ;9} có ( 10 − k ) quartet k×k Nhưng phần khó khăn hình vuông có cạnh không song song với đường biên lưới Mỗi hình vuông nội tiếp bên quartet Cho nên ta cần đếm tất quartet hình vuông nội tiếp Không khó khăn ta k×k quartet có k hình vuông nội tiếp , kể Ví dụ k=4 ta hình vẽ bên CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Như ta : 9 S = ∑ ( 10 − k ) k = ∑ ( 100k − 20k + k ) = k =1 k =1 9 k =1 k =1 k =1 = 100∑ k − 20∑ k + ∑ k = 825 Có n que có độ dài 1,2,….n Có tam giác không cân tạo thành từ số que ? GIẢI : Gọi x,y,z độ dài que Không tính tổng quát , ta giả sử x z} Do theo qui tắc cộng , ta cần tính : A1 + A2 + + An Ta có : A1 = A2 = Nếu z=3 x=1 y=2 , không tồn tam giác.Vậy A3 = Bây ta giả sử k ≥ Ta xét trường hợp : Trường hợp : Trong trường hợp , ta giả sử k chẳn, tức k=2m ; m∈Z ; m≥2 Bởi x2x Chú ý x+y> z Ta xét 2x≤z 2x> z nghĩa 1≤x≤m ; m z-x= k-x Vì k=2m≥2x nên ta k-x ≥x( thỏa điều kiện y>x) Cho nên y nằm k-x+1 z-1= k-1 ta có (k-1)-(k-x+1) +1 =x-1 giá trị mà y nhận Khi m2x >2m=z ( thỏa điều kiện), Bất kỳ y nằm x+1 k-1 có(k-1)-(x+1)+1= k-x-1= =2m-x-1 giá trị mà y nhân Bởi ; k=2m m m −1 m m−2 x =1 x = m +1 x =1 i =0 Ak = ∑ ( x − 1) + ∑ ( 2m − x − 1) = ∑ ( x − 1) + ∑ i nghĩa : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Ak = m ( m − 1) (m − 2) ( m − 1) + = ( m − 1) 2 Chú ý công thức m=1 nghĩa k=2 Trường hợp : Trong trường hợp ta giả sử k lẻ , nghĩa k=2m+1 với k số nguyên , m≥2 Khi 1≤x≤m , ta cần có y> z-x = k-x Lúc , k=2m+1>2x k-x >x Như trước , y lấy giá trị nguyên nằm k-x+1 k-1 , có (k-1)- (k-x+1) + 1= x-1 giá trị mà y nhận Khi m < x Như có (k-1)- (x-1)+ 1= k-x-1= 2m-x giá trị mà y nhận Bởi , k= 2m+1 m Ak = ∑ ( x − 1) + x =1 2m ∑ x = m +1 m m −1 x =1 i =0 ( 2m − x ) = ∑ ( x − 1) + ∑ i = m ( m − 1) m ( m − 1) + = m ( m − 1) 2 Chú ý công thức m=0 m=1 tức k=1 k=3 Bây ta bắt đầu giải toán Nếu n lẻ : n=2p+1 ( với p số nguyên không âm )> Ta có : A1 + A2 + + An = ( ) ( = A1 + A3 + + A2 p +1 + A2 + A4 + + A2 p p p m =0 m =1 p p m =1 m=0 ) = ∑ m ( m − 1) + ∑ ( m − 1) = 2∑ m − 3∑ m + p p ( p − 1) ( p + 1) = Nếu n chẳn : n=2p với p số nguyên dương Thì ta có : A1 + A2 + + An = ( ) ( = A1 + A3 + + A2 p −1 + A2 + A4 + + A2 p p −1 p m =0 m =1 p −1 ) p −1 = ∑ m ( m − 1) + ∑ ( m − 1) = 2∑ m − ∑ m = p ( p − 1) ( p − ) m =1 m=0 Một cách giải khác ta giải n=2p+1 trường hợp n=2p ta CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT tích sau : A1 + A2 + + A2 p = ( ) = A1 + A3 + + A2 p +1 − A2 p +1 p ( p − 1) ( p + 1) − p ( p − 1) p ( p − 1) ( p − ) = = 10 Trước Rick mở tủ đựng đồ thể thao mính , Rick phải nhớ mật mã khóa