ON THI CAO HOC TOAN CC 1 chuong2_daohamviphan_2

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng vi phân (tt) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự Định nghĩa Hàm f = f ( x, y ) đạt cực đại chặt M ( x0 , y0 ), f ( x, y ) < f ( x0 , y0 ) với (x,y) gần ( x0 , y0 ) tức ∃B ( M , r ) : ∀M ∈ B( M , r ) ∩ D f , M ≠ M : f ( M ) < f ( M ) Định nghĩa Hàm f đạt cực đại không chặt M ( x0 , y0 ) , f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) với (x,y) gần ( x0 , y0 ) tức ∃B ( M , r ) : ∀M ∈ B( M , r ) ∩ D f , f ( M ) ≤ f ( M ) vaø ∀ε > 0, ∃M1 ≠ M , M1 ∈ B( M , ε ) : f ( M ) = f ( M ) tương tự cho cực tiểu chặt cực tiểu không chặt VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự Định lý điều kiện cần cực trị Hàm f đạt cực trị M ( x0 , y0 ) đạo hàm riêng cấp không tồn Điểm dừng: đạo hàm riêng cấp Điểm tới hạn: đạo hàm riêng cấp không tồn Điểm cực trị: hàm đạt cực đại cực tiểu Định lý điều kiện cần cực trị Nếu M ( x0 , y0 ) điểm cực trị điểm tới hạn VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự - Định lý điều kiện đủ cực trị Cho M ( x0 , y0 ) điểm dừng hàm f = f(x,y) f có đạo hàm riêng liên tục đến cấp lân cận điểm M0 1) Nếu 2) Nếu 3) Nếu d f ( M ) xác định dương , M0 điểm cực tiểu d f (M ) xác định âm , d f (M ) đởi dấu , M0 khơng phải điểm cực trị M0 điểm cực đại Chú ý: Nếu d f ( M ) bán xác định dấu , chưa kết luận Ta phải tìm vi phân cấp cao f hoặc dùng định nghĩa Chú ý: Ta thường dùng ký hiệu sau: A = f xx'' ( x, y ), B = f xy'' ( x, y ), C = f yy'' ( x, y ) ⇒ d f ( x, y ) = Adx + Bdxdy + Cdy VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự Sơ đồ khảo sát cực trị hàm hai biến f = f(x,y) 1) Tìm điểm dừng  f x' ( x, y ) =  ' ⇔ P1 ( x, y ), P2 ( x, y ),L  f y ( x, y ) = '' '' '' f , f , f 2) Tính tất đạo hàm riêng cấp hai xx xy yy 3) Khảo sát điểm dừng P1 ( x1 , y1 ) : A = f xx'' ( P1 ), B = f xy'' ( P1 ), C = f yy'' ( P1 ), ∆ = AC − B ∆ > • ⇒ P1 điểm cực tiểu A > ∆ > • ⇒ P1 điểm cực đại A < •∆ < ⇒ P1 khơng điểm cực trị •∆ = : thì chưa kết luận phải khảo sát định nghĩa VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự Ví dụ Khảo sát cực trị tự hàm 1) Tìm điểm dừng: f ( x, y ) = x + xy + y − x − y  f x' = x + y − =  '  f y = x + y − = ⇔ P1 (1,0), 2) Tìm đạo hàm riêng cấp f xx'' = 2, f xy'' = 1, f yy'' = 3) Khảo sát điểm dừng P1 (1,0) : A = f xx'' ( P1 ) = 2; B = f xy'' ( P1 ) = C = f yy'' ( P1 ) = 2; ∆ = AC − B = > ∆ > Kết luận cho điểm dừng P1:  ⇒ P điểm cực tiểu, f ct = f ( P1 ) = −1 A > VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự Ví dụ 4 2 2 f ( x , y ) = x + y − x − xy − y , x + y >0 Khảo sát cực trị tự hàm 1) Tìm điểm dừng:  f x' = x3 − x − y =  ' f = y − 2x − y =  y ⇒ x3 = y ⇔ x = y ⇒ P1 (1,1), P2 (−1, −1) '' '' '' f = 12 x − 2, f = − 2, f = 12 y −2 2) Tìm đạo hàm riêng cấp xx xy yy 3) Khảo sát điểm dừng P1,2 (±1, ±1) : A = f xx'' ( P1,2 ) = 10; B = −2 C = f yy'' ( P1,2 ) = 10; ∆ = AC − B = 102 − > ∆ > Kết luận : điểm dừng P1,2:  ⇒ P 1,2là điểm cực tiểu, f ct = f ( P1,2 ) = −2 A > Bài tập ... sát điểm dừng P1,2 (? ?1, ? ?1) : A = f xx'' ( P1,2 ) = 10 ; B = −2 C = f yy'' ( P1,2 ) = 10 ; ∆ = AC − B = 10 2 − > ∆ > Kết luận : điểm dừng P1,2:  ⇒ P 1, 2là điểm cực tiểu, f ct = f ( P1,2 ) = −2 A... Khảo sát cực trị tự hàm 1) Tìm điểm dừng:  f x' = x3 − x − y =  ' f = y − 2x − y =  y ⇒ x3 = y ⇔ x = y ⇒ P1 (1, 1), P2 (? ?1, ? ?1) '' '' '' f = 12 x − 2, f = − 2, f = 12 y −2 2) Tìm đạo hàm riêng... y1 ) : A = f xx'' ( P1 ), B = f xy'' ( P1 ), C = f yy'' ( P1 ), ∆ = AC − B ∆ > • ⇒ P1 điểm cực tiểu A > ∆ > • ⇒ P1 điểm cực đại A < •∆ < ⇒ P1 không điểm cực trị •∆ = : thi? ? chưa kết luận