tủ , Hai cặp số mật mã 17 24 , không nhớ cặp số thứ ba Và không nhớ thứ tự cặp số Có 40 khả cặp số thứ ba Trong 10 giây , nhớ tất khả xảy không ? GIẢI : Ta xét tập khả mã khóa A1 = { ( x;17; 24 ) /1 ≤ x ≤ 40} A2 = { ( x; 24;17 ) /1 ≤ x ≤ 40} A3 = { ( 17; x; 24 ) / ≤ x ≤ 40} A4 = { ( 24; x;17 ) /1 ≤ x ≤ 40} A5 = { ( 17; 24; x ) / ≤ x ≤ 40} A6 = { ( 24;17; x ) /1 ≤ x ≤ 40} Mỗi tập có 40 phần tử phải trừ phần tử chung tập hợp (17 ;17 ;24) ; (17 ;24 ;17) ; (24 ;17 ;17) ; (17 ;24 ;24) ; (24 ;24 ;17) ;(24 ;17 ;24) Vậy có tất 40×6-6= 234 11 Một lái xe chứa 1dãy ký tự alphbet theo sau dãy chữ số Có lái xe tạo thành o không dùng lúc GIẢI : Gọi S1 tập hợp lái số CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT S2 tập hợp lái chữ o S3 tập hợp lái số 0và chữ o 3 3 3 Ta có : S1 + S − S3 = 26 + 25 10 − 25 = 17047279 12 Xác định số số nguyên dương nhỏ 1000 chứa chữ số cách viết thập phân GIẢI : CÁCH : Gọi S tập hợp số nguyên dương nhỏ 1000 S = 999 Gọi S1; S ; S3 tập hợp số nguyên dương có , 2, chữ số Với i=1 ;2 ;3 đặt Ai ⊂ Si chứa chữ số có chữ số Ta cần tinh A1 + A2 + A3 Ta dễ dàng thấy A1 = { 2;3; ;9} ⇒ A1 = A = { 11} U{ 1b; b ≠ 1} U{ b1; b ≠ 1} ⇒ A2 = 18 Ta chia A2 thành tập hợp : Ta chia A3 = A111 U A1bc U Aa1c U Aab1 U A11c U A1b1 U Aa11 Với a,b,c≠1 ;a≠0 Do : A3 = + 81 + 2.72 + 2.9 + = 252 Như ta có A1 + A2 + A3 =271 CÁCH 2: Ta phân chia tập hợp sau : Gọi S’ tập hợp số nguyên không âm nhỏ 1000 Gọi B1 tập hợp số nguyên không âm nhỏ 1000 chứa chữ số 1, Gọi B2 tập hợp số nguyên không âm nhỏ 1000 không chứa chữ số Nghĩa B1 + B2 = S ' = 1000 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Ta có B2 = 9.9.9 = 729 Nên B1 = 1000 − 729 = 271 13 Có 15 lỗ thông máy lạnh rạp hát Để giữ cho nhiệt độ mát mẻ , phải có lỗ thông làm việc suốt thời gian Hỏi có cách thực GIẢI: Ta gọi lỗ thông v1; v2 ; v3 ; v15 ; Ta có lỗ thông có 2b lựa chọn on hay off Ta sử dụng ký tự n cho on, f cho off Ta đánh dấu 15 mã gồm 15 kí tự cho tình Như theo qui tắc nhân có tính , tình fffff….f bị loại tất lỗ thông 15 đóng Do có − =32767 tình xảy n ĐỊNH LÝ : Cho tập hợp S có n phần tử , có tập S bao gồm S tập rổng Gọi A B tập hợp Một ánh xạ f ( map- mapping – function) từ tập hợp A đến tập B ( viết f:A→ B) đánh dấu phần tử a∈A với phần tử b∈B ( viết f(a)=b) b ảnh a Với A’ ⊂ A , Gọi f(A’) ( ảnh A’) xác định tập hợp ảnh phần tử a∈A’ Nếu f(A)= B f gọi toàn ánh (surjective- onto)nghĩa , với b∈B ảnh a∈A Với phần tử phân biệt a1; a2 ∈ A có ảnh khác f gọi đơn ánh ( injective- one to one) Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh f song ánh( bijective– one-to-one correspondence) HOÁN VỊ : ( PERMUTATION)(khái niệm mở rộng):tương đương với khái niệm chỉnh hợp sgk) Một cách xếp thứ tự m phần tử phân biệt n phần tử phân biệt cho trước ( m≤n) gọi hoán vị lấy m phần tử n phần tử Vì phần tử không lặp lại nên nên hoán vị không lặp số hoán vị m m lấy m phần tử n phần tử phân biệt ký hiệu Pn ( An ) Khi ta có : Anm = n ( n − 1) ( n − ) ( n − m + 1) = n! ( n − m) ! 10 ( m≤n) CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Số nghiệm dương (1) số nghiệm không âm phương trình (2) C(mn−−1m) + m −1 = Cnm−−11 Lời giải khác VD7: Giả sử 15 nam chia thành nhóm cho lảnh đạo nhóm người nữ có nam nhóm Xác định số nam nhóm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 tương ứng , ta có phương trình : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 15 ( xi ∈ N ; xi ≥ 2; i = 1; 2;3; 4;5;6 ) (1) Đặt yi = xi − ( i = 1; ;6 ) ⇒ y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 = (2) Thế số nghiệm nguyên (1) số nghiệm nguyên không âm −1 (2) tức C3+6−1 = C8 = C8 Như 15 nam chia thành nhóm cho nhóm có nam có C8 cách Ta xếp nhóm vòng tròn có (6-1)!=5! cách Người lảnh đạo nhóm nữ vị trí xác định 15 nam ngồi đường tròn có 15! cách Theo qui tắc nhân ta có số hoán vị thỏa mãn yêu cầu toán C83 5!.15! = 8!.15! 3! 36 Có số nguyên có chữ số cho tổng chữ số số nguyên 11 GIẢI: Ta xác định chữ số hàng trăm , hàng chục hàng đơn vị x1 ; x2 ; x3 ( x1 ≥ 1; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0) x1 + x2 + x3 = 11 : (1) Đặt y1 = x1 − 1; y2 = x2 ; y3 = x3 ; ⇒ y1 + y2 + y3 = 10 ( yi ≥ 0; i = 1; 2;3) (2) 3−1 Số nghiệm (1) số nghiệm (2) tức C10+3−1 = C12 trừ nghiệm sau : (11;0;0) ; (10;1;0) ;(10;0;1); (1;10;0); (1;0;10) có tất : C122 − = 61 29 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT NGUYÊN LÝ BAO HÀM VÀ NGUYÊN LÝ LOẠI TRỪ : Gọi A1 ; A2 ; An n tập hữu hạn Ta xác định số phần tử Ai Ai (i = 1; 2; n) Thế ta có công thức (1) sau: n A1 U A2 U U An = ∑ Ai − i =1 ∑ Ai I A j + 1≤i < j ≤ n ∑ 1≤i < j < k ≤ n Ai I A j I Ak − + ( −1) n −1 A1 I A2 I An CHỨNG MINH : Với phần tử x ∈ A1 U A2 U U An ta chứng minh x có số lần đếm giống vế (1) Vì x thuộc tập hợp A ; A2 ; ; An nên không tính tổng quát ta giả sử x ∈ A1 ; A2 ; Ak không thuộc tập hợp khác Trong trường hợp x đếm lần VT (1) Nhưng VP n (1) x đếm Ck lần đếm Ck3 lần ∑ ∑A i i =1 1≤i < j < k ≤ n ∑ ; đếm Ck lần Ai I A j I Ak 1≤i < j ≤ n Ai I Aj ; ;…… Suy , VP x đếm : Ck1 − Ck2 + Ck3 − + ( −1) k −1 ( ) Ckk = Ck0 − Ck0 − Ck1 + Ck2 − Ck3 + + ( −1) Ckk = − ( − 1) = k Rõ ràng với x ∉ A1 U A2 U U An vế x không đếm lần Như vế phần tử x đếm số lần , nên công thức chứng minh CHÚ Ý : Phương pháp chứng minh gọi phương pháp GÓP LẠI ( CONTRIBUTED METHOD) NGUYÊN LÝ QUÉT LIÊN TIẾP ( SUCCESSIVE SWEEP PRINCIPLE) : SIEVE FORMULA – CÔNG THỨC SÀNG : Cho S tập hợp hữu hạn , Ai ⊂ S (i=1;2… ;n) xác định phần bù 30 k CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Ai S Ai (i=1;2;….;n) Thế : n A1 I A2 I An = S − A1 U A2 U An = S − ∑ Ai + i =1 ∑ 1≤i < j ≤ n Ai I A j − ∑ 1≤i < j < k ≤ n Ai I A j I Ak + + ( −1 CHỨNG MINH : Ta có :theo công thức De Morgan A1 I A2 I An = A1 U A2 U U An = S − A1 U A2 U An 37 Xác định số số nguyên dương nhỏ 1000 không chia hết cho không chia hết cho GIẢI: A I A Đặt S={1;2;…;999} Ai = { k / k ∈ S ; k Mi} Thế ta cần tính : Theo công thức sàng , ta có:  999   999   999  A5 I A7 = S − A5 − A7 + A5 I A7 = 999 −  − + = 999 − 199 − 142 + 28 = 686      7.5  38 Có cách để gắn n thư phân biệt vào n phong bì cho thư vào phong bì tương ứng ( BÀI TOÁN CÁC LÁ THƯ SAI ĐỊA CHỈ CỦA BERNOULLI-EULER) GIẢI: Ta phát biểu lại toán : Có hoán vị số {1;2;…;n} cho số k không đặt vị trí k với k (1≤k≤n) Các hoán vị gọi hoán vị xáo trộn ( derangement) số hoán vị đặt Dn Gọi S tập hợp hoán vị {1;2;…;n} Ai tập hợp hoán vị { a1; a2 ; ; an } {1;2;…;n} thỏa điều kiện = i (i=1;2;….;n) Rõ ràng ta có : S = n !; Ai = ( n − 1) !; Ai I A j = ( n − ) !, Ai1 I Ai2 I I Aik = ( n − k ) !( ≤ i1 < i2 < < ik ≤ n ) 31 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Theo công thức sàng , ta có: Dn = A1 I A2 I I An = n !− Cn1 ( n − 1)!+ Cn2 ( n − ) !− Cn3 ( n − ) !+ + ( −1) Cnn 0! n n  1 −1)  ( = n !1 − + − + + ÷  1! 2! 3! ÷ n !   HOÁN VỊ VÀ CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA NÓ: Cho X={1;2;…;n} ; φ song ánh từ X vào ta thường viết n  1  ÷ ϕ ( 1) ϕ ( ) ϕ ( n )  hoán vị dạng sau đây:  Với i∈X, φ ( i ) = i , i gọi điểm bất động hoán vị φ X Với VD , ta có hệ sau đây: HỆ QUẢ : Số hoán vị điểm bất động tập X n  1 −1)  ( Dn = n ! − + − + + ÷  1! 2! 3! ÷ n !   39 Giả sử tập X={1;2;…;n} xác định số hoán vị điểm bất động X f n , số hoán vị có điểm bất động X g n Chứng minh f n − g n = CANADIAN MO LẦN 14 GIẢI: Gọi g n số hoán vị với điểm bất động I (i=1;2….;n) Thế : i g n = g n1 + g n2 + g n3 + + g nn Theo hệ , ta có : f n = Dn ; g ni = Dn −1 (i = 1; 2; ; n) g n = nDn −1 32 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Nên : f n − g n = Dn − nDn −1 n n −1  1  1 −1)  −1)  ( ( = n ! − + − + − + ÷− n.(n − 1)! − + − + − + ÷  1! 2! 3! ÷  1! 2! 3! ÷ n ! ( n − 1)!     = ( −1) n ! 40 n! n =1 Một dãy số ( an ) nhận từ dãy số nguyên dương {1;2;3…; …} cách xóa tất bội số hay trừ Tinh a2009 GIẢI: CÁCH 1: ( PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ- ESTIMATE VALUE METHOD) Đặt a2009 = n ; S={1;2;3….;n} Ai = { k / k ∈ S ; k Mi} (i=3;4;5) Thế tập hợp số không bị xóa (A I ) A4 I A5 U A5 Áp dụng công thức sàng , ta có : ( ) ( ) 2009 = A3 I A3 I A3 U A5 = A3 I A3 I A3 + A5 = = S − A3 − A4 − A5 + A3 I A4 + A3 I A5 + A4 I A5 − A3 I A4 I A5 + A5 n n  n   n   n   n  = n− − + + + −      ×   ×   ×   × ×  Áp dụng bất đẳng thức a − < [ a ] ≤ a , ta :  n n n n  n   n   2009 < n −  − 1÷−  − 1÷+ × + × + × −  × × − 1÷ = n +          2009 > n −  n  −  n  + ( n − 1) + ( n − 1) + ( n − 1) −  n  = n −  ÷  ÷  ÷  3× 5×     3×  3× ×5  33 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT 1 3343 < n < 3353 3 Như ta : Nếu n bội số hay 5, n không số hạng dãy số ( an ) , theo yêu cầu n số sau: 3345;3346;3347;3349; 3350;3353 Lần lượt số vào phương trình ban đầu ta n= 3347.Vậy a2009 = 3347 CÁCH 2: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TỔ HỢP( COMBINATORIAL ANALYSIS METHOD): Ta có BCNN(3;4;5)= 60 Đặt S0 = { 1; 2;3; ;60} ; Ai = { k / k ∈ S ; k Mi} ;(i = 3; 4;5) Thế tập hợp số không bị xóa ( ) S0 = A3 I A4 I A5 U A5 Áp dụng công thức sàng , ta có: (A I ) ( ) A3 I A3 U A5 = A3 I A3 I A3 + A5 = = S − A3 − A4 − A5 + A3 I A4 + A3 I A5 + A4 I A5 − A3 I A4 I A5 + A5  60   60   60   60   60   60  = 60 −   −   +  + + − = 36      ×   ×   ×   × ×  Do có 36 số hạng dãy số ( an ) S0 : a1 = 1; a2 = 2; a3 = 5; a4 = 7; ; a36 = 60 Gọi P = { a1 ; a2 ; ; a36 } an = 60k + r (k ; r ∈ N ;1 ≤ r ≤ 60) Vì ( an ;12 ) = ( 60k + r;12 ) = ( r;12 ) = hay ( an ;12 ) = ( r;12 ) ≠ / an ⇒ / r ⇒ r ∈ P Mặt khác với số nguyên dương có dạng 60k+r ( k;r số nguyên không âm r∈P) Nếu (r;12)=1 (60k+r;12)=1 , 60k+r số hạng dãy số Nếu (r;12)≠1 5/r (vì r∈P) , 5/60k+r 60k+r số hạng dãy số 34 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT Như , dãy số bao gồm tất số dương có dạng 60k+r ( k,r số nguyên không âm r∈P) Với k cho trước , ta nhận 36 số hạng lien tiếp dãy số Chú ý 2009= 36×55+29 a2009 = 60 × 55 + a29 Nhưng a36 = 60; a35 = 59; a34 = 58; a33 = 55; a32 = 53; a31 = 50; a30 = 49; a29 = 47 Vậy a2009 = 3300 + 47 = 3347 BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1/ Một thầy giáo trao n+1 giải thưởng cho n học sinh cho học sinh nhận giải thưởng Hỏi có cách trao giải? a / n Ann+1 b/ ( n + 1) Pn c/A nn +1 d/C n2 +1.Pn GIẢI: Theo điều kiện , phải có học sinh nhận giải thưởng.và học sinh lại nhận giải thưởng Đáp số : D 2/Giả sử thầy giáo chọn sinh viên từ nam nữ để lập nhóm thảo luận , Hỏi có cách thành lập để nhóm thảo luận có nam , nữ a/60 b/80 c/120 d/420 GIẢI: 2 Số cách chọn : C5 C4 + C5 C4 + C5 C4 = 120 Đáp số : C 3/Nếu số có chữ số lớn 20000 không bội số có tính chất sau: chữ số phân biệt chữ số số 1,2,3,4,5 số số cần tìm a/96 b/76 c/72 d/36 GIẢI: Trước hết , chữ số đơn vị Vậy số số có chữ số 4! ×4 Trong số , số số có chữ số không 20000 chữ số đầu chữ số đơn vị số 2,3,4 Vậy có 3×3! Vậy số số cần tìm : 4×4!-3×3!= 78 Đáp số : B 35 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT 4/ Nếu hệ số A B phương trình đường thẳng Ax+By =0 chữ số phân biệt từ số 0;1;2;3;6;7 số đường thẳng phân biệt bao nhiêu? GIẢI: Số cách chọn số A B chữ số : A6 Nhưng tính toán , đường thẳng trường hợp sau đường thẳng : (1) A=0 B=1;2;3;6;7 (2) B=0 A=1;2;3;6;7 (3) A=1 B=2 A=3 B=6 (4) A=1 B=3 A=2 B=6 (5) A=2 B=1 A=6 B=3 (6) A=3 B=1 A=6 B=2 Cho nên số đường thẳng phân biệt : A62 − ( A51 − 1) − = 18 Đáp số : 18 5/Nếu số a biến số x log a x chữ số phân biệt từ chữ số 1;2;3;4;5;7;9 số giá trị khác log a x GIẢI: Số cách chọn số a x từ số : A7 Nhưng có số a Và trường hợp sau trùng lặp nhau: (1) x=1 a=2;3;4;5;7;9 (2) log = log (3) log = log (4) log = log (5) log = log Như số trường hợp cần tìm : A72 − A61 − ( A61 − 1) − = 27 6/ Trong thi đấu tennis , người chơi game với người khác Nhưng trình thi đấu , có người bỏ người tham gia trận Nếu tổng số trận 50 số trận người 36 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT CHINA MATHEMATICAL COMPETITION 1994 a/0 b/1 c/2 d/3 GIẢI: Giả sử có n người chơi , số trận người chơi r Thế : r = n = Cn2−3 + ( × − r ) ⇔ ( n − 3) ( n − ) = 88 + 2r ⇔   n = 13 Vậy r=1 Đáp số : B 7/ Giả sử a,b,c phương trình đường thẳng ax+by+c=0 phần tử phân biệt tập hợp {-3;-2;-1;0;1;2;3} hệ số góc đường thẳng dương Hỏi có đường thẳng phân biệt ? CHINA MATHEMATICAL COMPETITION 1999 GIẢI: Giả sử hệ số góc đường thẳng tan θ = − a >0 b Không tính tổng quát , giả sử a>0 b n −  + + ÷+  −1+ −1+ − 1÷−  ÷ 5× 3×   3× 5×     3× n n   n n n   n n  1000 < n −  − + − + − 1÷+  + + − 1÷ ÷−    3× 5× 3×   3× ×  3 2178 < n < 2194 16 n 105 nguyên tố nhau, n Do số 2179 ; 2182 ; 2183 ; 2186 ; 2188 ; 2189 ; 2192 ; 2194 Trong số , có n= 2186 thỏa mãn , a1000 = 2186 16/ Có bao số có n chữ số bao gồm chữ số 1,2,3 với chữ số , chữ số 2, chữ số GIẢI : Gọi S tập hợp chữ số có n chữ số bao gồm chữ số 1,2,3 Ai = {m/m∈S chữ số m không i} (i=1 ;2 ;3) Thế số 42 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP GIÁO VIÊN : TRẦN TIẾN ĐẠT số thỏa yêu cầu : A1 I A2 I A3 = S − A1 − A2 − A3 + A1 I A3 + A1 I A2 + A2 I A3 − A1 I A2 I A3 = 3n − ( 2n + 2n + 2n ) + ( 1n + 1n + 1n ) − = 3n − 3.2n + 43